3.2.1 代数式（基础讲义） 2025--2026学年青岛版数学七年级上册

本讲义聚焦“代数式”核心知识点，通过图书角图书数量、图形面积等实际问题导入，抽象出代数式概念，再通过列代数式、文字语言与代数式互化、设计实际情境解释意义等活动，构建“实际问题—概念建构—技能应用”的学习支架。 资料亮点在于以新课标核心素养为导向，情境导入培养数学眼光，分层活动（自主探究、易错警示）提升数学思维，实际意义设计发展数学语言。如例7通过班级人数、圆半径情境解释a+2，课中助教师高效授课，课后供学生查漏补缺。

2024新版·7年级上册数学讲义·青岛版 第3章 代数式 3.2 代数式 用字母可以简明地表示数和数量关系，本节将继续研究相关问题。 导入新课 用含有字母的式子来表示下列题目中的数量关系。 问题: (1)某班图书角有文学类图书x本，科普类图书比文学类图书的2倍少5本。用式子表示科普类图书的本数。 图3.2-1 (2)图3.2-1中有大小两个正方形,用式子表示阴影 部分的面积。 (3) 一条河的水流速度是2 km/h,船在静水中的速度 是v km/h。设该船在这条河中顺水行驶t ，用式子 表示行驶的路程。 （1）2x-5 （2）- （3）（v+2）t 在这些问题中,字母可以像数一样参与运算,由此得到含字母的式子,这节课我们就来研究这些式子。 新知探究 活动一: 自主探究代数式的概念 问题1: 观察下列式子: x-y, a, , 6, 2x-5, , (v+2)t。 它们有什么特点? 概括与表达 像这样用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫作代数式。 特别地,单独的一个数或一个表示数的字母也是代数式。 着数的范围扩充至有理数，字母不仅可以表示正数和0，也可以表示负数。字母可以像数一样参与运算。 运算符号包括加、减、乘、除、乘方、开方（以后学到） 注意： （1） 代数式中不含“=”“＞”“＜”“≥”“≤”“≠”（读作不等于）等关系符号。如t=不是代数式，但t和都是代数式。 （2） 代数式中只包含加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算，含有其他运算的式子，如|x|不是代数式。 例1 指出下列各式中哪些是代数式，哪些不是代数式。 （1）0； （2）a； （3）2a-1；（4）y=1;（5）π； （6）abc；（7）3x+1＞5；（8）；（9）a（b+c）=ab+ac。 方法技巧：“两看识别代数式” 代数式的识别只需“两看”： （1）看它是不是单独的数或字母； （2）看它是不是只用运算符号（不能含有“相等”或“大小”关系的符号）连接的式子。 解：（1）（2）（3）（5）（6）（8），（4）（7）（9）不是代数式。 活动二: 列代数式 例2 设字母x表示甲数,字母y表示乙数,用代数式表示: (1)甲数的3倍与乙数的2倍的和; (2)甲数与乙数的差的一半。 解：（1）3x+2y。 （3） (x-y)。 概念讲解 在例2中，“甲数的3倍与乙数的2倍的和”及“甲数与乙数的差的一半”都是用文字来表达数量关系，这样的语言称为文字语言（或自然语言），而3x+2y与(x-y)是用数、字母、运算符号及表示运算顺序的括号来表达数量关系，这样的语言称为符号语言。 列代数式的意义：列代数式就是把问题中的文字语言转化为符号语言，把与数量有关的语句用含有数、字母和运算符号的式子表示出来。 例3 用代数式表示： （1）某数的3倍与2的差的平方； （2）三个连续偶数的和。 分析: 例2中,题目已经给出用字母表示的数,而例3还没有给出字母来表示有关的数,需要自己设字母。 解:(1)如果用x表示某数,那么某数的3倍与2的差的平方可以表示为。 (2)如果用2n(n为整数)表示三个连续偶数中的第二个,那么这三个数由小到大依次表示为2n-2,2n,2n+2。所以它们的和是(2n-2)+2n+(2n+2)。 例4 用代数式表示： （1） a,b两数的和的2倍乘a与b的2倍的和所得的积； （2） x,y两数平方的和除以3的商； （3） x,y两数和的平方除3的商。 注意： 本例题（2）（3）中的“除以”与“除”是两个不同的概念，“m除以n”是，而“m除n”是。 分析： （1） a,b两数的和的2倍为2（a+b）,a与b的2倍的和为a+2b,则所求的积为b先乘2再与a求和 先求和再乘2 2（a+b）a+2b。 （2） x,y两数平方的和为+，则所求的商为。先分别平方再求和 （3） x,y两数和的平方为，则所求的商为。 先求和再平方 解：（1）2（a+b）a+2b。（2）。（3）。 易错警示： 弄不清数量关系致错 由于用文字语言表达的数量关系，句子中大都会出现“的”字，因此在列代数式时，可利用文字语言中中的“的”字，将句子分成几个层次，逐层分析，一步步地列出代数式。例2（1）中a,b两数的和的2倍，即2（a+b）,而a与b的2倍的和，即a+2b，容易弄错。 补充知识点 列代数式常用的方法与技巧 方法 注意点 举例 抓住题目的关键词语，弄清各数量之间的关系 常用关键词: 和、差、乘积、商、平方、倒数、多、少、大、小、几倍、几分之几、增加(到)、减少(到)扩大、缩小、除以、除等。 如表示“a,b两数的和与b的平方的2倍的乘积”，所列代数式为2(a+b) 明确运算的先后顺序,一般要遵循“先读先写” 运算关系的先后通常与语言叙述的先后有关。 如“和的乘积”是“先加后乘”,“乘积的和”是“先乘后加”;“平方的和”是“先平方后求和”,而“和的平方”是“先求和再平方”等 把握问题的层次关系,注意“的”字的分层作用 在书写过程中层与层之间要适当地添加括号。 如表示“比x与y的差的一半小2m的数”,问题中“的”字把句子分成三层，一是x与y的差，二是差的一半，三是比差的一半小2m,分清层次后所列代数式为(x-y)-2m 正确使用大小括号, 先括号内,后括号外;先小括号,后中括号,最后大括号 加括号时，一般要与叙述顺序相一致。 如“3与x的差的2倍与y的差与ab的乘积”，所列代数式为 ab [2(3-x)-y] 活动三: 用文字语言表示代数式 例5 用文字语言表示下列代数式： (1); (2)+。 想一想：上面的两个代数式如何读? 小知识：代数式的读法 （1）按运算结果来读，如a+b读作“a与b的和”，a-7读作“a与7的差”； （2）按运算顺序来读，如2a+1读作“a的2倍加1”，a-7读作“a减7”。 解: (1) 表示a与b的和的平方。 (2) +表示a,b两个数的平方和。 例6 用文字语言表示下列代数式： (1)2a-b； (2)+； (3)1- (4)。 分析：解决这类问题，要以不引起歧义为前提，灵活运用和、差、乘积、商、倍、倒数等词语，注意搞清运算顺序。 解：（1）2a-b表示a的两倍与b的差。（2）+表示m,n两数的立方和。 （3）1-表示1与t的倒数的差。（4）表示x,y两数和的立方。 点拨：把符号语言转化成文字语言，应弄清楚运算顺序，根据“先算先读”原则，如例3（4）中，先算括号内的，再算乘方，故表示“x,y两数和的立方”。 活动四: 代数式的实际意义 例7 请设计两个不同的情境,解释代数式a+2的意义。 提示：设计代数式所表示的实际意义时，数与字母的含义必须与生活或生产实际相符合，不能与生活实际矛盾，数量关系必须与原代数式相一致。 解: （该题答案不唯一,合理解释即可。） 设某班原有a名学生,新学期转来2名新生,则该班现有(a+2)名学生。 一个圆的半径为a cm.将半径增加2 cm.则圆的半径变为(a+2) cm。 例8 结合实际例子解释下列代数式的意义： （1）4; （2）（1-5%）x。 分析：结合生活实际或几何图形的意义进行合理解释。 解：（答案不唯一。） （1）4可以解释为4个边长为a的正方向的面积和是4。 （2）（1-5%）x可以解释为：某件商品的原价为x元，按照降价5%进行促销，降价后这件商品的售价为（1-5%）x。 练习（p69） 1. 用代数式表示： （1）a的5倍与b的商; （2）a的相反数与b的倒数的和; （3）比x的平方少1的数。 解： (1) 。 （2）-a + 。（3）-1。 2. 用文字语言表示下列代数式： （1）4x-3y; （2）-ab； （3） （4）-。 解：（1）x的4倍与y的3倍的差。 （2）a的平方与a，b两数的乘积的差。 （3）a，b两数差的平方。 （4）a，b两数的平方差。 3. 请设计不同的情境，解释代数式2（x+y）的意义。 解：如：每个足球x元，每个篮球y元，各买2个要花的费用是2（x+y）。 长方形的长为x，宽为y，则长方形的周长为2（x+y）。 重点内容总结 代数式的意义 描述代数式的语言 代数式的读法 按运算顺序读 按运算结果读 按运算顺序读 按运算结果读 正确使用括号 理清问题层次关系 明确运算顺序，要“先读先写” 列代数式 抓住语句中的关键词 代数式的概念 用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫作代数式 单独的一个数或一个表示数的字母也是代数式 注意 代数式 1 学科网（北京）股份有限公司 $