专题11 直角三角形性质的应用的七大类型（专项训练）数学华东师大版九年级上册

专题11 直角三角形性质的应用的七大类型（原卷版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用直角三角形斜边上的中线求线段长 题型二、利用直角三角形斜边上的中线求角度 题型三、利用直角三角形斜边上的中线性质证明 题型四、利用30°角所对的直角边等于斜边的一半计算 题型五、利用30°角所对的直角边等于斜边的一半的综合运用 题型六、利用直角三角形斜边上的中线求最值 题型七、三角形的中位线与直角三角形斜边上的中线的综合应用 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用直角三角形斜边上的中线求线段长 1．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为48，则的长为（   ） A．4 B．3 C． D． 2．如图所示，在中，，是斜边上的中线，分别为、的中点，若，则的长（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知是等腰三角形，，是直角三角形，为斜边上的中线，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，平分，于点，是的中点，则的周长是（　　） A．9 B．10 C．13 D．20 5．如图，在正方形和正方形中，点在上，，是的中点，那么的长为（   ）． A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，已知正方形中，，点E是的中点，点F在的延长线上，且，连接相交于点O，连接交于点H，连接，求的长． 题型二、利用直角三角形斜边上的中线求角度 7．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，过点A作于点D，点为的中点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四边形中，，，，点是的中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，，是的高，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，四边形中，，连接，，取的中点，的中点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 11．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，若，则的度数是 ． 12．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，求∠COE的度数． 题型三、利用直角三角形斜边上的中线性质证明 13．如图，是直角三角形，且，四边形是平行四边形，为的中点，平分，点在上，且求证：． 14．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在四边形中，，、分别是对角线、的中点，连接 (1)求证：． (2)若，，求周长． 15．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，于，于，为的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 16．如图，已知△ABC的高BD、CE相交于点O，M、N分别是BC、AO的中点，求证：MN垂直平分DE． 17．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知：如图，在四边形中，，点E是的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)当______°时，是等边三角形； (3)当时，若，取中点F，求的长． 题型四、利用30°角所对的直角边等于斜边的一半计算 18．（23-24九年级上·全国·期末）如图，在中，，，过点作，交边于点，若，则的长为（   ）　 A．5 B．6 C．7 D．8 19．如图，在中，，是的高，若，，则=（   ） A． B． C． D． 20．如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，，则等于（ ） A． B． C． D． 21．（25-26九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，边长为2的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，则它们公共部分的面积为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则 ． 23．如图，在中，的垂直平分线交边于点E．若，，则 ． 24．（25-26九年级上·宁夏中卫·阶段练习）如图，在矩形中，以为边作等边，点E恰好在边上，若的边长为4．则的面积为 ． 题型五、利用30°角所对的直角边等于斜边的一半的综合运用 25．（24-25九年级下·四川成都·期中）在中，，点D为上一点，于点E． (1)如图1，若E为中点时，求证：； (2)如图2，若，求的面积． 26．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是等边三角形，点D、E分别在上，且，与相交于点F，作垂足为G，． (1)求证：； (2)求的长． 27．如图，在等边中，点D、 E分别在边、上，且，与相交于点P，于点Q． (1)求证：； (2)请问与有何关系？并说明理由． 28．（22-23九年级上·浙江台州·自主招生）如图，在等腰中，，为上一点，于，． (1)如图1，若，，求和的长． (2)如图2，当为任意锐角时，从（1）中猜想与的数量关系，用等式表示，并给出证明． 29．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）【模型感知】 （1）如图①，和都是等边三角形，求证：； 【模型应用】 （2）已知，点在直线上，以为边在直线上方作等边三角形，过点作于点．如图②，若点在点右侧，求证：． 30．（23-24八年级上·全国·期末）如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与 ，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接 交于． (1)当时，求的长． (2)证明：在运动过程中，点是线段的中点． (3)运动过程中线段的长度不发生变化，请你直接写出 ． 题型六、利用直角三角形斜边上的中线求最值 31．（2025·安徽·模拟预测）如图，中，，以的直角边为斜边，向外作，连接；则的最大值为（    ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图所示，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，点M是的中点，点P是的中点，连接．若，，则线段长度的最大值是（  ） A． B． C． D． 33．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在四边形中，，E是对角线的中点，F是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．5 D．2 34．（2024九年级上·安徽安庆·竞赛）如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，再以为直角边，为直角，在同侧作，点为中点，连接，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D． 36．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，，．点C是线段上的点，且，点D在射线上运动，过点D作交射线于点E，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D． 36．（2025·广西来宾·三模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A的坐标为，B为y轴上的动点，以为边作矩形，O为坐标原点，．连接，则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型七、三角形的中位线与直角三角形斜边上的中线的综合应用 37．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，点F在DE上，且AF⊥CF，若AC＝3，BC＝6，则DF的长为（　　） A．1.5 B．1 C．0.5 D．2 38．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接AF、CF，若∠AFC＝90°，DF＝1，AC＝6，则BC的长度为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 39．如图，△ABC的周长为16，G、H分别为AB、AC的中点，分别以AB、AC为斜边向外作Rt△ADB和Rt△AEC，连接DG、GH、EH，则DG+GH+EH的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 40．如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CFBC，若EF＝2，则DE的长为（　　） A．2 B．1 C． D． 41．（25-26九年级上·河南焦作·阶段练习）如图，在中，，D、E、F分别是、、的中点． (1)求证：． (2)连接、，证明：四边形为矩形． 42．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）阅读： 材料一：含角的直角三角形，角所对的直角边等于斜边的一半； 材料二：连接三角形两条边的中点，形成的线段是三角形的中位线，三角形的中位线具有以下性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 完成以下问题：在中，，点是边上的一点． (1)已知． ①如图1，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，求的值； ②如图2，以为边在其右侧作，交边于点，若，，求之长； (2)如图3，点是边的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是边上一点，连接，满足，已知，，求之长． 1．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，点E为正方形的边上一点，且，连接，取的中点F，连接，若的长为，则正方形的面积为（ ） A．9 B．12 C．16 D．20 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（     ） A．2 B． C．1 D． 3．（广东省茂名市2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题）如图，矩形的对角线交于点，，为等边三角形，是直线上一点，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，点是的中点，将沿翻折得到，连结，则线段的长为（   ） A．2 B． C． D． 5．（2024·广东清远·一模）如图，正方形和正方形按照如图所示方式放置，连接、、，若，则线段的最小值为 ． 6．（25-26八年级上·广东中山·阶段练习）如图，已知中，，点 D， E在底边上， ，若， 则的长为 ． 7．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，点、分别是边、的中点，过点作交的延长线于F点，连接、，过点D作于点G． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，若四边形是菱形，求DG的值． 8．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒（）．过点作于点，连接，．    (1)当为何值时，四边形是菱形？请说明理由； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 9．如图，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE． （2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明你的猜想． （3）当∠BAC变为钝角时，如图②，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由． 10．点分别是边长为的等边的边上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是． (1)如图1，当时，连接交于点M，求的度数； (2)当 时，是直角三角形？ (3)如图2，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 直角三角形性质的应用的七大类型（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用直角三角形斜边上的中线求线段长 题型二、利用直角三角形斜边上的中线求角度 题型三、利用直角三角形斜边上的中线性质证明 题型四、利用30°角所对的直角边等于斜边的一半计算 题型五、利用30°角所对的直角边等于斜边的一半的综合运用 题型六、利用直角三角形斜边上的中线求最值 题型七、三角形的中位线与直角三角形斜边上的中线的综合应用 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用直角三角形斜边上的中线求线段长 1．（25-26九年级上·山西运城·阶段练习）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为48，则的长为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识点． 由菱形的性质可得，由菱形的面积可得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图所示，在中，，是斜边上的中线，分别为、的中点，若，则的长（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，直角三角形斜边上的中线性质，理解相关知识是解答关键． 根据三角形中位线的性质求出CM的长，再利用直角三角形斜边上的中线性质来求解． 【详解】解： 分别为、的中点，， ， ． 在中，，是斜边上的中线， ， ． 故选：D． 3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知是等腰三角形，，是直角三角形，为斜边上的中线，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质和定理． 由直角三角形的性质，可得，由等腰三角形的性质，可知，根据勾股定理计算即可得的长． 【详解】解：∵是直角三角形，为斜边上的中线， ∴点为的中点，， ∵， ∴， 又∵是等腰三角形，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，平分，于点，是的中点，则的周长是（　　） A．9 B．10 C．13 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，然后代入数据计算即可得解． 【详解】解：，，是的中点， ， ，平分，， 点是的中点，且， ， ， 的周长． 故选：B． 5．如图，在正方形和正方形中，点在上，，是的中点，那么的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，根据正方形的性质和勾股定理可求出的值， 再证明，利用勾股定理求出的值，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 故选：B． 6．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，已知正方形中，，点E是的中点，点F在的延长线上，且，连接相交于点O，连接交于点H，连接，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的判定等知识，根据正方形的性质，直角三角形的性质和三线合一定理可得，据此利用勾股定理可得的长，再证明垂直平分，得到，进而导角证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形，相交于点O， ∴，，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型二、利用直角三角形斜边上的中线求角度 7．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，，过点A作于点D，点为的中点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．先求出，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据求解即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵，点为的中点， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 8．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四边形中，，，，点是的中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，由平行线的性质可得，则，通过直角三角形性质可得，所以，通过等腰三角形性质和三角形内角和定理可得，，从而得，再由等腰三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，，是的高，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线性质，直角三角形两锐角互余．利用等腰三角形的性质结合直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，为的高， ∴平分，， ∴， ∴， ∵是上的高， ∴， ∵是上的高，且， ∴， ∴， 故选：B． 10．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，四边形中，，连接，，取的中点，的中点，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、三角形中位线定理，熟记三角形中位线平行于第三边是解题的关键．根据直角三角形的性质求出，根据等边三角形的性质得到，进而求出，再根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：在中，， 则， 在中，点是的中点， 则， 为等边三角形， ， ， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， ， 故选：B． 11．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，若，则的度数是 ． 【答案】/24度 【分析】利用菱形性质得出，可知为斜边中线，结合等腰三角形的性质求出，利用外角即可求出的值． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，等边对等角，三角形外角性质等知识，根据菱形性质判断出为斜边中线是解题关键． 12．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE＝AC，∠BAE＝15°，求∠COE的度数． 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAE＝∠AEC＝45°，求得∠CAB＝60°，得到∠B＝30°，根据直角三角形的性质得到CO＝BO＝AOAB，得到△AOC是等边三角形，∠OCB＝∠B＝30°，于是得到结论． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CE＝AC， ∴∠CAE＝∠AEC＝45°， ∵∠BAE＝15°， ∴∠CAB＝60°， ∴∠B＝30°， ∵∠ACB＝90°，O为AB的中点， ∴CO＝BO＝AOAB， ∴△AOC是等边三角形，∠OCB＝∠B＝30°， ∴AC＝OC＝CE， ∴∠COE＝∠CEO（180°﹣30°）＝75°． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 题型三、利用直角三角形斜边上的中线性质证明 13．如图，是直角三角形，且，四边形是平行四边形，为的中点，平分，点在上，且求证：． 【答案】见解析 【分析】根据等腰三角形性质，角平分线定义，得到，利用直角三角形性质得到，结合平行四边形的性质证明，结合全等三角形性质进而即可证明． 【详解】证明：，平分，， ， ，为的中点， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形性质，角平分线定义，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于灵活运用相关知识． 14．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在四边形中，，、分别是对角线、的中点，连接 (1)求证：． (2)若，，求周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的性质． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据垂直平分线的性质可知，进而可知周长． 【详解】（1）证明：如图，连接、， ，是的中点， ， 点是的中点， ； （2）， ， ∵， ， ． 15．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，于，于，为的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟记性质并求出、与的关系是解题的关键． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，则，然后根据等腰三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，则，，再根据三角形的内角和定理求出，然后利用平角等于列式计算得出． 【详解】（1）证明：∵于F，于，M为的中点， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵于F，于，M为的中点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 16．如图，已知△ABC的高BD、CE相交于点O，M、N分别是BC、AO的中点，求证：MN垂直平分DE． 【分析】连接EN、DN、EM、DM，由BD与CE为三角形ABC的两条高，可得∠AEC＝∠ADB＝∠BEC＝∠BDC＝90°，根据M，N为BC，AO的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半可得EN＝DN，EM＝DM，根据线段垂直平分线的逆定理得到M、N在线段DE的垂直平分线上，得证． 【详解】证明：连接EN、DN、EM、DM， ∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠AEC＝∠ADB＝∠BEC＝∠BDC＝90°， ∵M、N是BC、AO的中点， ∴， ∴EN＝DN，EM＝DM， ∴M、N在线段DE的垂直平分线上， ∴MN垂直平分DE． 【点睛】此题考查了直角三角形斜边上中线的性质，以及线段垂直平分线的逆定理，利用了转化的思想，其中连接出如图所示的辅助线是解本题的关键． 17．（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知：如图，在四边形中，，点E是的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)当______°时，是等边三角形； (3)当时，若，取中点F，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)150 (3)4 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，从而得到； （2）利用等边对等角以及三角形外角的性质得出，由得到，，继而，即可证明等边三角形； （3）由，，则，由上可知，而为中点，故． 【详解】（1）证明：，点是边的中点， ，， ， 是等腰三角形； （2）解：当时，是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴ ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴是等边三角形， 故答案为：150； （3）解：如图： 由（2）可知，， ∵， ∴， 由上可知， ∵为中点 ∴． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，直角三角形的性质，以及三角形外角的性质等知识，根据题意得出是解题关键． 题型四、利用30°角所对的直角边等于斜边的一半计算 18．（23-24九年级上·全国·期末）如图，在中，，，过点作，交边于点，若，则的长为（   ）　 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，30度角所对的直角边等于斜边一半，三角形内角和定理，解题关键是掌握等边对等角和等角对等边的性质． 利用等边对等角的性质，得到，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求出,然后由，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：B. 19．如图，在中，，是的高，若，，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 故选：A． 20．如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形中角所对直角边等于斜边一半的性质，熟练运用该性质是解题关键．先求出，再在中，结合是中点及该性质求出． 【详解】解：， 是的中点， ． 又，， ． 故选：B． 21．（25-26九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，边长为2的正方形绕点顺时针旋转得到正方形，则它们公共部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的旋转，直角三角形全等的证明，勾股定理，作出辅助线求证是解题的关键． 此题只需把公共部分分割成两个三角形，根据旋转的旋转发现两个三角形全等，从而求得直角三角形的边，再进一步计算其面积． 【详解】解：设与相交于点O，连接． 根据旋转的性质，得，则． 在和中， ，， ∴． ∴． 设，则， 又∵， ， 即， 解得：（不符合题意，舍）， ∴． ∴公共部分的面积． 故选：C． 22．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形以及等边三角形的性质，解答本题的关键是掌握直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半．设，则，利用等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， 设，则， ∵，． ∴， ∴，， ∴． 故答案为：5． 23．如图，在中，的垂直平分线交边于点E．若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含的直角三角形的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可求得，继而求得，则可求得的度数，然后由含的直角三角形的性质，求得答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 24．（25-26九年级上·宁夏中卫·阶段练习）如图，在矩形中，以为边作等边，点E恰好在边上，若的边长为4．则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据矩形的性质得，根据等边三角形的性质得，推出，根据 30 度角所对的直角边是斜边的一半得出，利用勾股定理求出，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵矩形， ， ∵等边的边长为 4 ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 题型五、利用30°角所对的直角边等于斜边的一半的综合运用 25．（24-25九年级下·四川成都·期中）在中，，点D为上一点，于点E． (1)如图1，若E为中点时，求证：； (2)如图2，若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． （1）由含角的直角三角形的性质得到，由勾股定理得到，，设，分别表示出，即可证明； （2）根据含角的直角三角形的性质，，，由勾股定理求得，进一步求得面积． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∵E为中点， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵中，，． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴（舍负）． ∴的面积． 26．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，是等边三角形，点D、E分别在上，且，与相交于点F，作垂足为G，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质， 等边三角形的性质，含30 度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定和性质， 等边三角形的性质，含30 度角的直角三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可得，，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再由直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 27．如图，在等边中，点D、 E分别在边、上，且，与相交于点P，于点Q． (1)求证：； (2)请问与有何关系？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）先根据等边三角形的性质得到，，再根据全等三角形的判定可证得结论； （2）先根据全等三角形的性质得到．再根据三角形的外角性质求得，则，再根据含30度角的直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 在和中， ， ； （2）解：． 理由如下：由（1）知， ． 的外角， ． ， ， ， ． 28．（22-23九年级上·浙江台州·自主招生）如图，在等腰中，，为上一点，于，． (1)如图1，若，，求和的长． (2)如图2，当为任意锐角时，从（1）中猜想与的数量关系，用等式表示，并给出证明． 【答案】(1)，． (2)．证明见解析． 【分析】（1）过作，．由，设，则，由勾股定理得，列方程为，计算得，换算得，故，，由为等腰直角三角形，得，再计算即可． （2）延长至，使，连．设，，换算得，设，，故，，，故． 【详解】（1）解：过作，． ， 设，则， ． ． ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 综上，，． （2）解：．理由如下： 延长至，使，连接． 设，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形综合题，掌握的直角三角形的性质，以及勾股定理，是解题关键． 29．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）【模型感知】 （1）如图①，和都是等边三角形，求证：； 【模型应用】 （2）已知，点在直线上，以为边在直线上方作等边三角形，过点作于点．如图②，若点在点右侧，求证：． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据等边三角形的性质得出相等的角和边，证明即可得出结论； （2）在射线上截取，连接，得出是等边三角形，证明，得出对应角相等，再根据含角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ． （2）如图，在射线上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ． ， ， ， ，即， ； 30．（23-24八年级上·全国·期末）如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与 ，不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接 交于． (1)当时，求的长． (2)证明：在运动过程中，点是线段的中点． (3)运动过程中线段的长度不发生变化，请你直接写出 ． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)3 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键． （1）设，则，结合等边三角形的性质可得，再由直角三角形的性质，可得，从而得到关于x的方程，即可求解； （2）过P点作，交于F，可得是等边三角形，可证明，即可解答； （3）过P点作，交于F，由（2）得：，，从而得到，，即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即． （2）证明：如图，过P点作，交于F， ∵是边长为的等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即D为中点； （3）解：运动过程中线段的长度不发生变化，是定值为3，理由： 过P点作，交于F， 由（2）得：，， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 故答案为：3 题型六、利用直角三角形斜边上的中线求最值 31．（2025·安徽·模拟预测）如图，中，，以的直角边为斜边，向外作，连接；则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边的性质，勾股定理，三角形的三边关系．取的中点E，连接，根据勾股定理可得，从而得到的长，再由直角三角形斜边的性质可得的长，然后在中，利用三角形的三边关系解答即可． 【详解】解：如图，取的中点E，连接， 在中，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵为的斜边， ∴， 在中，， 即的最大值为． 故选：C 32．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图所示，在中，，将绕顶点C逆时针旋转得到，点M是的中点，点P是的中点，连接．若，，则线段长度的最大值是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线定理，三角形三边关系，根据勾股定理求出，然后由三角形三边关系进行计算． 【详解】解：如图， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∵旋转得到，M是的中点，P是的中点， ∴，， ∴， ∴的最大值为（此时P、C、M共线）． 故选：B． 33．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在四边形中，，E是对角线的中点，F是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（    ） A．4 B．3 C．5 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短，等腰三角形的性质，直角三角形的特征，勾股定理；连接、，由直角三角形的特征得，由垂线段最短得当时，取得最小值，结合等腰三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ， E是对角线的中点， ， 当时，取得最小值， ， ， 的最小值为； 故选：A． 34．（2024九年级上·安徽安庆·竞赛）如图，已知线段，点P为线段上一动点，以为边作等边，再以为直角边，为直角，在同侧作，点为中点，连接，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】连接，，过点作交直线于点，利用直角三角形斜边中线定理得到，根据等边三角形的性质得到，，得出垂直平分，进而得出，利用含30度角的直角三角形得到，最后利用垂线段最短即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接，，过点作交直线于点， ∵在中，，点为中点， ∴， ∵等边， ∴，， ∵，， ∴垂直平分， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为4． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的判定、垂线段最短，添加适当的辅助线证出平分是解题的关键． 36．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，，．点C是线段上的点，且，点D在射线上运动，过点D作交射线于点E，则的最小值为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形中位线定理，矩形的判定与性质，直角三角形的性质．分别取的中点，连接，易证是的中位线，得到， ，根据直角三角形的性质可得，当时，有最小值，即有最小，即可得到有最小值，证明四边形是矩形，得到，进而得到，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，分别取，的中点，连接， 则是的中位线， ∴， ， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 当时，有最小值，即有最小值， ∵为定值， ∴有最小值， 此时，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：A． 36．（2025·广西来宾·三模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A的坐标为，B为y轴上的动点，以为边作矩形，O为坐标原点，．连接，则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质、直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形是解题的关键．． 如图：过点A作轴，垂足为A，交的延长线于点E．可证明，则，化简得，而得到，如图：取中点F，连接．则，由勾股定理得，由得当点O、F、D三点共线时，取得最大值即可． 【详解】解：如图：过点A作轴，垂足为A，交的延长线于点E． ∵四边形ABCD为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 如图：取中点F，连接． ∴， 在中，根据勾股定理，， 在中，，的最大值为． 故选A． 题型七、三角形的中位线与直角三角形斜边上的中线的综合应用 37．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，点F在DE上，且AF⊥CF，若AC＝3，BC＝6，则DF的长为（　　） A．1.5 B．1 C．0.5 D．2 【答案】A． 【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出FE，计算即可． 【解答】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，BC＝6， ∴DEBC＝3， ∵AF⊥CF， ∴∠AFC＝90°， ∵E为AC的中点，AC＝3， ∴FEAC＝1.5， ∴DF＝DE﹣FE＝1.5， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 38．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接AF、CF，若∠AFC＝90°，DF＝1，AC＝6，则BC的长度为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质求出EF，进而求出DE，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【点睛】解：在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，E是AC的中点，AC＝6， 则EFAC＝3， ∵DF＝1， ∴DE＝3﹣1＝2， ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴BC＝2DE＝4， 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 39．如图，△ABC的周长为16，G、H分别为AB、AC的中点，分别以AB、AC为斜边向外作Rt△ADB和Rt△AEC，连接DG、GH、EH，则DG+GH+EH的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DGAB，EHAC，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得GHBC，然后求出DG+GH+EH的值为△ABC的一半． 【详解】解：∵G、H分别为AB、AC的中点，△ADB和△AEC为直角三角形， ∴DGAB，EHAC， ∴GH为△ABC的中位线， ∴GHBC， ∴DG+GH+EH（AB+AC+BC）16＝8． 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质和定理是解题的关键． 40．如图，在Rt△ABC中∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CFBC，若EF＝2，则DE的长为（　　） A．2 B．1 C． D． 【答案】B． 【分析】连接CD，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DEBC，根据平行四边形的性质求出CD，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出AB，根据含30°角的直角三角形的性质求出BC，进而求出DE． 【详解】解：连接CD， ∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DEBC， ∵CFBC， ∴DE∥CF， ∴四边形DEFC为平行四边形， ∴CD＝EF＝2， 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点， 则AB＝2CD＝4， 在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， 则BCAB＝2， ∴DEBC＝1， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质、含30°角的直角三角形的性质，灵活运用各个定理是解题的关键． 41．（25-26九年级上·河南焦作·阶段练习）如图，在中，，D、E、F分别是、、的中点． (1)求证：． (2)连接、，证明：四边形为矩形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了正方形的判定，矩形的判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）证明是的中位线，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，即可证明； （2）先证明是的中位线，得到，再由线段中点的定义得到，进而证明四边形是平行四边形，由，即可证明四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵点E时的中点，， ∴， ∴； （2）证明：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． 42．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）阅读： 材料一：含角的直角三角形，角所对的直角边等于斜边的一半； 材料二：连接三角形两条边的中点，形成的线段是三角形的中位线，三角形的中位线具有以下性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 完成以下问题：在中，，点是边上的一点． (1)已知． ①如图1，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，求的值； ②如图2，以为边在其右侧作，交边于点，若，，求之长； (2)如图3，点是边的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点是边上一点，连接，满足，已知，，求之长． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）①利用旋转的性质得到，，结合，，证明，再根据，得出，进而求出的值；②通过旋转构造全等三角形，将与已知线段建立联系，设，则，，利用勾股定理建立方程，求解即可； （2）先证明（构造辅助线），得到，利用勾股定理求出长度，利用三角形的中位线得到，由线段间的和差倍分关系即可求出的长度． 【详解】（1）解：① ，， ， ，， 即 在，中， ， 在中，，， ， ； ②将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，作如图所示 由①可知， ，， ， 在，中， ， ∴ ，， ， 令，则，， ， 在中，，， ， 在，中 ， 即，解得 ． （2）取中点，连接，作交延长线于点，如图所示， 是边的中点， 是的中位线， ， ， 即 ， ， 在，中， ， 在中 ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等腰三角形（含等边三角形）的性质、图形的旋转、全等三角形与三角形的中位线以及勾股定理，灵活运用“含角的直角三角形，角所对的直角边等于斜边的一半”是解题关键． 1．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，点E为正方形的边上一点，且，连接，取的中点F，连接，若的长为，则正方形的面积为（ ） A．9 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】由正方形的性质得，，由推导出，从而得到，由，求得，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查正方形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 【详解】解：点E为正方形的边上一点，且， ，， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 2．（24-25九年级上·四川宜宾·期末）如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（     ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线的性质得到，然后根据直角三角形的性质得到，进而根据求解即可． 【详解】解： E，F分别是，的中点，， ， ，， ， ， 故选：C． 3．（广东省茂名市2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题）如图，矩形的对角线交于点，，为等边三角形，是直线上一点，连接，则线段的最小值为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】连接交于M，由矩形的性质和勾股定理可求出；由等边三角形的性质得到，则可证明垂直平分，得到，，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，由垂线段最短，可知当时，有最小值，则此时． 【详解】解：如图所示，连接交于M， \ ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴； ∵垂线段最短， ∴当时，有最小值， ∴此时为直角三角形，其中，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握以上性质是解题的关键． 4．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，点是的中点，将沿翻折得到，连结，则线段的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点O，过点A作于点H，利用勾股定理可得，再由，可得，再结合直角三角形的性质，可得，，然后由折叠的性质可得，从而得到垂直平分线段，即，然后根据，可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：延长交于点O，过点A作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵点是的中点， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴点A，D均在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分线段，即 ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了图形的折叠问题，线段垂直平分线的判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，证明垂直平分线段以及求出是解题的关键． 5．（2024·广东清远·一模）如图，正方形和正方形按照如图所示方式放置，连接、、，若，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正方形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，垂线段最短，取的中点，连接，证明，可得，如图，当最小时，则最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵正方形和正方形， ∴， ∴， ∴， 如图，当最小时，则最小， 此时、、重合， 四边形为矩形， ∴，即的最小值为． 故答案为： 6．（25-26八年级上·广东中山·阶段练习）如图，已知中，，点 D， E在底边上， ，若， 则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含角的直角三角形，勾股定理等知识，过点 作于点，于点，则，根据等腰三角形的性质求出，根据含角的直角三角形及勾股定理求出，再得到是等腰直角三角形，求出，进而求出，同理求出的长，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，于点，则，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，点、分别是边、的中点，过点作交的延长线于F点，连接、，过点D作于点G． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，若四边形是菱形，求DG的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、菱形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识． （1）由三角形中位线定理得，再证四边形是平行四边形，得，则，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，再证是直角三角形，，则，然后由平行四边形的性质得，最后由菱形的面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：点、分别是边、的中点， 是的中位线，， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ， ， ∵， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是菱形， ，， ， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， ， ， 即， ． 8．（25-26九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是秒（）．过点作于点，连接，．    (1)当为何值时，四边形是菱形？请说明理由； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)时，四边形是菱形，理由见解析． (2)或，理由见解析． 【分析】本题考查了含有角的直角三角形的性质，菱形的判定，四边形中的动点问题，根据题目中信息和菱形性质找到边长的等量关系列方程是解题关键． （1）由题可得四边形为平行四边形，令列方程求解即可． （2）分类讨论：①，②，利用角所对直角边等于斜边一般的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题得，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形， ， 解得． 故时，四边形是菱形． （2）①当时，， ，， ， 即， 解得． ②当时， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 即， 解得． 综上所述，当或时，为直角三角形． 9．如图，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点． （1）求证：MN⊥DE． （2）连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明你的猜想． （3）当∠BAC变为钝角时，如图②，上述（1）（2）中的结论是否都成立？若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由． 【分析】（1）连接DM，ME，根据直角三角形的性质得到DMBC，MEBC，得到DM＝ME，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论； （2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算即可得到结论； （3）仿照（2）的计算过程解答即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图（1），连接DM，ME， ∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点， ∴DMBC，MEBC， ∴DM＝ME， 又∵N为DE中点， ∴MN⊥DE； （2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵DM＝ME＝BM＝MC， ∴∠BMD+∠CME＝（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB） ＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB） ＝360°﹣2（180°﹣∠A） ＝2∠A， ∴∠DME＝180°﹣2∠A； （3）结论（1）成立，结论（2）不成立， 理由如下：连接DM，ME， 在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC， ∵DM＝ME＝BM＝MC， ∴∠BME+∠CMD＝2∠ACB+2∠ABC ＝2（180°﹣∠BAC） ＝360°﹣2∠BAC， ∴∠DME＝180°﹣（360°﹣2∠BAC） ＝2∠BAC﹣180°． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 10．点分别是边长为的等边的边上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是． (1)如图1，当时，连接交于点M，求的度数； (2)当 时，是直角三角形？ (3)如图2，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 【答案】(1) (2)2或4 (3)不变， 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键： （1）证明，得到，再根据三角形的外角的性质求出的度数即可； （2）分和，两种情况进行讨论求解即可； （3）证明，得到，再根据对顶角相等，三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴当时，， ∵等边， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可知：， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴，即：， 解得； 当时，则：， ∴，即：， 解得； 综上：当或4时，是直角三角形； （3）不变， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 6 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