精品解析：浙江省杭州市余杭区2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试卷

八年级数学独立作业 选择题部分 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分．） 1. 下列长度的三条线段不能组成三角形的是（ ）． A. l，2，3 B. 2，2，3 C. 2，3，4 D. 3，4，5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了构成三角形的条件：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．据此即可求解. 【详解】解：∵， ∴A中三条线段不能组成三角形； 故选：A 2. 《国语•楚语》有云：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美”．里里外外皆均衡妥帖，方为“美”，对称即是这样的美．下列航空公司的标志是轴对称图形的是（ ） A. 贵州航空 B. 中国南方航空 C. 江西航空 D. 中国国际航空 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B． 3. 下列命题为假命题的是（ ）． A. 对顶角相等 B. 等角的补角相等 C. 同旁内角互补 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查命题，命题是由题设和结论两部分组成的陈述句，正确的命题叫真命题；错误的命题叫假命题，熟记对顶角、补角及平行线的性质是解决问题的关键． 根据对顶角、补角、平行线的性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、对顶角相等，选项命题是真命题，不符合题意； B、等角的补角相等，选项命题是真命题，不符合题意； C、两直线平行、同旁内角互补，选项命题是假命题，符合题意； D、两直线平行，同位角相等，选项命题是真命题，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，，且，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 根据全等三角形对应角相等得到，再利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 5. 已知等腰三角形的一边长为4，周长为20，则它的腰长为（ ）． A. 4 B. 8 C. 10 D. 4或8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 根据等腰三角形的性质分为两种情况解答：当边长4为腰或者4为底边时． 【详解】解：分情况考虑：若4是腰时，则底边长是，此时4，4，12不能组成三角形，应舍去； 当4是底边时，腰长是，4，8，8能够组成三角形． 此时腰长是8． 故选：B． 6. 如图，把三角形纸片分别沿，所在直线折叠，使得点都与点重合，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中，由三角形内角和定理得到，再由折叠性质得到，，结合等腰三角形性质得到，数形结合表示出，代值求解即可得到答案． 【详解】解：在中，，则， 把三角形纸片分别沿，所在直线折叠，使得点都与点重合，则，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查三角形中求角度，涉及三角形内角和定理、折叠性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟记三角形相关性质、折叠性质是解决问题的关键． 7. 如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等，熟记判定定理的内容是解题关键．由可推出，结合各选项的条件即可作出判断． 【详解】解：∵， ∴，即； 若，则通过可证，故A不符合题意； 若，则通过可证，故B不符合题意； 若，则通过可证，故C不符合题意； 若时，不能推出，故D符合题意； 故选：D． 8. 如图1，这是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应设备，备受大众喜爱．该太阳能热水器安装后，我们可以将其看作（如图2）．为了使其更加牢固，安装工人增加了，两根支架．若支架与地面呈，支架，，，，则的长为（ ）． A. 1m B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先判断是等腰三角形，再由两个三角形全等的判定定理得到，进而由全等性质得到，再由等腰三角形性质得到即可得到答案． 【详解】解：在中，，则, ， ，解得， ， 则， ， ， ， 在和中， ， ， 在等腰中，，，则由等腰三角形性质可得， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中求线段长，涉及直角三角形两锐角互余、等腰三角形的判定与性质、两个三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质、全等的判定与性质是解决问题的关键． 9. 在中，，在上取一点，使得，则下列尺规作图选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中要求，在上取一点，使得，根据，从而得到，即可得到本题的尺规作图是作线段的垂直平分线，结合选项即可得到答案． 【详解】解：在中，，在上取一点，使得， ， ，即作线段的垂直平分线， 故选：B． 【点睛】本题考查五类基本尺规作图-作垂直平分线，熟练掌握线段垂直平分线的作法是解决问题的关键． 10. 如图，、分别是的高和角平分线，与相交于点G，平分交于点E，交于点M，连接交于点H，且．下列两个结论： ①≌； ②． 判断正确的是（ ）． A. ①②都正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②正确 D. ①②都错误 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，角的平分线的意义，同一三角形中，大角对大边，直角三角形的特征量，熟练掌握三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征量，三角形内角和定理是解题的关键． 根据是的高，结合是的角平分线，利用全等三角形的判定和性质，可判定①正确；延长交于点N，得到，得到，可以判断②错误，解答即可． 【详解】解：∵是的高，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，是的角平分线， ∴，， ∴， ∵ ∴，故①正确； 延长交于点N， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵，是钝角， ∴， ∴， 故不成立， 故②错误， 故选：B 非选择题部分 二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分） 11. 如图，一面小红旗其中，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求解． 【详解】解：∵是的外角， ∴， 故答案为： 12. 中，，那么与相邻的一个外角等于_________ 【答案】117°##117度 【解析】 【详解】的外角=， 故答案为：117° 13. 用“举反例”的方法说明命题“若有平方根，则是正数”是假命题，则反例是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是平方根的含义，举反例说明命题是假命题；先举例：当时，有平方根，但是不是正数，从而可得答案. 【详解】解：当时，有平方根，但是不是正数， ∴说明命题“若有平方根，则是正数”是假命题，则反例是：； 故答案为： 14. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为__________． 【答案】##24厘米 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，，结合即可求得答案． 【详解】解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为： 15. 如图，在中，D为上一点，满足，以点B为圆心，适当长为半径作弧分别与和交于点E和F，再分别以点E和F为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点G，作射线交于点H．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图以及三角形的外角的定义及性质，由题意得出平分，是解题关键，再根据即可求解； 【详解】解：由题意得：平分， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为： 16. 如图，在中，，，，，平分交于点D，点E，F分别是，上的动点，则： （1）的长为______； （2）的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查垂线段最短问题、角平分线的性质等知识点，解决本题的关键是正确作出辅助线，借助面积法列方程求解． （1）过点作，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知，再根据列方程求出的长； 过点作交于点，作交于点，此时有，利用面积法列方程求出的长度即为的最小值． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作， 平分交于点， ， ， ， ，，， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：如下图所示，过点作交于点，作交于点，连， 平分交于点， 点与点关于对称， 在中，， ， ， 解得：， 由“两点之间线段最短”知，的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. 如图，已知点是线段上的两点，且，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形全等判定与性质，熟记两个三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 先数形结合得到，再由两个三角形全等的判定定理得到，进而由三角形全等性质即可得证． 【详解】略 18. 如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． （1）若的面积为6，则的面积为______． （2）当，时，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线、中线，熟记相关定义是解题关键； （1）的面积为； （2）由题意得，进而得即可求解； 【小问1详解】 解：∵是的中线，且的面积为6， ∴的面积为． 【小问2详解】 解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴． 19. 已知：如图，在中，平分．在上截取，连结．若， （1）求证：； （2）求的周长． 【答案】（1） 证明：平分， ， 在和中， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）先由平分证明，再根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）根据全等三角形的对应边相等得，由先求出的值，再求出的值，即得到的周长． 此题重点考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、根据转化思想求三角形的周长等知识与方法，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并证明是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， 的周长是． 20. 小聪与小明同学对作格点等腰三角形（顶点都在小正方形的顶点上的等腰三角形）开展探究．如图1，在一个的方格中，已知格点A、B，确定点C的位置，使是格点等腰三角形． 小聪的作法是：以点A为圆心，以长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（B点除外）就是点C的位置． （1）按照小聪的作法，能确定_______个点C，此时等腰三角形的底边是_______．（填线段） （2）小明受到小聪的启发，也有了自己的想法，他想以作为的底边，那么小明的作法应该是：以点_______为圆心，以_______长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置． （3）你还有其他确定点C位置的方法吗？请将你的想法在图2中用尺规作图的方法表示出来．（不写作法，保留作图痕迹） （4）小聪、小明和你一共作出了_______个符合要求的点C． 【答案】（1）3； （2）B； （3） 如图所示，即为所求； （4）8 【解析】 【分析】本题主要考查了网格中画等腰三角形，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，熟知等腰三角形的定义是解题的关键． （1）根据题意作出图形结合等腰三角形的定义即可得到答案； （2）根据等腰三角形的等腰可得，则以点B为圆心，以长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置； （3）作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置； （4）作出（1）（2）（3）的图形即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，一共有3个点符合题意， 由作图方法可得，故底边为； 【小问2详解】 解：∵作为的底边， ∴， ∴以点B为圆心，以长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图所示，一共有8个点符合题意； 21. 如图，小明坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 【答案】（1） 解：与全等，理由如下： 由题意知，，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由题意知，，，由，可得，证明即可； （2）由（1）知，则，由题意知，，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， 由题意知，， ∴， ∴爸爸是在距离地面的地方接住小明的． 22. 如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． （1）若，的周长为19，则的长为______； （2）若，求的度数； （3）已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】（1）11 （2） （3） 解：点P在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， ∵直线l垂直平分边，点P在直线l上， ∴， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点P在边的垂直平分线上． 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定、等边对等角，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）利用等边对等角即可求解； （3）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵直线l垂直平分边，分别交，于点D，E， ∴， ∴， ∵的周长为19， ∴， ∵， ∴， 即； 故答案为：11； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴． 【小问3详解】 略 23. 【问题提出】我们知道；三角形全等的判定方法有：“”，如果两个三角形有两边和一个角对应相等，那么这两个三角形一定全等吗？小明受到书本第34页的探究活动的启发，进行了如下探究． 【初步思考】不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为是直角、钝角、锐角三种情况进行探究． 【深入探究】 （1）第一种情况：当是锐角时，如图1，在和中，，，，和______全等（填写一定或不一定）．如果一定全等，请证明；如果不一定全等，请用尺规作，使和不全等． （2）第二种情况：当是直角时，小明查阅资料发现：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成斜边、直角边或HL）． 如图2，在和中，，，，可知和______全等（填写一定或不一定）． （3）第三种情况：当是钝角时，≌． 如图3，在和中，，，，且、都是钝角，小明由（2）受到了启发，很快证出了≌．请聪明的你完成小明的推理过程． 【答案】（1） 如图所示： 则即为所求； （2）一定 （3） 解：过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于，如图所示： ， 由，可得， 在和中， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ． 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，涉及尺规作图及邻补角定义等知识，读懂题意，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据三角形全等的判定定理即可判定，再由尺规作图，以点为圆心、为半径，作交边于点即可得到答案； （2）当是直角时，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成斜边、直角边或），直接结合条件判定即可得到答案； （3）过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于，如图所示，先判定，得到；进而判定，得到，从而得证． 【小问1详解】 解：根据三角形全等的判定方法：“”， 在和中，，，，和不一定全等； 故答案为：不一定； 【小问2详解】 解：当是直角时，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成斜边、直角边或），如图所示： 在和中，，，，由判定，可知和一定全等， 故答案为：一定； 【小问3详解】 略 24. 如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，相交于点O，连接，． （1）求的度数； （2）求证：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：如图，在上取点H，使，连接，， ∵平分交于点D，平分交于点E， ∴，， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】此题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，全等三角形的判定和性质等知识． （1）利用角平分线和三角形内角和即可求出答案； （2）在上取点H，使，连接，，证明≌，得到，，证明≌，得到，即可得到结论； （3）过H作于I，过H作于J，证明≌，得到，则，求出，由≌得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵平分交于点D，平分交于点E， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过H作于I，过H作于J， ∴， 由（1）得：， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴≌， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵≌， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学独立作业 选择题部分 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分．） 1. 下列长度的三条线段不能组成三角形的是（ ）． A. l，2，3 B. 2，2，3 C. 2，3，4 D. 3，4，5 2. 《国语•楚语》有云：“夫美也者，上下、内外、大小、远近皆无害焉，故曰美”．里里外外皆均衡妥帖，方为“美”，对称即是这样的美．下列航空公司的标志是轴对称图形的是（ ） A. 贵州航空 B. 中国南方航空 C. 江西航空 D. 中国国际航空 3. 下列命题为假命题的是（ ）． A. 对顶角相等 B. 等角的补角相等 C. 同旁内角互补 D. 两直线平行，同位角相等 4. 如图，，且，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知等腰三角形的一边长为4，周长为20，则它的腰长为（ ）． A. 4 B. 8 C. 10 D. 4或8 6. 如图，把三角形纸片分别沿，所在直线折叠，使得点都与点重合，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，，，添加下列条件，不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图1，这是一种太阳能热水器，它是一种环保、经济的家庭热水供应设备，备受大众喜爱．该太阳能热水器安装后，我们可以将其看作（如图2）．为了使其更加牢固，安装工人增加了，两根支架．若支架与地面呈，支架，，，，则的长为（ ）． A. 1m B. C. D. 9. 在中，，在上取一点，使得，则下列尺规作图选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，、分别是的高和角平分线，与相交于点G，平分交于点E，交于点M，连接交于点H，且．下列两个结论： ①≌； ②． 判断正确的是（ ）． A. ①②都正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②正确 D. ①②都错误 非选择题部分 二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分） 11. 如图，一面小红旗其中，，则__________． 12. 中，，那么与相邻的一个外角等于_________ 13. 用“举反例”的方法说明命题“若有平方根，则是正数”是假命题，则反例是________． 14. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为__________． 15. 如图，在中，D为上一点，满足，以点B为圆心，适当长为半径作弧分别与和交于点E和F，再分别以点E和F为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点G，作射线交于点H．若，，则______． 16. 如图，在中，，，，，平分交于点D，点E，F分别是，上的动点，则： （1）的长为______； （2）的最小值为______． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程．） 17. 如图，已知点是线段上的两点，且，，，求证：． 18. 如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． （1）若的面积为6，则的面积为______． （2）当，时，求的度数． 19. 已知：如图，在中，平分．在上截取，连结．若， （1）求证：； （2）求的周长． 20. 小聪与小明同学对作格点等腰三角形（顶点都在小正方形的顶点上的等腰三角形）开展探究．如图1，在一个的方格中，已知格点A、B，确定点C的位置，使是格点等腰三角形． 小聪的作法是：以点A为圆心，以长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（B点除外）就是点C的位置． （1）按照小聪的作法，能确定_______个点C，此时等腰三角形的底边是_______．（填线段） （2）小明受到小聪的启发，也有了自己的想法，他想以作为的底边，那么小明的作法应该是：以点_______为圆心，以_______长为半径画弧，弧与小正方形顶点的交点（A点除外）就是点C的位置． （3）你还有其他确定点C位置的方法吗？请将你的想法在图2中用尺规作图的方法表示出来．（不写作法，保留作图痕迹） （4）小聪、小明和你一共作出了_______个符合要求的点C． 21. 如图，小明坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． （1）与全等吗？请说明理由； （2）爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 22. 如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． （1）若，的周长为19，则的长为______； （2）若，求的度数； （3）已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 23. 【问题提出】我们知道；三角形全等的判定方法有：“”，如果两个三角形有两边和一个角对应相等，那么这两个三角形一定全等吗？小明受到书本第34页的探究活动的启发，进行了如下探究． 【初步思考】不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为是直角、钝角、锐角三种情况进行探究． 【深入探究】 （1）第一种情况：当是锐角时，如图1，在和中，，，，和______全等（填写一定或不一定）．如果一定全等，请证明；如果不一定全等，请用尺规作，使和不全等． （2）第二种情况：当是直角时，小明查阅资料发现：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成斜边、直角边或HL）． 如图2，在和中，，，，可知和______全等（填写一定或不一定）． （3）第三种情况：当是钝角时，≌． 如图3，在和中，，，，且、都是钝角，小明由（2）受到了启发，很快证出了≌．请聪明的你完成小明的推理过程． 24. 如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，相交于点O，连接，． （1）求的度数； （2）求证：； （3）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $