湖南省邵阳市邵东市第一中学2025-2026学年高三上学期第一次月考数学试题

2025年高三第一次月考数学试卷 一、选择题 1.复数z满足=(1-)=2i(i为虚数单位)，则z的虚部为() A.-1 B.1 Ci D.-i 2.已知集合A={x∈NIx2-5x-14<0},B={xog,(x-2)<2}.则图中阴影 部分表示的集合为() A.{3,4,5} B.{1,2} c.{3,4,5,6} D.{1,2,6 3.命题P:x∈[-1,1]，x2<a为真命题的一个充分不必要条件是() A.a>1 B.a<0 C.a>2 D.a<1 4.已知a2ab之2：且2a+b=2,则 4a-12b-1 的最小值是() A.1 4 C.2 5.已知a=log30.07,b=27,c=62,则() A.azb>c B.b>c>a C.c>b>a D.a>c>b 6.若关于x的不等式2x2-4x<x-2有且只有一个整数解，则实数a的取值范围是() A.(1,2] B.[1,2) C.(0,2) D.(0,2] 7.已知函数f(x)= xInx,x>0 -x2-2x+1,x≤0 函数g(x)=[f(x)门-(a-1)f(x)-a,则下列结论 正确的是() A若a1<-1,则g(x)恰有2个零点 B.若g(x)恰有2个零点，则a的取值范围是 C若g(x)恰有3个零点，则a的取值范围是[0,1) D.若1≤a<2,则g(x)恰有4个零点 8.定义在R上的函数f)满足f9+fx+2)=0,f+1)是偶函数，且f分=1， 则使空k-为≥2025成立的最小正整数n等于() K= A.2025 B.2026 C.507 D.506 二、多项选择题 9.已知函数f(x)=2sin (o>0)的两个相邻零点间的距离为π，将函数f(x) 6 的图象向左平移工个单位长度得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是() 6 A.函数f(x)的图象关于直线x= 2π对称B.函数f()在区间[0，上单调递减 C.g(=2simx+3) D.函数g(x)在区间[-元，2π]内的零点个数为3 10.函数f(x)=x3-ax2-x+1,则下列结论正确的是() A若两数))上为减函数则1sa≤号 B.若函数f(x)的对称中心为1，-2)，则a=3 C当a=3时，若f(x)=-2有三个根x,x2,x,且x+x,+x=3 D当a=1时，若过点(1m可作曲线y=f(x)的三条切线，则0<n< 64 11.设函数f(x)=e+(-1)(simx-cosx),则下列结论正确的是() A.f(x)在(0，+o)单调递增 B.n为奇数时，f(x)在(-2元，0)有一个极值点 C.n为偶数时，f(x)在(-元0)单调递增 D.n为偶数时，y=f(x)2x的最小值为0 三、填空题 12.已知a,beR.若函数f(x)=x3-2sinx+b是定义在[-2a,a+1]上的奇函数，则 a+b= 13.已知a、万满足a=4,a-b=6,若ā在6方向上的投影向量为号b，则 a+B= 14.已知函数f=almx-血x+b-ab,若f)≥0恒成立，则a(2b+D的取值范围是 四、解答题 15.当前，以ChatGPT为代表的AIGC(利用AI技术自动生成内容的生产方式)领域 一系列创新技术有了革命性突破，全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC,我国的BAT (百度、阿里、腾讯3个企业的简称)、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领 头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究 报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访 (1)求选取的3个科技企业中，BAT中至多有1个的概率； (2)记选取的3个科技企业中BAT中的个数为X,求X的分布列与期望 16.若数列{an}的前n项和为Sn,且an>0,a-2Sn+an=0 (I)求数列{a}的通项公式： (②若么=牙，数列}的前n项和为7，证明：工< 3 4 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD,PD与底面所 成的角为45°，E为PD的中点 (1)求证：AE1平面PCD; (2)若AB=2,G为△BCD的内心，求直线PG与平面PCD所成角的正弦值 18.已知双曲线C:-y 6=1a>0,b>0)的左，右焦点分别为，2，实轴长为23，之 渐近线方程为√3x-3y=0,过F,的直线1与双曲线C的右支交于A,B两点 (1)求双曲线C的方程； (2)已知P(-√5,0)，若△ABP的外心Q的横坐标为0，求直线1的方程 19.已知函数f(x)=xnx-元(x-1). (1)当x≥1时，f(x)≥0，求的取值范围； (2)函数g(x)=f(x)-x2+(2-1)x有两个不同的极值点x,x,(其中x<x,),证 明：1nx+3lmx2>4; （3)求证：1+L,+1++<n2neN) n+1n+2n+32n 参考答案 1.答案：A 解析：由复数z满足1-)=2i,可得：= 2i 2i-(1+i)=-1+i, 1-i(1-i)1+i) 则=-1-1，所以复数三的虚部为-1 故选：A 2.答案：D 解析：A={x∈Nx2-5x-14<0}={L,2,3,4,5,6},B={log2(x-2)<2}={x2<x<6, 所以A∩B={3,4,5},所以图中阴影部分表示的集合为1,2,6}.故选D. 3.答案：C 解析：x∈[-1,1]，则x2≤1， 当且仅当x=±1时取等号，由命题P为真，得a>1, 因此命题P为真命题的一个充分不必要条件是集合{aa>1}的真子集， C是，ABD都不是 故选：C 4.答案：C 解析：因为2a+h=2,所以(4-少+2b--2,又a子b>分所以4a-1>0, 61so,则'b1anew'） 4a-12b-1 a,b=1时等号成立.故选C 5.答案：A 解析：由题可知b0=(27°=27=128，c0=(62)=62=36, 所以b0>c0, 因为b>0,c>0,所以b>c, 因为y=logo3x在(0，+∞)上单调递减，且0.07<0.09， 所以1ogo30.07>log30.09=2,即a>2, 因为y=2在R上递增，且0.7<1， 所以27<2=2，即b<2, 故a>b>c. 故选：A 6.答案：B 解析：当a=0时解行x不满足条件 故a≠0，关于x的不等式2ax2-4x<m-2可得2ax2-(4+a)x+2<0, 所以ex-a-2<0即a2xx20 方程(2x-x-子)-0的两根为x分5- a 当a<0时，不等式可化为(2--引0-名<0， 解条为引行不满足条件 当a>0时，不等式可化为(2x-x0, >时四却e4个等定的集为层》 要使不等式有且只有一个整数解，则-1<2<0，又因为a>0,不满足条件； 当x=x时，则}2，即a=4,不等式的解集为空集， 2 a 当<时则名即0<a4不等式份解套为行》 2 a 要使不等式有且只有一个整数解，则1<2≤2，解得：1≤a<2, 故实数a的取值范围是：[1,2). 故选B. 7.答案：D 解析：令g(x)=[f(x)门-(a-1)f(x)a=0, 则[f(x)-a[f(x)+1]=0,解得f(x)=-1或f(x)=a, 当x>0时，f()=nx+1,由f)>0,得x>由f倒<0，得0<x<日 则/)布〔Q日)上单酒滋减在怎上单酒滋城/日-怎 当x≤0时，f(x)=-x2-2x+1,当x=-1时，f(x)取最大值，最大值为f(-1)=2, 故f(x)的大致图象如图所示， 由图可知，f(x)=-1有且仅有1个实根 当a=-1时，g(x)恰有1个零点，故A选项错误； 由g(x)恰有2个零点，则f(x)=a恰有1个实根，且a≠-1， 则a<-1或-1<a<-1或a>2,则B选项错误 由g(x)恰有3个零点，得f(x)=a恰有2个实根，则a=2或0≤a<1或a=-1,则C选项 错误； 当1≤a<2时，f(x)=a有3个实根，则g(x)恰有4个零点，故D单调正确； 故选：D. 8.答案：B 解析：由f(x+1)是偶函数，得f(-x+1)=fx+1), 则函数f(x)的图像关于直线x=1对称， 且f(x)=f(2-x),又f(x)+f(x+2)=0, 则f(2-x)+f(x+2)=0, 因此函数f(x)的图像关于点(2,0)对称， 而f(x+2)+fx+4)=0,即f(x+4)=f), 函数fx)的周期为4，由f(分)=1及对称性， 得f=1,月=-1，f3)=-1 显然k≥1，在第1个周期内，f月+2f月+3f月+4=1+2-3-4=-4， 在第2个周期内，5f兮+6f宁+7f导+8/停=5+6-7-8=-4， 以此类推，在m(meN)个周期内， 有(4m+1)+(4m+2)-(4m+3)-(4m+4)=-4, 当n-m时，之--m<0,不符合a点： k=1 当n=4m+1时， 材k月=-4m+4m+1=1,不符合题盒 1 当n=4+2时， 灯k习三4m2+4m+1+4m+2=4+3 令4m+3≥2025， 解得m≥101 ,正整数m的最小值为506， 此时n的最小值为2026： 当n=4m+3时，】 灯k-为=4m+3-4m+3)=0,不符合题意， 所以最小正整数n为2026. 故选：B 9.答案：CD 解析：对于A选项，由愿可得，m-狂1，)-2mx+爱)令 2π x+亚=元+k红，keZ,解得x=T+m,keZ,“函数f(w)的图象关于直线 62 3 t=号，keZ对称，放A错误：对于B滋顾，令行2m≤x+后爱+2， 6-2 keZ,得背+2≤x≤督-2，keZ,函数了的单羽递减区间为 3 [否+2n誓+2云灰e乙，放B错误：对于C逅项，将函数f的图象向左平移 6 个单位长度，得到函数gw)=2smx+的图象，故C正确：对于D选项，令 3 +行，ke2,得x=否红，keZ,函数g(0在区间元2闲内的零点有 2元 3’3’ ,共3个，故D正确故选CD 10.答案：ACD 解析：对于Af)--am-x+1了)-3x-2m1,函数fx)在(3上为减 函数， 则r对x(》 3-0-1.8 所以 解得-1、，故A正确； ke 对于B,函数f(x)的对称中心为(1，-2)，则f(0)+f(2)=-4,即1+8-4a-2+1=-4,解得 a=3,故B错误； 对于C,当a=3时，f(x)=x2-3x2-x+1,则f(x)=-2即x3-3x2-x+3=0, 化简得(x+1)(x-1)(x-3)=0,其3个根为x=-1,x,=1,x=3,所以x+x,+x=3,故C 正确， 对于D,当a=1时，f(x)=x3-x2-x+1,设切点为(xy),则%=x,3-x,2-x+1,切线的 斜率k='(x)=3x2-2x。-1, 则切线方程为y-(x-x2-x+1=(3x2-2x。-1)(x-x): 将点(-1，n)代入上式，整理得n=-2x,3-2x,2+2x。+2, 过点(-1，n)可作曲线y=f(x)的三条切线， 即方程n=-2x。3-2x2+2x,+2有三个不同的解， 令g(x)=-2x3-2x2+2x+2, 则g(x)=-6.x2-4x+2=-2(x+1)(3x-1),可得， 当x∈(-n,-1)时，g(x)<0,函数g(x)单调递减， 当写时0.函数单洞诺路 当x∈目w时，gy)<0,函数g)单调造减 所以函数g(x)在x=-1处取得极小值，极小值为g(-1)=0, 在？专处取得板大位极大性为8付) 27 由方程n=-2x,3-2x,2+2x。+2有三个不同的解， 所以0<n< 改DE 故选：ACD 11.答案：ABD 解析：令g(x)=e-sinx,x>0,则g(x)=e-cosx>l-cosx≥0当x>0时恒成立， 可知g(x)在(0，+o)内单调递增，则g(x)>g(0)=1, 即g(x)>1在(0，+∞)内恒成立 由题意可知：f(x)的定义域为R, 若n为奇数时，则f(x)=e-sinx+cosx,可得f(x)=e-cosx-sinx, 对于选项A:可知f(x)=g(x)-cosx>1-cosx≥0当x>0时恒成立， 所以f(x)在(0，+o)单调递增，故A正确； 对于选项B:令h(x)=f'(x), 若x∈[-元，0)，则sinx≤0， 可得h(x)=e+sinx-cosx≤e-cosx<l-cosx<0, 可知h(x)在[-元，0)内单调递减，则h(x)>h(0)=0,