第14章 全等三角形 章节（9知识点回顾+20题型巩固）（讲义）-2025-2026学年沪科版八年级数学上册满分全攻略备考系列

第14章 全等三角形 章节（9知识点回顾+20题型巩固） 目录 知识梳理 1.全等形 2.全等三角形 3.全等三角形的性质 4.基本事实“边角边”或“SAS” 5.基本事实“角边角”或“ASA” 6.基本事实“边边边”或“SSS” 7.“角角边”或“AAS” 8.用尺规作一个角等于已知角 9.“斜边、直角边”或“HL” 题型巩固 一、图形的全等 二、将已知图形分割成几个全等图形 三、全等三角形的概念 四、全等三角形的性质 五、用SSS证明三角形全等 六、用SSS间接证明三角形全等 七、全等的性质和SSS综合 八、用SAS证明三角形全等 九、全等的性质和SAS综合 十、尺规作一个角等于已知角 十一、用ASA（AAS）证明三角形全等 十二、全等的性质和ASA（AAS）综合 十三、用HL证全等 十四、全等的性质和HL综合 十五、添加条件使三角形全等 十六、灵活选用判定方法证全等 十七、倍长中线模型 十八、旋转模型 十九、垂线模型 二十、其他模型 知识梳理 知识点1.全等形 1. 定义 能够完全重合的两个图形叫作全等形 . 全等形的特征：两相同与两无关 . (1)两相同：①形状相同；②大小相同 . (2)两无关：①与位置无关；②与方向无关 . 2. 全等变换的常见方式 平移、翻折、旋转 . 知识点2.全等三角形 1. 全等三角形的相关概念 (1)全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形，也称这两个三角形全等. (2)全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫作对应顶点. ②对应边：全等三角形中互相重合的边叫作对应边. ③对应角：全等三角形中互相重合的角叫作对应角. 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 3. 常见三角形的全等变换(如图14.1-3) 4. 对应元素的确定方法 (1)图形特征法： ①最长边对最长边，最短边对最短边. ②最大角对最大角，最小角对最小角. ③相等的边(角)为对应边(角). (2)位置关系法： ①公共角(对顶角)为对应角，公共边为对应边. ②对应角的对边为对应边，两个对应角所夹的边是对应边. ③对应边的对角为对应角，两条对应边所夹的角是对应角. (3)字母顺序法： 根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角. 知识点3.全等三角形的性质 1. 性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 几何语言：∵△ABC≌△DEF， 2. 拓展 全等三角形的对应元素相等. 全等三角形中的对应元素包括对应边、对应角、对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线、周长、面积等. 知识点4.基本事实“边角边”或“SAS” 1. 基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”). 2. 书写格式：如图14.2-1， 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， 把三个条件按顺序排列，并用大括号将其括起来 ∴△ ABC ≌△ A′B′C′(SAS). 知识点5.基本事实“角边角”或“ASA” 1. 基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 2. 书写格式：如图14.2-4， 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′( ASA). 知识点6.基本事实“边边边”或“SSS” 1. 已知三边作三角形 要求 作法 图示 用直尺和圆规作△ABC， 使AB＝c，AC＝b，BC＝ ①作线段BC＝， ② 分别以点B，C为圆心，c，b的长为半径画弧，两弧相交于点A； ③连接AB，AC. △ABC就是所求作的三角形 2. 基本事实：三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”). 这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定. 这是说明三角形具有稳定性的依据. 知识点7.“角角边”或“AAS” 1. 定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”). 2. 书写格式：如图14.2-6， 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′(AAS). 3.“ASA”和“AAS”的区别与联系 “S”的意义 书写格式 联系 ASA “S”是两角的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 由三角形内角和定理可知，“AAS”可由“ASA”推导得出 AAS “S”是其中一角的对边 把两角相等写在一起，边相等放在最后 知识点8.用尺规作一个角等于已知角 用尺规作一个角等于已知角 已知∠ AOB(如图14.2 - 10 ①)，求作∠A′O′B ′，使∠A′O′B′＝∠AOB ，并证明. 作法：(1)以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C，D； (2)作一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC为半径作弧，交O′A′于点C′； (3)以点C′为圆心，CD为半径画弧，与上一步作的弧相交于点D′； (4)过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求作的角(如图14.2-10 ②). 证明：连接CD，C′D′. 由作法(1)(2)可知OC=OD=O′C′； 由作法(3)可知CD=C′D′，O′C′=O′D′， ∴ OD=O′D′.∴△ OCD ≌△ O′C′D′(SSS). ∴∠AOB=∠A′O′B′. 知识点9.“斜边、直角边”或“HL” 1. 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 2. 书写格式：如图14.2-14， 在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′(HL). 3. 判定两个三角形全等常用的思路方法 已知对应相等的元素 可选择的判定方法 需寻找的条件 锐角三角形或钝角三角形 两边(SS) SSS 或SAS 可证第三边对应相等或证两边的夹角对应相等 一边及其邻角(SA) SAS 或ASA或AAS 可证已知角的另一边对应相等或证已知边的另一邻角对应相等或证已知边的对角对应相等 锐角三角形或钝角三角形 一边及其对角(SA) AAS 可证另一角对应相等 两角(AA) ASA 或AAS 可证两角的夹边对应相等或证一相等角的对边对应相等 直角三角形 一锐角(A) ASA 或AAS 可证直角与已知锐角的夹边对应相等或证已知锐角(或直角)的对边对应相等 斜边(H) HL 或AAS 可证一条直角边对应相等或证一锐角对应相等 一直角边(L) HL 或ASA 或AAS 或SAS 可证斜边对应相等或证与已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等或证另一直角边对应相等 题型巩固 题型一、图形的全等 1．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）年月日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年纪念日．在阅兵空中梯队中，多种国产先进飞机亮相．下列飞机中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 2．对于两个图形，有下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相同．其中能得到这两个图形全等的结论共有 个． 题型二、将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 3．下列图标中，不是由全等形组合成的是（   ） A． B． C． D． 4．在中，，，请将其分成三个三角形，使之符合： (1)三个三角形是全等的直角三角形． (2)三个三角形均为等腰三角形． 分别在图1、图2中画出分割线，并标出三角形的角度． 题型三、全等三角形的概念 5．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）下列命题①两个三角形全等，它们的形状相同；②两个三角形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个三角形全等；④周长相等的两个三角形全等．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在中，线段的端点位于平面直角坐标系的网格点上，点C的坐标为． （1）请在平面直角坐标系中，画出，使得与全等；（画出所有可能，点C，不重合） （2）直接写出点的坐标． 题型四、全等三角形的性质 7．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，若，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，，在边上，，，则的度数为 ． 9．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）已知：如图，，，，、相交于点F， (1)求的度数； (2)求的度数． 题型五、用SSS证明三角形全等 10．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，，可直接利用“”判定（    ） A． B． C． D． 11．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且、已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是 ． 12．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，点在同一条直线上，且，求证：． 题型六、用SSS间接证明三角形全等 13．如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（  　） A． B． C． D． 14．如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 题型七、全等的性质和SSS综合（SSS） 15．如图，线段与交于点，且，则下面的结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 16．（22-23八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，点D，E分别为边上的点，且，求的度数．    题型八、用SAS证明三角形全等（SAS） 17．如图，，点D，E分别是的中点，则判定与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 18．如图，，，垂足分别为，，，，点为边上一动点，当 时，形成的与全等． 19．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）已知：如图，与，，，是的中线，是的中线，且．求证：． 题型九、全等的性质和SAS综合（SAS） 20．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长相等的小正方形组成的图形中，（    ） A． B． C． D． 21．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，，，，，若，则的度数是 ． 22．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知点B，C在线段上，，求证：． 题型十、尺规作一个角等于已知角 23．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，则说明，两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D．不能确定 24．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）航模小组在设计支架时，需要解决以下几何问题，已知夹角为，点位于射线上，点位于射线上． (1)尺规作图：需在内部确定一点，使得且．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）中，连接，仅用无刻度直尺在上确定一点，使得（即为中点），并证明作法的正确性． 题型十一、用ASA（AAS）证明三角形全等 25．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，，则判定和全等的依据是（    ）    A． B． C． D． 26．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，、、三点在同一条直线上， ，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型十二、全等的性质和ASA（AAS）综合 27．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，于点E，于点D，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 28．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，，，，，，则 ． 29．如图，在中，，，于，于，，，求的长．    题型十三、用HL证全等 30．如图，于点D，于点F，要根据“”证明，则还需要添加的条件是（    ）    A． B． C． D． 31．如图，，，，，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段和射线上运动，且，当 时，以点A，P，Q为顶点的三角形与全等．    题型十四、全等的性质和HL综合 32．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，点在边上，，于点，．若，，的面积是，则线段的长为（   ） A．13 B．15 C．16 D．18 33．（24-25八年级·安徽宿州·阶段练习）如图，，，且，求证：． 题型十五、添加条件使三角形全等 34．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点是延长线上一点，已知，要使，只需再添加的一个条件，不可以是（   ） A． B．平分 C． D． 35．如图，，请补充一个条件： 使． 题型十六、灵活选用判定方法证全等 36．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）在与中，．下列条件中，不能判断两个三角形全等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 37．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在四边形中，，．求图中有几对全等三角形？并选其中一对加以证明． 题型十七、倍长中线模型 38．（22-23八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在中，，，是边上的中线，则的长度可能为（    ） A．1 B．2 C．5 D．8 39．如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围． （1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD． ①请证明△CED≌△ABD； ②中线BD的取值范围是 　 　． （2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由． 题型十八、旋转模型 40．如图甲，已知ΔABC和ΔCEF是两个不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE. （1）线段AF和BE有怎样的大小关系？证明你的猜想. （2）将图中的ΔCEF绕点C旋转一定的角度，得到图乙，（1）中的结论还成立吗？ 做出判断并说明理由. 题型十九、垂线模型 41．如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为 ．    42．已知和是两个等腰直角三角形，.连接，是的中点，连接、． (1)如图，当与在同一直线上时，求证：； (2)如图，当时，求证：． 题型二十、其他模型 43．如图，已知点，一个以为顶点的角绕点旋转，角的两边分别交轴正半轴，轴负半轴于、，连接．当△直角三角形时，点的坐标是 ． 44．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C= 90°，AB>CD，AD=AB+CD． (1)利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE． (保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，求证:AE⊥DE． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第14章 全等三角形 章节（9知识点回顾+20题型巩固） 目录 知识梳理 1.全等形 2.全等三角形 3.全等三角形的性质 4.基本事实“边角边”或“SAS” 5.基本事实“角边角”或“ASA” 6.基本事实“边边边”或“SSS” 7.“角角边”或“AAS” 8.用尺规作一个角等于已知角 9.“斜边、直角边”或“HL” 题型巩固 一、图形的全等 二、将已知图形分割成几个全等图形 三、全等三角形的概念 四、全等三角形的性质 五、用SSS证明三角形全等 六、用SSS间接证明三角形全等 七、全等的性质和SSS综合 八、用SAS证明三角形全等 九、全等的性质和SAS综合 十、尺规作一个角等于已知角 十一、用ASA（AAS）证明三角形全等 十二、全等的性质和ASA（AAS）综合 十三、用HL证全等 十四、全等的性质和HL综合 十五、添加条件使三角形全等 十六、灵活选用判定方法证全等 十七、倍长中线模型 十八、旋转模型 十九、垂线模型 二十、其他模型 知识梳理 知识点1.全等形 1. 定义 能够完全重合的两个图形叫作全等形 . 全等形的特征：两相同与两无关 . (1)两相同：①形状相同；②大小相同 . (2)两无关：①与位置无关；②与方向无关 . 2. 全等变换的常见方式 平移、翻折、旋转 . 知识点2.全等三角形 1. 全等三角形的相关概念 (1)全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形，也称这两个三角形全等. (2)全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫作对应顶点. ②对应边：全等三角形中互相重合的边叫作对应边. ③对应角：全等三角形中互相重合的角叫作对应角. 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 3. 常见三角形的全等变换(如图14.1-3) 4. 对应元素的确定方法 (1)图形特征法： ①最长边对最长边，最短边对最短边. ②最大角对最大角，最小角对最小角. ③相等的边(角)为对应边(角). (2)位置关系法： ①公共角(对顶角)为对应角，公共边为对应边. ②对应角的对边为对应边，两个对应角所夹的边是对应边. ③对应边的对角为对应角，两条对应边所夹的角是对应角. (3)字母顺序法： 根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角. 知识点3.全等三角形的性质 1. 性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 几何语言：∵△ABC≌△DEF， 2. 拓展 全等三角形的对应元素相等. 全等三角形中的对应元素包括对应边、对应角、对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线、周长、面积等. 知识点4.基本事实“边角边”或“SAS” 1. 基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”). 2. 书写格式：如图14.2-1， 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， 把三个条件按顺序排列，并用大括号将其括起来 ∴△ ABC ≌△ A′B′C′(SAS). 知识点5.基本事实“角边角”或“ASA” 1. 基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 2. 书写格式：如图14.2-4， 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′( ASA). 知识点6.基本事实“边边边”或“SSS” 1. 已知三边作三角形 要求 作法 图示 用直尺和圆规作△ABC， 使AB＝c，AC＝b，BC＝ ①作线段BC＝， ② 分别以点B，C为圆心，c，b的长为半径画弧，两弧相交于点A； ③连接AB，AC. △ABC就是所求作的三角形 2. 基本事实：三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”). 这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定. 这是说明三角形具有稳定性的依据. 知识点7.“角角边”或“AAS” 1. 定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”). 2. 书写格式：如图14.2-6， 在△ ABC 和△ A′B′C′ 中， ∴△ ABC ≌△ A′B′C′(AAS). 3.“ASA”和“AAS”的区别与联系 “S”的意义 书写格式 联系 ASA “S”是两角的夹边 把夹边相等写在两角相等的中间 由三角形内角和定理可知，“AAS”可由“ASA”推导得出 AAS “S”是其中一角的对边 把两角相等写在一起，边相等放在最后 知识点8.用尺规作一个角等于已知角 用尺规作一个角等于已知角 已知∠ AOB(如图14.2 - 10 ①)，求作∠A′O′B ′，使∠A′O′B′＝∠AOB ，并证明. 作法：(1)以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C，D； (2)作一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC为半径作弧，交O′A′于点C′； (3)以点C′为圆心，CD为半径画弧，与上一步作的弧相交于点D′； (4)过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求作的角(如图14.2-10 ②). 证明：连接CD，C′D′. 由作法(1)(2)可知OC=OD=O′C′； 由作法(3)可知CD=C′D′，O′C′=O′D′， ∴ OD=O′D′.∴△ OCD ≌△ O′C′D′(SSS). ∴∠AOB=∠A′O′B′. 知识点9.“斜边、直角边”或“HL” 1. 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 2. 书写格式：如图14.2-14， 在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′ 中， ∴ Rt△ABC≌ Rt△A′B′C′(HL). 3. 判定两个三角形全等常用的思路方法 已知对应相等的元素 可选择的判定方法 需寻找的条件 锐角三角形或钝角三角形 两边(SS) SSS 或SAS 可证第三边对应相等或证两边的夹角对应相等 一边及其邻角(SA) SAS 或ASA或AAS 可证已知角的另一边对应相等或证已知边的另一邻角对应相等或证已知边的对角对应相等 锐角三角形或钝角三角形 一边及其对角(SA) AAS 可证另一角对应相等 两角(AA) ASA 或AAS 可证两角的夹边对应相等或证一相等角的对边对应相等 直角三角形 一锐角(A) ASA 或AAS 可证直角与已知锐角的夹边对应相等或证已知锐角(或直角)的对边对应相等 斜边(H) HL 或AAS 可证一条直角边对应相等或证一锐角对应相等 一直角边(L) HL 或ASA 或AAS 或SAS 可证斜边对应相等或证与已知边相邻的锐角对应相等或证已知边所对的锐角对应相等或证另一直角边对应相等 题型巩固 题型一、图形的全等 1．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）年月日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年纪念日．在阅兵空中梯队中，多种国产先进飞机亮相．下列飞机中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形的定义：大小一样，形状相同的两个图形称为全等图形，求解即可． 【详解】解：A、B、C中形状相同，但大小不同，不符合题意； D中大小一样，形状相同，符合题意； 故选：D． 2．对于两个图形，有下列结论：①两个图形的周长相等；②两个图形的面积相等；③两个图形的周长和面积都相等；④两个图形的形状相同，大小也相同．其中能得到这两个图形全等的结论共有 个． 【答案】1 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查了全等形的概念，熟练掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．强调能够完全重合，对各项进行验证可得答案． 【详解】解：①周长相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等； ②面积相等的两个图形不一定重合，所以不一定全等； ③如果周长相同面积相同而形状不同，则不全等， ④两个图形的形状相同，大小也相等，则二者一定重合，正确． 所以只有1个正确， 故答案为：1． 题型二、将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 3．下列图标中，不是由全等形组合成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 【分析】根据全等图形的概念分析即可． 本题考查了全等图形，熟练掌握能够完全重合的两个图形是全等图形是解题的关键． 【详解】解：A、该图像是由四个全等的图形构成，故该选项不符合题意； B、该图像是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意； C、该图像不是由全等图形构成，故该选项符合题意； D、该图像是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．在中，，，请将其分成三个三角形，使之符合： (1)三个三角形是全等的直角三角形． (2)三个三角形均为等腰三角形． 分别在图1、图2中画出分割线，并标出三角形的角度． 【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【知识点】将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 【分析】先将点C对折到点E，将对折后的纸片再沿DE对折.此题要理解折叠的实质是重合，根据重合可以得到BC＝BE，AD＝BD，∠DBE＝∠DAE＝30°，∠BDE＝∠ADE＝60°，∠AED＝∠BED＝90°. 【详解】(1) 如下图1 (2) 如下图2 . 【点睛】本题考查折叠问题，此题要理解折叠的实质是重合，要求学生理解折叠的实质是解题的关键. 题型三、全等三角形的概念 5．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）下列命题①两个三角形全等，它们的形状相同；②两个三角形全等，它们的大小相同；③面积相等的两个三角形全等；④周长相等的两个三角形全等．其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】全等三角形的概念 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握能够完全重合的两个三角形是全等三角形是解题的关键，根据全等三角形的性质和判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：两个三角形全等，它们的形状相同；故①正确； 两个三角形全等，它们的大小相同；故②正确； 面积相等的两个三角形，不一定能完全重合，即不一定全等，故③错误； 周长相等的两个三角形不一定能完全重合，即不一定全等，故④错误； 故选B． 6．如图，在中，线段的端点位于平面直角坐标系的网格点上，点C的坐标为． （1）请在平面直角坐标系中，画出，使得与全等；（画出所有可能，点C，不重合） （2）直接写出点的坐标． 【答案】（1）作图见解析；（2）（-2，5），（-2，-1），（7，-1）． 【知识点】全等三角形的概念、坐标与图形 【分析】（1）借助平面直角坐标系和全等三角形的性质即可得出所有的； （2）根据所画的点即可写出它的坐标． 【详解】解：（1）如下图所示； （2）点的坐标为：（-2，5），（-2，-1），（7，-1）． 【点睛】本题考查作全等图形，坐标与图形．注意有三种结果，不要漏掉． 题型四、全等三角形的性质 7．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，若，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等和对应边相等，是解题的关键．根据全等三角形的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，，，故A、B、D正确，不符合题意；C错误，符合题意． 故选：C． 8．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，，在边上，，，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】全等三角形的性质、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形对应角相等是解题关键．由三角形全等得到，再根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：，， ， 是的外角，， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）已知：如图，，，，、相交于点F， (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，求出，即可求解； （2）根据三角形内角和得， ，又由于，， 即可由求解． 【详解】（1）解：， ， 即：， ， ，， ， ． （2）解：在中：， 在中：， ，， ． 题型五、用SSS证明三角形全等 10．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，，可直接利用“”判定（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，全等三角形的判定定理有，，，．根据已知条件和全等三角形的判定定理结合图形得出选项即可． 【详解】解：根据，，可以推出，理由是， 其余是错误的，不能直接用定理推出，和不全等， 故选：C． 11．如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点D，E分别是AB，AC的中点，DM，EM是连接弹簧和伞骨的支架，且、已知弹簧M在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是 ． 【答案】SSS/边边边 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】根据全等三角形判定的“SSS”定理即可证得△ADM≌△AEM． 【详解】解：∵AB=AC，点D，E分别是AB，AC的中点， ∴AD=AE， 在△ADM和△AEM中， ∴△ADM≌△AEM(SSS)， 故答案为：SSS． 【点睛】此题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 12．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，点在同一条直线上，且，求证：． 【答案】见详解 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 根据全等三角形的判定定理证得结论． 【详解】证明：∵， ∵在和中， ∴． 题型六、用SSS间接证明三角形全等 13．如图，点、在线段上，，，，要判定，较为快捷的方法为（  　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定，得到是解题的关键．由推出，再根据，，三边对应相等，即可求解． 【详解】，, ， ，， ． 故选：A． 14．如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 【答案】已知；；；等式的性质；；；；； 【知识点】用SSS间接证明三角形全等（SSS） 【分析】首先根据可得，再加上条件，可利用定理证明． 本题主要考查了三角形全等的判定方法，得出是解题的关键． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． 在和中，， ∴（）． 故答案为：已知；；；等式的性质；；；；； 题型七、全等的性质和SSS综合（SSS） 15．如图，线段与交于点，且，则下面的结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】根据SSS可以证明△ABC≌△BAD，从而得到其对应角相等、对应边相等． 【详解】解：A、根据SSS可以证明△ABC≌△BAD，故本选项正确； B、根据条件不能得出OB，OC间的数量关系，故本选项错误； C、根据全等三角形的对应角相等，得∠CAB=∠DBA，故本选项正确； D、根据全等三角形的对应角相等，得∠C=∠D，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】此题综合考查了全等三角形的判定和性质，注意其中的对应关系． 16．（22-23八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，点D，E分别为边上的点，且，求的度数．    【答案】 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：在与中， ， ， ， ， 【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明与全等． 题型八、用SAS证明三角形全等（SAS） 17．如图，，点D，E分别是的中点，则判定与全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】由AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点易得AE=AD，再加上公共角，则可利用“SAS”判定△ABE与△ACD全等． 【详解】解：△ABE与△ACD全等的理由如下： ∵AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点， ∴AE=AD， 在△ABE和△ADC中 ∴△ABE≌△ADC（SAS）． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 18．如图，，，垂足分别为，，，，点为边上一动点，当 时，形成的与全等． 【答案】2 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS） 【分析】当BP=2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，由BC=6可得CP=4，进而可得AB=CP，BP=CD，再结合AB⊥BC、DC⊥BC可得∠B=∠C=90°，可利用SAS判定△ABP≌△PCD． 【详解】解：当BP=2时，Rt△ABP≌Rt△PCD， ∵BC=6，BP=2， ∴PC=4， ∴AB=CP， ∵AB⊥BC、DC⊥BC， ∴∠B=∠C=90°， 在△ABP和△PCD中 ， ∴△ABP≌△PCD（SAS）， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解题的关键． 19．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）已知：如图，与，，，是的中线，是的中线，且．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形中线的定义，先根据三角形中线的定义证明，再利用即可证明得，再利用即可证明结论． 【详解】证明：∵是的中线，是的中线， ∴，， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴． 题型九、全等的性质和SAS综合（SAS） 20．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在边长相等的小正方形组成的图形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、直角三角形的两个锐角互余 【分析】此题综合考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质．观察图形可知，进而可得与互余，是直角的一半，利用这些关系可解此题． 【详解】解：∵，，， ∴， ， 又， ， ， 故选：B． 21．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，，，，，若，则的度数是 ． 【答案】/27度 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 先证，由全等三角形性质可得，则可推得，再由三角形内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 故答案为：． 22．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知点B，C在线段上，，求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，根据平行线的性质、线段的和差求出，由“”可证，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明： ． ． 在和中， ， 题型十、尺规作一个角等于已知角 23．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图，则说明，两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【知识点】用SSS证明三角形全等（SSS）、尺规作一个角等于已知角 【分析】根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意可得： 在和中， ， ∴≌（SSS）， 故选B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． 24．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）航模小组在设计支架时，需要解决以下几何问题，已知夹角为，点位于射线上，点位于射线上． (1)尺规作图：需在内部确定一点，使得且．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）中，连接，仅用无刻度直尺在上确定一点，使得（即为中点），并证明作法的正确性． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作线段(尺规作图)、两直线平行内错角相等、尺规作一个角等于已知角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，尺规作图，熟练掌握尺规作图的作法及全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）根据尺规作图作角及线段的作法即可求解； （2）连接与，其交点即为点，利用证得，进而可求证结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，连接与，其交点D即为所求： 证明如下： ， ，， 由（1）得， 在与中， ， ， ． 题型十一、用ASA（AAS）证明三角形全等 25．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，，则判定和全等的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：∵在和中， ， ∴， 故选：A． 26．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，、、三点在同一条直线上， ，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等三角形的性质、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判断及性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用平行线的性质证出角相等，再通过证出，即可解答； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 题型十二、全等的性质和ASA（AAS）综合 27．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，于点E，于点D，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 【答案】A 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据同角的余角相等，得到，证明，进而得到，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 28．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，，，，，，则 ． 【答案】/30度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．由三角形的外角性质可得，根据推出，证明，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：，，， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：． 29．如图，在中，，，于，于，，，求的长．    【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．证明，得到，，利用，计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵，， ∴． ∴，． ∴． 题型十三、用HL证全等 30．如图，于点D，于点F，要根据“”证明，则还需要添加的条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】根据直角三角形全等的判定方法进行判断． 【详解】解：于点D，于点F， ， ， 当添加时，根据“”判断 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 31．如图，，，，，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段和射线上运动，且，当 时，以点A，P，Q为顶点的三角形与全等．    【答案】10或20 【知识点】用HL证全等（HL） 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分情况讨论：当时，当时，由证明直角三角形全等，即可得出结果． 【详解】 分两种情况： 当时， 在和中 ； 当时， 在和中 ， 综上所述：当点P运动到或20时，与全等， 故答案为：10或20． 题型十四、全等的性质和HL综合 32．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，点在边上，，于点，．若，，的面积是，则线段的长为（   ） A．13 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意证明，可得，根据三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵ ∴ 解得： 故选：B． 33．（24-25八年级·安徽宿州·阶段练习）如图，，，且，求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了垂直的定义、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． 由，得，而，即可根据“”证明，则． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ． 题型十五、添加条件使三角形全等 34．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，点是延长线上一点，已知，要使，只需再添加的一个条件，不可以是（   ） A． B．平分 C． D． 【答案】D 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项判定即可求解，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 、当时，在和中， ， ∴，该选项不合题意； 、当平分，， 在和中， ， ∴，该选项不合题意； 、当时，在和中， ， ∴，该选项不合题意； 、当时，两边及一边的对角相等不能判定，该选项符合题意； 故选：． 35．如图，，请补充一个条件： 使． 【答案】或 【知识点】添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．根据全等三角形的判定方法，进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴根据，可以添加，使得； 根据，可以添加，使得； 故答案为：或． 题型十六、灵活选用判定方法证全等 36．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）在与中，．下列条件中，不能判断两个三角形全等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合），熟练掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键；注意：、不能判定两个三角形全等；判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：A．，， 则在和中， ，故选项不符合题意； B．，， 则在和中， 此时符合， 不能使，故选项B符合题意； C．，， 则在和中， ，故选项C不符合题意； D．，， 则在和中， ，故选项不符合题意； 故选：B． 37．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在四边形中，，．求图中有几对全等三角形？并选其中一对加以证明． 【答案】此图中有对全等三角形，分别是、、，证明见解析 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．根据全等三角形的判定方法求解即可． 【详解】解：此图中有对全等三角形，分别是、、，证明如下： ，， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ； 在和中， ， ． 题型十七、倍长中线模型 38．（22-23八年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，在中，，，是边上的中线，则的长度可能为（    ） A．1 B．2 C．5 D．8 【答案】C 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】延长至点，使，连接，证明，得到，利用三角形的三边关系，即可得到的取值范围． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴，即：， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系．解题的关键是：倍长中线法，证明三角形全等． 39．如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围． （1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD． ①请证明△CED≌△ABD； ②中线BD的取值范围是 　 　． （2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①见解析；②；（3）MN=2BD，理由见解析 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）①只需要利用SAS证明△CED≌△ABD即可； ②根据△CED≌△ABD可得AB=CE，由三角形三边的关系可得即则，再由，可得； （2），延长BD到E使得DE=BD，同（1）原理可证△ADE≌△CDB，得到∠DAE=∠DCB，AE=CB，然后证明∠BAE=∠MBN，则可证△BAE≌△MBN得到MN=BE，再由BE=BD+ED=2BD，可得MN=2BD． 【详解】解：（1）①∵BD是三角形ABC的中线， ∴AD=CD， 又∵∠ABD=∠CDE，BD=ED， ∴△CED≌△ABD（SAS）； ②∵△CED≌△ABD， ∴AB=CE， ∵， ∴即， 又∵， ∴； 故答案为：； （2）MN=2BD，理由如下： 如图所示，延长BD到E使得DE=BD， 同（1）原理可证△ADE≌△CDB（SAS）， ∴∠DAE=∠DCB，AE=CB， ∵BC=BN， ∴AE=BN， ∵∠ABM=∠NBC=90°， ∴∠MBN+∠ABC=360°-∠ABM-∠NBC=180°， ∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°， ∴∠ABC+∠BAC+∠DAE=180°， ∴∠BAE+∠ABC=180°， ∴∠BAE=∠MBN， 又∵AB=BM， ∴△BAE≌△MBN（SAS）， ∴MN=BE， ∵BE=BD+ED=2BD， ∴MN=2BD． 【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握倍长中线法证明两个三角形全等． 题型十八、旋转模型 40．如图甲，已知ΔABC和ΔCEF是两个不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE. （1）线段AF和BE有怎样的大小关系？证明你的猜想. （2）将图中的ΔCEF绕点C旋转一定的角度，得到图乙，（1）中的结论还成立吗？ 做出判断并说明理由. 【答案】见解析 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出：AC=BC， CF=CE，∠ACF=60°，∠BCE=60°，然后证明ΔAFC≌ΔBEC即可； （2）ΔCEF绕点C旋转一定的角度，仍可证明ΔAFC≌ΔBEC． 【详解】（1）AF=BE 因为ΔABC和ΔCEF是两个不等的等边三角形， 所以AC=BC， CF=CE，∠ACF=60°，∠BCE=60°， 所以∠ACF=∠BCE， 所以ΔAFC≌ΔBEC， 所以AF=BE； （2）将图①中的△CEF绕点C逆时针旋转60度角度，得到图②，题(1)中的结论还成立的． 因为ΔABC和ΔCEF是两个不等的等边三角形， 所以AC=BC，CF=CE， 又因为∠ACF=∠ACB-∠BCF=60°-∠BCF，∠BCE=∠FCE-∠BCF=60°-∠BCF， 所以∠ACF=∠BCE， 所以ΔAFC≌ΔBEC， 所以AF=BE． 题型十九、垂线模型 41．如图，直角坐标系中，的顶点，分别在坐标轴上，且，，若点、的坐标分别为、，则点的坐标为 ．    【答案】 【知识点】垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】过作轴于点，由，可得，从而证明，再根据全等三角形的性质即可求出，，通过线段和差与点在第四象限即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，   ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握判定与性质的应用和全等三角形的垂线模型． 42．已知和是两个等腰直角三角形，.连接，是的中点，连接、． (1)如图，当与在同一直线上时，求证：； (2)如图，当时，求证：． 【答案】（1）证明见详解； （2）证明见详解 【知识点】与三角形中位线有关的证明、垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）如图所示，延长BM交EF于点D，延长AB交CF于点H，证明为△BED是等腰直角三角形和M是BD的中点即可求证结论； （2）如图所示，做辅助线，推出BM、ME是中位线进而求证结论． 【详解】证明（1）如图所示，延长BM交EF于点D，延长AB交CF于点H 易知：△ABC和△BCH均为等腰直角三角形 ∴AB＝BC＝BH ∴点B为线段AH的中点 又∵点M是线段AF的中点 ∴BM是△AHF的中位线 ∴BM∥HF 即BD∥CF ∴∠EDM＝∠EFC＝45° ∠EBM＝∠ECF＝45° ∴△EBD是等腰直角三角形 ∵∠ABC＝∠CEF＝90° ∴AB∥EF ∴∠BAM＝∠DFM 又M是AF的中点 ∴AM＝FM 在△ABM和△FDM中 ∴△ABM≌△FDM(ASA) ∴BM＝DM，M是BD的中点 ∴EM是△EBD斜边上的高 ∴EM⊥BM （2）如图所示，延长AB交CE于点D，连接DF，易知△ABC和△BCD均为等腰直角三角形 ∴AB＝BC＝BD，AC＝CD ∴点B是AD的中点， 又∵点M是AF的中点 ∴BM＝DF 延长FE交CB于点G，连接AG，易知△CEF和△CEG均为等腰直角三角形 ∴CE＝EF＝EG，CF＝CG ∴点E是FG的中点， 又∵点M是AF的中点 ∴ME＝AG 在△ACG与△DCF中， ∴△ACG≌△DCF（SAS） ∴DF＝AG ∴BM＝ME 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质：两锐角都是45°，两条直角边相等、三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半、全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 题型二十、其他模型 43．如图，已知点，一个以为顶点的角绕点旋转，角的两边分别交轴正半轴，轴负半轴于、，连接．当△直角三角形时，点的坐标是 ． 【答案】或 【知识点】其他模型(全等三角形的辅助线问题)、全等三角形综合问题 【分析】根据等腰三角形的性质，作辅助线构造全等三角形，得到对应线段相等即可得到结论． 【详解】①如图所示： ， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在△和中， ∴△△FDE， ∴，， ∴． ②当时，同①的方法有：，， ∴， 综上所述，满足条件的点坐标为或 故答案为：或 【点睛】本题考查三角形全等性质和判定、等腰直角三角形的性质，注意直角三角形按角分类讨论分三种情况，不要漏解． 44．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C= 90°，AB>CD，AD=AB+CD． (1)利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE． (保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，求证:AE⊥DE． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【知识点】其他模型(全等三角形的辅助线问题)、作角平分线(尺规作图) 【分析】（1）利用尺规作出∠ADC的角平分线即可； （2）在DA上截取DH＝CD，连接HE，利用全等三角形的判定及性质证明∠DEC＝∠DEH，∠AEH＝∠AEB即可得证． 【详解】解：（1）如图，线段DE，AE即为所求． （2）在DA上截取DH＝CD，连接HE， 由（1）知∠HDE＝∠CDE， 在HDE与CDE中， ， ∴HDE≌CDE（SAS）， ∴∠DHE＝∠C＝90°，∠DEH＝∠DEC， ∴∠AHE＝180°－∠DHE＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠AHE＝∠B＝90°， ∵AD＝AH＋DH＝AB＋CD，DH＝CD， ∴AH＝AB， 在RtAEH和RtAEB中， ， ∴RtAEH≌RtAEB（HL）， ∴∠AEH＝∠AEB， ∵∠DEH＋∠AEH＋∠DEC＋∠AEB＝180°， ∴2(∠DEH＋∠AEH)＝180°， ∴∠DEH＋∠AEH＝90°， 即∠AED＝90°， ∴AE⊥DE． 【点睛】本题考查作图－基本作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型. 学科网（北京）股份有限公司 $