精品解析：内蒙古自治区鄂尔多斯市达拉特旗第一中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

达拉特旗第一中学2025－2026学年第一学期高二年级第一次月考 数学试题 命题范围：必修一、必修二、选择性必修一 命题人：任文刚 审核人：王晓红 满分：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设z=i(2+i)，则= A. 1+2i B. –1+2i C. 1–2i D. –1–2i 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出． 【详解】， 所以，选D． 【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误． 2. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 3. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】A 【解析】 【分析】通过斜率求出倾斜角 【详解】整理得,直线斜率为，， 所以倾斜角为. 故选：A 4. 若tan+ =4,则sin2= A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想. 因为，所以.. 【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式转化；另外，在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的. 体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等 5. 古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（，）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 以中点为原点，设，根据，得到点轨迹方程，再表示出，利用圆上的点到定点的距离得到答案. 【详解】以中点为原点，所在直线为轴， 则，， 设，所以由， 可得， 整理得， ， 其中看作是 圆上的点到点的距离的平方， 所以其最大值为， 所以的最大值为， 故选：C. 【点睛】本题考查求圆的轨迹方程，圆上的点到定点的距离，属于中档题. 6. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 7. 若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得r的取值范围. 【详解】 作出到直线的距离为1的点的轨迹，得到与直线平行， 且到直线的距离等于1的两条直线， 圆的圆心为原点， 原点到直线的距离为， 两条平行线中与圆心O距离较远的一条到原点的距离为， 又圆上有4个点到直线的距离为1， 两条平行线与圆有4个公共点，即它们都与圆相交. 由此可得圆的半径， 即，实数r的取值范围是. 故选：A. 8. 若正四棱锥的高为4，且所有顶点都在半径为6的球面上，则该正四棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】点在底面的投影为，确定球心的位置，求，由此可求底面棱和侧面三角形的高，进而可求表面积. 【详解】在正四棱锥中，设点在底面的投影为，则为正方形的中心， 过作正四棱锥的截面，如图： 因为，，所以正四棱锥的外接球球心在的延长线上， 则，， 所以. 在正四棱锥中，如下图： ，， 中边上的高为， 故该正四棱锥的表面积为． 故选： 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与夹角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量平行的条件、向量的模、向量垂直的充要条件、向量夹角余弦的求法运算即可得解. 【详解】对于选项A，由题意，，， 假设，则存在实数，使得， 即，所以，方程组无解， 即不存在实数，使得，所以和不平行，故A错误； 对于选项B，由，，可得， ，则，故B正确； 对于选项C，由，， 可得， 因为，所以，故C正确； 对于选项D，由，， 可得，故D错误. 故选：BC． 10. 已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（ ） A. 四边形的面积最小值为 B. M为圆C上一动点，则最小值为 C. 最短时，弦直线方程为 D. 最短时，弦长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知，结合图形，利用直角三角形、圆的性质、直线方程以及点到直线的距离公式、勾股定理计算求解. 【详解】对于A，由切线长定理可得，又因为，所以， 所以四边形的面积， 因为，当时，取最小值，且， 所以四边形的面积的最小值为，故A正确； 对于B，因为，所以最小值为，故B错误； 对于C，由题意可知点，，在以为直径的圆上，设， 其圆的方程为：， 化简为，与方程相减可得：， 则直线的方程为，当最短时，，则， 解得，故直线的方程为，故C正确； 对于D，当最短时，圆心C到直线的距离， 所以弦长为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于C的判断，解答时要注意结合圆的公共弦方程的求解，求出直线AB方程，然后利用垂径定理求出弦长. 11. 在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实： （1）过点，且以为方向向量的空间直线的方程为． （2）过点，且以为法向量的平面的方程为． 现已知平面，是平面和平面的交线，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题干材料，写出直线的方程，得到直线的方向向量，平面的法向量，由法向量和方向向量的位置关系进行判断线面关系 【详解】：，可得，即， 故直线的方向向量为， 平面可写作， 由题知，平面的法向量， 注意到，可知，A错误，D正确； ，，即的方向向量， 根据上述解析，平面的法向量，，则或， 注意到，平面均经过点， 故只可能，B选项正确； 的方向向量为，，则或， 注意到经过，而不在平面上， 故，C正确. 故选：BCD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知且，则______． 【答案】64 【解析】 【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【详解】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 13. 已知直线与平行，则的值为___________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】由可求，注意检验重合的情况即. 【详解】因为直线与平行， 所以 展开化简可得，解之可得或， 则当时直线与， 化简后为，可知与平行， 当时直线与平行. 故答案为：或 14. 已知为坐标原点，，点是直线：上一点，若以为圆心，2为半径的圆上存在点，使得，则线段长度的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求得点的轨迹方程，从而可得圆与圆相交，列出不等式，可得的范围，再由两点间距离公式代入计算，即可得到范围. 【详解】由题意可设， 则圆的方程为， 若圆上存在点，使得，设， 则，化简可得， 故点在以为圆心，为半径的圆上， 因为点也在圆上，所以圆与圆有交点， 所以，即，解得， 又， 所以，即线段长度的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 （Ⅰ）求A的大小； （Ⅱ）求的最大值. 【答案】(Ⅰ)120°；(Ⅱ)1. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得∠A的大小； (Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)的结论和三角函数的性质可得的最大值. 【详解】(Ⅰ)， ,即. ，. (Ⅱ)， ，∴当即时，取得最大值1. 【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围． 16. 已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． （1）求垂心的坐标； （2）若关于直线的对称点为，求点到直线的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂心性质联立方程组解得垂心的坐标为； （2）利用直线垂直求得直线的方程，再由点到直线距离求的结果. 【小问1详解】 根据题意作出示意图如图，作出边上的高，边上的高， 即直线方程为，直线方程为, 联立，解得； 故垂心的坐标为 【小问2详解】 连接并延长交于点， 由（1）可知，； 易知，设直线的方程为， 将代入可得，即直线的方程为； 联立，解得，即； 所以直线的方程为，即； 设点的对称点，则，且的中点在直线上， 又，所以，整理得，解得； 即; 所以点到直线的距离为. 17. 已知直线 （1）证明：无论m为何值，直线l与直线总相交； （2）求点到直线l距离的最大值； （3）若O为坐标原点，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求面积的最小值． 【答案】（1）证明：对于，化简得， 令，得到， 对于点，直线与直线都是必过点， 所以，无论为何值，直线与直线总相交. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简直线，得到的必过点，得证； （2）根据直线过点可得点到直线距离的最大值为即可； （3）设，由（1）得，列出三角形面积公式，利用基本不等式即可求得三角形面积最小值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可得直线过点， 故点到直线l距离的最大值为， 当直线取到. 【小问3详解】 设，由（1）得， ，整理得， 因为，则，得，（当且仅当时，即时，等号成立）， ，面积的最小值为. 18. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点．请用空间向量知识解答下列问题： （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】以A为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法证明或计算： （1）分别求出和面的一个法向量，由即可证明； （2）分别求出平面与平面的法向量，用向量法计算. 【详解】 （1）如图，以A为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，依题意可得： 因为点和分别为和的中点， 所以,所以. 显然是面ABCD的一个法向量， 因为，又面ABCD,所以平面； （2） 设为面ACD1的一个法向量，则 不妨设y=1，则. 同理可求面的一个法向量. 设平面与平面夹角为，由图示， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为． 【点睛】向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示； (3)利用向量法证明或计算. 19. 已知圆的圆心为，且过点，直线的方程为． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相切，求的值； （3）若为坐标原点，点满足，且点在直线上，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据半径求出圆的半径，即可求出圆的方程； （2）根据圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可； （3）设，根据求出点的轨迹方程，依题意直线与圆有公共点，利用圆心到直线的距离不大于半径得到不等式，解得即可. 【小问1详解】 因为圆的圆心为，且过点， 则圆的半径， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得. 【小问3详解】 设，因为，即， 即，即点在以为圆心，为半径的圆上， 又点在直线上，即直线与圆有公共点， 所以，解得，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 达拉特旗第一中学2025－2026学年第一学期高二年级第一次月考 数学试题 命题范围：必修一、必修二、选择性必修一 命题人：任文刚 审核人：王晓红 满分：150分 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设z=i(2+i)，则= A. 1+2i B. –1+2i C. 1–2i D. –1–2i 2. 已知集合，，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 3 C. 5 D. 8 3. 直线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 4. 若tan+ =4,则sin2= A. B. C. D. 5. 古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（，）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若圆上仅有4个点到直线的距离为1，则实数r的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若正四棱锥的高为4，且所有顶点都在半径为6的球面上，则该正四棱锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 与夹角的余弦值为 10. 已知圆，直线，点P在直线l上运动，直线，分别切圆C于点A，B.则下列说法正确的是（ ） A. 四边形的面积最小值为 B. M为圆C上一动点，则最小值为 C. 最短时，弦直线方程为 D. 最短时，弦长为 11. 在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实： （1）过点，且以为方向向量的空间直线的方程为． （2）过点，且以为法向量的平面的方程为． 现已知平面，是平面和平面的交线，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知且，则______． 13. 已知直线与平行，则的值为___________． 14. 已知为坐标原点，，点是直线：上一点，若以为圆心，2为半径的圆上存在点，使得，则线段长度的取值范围是______ 四、解答题（共5小题，共77分） 15. 在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 （Ⅰ）求A的大小； （Ⅱ）求的最大值. 16. 已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点的坐标为． （1）求垂心的坐标； （2）若关于直线的对称点为，求点到直线的距离． 17. 已知直线 （1）证明：无论m为何值，直线l与直线总相交； （2）求点到直线l距离的最大值； （3）若O为坐标原点，直线l与x，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求面积的最小值． 18. 如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点．请用空间向量知识解答下列问题： （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知圆的圆心为，且过点，直线的方程为． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相切，求的值； （3）若为坐标原点，点满足，且点在直线上，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $