第13讲 一元一次不等式及其解法（知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年浙教版八年级数学上册满分全攻略备考系列

第13讲 一元一次不等式及其解法（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1. 不等式的意义 2. 列不等式 3. 不等式的基本性质 4. 一元一次不等式的概念 5. 不等式的解集 6. 一元一次不等式的解法 题型巩固 一、不等式的定义 二、不等式的性质 三、一元一次不等式的定义 四、不等式的解集 五、求一元一次不等式的解集 六、求一元一次不等式的整数解 七、在数轴上表示不等式的解集 八、求一元一次不等式解的最值 九、解|x|≥a型的不等式 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（4） 三、解答题（9） 知识梳理 知识点1. 不等式的意义 1.不等式：用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的数学式子，叫做不等式. 2.不等号：这些用来连接的符号统称不等号. 说明：有些不等式中不含未知数，如 3<4；有些不等式中含有未知数，如 2y<1 . 3.常见不等号及实际意义： 名称 符号 读法 实际意义 举例 小于号 ＜ 小于 小于、不足、低于、少于 −2<3 大于号 ＞ 大于 大于、高出、超过、多于 3>1 小于等于号 ≤ 小于或等于 不大于、不超过、至多、最多 x≤3 大于等于号 ≥ 大于或等于 不小于、不低于、至少、最少 x≥−6 不等于号 ≠ 不等于 不相等 3≠4 知识点2. 列不等式 1.用不等式表示不等关系的一般步骤： （1）找准题中表示不等关系的量； （2）正确理解题中表示不等关系的词语，如多、少、快、慢、超过、不足等确切的含义； （3）选择与题意符合的不等号将表示不等关系的量连接起来. 2.常见不等式的基本语言与符号表示： 不等式的基本语言 符号表示 不等式的基本语言 符号表示 是正数 不大于 ≤ 是负数 ＜0 不小于 ≥ 是非负数 ≥0 不等于 ≠ 是非正数 ≤0 ,同号 >0 或 >0 大于 ＞ ，异号 <0 或 <0 小于 ＜ 知识点3. 不等式的基本性质 基本性质 文字内容 字母表示 不等式的基本性质1（不等式的传递性） a<b ，b<c⇒a<c . 不等式的基本性质2 不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立. a>b⇒a+c>b+c ，a-c>b-c ； a<b⇒a+c<b+c ， a-c<b-c . 不等式的基本性质3 不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立. a>b ，且c>0⇒ac>bc， > ； a>b ，且c<0⇒ac<bc， < . 知识点4. 一元一次不等式的概念 1.一元一次不等式：不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式. 2.一元一次不等式的辨识关键点： （1）两边都是整式. （2）只含有一个未知数. （3）未知数的最高次数为一次. （4）用不等号连接. 注意 它与一元一次方程的最大区别在于一个是不等式，一个是等式. 知识点5. 不等式的解集 1.不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称为不等式的解. 2.解不等式：利用不等式的基本性质，把要求解的不等式变形成“x>a<”（或“x≥a”），“x<a”（或“x≤a”）的形式. 注意 “某些数是不等式的解”与“不等式的解是某些数”是两个不同的概念.如“4是 x>3的解”是正确的，而“x>3的解是4”是错误的. 知识点6. 一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的步骤如下表： 步骤 具体做法 根据 注意事项 去分母 不等式两边同时乘各分母的最小公倍数. 不等式的基本性质3. （1）不要漏乘不含分母的项；（2）若分子是多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号. 去括号 一般先去小括号再去中括号，最后去大括号. 单项式乘多项式法则. 若括号外的因数是负数，去括号后原括号内的每一项都要变号. 移项 把含未知数的项都移到不等号的一边，常数项都移到不等号的另一边. 不等式的基本性质2. （1）所移的项要改变符号，不移的项不改变符号；（2）移项时，不等号的方向不改变. 合并同类项 同类项的系数相加减，字母及字母的指数不变，得ax>b(ax≥b) 或 ax<b(ax≤b)(a≠0) 合并同类项法则. 系数化为1 不等式的两边都除以 a （或乘 ），将不等式化为或 的形式. 不等式的基本性质3. 当不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变. 注意: 当 a<0 时，不等式中不等号必须改变方向，这是与解一元一次方程的不同之处. 题型巩固 题型一、不等式的定义 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）以下表达式：；；；；．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）某农户今年的收入比去年至少多1.5万元，记去年的收入为万元，今年的收入为万元，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）x减去y不大于，用不等式表示为 ． 题型二、不等式的性质 4．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）比较大小，用“”或“”填空：若，且，则 ． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）阅读下列材料： 已知：，试比较和的大小，并说明理由． 解：，理由如下： ， （不等式的基本性质2）， （不等式的基本性质1）． 仿照阅读材料的解法，完成下列小题： 已知：若，比较和的大小，并说明理由． 题型三、一元一次不等式的定义 7．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列各式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·浙江温州·期中）“m的平方比m的5倍小”用不等式表示为 ． 9．下列式子中，是一元一次不等式的有哪些？ （1）3x+5＝0；（2）2x+3＞5；（3）；（4）≥2；（5）2x+y≤8 题型四、不等式的解集 10．下列说法正确的是（　　） A．x＝﹣3是不等式x＞﹣2的一个解 B．x＝﹣1是不等式x＞﹣2的一个解 C．不等式x＞﹣2的解是x＝﹣3 D．不等式x＞﹣2的解是x＝﹣1 11．关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 题型五、求一元一次不等式的解集 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）不等式的解是 ． 14．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）下面是小明解一元一次不等式的解题过程，他的求解过程是否有误，如果有误请写出错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 两边都除以得：⑤ (1)小明的解答过程从第_______步开始出现错误．（只填序号） (2)正确的解答过程． 题型六、求一元一次不等式的整数解 15．（24-25八年级上·浙江温州·期末）不等式的非负整数解有（ ）个 A．3 B．4 C．2 D．5 16．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）满足不等式的最小整数解是 ． 17．（2023八年级上·浙江·专题练习）求不等式的非负整数解． 题型七、在数轴上表示不等式的解集 18．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图所示，在数轴上表示不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 19．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）已知关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集是 ． 20．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）解下列不等式． (1)，并将解表示在数轴上； (2)． 题型八、求一元一次不等式解的最值 21．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 22．已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 23．已知：是不等式的最大整数解，是不等式的最小整数解，求的值． 题型九、解|x|≥a型的不等式 24．若|2a﹣6|＞6﹣2a，则实数a的取值范围是 ． 25．解不等式： 分层强化 一、单选题 1．不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列不等式中,不含有这个解的是 A． B． C． D． 3．若关于的不等式可变形为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．不等式的解集是．则a应满足的条件是（    ） A． B． C． D．无法确定 5．若实数，则实数，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．已知关于的方程组，其中，给出下列结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，的值互为相反数；③若，则；④是方程组的解，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．不等式的负整数解是 ． 8．现规定一种运算：，其中a，b为常数，若，则不等式的解集是 ． 9．关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 10．按如下程序进行运算：并规定，程序运行到“结果是否大于65”为一次运算，且运算进行4次才停止．则可输入的整数x的个数是 三、解答题 11．已知是关于x的一元一次不等式，求b的值． 12．解不等式：． 13．解不等式，并写出它的自然数解． 14．试比较与的大小． 15．解不等式：，并写出它的负整数解 16．已知三个正整数a，b，c满足，且，求a，b，c． 17．解不等式： (1)； (2)． 18．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 19．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1) (2) (3) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 一元一次不等式及其解法（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1. 不等式的意义 2. 列不等式 3. 不等式的基本性质 4. 一元一次不等式的概念 5. 不等式的解集 6. 一元一次不等式的解法 题型巩固 一、不等式的定义 二、不等式的性质 三、一元一次不等式的定义 四、不等式的解集 五、求一元一次不等式的解集 六、求一元一次不等式的整数解 七、在数轴上表示不等式的解集 八、求一元一次不等式解的最值 九、解|x|≥a型的不等式 分层强化 一、单选题（6） 二、填空题（4） 三、解答题（9） 知识梳理 知识点1. 不等式的意义 1.不等式：用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的数学式子，叫做不等式. 2.不等号：这些用来连接的符号统称不等号. 说明：有些不等式中不含未知数，如 3<4；有些不等式中含有未知数，如 2y<1 . 3.常见不等号及实际意义： 名称 符号 读法 实际意义 举例 小于号 ＜ 小于 小于、不足、低于、少于 −2<3 大于号 ＞ 大于 大于、高出、超过、多于 3>1 小于等于号 ≤ 小于或等于 不大于、不超过、至多、最多 x≤3 大于等于号 ≥ 大于或等于 不小于、不低于、至少、最少 x≥−6 不等于号 ≠ 不等于 不相等 3≠4 知识点2. 列不等式 1.用不等式表示不等关系的一般步骤： （1）找准题中表示不等关系的量； （2）正确理解题中表示不等关系的词语，如多、少、快、慢、超过、不足等确切的含义； （3）选择与题意符合的不等号将表示不等关系的量连接起来. 2.常见不等式的基本语言与符号表示： 不等式的基本语言 符号表示 不等式的基本语言 符号表示 是正数 不大于 ≤ 是负数 ＜0 不小于 ≥ 是非负数 ≥0 不等于 ≠ 是非正数 ≤0 ,同号 >0 或 >0 大于 ＞ ，异号 <0 或 <0 小于 ＜ 知识点3. 不等式的基本性质 基本性质 文字内容 字母表示 不等式的基本性质1（不等式的传递性） a<b ，b<c⇒a<c . 不等式的基本性质2 不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立. a>b⇒a+c>b+c ，a-c>b-c ； a<b⇒a+c<b+c ， a-c<b-c . 不等式的基本性质3 不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立. a>b ，且c>0⇒ac>bc， > ； a>b ，且c<0⇒ac<bc， < . 知识点4. 一元一次不等式的概念 1.一元一次不等式：不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式. 2.一元一次不等式的辨识关键点： （1）两边都是整式. （2）只含有一个未知数. （3）未知数的最高次数为一次. （4）用不等号连接. 注意 它与一元一次方程的最大区别在于一个是不等式，一个是等式. 知识点5. 不等式的解集 1.不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称为不等式的解. 2.解不等式：利用不等式的基本性质，把要求解的不等式变形成“x>a<”（或“x≥a”），“x<a”（或“x≤a”）的形式. 注意 “某些数是不等式的解”与“不等式的解是某些数”是两个不同的概念.如“4是 x>3的解”是正确的，而“x>3的解是4”是错误的. 知识点6. 一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的步骤如下表： 步骤 具体做法 根据 注意事项 去分母 不等式两边同时乘各分母的最小公倍数. 不等式的基本性质3. （1）不要漏乘不含分母的项；（2）若分子是多项式，去分母时要将分子作为一个整体加上括号. 去括号 一般先去小括号再去中括号，最后去大括号. 单项式乘多项式法则. 若括号外的因数是负数，去括号后原括号内的每一项都要变号. 移项 把含未知数的项都移到不等号的一边，常数项都移到不等号的另一边. 不等式的基本性质2. （1）所移的项要改变符号，不移的项不改变符号；（2）移项时，不等号的方向不改变. 合并同类项 同类项的系数相加减，字母及字母的指数不变，得ax>b(ax≥b) 或 ax<b(ax≤b)(a≠0) 合并同类项法则. 系数化为1 不等式的两边都除以 a （或乘 ），将不等式化为或 的形式. 不等式的基本性质3. 当不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变. 注意: 当 a<0 时，不等式中不等号必须改变方向，这是与解一元一次方程的不同之处. 题型巩固 题型一、不等式的定义 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期中）以下表达式：；；；；．其中不等式有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】不等式的定义 【分析】本题主要考查了不等式的定义，根据不等式的定义进行判断即可，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键． 【详解】解：是不等式； 是不等式； 是整式； 是等式； 是不等式； 综上：是不等式，共个， 故选：． 2．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）某农户今年的收入比去年至少多1.5万元，记去年的收入为万元，今年的收入为万元，则可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不等式的定义 【分析】本题主要考查列不等式，根据不等量关系，直接列出不等式即可 【详解】解：因为农户今年的收入比去年至少多1.5万元， 所以，列不等式为：， 故选：B． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）x减去y不大于，用不等式表示为 ． 【答案】 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了列不等式，关键是要抓住题目中的关键词，首先表示x减去y为，再表示“不大于”即为． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 题型二、不等式的性质 4．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查的知识点是不等式的性质，解题关键是熟练掌握不等式的性质． 根据不等式的性质对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：、，，则不成立，不符合题意，选项错误； 、∵，∴，符合题意，选项正确； 、，若，则；若，则，即不一定成立，选项错误； 、，，，则不成立，不符合题意，选项错误． 故选：． 5．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）比较大小，用“”或“”填空：若，且，则 ． 【答案】 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的运算性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的性质分析出即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴ ∴ 故答案为：． 6．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）阅读下列材料： 已知：，试比较和的大小，并说明理由． 解：，理由如下： ， （不等式的基本性质2）， （不等式的基本性质1）． 仿照阅读材料的解法，完成下列小题： 已知：若，比较和的大小，并说明理由． 【答案】，见解析 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．根据已知条件，仿照题意的解法，利用不等式的基本性质进行解答即可． 【详解】解：，理由如下： ， （不等式的基本性质3）， （不等式的基本性质1）． 题型三、一元一次不等式的定义 7．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）下列各式中，是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，不等号的左右两边都是整式，并且未知数的次数都是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A、未知数的次数不是1，不是一元一次不等式，不符合题意； B、不是不等式，不是一元一次不等式，不符合题意； C、是一元一次不等式，符合题意； D、不等式左边不是整式，不是一元一次不等式，不符合题意； 故选：C． 8．（24-25八年级上·浙江温州·期中）“m的平方比m的5倍小”用不等式表示为 ． 【答案】/ 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系是关键． x的5倍即为，小即“”，据此列不等式． 【详解】解：根据题意得： 故答案为：． 9．下列式子中，是一元一次不等式的有哪些？ （1）3x+5＝0；（2）2x+3＞5；（3）；（4）≥2；（5）2x+y≤8 【答案】（2）、（3）是一元一次不等式 【知识点】一元一次不等式的定义 【分析】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：（1）是等式；（4）不等式的左边不是整式；（5）含有两个未知数，所以不是一元一次不等式， 所以一元一次不等式有：（2）、（3） 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的识别，掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键. 题型四、不等式的解集 10．下列说法正确的是（　　） A．x＝﹣3是不等式x＞﹣2的一个解 B．x＝﹣1是不等式x＞﹣2的一个解 C．不等式x＞﹣2的解是x＝﹣3 D．不等式x＞﹣2的解是x＝﹣1 【答案】B 【知识点】不等式的解集 【分析】根据不等式解集和解的概念求解可得 【详解】解：A．x＝﹣3不是不等式x＞﹣2的一个解，此选项错误； B．x＝﹣1是不等式x＞﹣2的一个解，此选项正确； C．不等式x＞﹣2的解有无数个，此选项错误； D．不等式x＞﹣2的解有无数个，此选项错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查不等式的解集，不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示，不等式的每一个解都在它的解集的范围内. 11．关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 【答案】(1)a=1； (2)a≥1． 【知识点】不等式的解集 【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可； （2）根据不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求出a的范围即可． 【详解】（1）解：由x+1<7−2x得：x＜2， 由−1+x<a得：x＜a+1， 由两个不等式的解集相同，得到a+1=2， 解得：a=1； （2）解：由不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解， 得到2≤a+1， 解得：a≥1． 【点睛】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解． 题型五、求一元一次不等式的解集 12．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质逐步计算即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 13．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）不等式的解是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题关键．将不等式两边同时除以2，即可求解． 【详解】解：， ， 即不等式的解是， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）下面是小明解一元一次不等式的解题过程，他的求解过程是否有误，如果有误请写出错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 两边都除以得：⑤ (1)小明的解答过程从第_______步开始出现错误．（只填序号） (2)正确的解答过程． 【答案】(1)① (2)，过程见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）第①步中，去分母时不等号右边的2没有乘以6，据此可得答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得，小明的解答过程从第①步开始出现错误，错误原因是去分母时不等号右边的2没有乘以6； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 题型六、求一元一次不等式的整数解 15．（24-25八年级上·浙江温州·期末）不等式的非负整数解有（ ）个 A．3 B．4 C．2 D．5 【答案】B 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可． 本题主要考查了一元一次不等式的整数解，掌握非负整数包括0和正整数是解题的关键． 【详解】解：不等式的解集为， 它的非负整数解为0，1，2，3，共有4个． 故选：B 16．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）满足不等式的最小整数解是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解．先求出不等式的解集，再求出整数解即可． 【详解】解：解不等式，得， 所以最小整数解是． 故答案为：． 17．（2023八年级上·浙江·专题练习）求不等式的非负整数解． 【答案】0，1 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】根据去分母，移项，合并同类项，求出不等式的解集，即可求出． 【详解】解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得． ∴不等式的非负整数解是0，1． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，熟记运算法则是关键． 题型七、在数轴上表示不等式的解集 18．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图所示，在数轴上表示不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解题的关键． 根据在数轴上表示不等式组解集的方法进行解答即可． 【详解】解：∵1处为实心圆点，且折线向向右， ∴． 故选：B． 19．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）已知关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】直接根据数轴写出答案即可． 【详解】解：这个不等式的解集是：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 20．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）解下列不等式． (1)，并将解表示在数轴上； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2) 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． （1）不等式移项，合并同类项，把系数化为，求出解集，表示在数轴上即可； （2）根据解一元一次不等式的步骤去分母、去括号、移项、合并同类项系数化为1，求解即可． 【详解】（1）解：移项得：， 合并同类项得：， 原不等式的解集是； 在数轴上表示为：   （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 题型八、求一元一次不等式解的最值 21．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式解的最值 【分析】先求出不等式的解集，然后根据的解都是不等式的解进行求解即可． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式的解都是不等式的解， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，正确求出不等式的解集是解题的关键． 22．已知当时的最小值为，当时的最大值为，则 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式解的最值 【分析】本题主要考查了不等式的解．根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为， ∴， ∴， 故答案为：． 23．已知：是不等式的最大整数解，是不等式的最小整数解，求的值． 【答案】1 【知识点】求一元一次不等式解的最值 【分析】先解关于的一元一次不等式，根据其解集求得最大整数解，从而确定的值，同理求得的值，进而求得代数式值． 【详解】解：不等式的解集，则最大整数解； 不等式的解集，则最小整数解； 则． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，求不等式解集的最值，通过解一元一次不等式求得的值是解题的关键． 题型九、解|x|≥a型的不等式 24．若|2a﹣6|＞6﹣2a，则实数a的取值范围是 ． 【答案】a＞3． 【知识点】解|x|≥a型的不等式 【分析】分三种情况考虑：当2a﹣6＞0，2a﹣6=0，与2a﹣6＜0时，利用绝对值的代数意义化简，即可求出a的范围． 【详解】解：当2a﹣6＞0，即a＞3时，不等式变形为2a﹣6＞6﹣2a， 解得：a＞3； 当2a﹣6＝0，即a＝3时，不等式不成立； 当2a﹣6＜0，即a＜3时，不等式不成立， 综上，实数a的范围为a＞3． 故答案为：a＞3． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及绝对值的代数意义，利用了分类讨论的数学思想，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的而关键． 25．解不等式： 【答案】x＜-5或x＞1 【知识点】解|x|≥a型的不等式 【分析】根据相应的x的特殊值进行分段，从而去绝对值化简，再分别求解，最后将解集合并． 【详解】解：令，解得：x=±4， 令，解得：x=， ∴当x＜-4时，， 解得：x＜-5， ∴此时x＜-5； 当-4≤x＜时，， 解得：x＜-7， ∴此时无解； 当≤x＜0时，， 解得：x＞， ∴此时无解； 当0≤x＜4时，， 解得：x＞1， ∴此时1＜x＜4； 当x≥4时，， 解得：x＞3， ∴此时x≥4； 综上：不等式的解集为：x＜-5或x＞1． 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，解题时要结合绝对值的意义进行分段，分别求解，注意最后要合并解集． 分层强化 一、单选题 1．不等式的解集在数轴上的表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，数轴上的点把数在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示，“”，“”要用空心圆点表示，向右画；向左画，据此可得答案． 【详解】解：不等式的解集在数轴上的表示如下所示： ， 故选：C． 2．下列不等式中,不含有这个解的是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式，判断特定值是否为不等式的解，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 分别求出各选项中不等式的解集，再判断哪个不等式的解集不含，即可得到答案． 【详解】解：由不等式得， 不是不等式的解， 故选项A符合题意； 由得， 是不等式的解， 故选项B不符合题意； 由得， 是不等式的解， 故选项C不符合题意； 由得， 是不等式的解， 故选项D不符合题意； 故选：A． 3．若关于的不等式可变形为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式的两边同乘或同除一个正数或式子，不等号的方向不变． 根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：关于的不等式可变形为， ． 故选：B． 4．不等式的解集是．则a应满足的条件是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查不等式的性质以及解一元一次不等式，解题的关键是熟知不等式两边同时乘以或除以一个负数不等号要改变方向是解题的关键．根据不等式的性质，发现不等号方向改变了，说明两边同时乘或除了一个负数，由此即可得出 ，解一元一次不等式求出的范围即可． 【详解】由含有a的不等式的解集为：， 根据不等式的基本性质3，可知，解得. 故选B. 5．若实数，则实数，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查学生对利用不等式比较大小的方法的灵活使用情况，利用作差法分别比较即可． 【详解】解：∵， ， ， ，， 而， ， ， 故选：B． 6．已知关于的方程组，其中，给出下列结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②当时，的值互为相反数；③若，则；④是方程组的解，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，解二元一次方程组．解方程组得，①把代入求得，，即可判断；②把代入求得，，即可判断；③当时，求得，则，即即可判断．④将代入，结合可判断得出结论． 【详解】解：∵， 解得：， ①把代入求得， 此时，， 即，是方程的解，故①正确； ②当时，，， ∴x，y的值互为相反数；故②正确； ③当时，，解得， ∴， ∴，即；故③正确； ④当时，且， 解得，与矛盾，则④错误． 综上可知，正确的是①②③，共3个， 故选：C． 二、填空题 7．不等式的负整数解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的负整数即可． 【详解】解：， 移项得：， 把x的系数化为1得：， ∴负整数解有：， 故答案为：． 8．现规定一种运算：，其中a，b为常数，若，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 先根据新定义列出关于的方程，解之求出的值，再根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为 1 可得． 【详解】解：∵， ， 解得， 所以不等式为， ， 解得， 故答案为：． 9．关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及不等式性质的应用，解题的关键是根据已知不等式的解集确定系数的正负关系和a与b的数量关系，再代入所求不等式求解． 先将已知不等式整理为标准形式，根据解集的不等号方向判断未知数系数的正负；再结合解集的具体值建立等式，求出a与b的关系；接着根据系数正负确定b的符号；最后将a用b表示代入所求不等式，判断其未知数系数的正负，进而求解不等式． 【详解】解：对不等式整理得：． ∵该不等式的解集为， ∴不等号方向改变，即且． 由得： 展开得： 移项合并得：即． ∵代入得： ∴则． 对不等式将代入： 左边系数： 右边常数： 不等式化为：． ∵ ∴ 不等式两边同时除以（正数），不等号方向不变，． 故答案为：． 10．按如下程序进行运算：并规定，程序运行到“结果是否大于65”为一次运算，且运算进行4次才停止．则可输入的整数x的个数是 【答案】4 【分析】根据程序可以列出不等式组，即可确定x的整数值，从而求解． 【详解】解：根据题意得：第一次：2x-1， 第二次：2（2x-1）-1=4x-3， 第三次：2（4x-3）-1=8x-7， 第四次：2（8x-7）-1=16x-15， 根据题意得： 解得：5＜x≤9． 则x的整数值是：6，7，8，9． 共有4个． 故答案是：4． 【点睛】本题主要考查了列不等式组解实际问题，正确理解程序，列出不等式组是解题关键． 三、解答题 11．已知是关于x的一元一次不等式，求b的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握只含有一个未知数，且未知数的次数为1的不等式是一元一次不等式是解题的关键．根据一元一次不等式的定义，即可求解． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得：． 故答案为：1． 12．解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式．按照解一元一次不等式的步骤求出不等式的解集即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 13．解不等式，并写出它的自然数解． 【答案】，或1 【分析】本题考查解一元一次不等式及自然数解，掌握知识点是解题的关键． 根据一元一次不等式的解题步骤：去分母，移项，合并同类项，系数化为1，逐步计算即可． 【详解】解： 去分母，得． 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 则该不等式的自然数解为或1． 14．试比较与的大小． 【答案】 【分析】利用作差法，结合非负性的应用解答即可． 本题考查了多项式的大小比较，实数的非负性的应用，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， ， ． 15．解不等式：，并写出它的负整数解 【答案】， 【分析】本题考查求不等式的整数解，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，进而求出负整数解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ∴， ∴不等式的负整数解为：． 16．已知三个正整数a，b，c满足，且，求a，b，c． 【答案】，，． 【分析】此题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解答此题的关键．先由，且，，为正整数得，则，，由此可得，则，进而可得，同理得，则，结合可得，进而再求出的值即可． 【详解】解：，且，，为正整数， ， ， 又， ，， ，， 即：， ， 将代入，得：， 同理：，则， ， ， 将代入，得：， 综上所述：，，， 17．解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键． （1）将不等式移项合并，把系数化为1，即可求出解集． （2）将不等式去分母、移项合并，把系数化为1，即可求出解集． 【详解】（1）解： （2）解： 18．解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，解集在数轴上表示见解析； (2)，解集在数轴上表示见解析． 【分析】此题考查了解一元一次不等式，数轴上表示解集，熟练掌握不等式的解法是解题的关键． （）利用去括号，移项，合并同类项，系数化为，求出解集，然后在数轴上表示解集即可； （）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，求出解集，然后在数轴上表示解集即可． 【详解】（1）解： ， 解集在数轴上表示如下， ； （2）解： ， 解集在数轴上表示如下， ． 19．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1) (2) (3) 【答案】(1)，见详解 (2)，见详解 (3)，见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，在数轴上表示该不等式的解集，即可作答． （2）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，在数轴上表示该不等式的解集，即可作答． （3）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，在数轴上表示该不等式的解集，即可作答． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化1，得； ∴在数轴上表示出来： （2）解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得， 系数化1得，； ∴在数轴上表示出来： （3）解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化1得，． ∴在数轴上表示出来： 学科网（北京）股份有限公司 $