精品解析：河南省驻马店市第一高级中学等校2025-2026学年高二上学期10月质量检测数学试题

高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点的斜率公式计算可得. 【详解】因为，，所以直线的斜率. 故选：D. 2. 已知方程表示一个圆，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得到不等式，求出答案. 【详解】，即， 由，解得，故实数的取值范围是. 故选：A 3. 直线在坐标轴上的截距之和为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直线方程化为截距式方程，结合截距的定义可得结果. 【详解】将直线方程化为截距式方程可得， 所以直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 因此直线在坐标轴上的截距之和为. 故选：D. 4. 圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，再加上半径，即为点到直线的距离的最大值. 【详解】圆的圆心为原点，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以圆上任意一点到直线的距离的最大值为. 故选：C. 5. 一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由光学知识可知点关于轴的对称点在反射光线上，利用两点坐标写出直线方程即可. 【详解】由题知，点关于轴的对称点在反射光线上， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故选：B. 6. 在平面直角坐标系中，过点的直线与轴，轴的正半轴分别交于，两点，则面积的最小值为（   ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先判断直线斜率的范围，然后求出直线方程和点的坐标，然后写出面积的表达式，最后利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】因为过的直线与轴的正半轴有交点，所以直线的斜率. 设直线方程为，即. 则根据题意可知. 所以. 由基本不等式可得. 所以， 当且仅当时，即时等号成立，此时的面积最小值为6. 故选：B. 7. 已知点在圆上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简变形，令，则，利用圆与直线的位置关系列不等式计算即可. 【详解】由题意，. 令，则， 由题知，圆与直线有公共点，故圆心到直线的距离， 整理得，解得，所以， 所以的取值范围为. 故选：A. 8. 若圆上总存在两个点到点的距离为6，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得圆与圆有两个交点，由两圆的位置关系求解即可. 【详解】由题知圆的标准方程为， 圆与圆有两个交点， 故， 解得. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能为（   ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】通过斜率不存在、存在及直线与圆的位置关系计算即可. 【详解】由条件可知：与相切， 当斜率存在时，设斜率为，得，由直线与圆相切， 又圆心坐标为， 可得：，解得：， 此时切线方程为：， 即直线的方程：或， 故选：AC 10. 下列四个命题中正确的是（   ） A. 向量是直线的一个方向向量 B. 直线与直线之间的距离为 C. 若直线与直线相互垂直，则实数的值为或0 D. 直线的倾斜角的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】直线方向向量的定义、平行线间距离公式，结合互相垂直两直线的性质、正弦函数的性质逐一判断即可. 【详解】A：直线的方向如果是，它的斜率为， ，所以直线的斜率为，因此选项不正确； B：， 所以直线与直线之间的距离为，因此选项正确； C：因为直线与直线相互垂直， 所以有，或，因此选项正确； D：由直线的方程可知该直线的斜率为， 因为，所以， 设直线的倾斜角为，则有， 解得，或，所以选项不正确， 故选：BC 11. 过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ） A. 当为等边三角形时， B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 直线过定点 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用余弦定理和勾股定理计算可判断A，B，根据三角形等面积法计算得，可计算并判断C，通过设点的坐标为，可得以线段为直径的圆的方程为，与圆方程联立可得交线的方程为，从而可得出定点判断D. 【详解】 对于A，若为等边三角形，则， 又，根据余弦定理，，故A正确； 对于B，由，得，故B错误； 对于C，在中，根据等面积法，可得， 得，故C正确； 对于D，设点的坐标为， 以线段为直径的圆的方程为，整理得， 将代入可得直线的方程为，可知点一定在直线上，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，，若，则_____. 【答案】-1 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件进行求解即可. 【详解】因为直线和平行， 所以且，所以解得. 故答案为：-1. 13. 已知，两点到直线的距离相等，则_____. 【答案】或 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】因为，两点到直线的距离相等， 所以有或， 解得或. 故答案为：或 14. 已知点，是圆上位于第三象限内的不同两点，，则的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】如图作辅助线，观察可得，利用三角形的边角关系，结合三角恒等变换以及正弦函数的性质可求得最值. 【详解】 如图，作直线，过点分别作直线的垂线，垂足分别为， 过作直线的垂线，垂足为，过作直线的垂线，垂足为， 则点到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为， . 设，则. 又，所以，， 则，当时，取得最大值为， 所以，即的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点，分别求出满足下列条件的直线的方程. （1）与直线垂直； （2）在轴上的截距为3； （3）在坐标轴上的截距相等. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率的关系，结合直线点斜式方程进行求解即可； （2）根据直线的斜截式方程，结合代入法进行求解即可； （3）根据截距是否为零分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 ，因此直线的斜率为， 因此直线的斜率为， 所以直线的方程为； 【小问2详解】 因为直线在轴上的截距为3， 所以设直线的方程为，把代入方程得， 因此直线的方程为； 【小问3详解】 因为直线在坐标轴上的截距相等， 所以设直线在坐标轴上的截距为， 当时，设直线的方程为，把代入方程得， 此时直线的方程为， 当时，设直线的方程为，把代入方程得， 此时直线的方程为， 因此直线的方程为，或. 16. 已知圆经过，，. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于，两点，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2），或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 设圆的一般方程为，其中, 把点，点，点的坐标代入圆的一般方程中，得 ， 所以该圆的一般方程为； 【小问2详解】 过点的直线不存在斜率时，方程为，代入中， 得，显然只有一个交点，不符合题意； 当过点的直线存在斜率时，方程设为， ，圆心坐标为，半径为， 因为，且半径为， 所以圆心到直线的距离， 于是由点到直线距离公式，得或， 所以方程为，或. 17. 已知直线的方程为. （1）求直线过定点的坐标； （2）当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】（1） （2）时，到直线的距离最大，最大距离是. 【解析】 【分析】（1）化简直线为，联立方程组，即可求解； （2）根据题意，得到当与直线垂直时，点到直线的距离最大，列出方程，求得的值，得到直线方程，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【小问1详解】 直线的方程可化为， 联立方程组，解得， 所以直线过定点的坐标为. 【小问2详解】 当与直线垂直时，点到直线的距离最大， 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 所以，解得，即的方程为， 则点到直线的最大距离为， 故当时，到直线的距离最大，最大距离是. 18. 已知圆，圆. （1）判断圆和圆的位置关系； （2）求圆心在直线上，且与圆和圆都相外切的圆的方程； （3）求圆和圆的公切线的方程. 【答案】（1）外离 （2） （3），或，或，或 【解析】 【分析】（1）根据两圆圆心距、半径和差之间的关系进行判断即可； （2）根据两圆外切的性质进行求解即可. （3）根据圆的公切线性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为， 因为， 所以圆和圆外离； 【小问2详解】 设圆心在直线上，且与圆和圆都相外切的圆为圆， 因此圆的半径为， 直线的方程为，设圆的坐标为， 由，负值舍去， 圆的方程为 【小问3详解】 当两圆的公切线不存在斜率时，设直线方程为， 所以有，即公切线方程为； 当两圆的公切线存在斜率时，设直线方程为， 所以有，或 当时，有，代入中， 得，，或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，， 此时公切线方程为； 当时，有，代入中，， 解得， 此时公切线方程为， 所以公切线方程为，或，或，或. 19. 已知圆的圆心与圆的圆心关于直线对称. （1）求圆的标准方程； （2）若直线交圆于，两点，点，证明：当不断变化时，轴始终平分； （3）设为圆上任意一点，过点作圆的切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明： 设，，且， 联立方程组，整理得， 则，且，， 则， 所以当不断变化时，轴始终平分. （3）存在定点，此时为定值或存在定点，此时为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别求得圆和圆的圆心坐标和半径，结合圆心与圆心关于直线对称，列出方程组，求得的值，即可求解； （2）联立方程组，得到，结合韦达定理，求得，即可得证； （3）设，由为圆的切线，得到，得到方程，结合方程的恒成立，列出方程组，求得的值，进而得到答案. 【小问1详解】 由圆，可得圆的圆心为，半径为， 又由圆，可得圆心为，半径为， 因为圆心与圆心关于直线对称， 可得，解得， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 假设存在定点，使得为定值，设，，， 因为点在圆上，所以，则， 因为为圆的切线，所以， 所以，， 所以， 整理得（）， 若使（）对任意恒成立，则，可得， 代入③整理得，解得或， 所以或， 所以存在定点，此时为定值或存在定点，此时为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点，，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知方程表示一个圆，则实数的取值范围是（   ） A. B. C. D. 3. 直线在坐标轴上的截距之和为（   ） A. B. C. D. 4. 圆上任意一点到直线的距离的最大值为（   ） A. B. C. D. 5. 一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，过点的直线与轴，轴的正半轴分别交于，两点，则面积的最小值为（   ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 已知点在圆上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若圆上总存在两个点到点的距离为6，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线过点，且直线与圆相切，则直线的方程可能为（   ） A. B. C. D. 10. 下列四个命题中正确的是（   ） A. 向量是直线的一个方向向量 B. 直线与直线之间的距离为 C. 若直线与直线相互垂直，则实数的值为或0 D. 直线的倾斜角的取值范围是 11. 过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ） A. 当为等边三角形时， B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 直线过定点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线，，若，则_____. 13. 已知，两点到直线的距离相等，则_____. 14. 已知点，是圆上位于第三象限内的不同两点，，则的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点，分别求出满足下列条件的直线的方程. （1）与直线垂直； （2）在轴上的截距为3； （3）在坐标轴上的截距相等. 16. 已知圆经过，，. （1）求圆的方程； （2）过点的直线与圆交于，两点，若，求直线的方程. 17. 已知直线的方程为. （1）求直线过定点的坐标； （2）当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 18. 已知圆，圆. （1）判断圆和圆的位置关系； （2）求圆心在直线上，且与圆和圆都相外切的圆的方程； （3）求圆和圆的公切线的方程. 19. 已知圆的圆心与圆的圆心关于直线对称. （1）求圆的标准方程； （2）若直线交圆于，两点，点，证明：当不断变化时，轴始终平分； （3）设为圆上任意一点，过点作圆的切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $