圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系练习题件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系练习题 一、单选题 1．圆心为，半径为2的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．圆心在直线l：上，且过，两点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 4．一条光线从点射出，经过轴反射后恰好平分圆的周长，则入射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6．若圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知，若两圆和恰有三条公切线，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．过点作直线与曲线交于，两点，为坐标原点，则面积的最大值为（   ） A．1 B． C．2 D． 二、多选题 9．数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点，距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．圆方程为 B．点的轨迹围成区域的面积为 C．点的轨迹关于对称 D．点在圆内 10．已知直线，圆，为圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．的最大值为5 C．的最大值为 D．圆心到直线的距离小于4 11．圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 三、填空题 12．已知直线将圆的面积平分，过点作圆C的切线，切点为N，则 . 13．已知圆与圆，若两圆有四条公切线，则直线与圆的位置关系是 ． 14．已知直线和圆.若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为 . 四、解答题 15．在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 16．已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 17．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； (3)设点，过点作直线，交圆于两点，再过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的最大值. 18．已知圆经过点，与直线相切，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)已知直线经过点，并且直线与圆交于两点，若，求直线的方程． 19．已知过点且斜率为的直线与圆交于，两点. (1)求的最小值，并求取最小值时的方程； (2)若为锐角，为坐标原点，求的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 $ 圆的方程，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系练习题 一、单选题 1．圆心为，半径为2的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意圆的标准方程是， 故选：B. 2．已知点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为曲线表示圆，点在圆的外部， 所以，整理得， 由可得， 由可得或， 故. 故选：D. 3．圆心在直线l：上，且过，两点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】,中点为， 故其垂直平分线方程为，即, 联立解得，故圆心C为， 半径， 故圆的方程为， 故选：D. 4．一条光线从点射出，经过轴反射后恰好平分圆的周长，则入射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】由，因此该圆的圆心坐标为， 因为光线从点射出，经过轴反射后恰好平分圆的周长， 所以反射光线经过圆心， 点关于轴对称的点， 根据光反射的性质可知点必在反射光线所在的直线上， 由直线的两点式，可知反射光线所在的直线的方程为：， 令，得，即经过轴上点反射， 由直线的两点式，可知入射光线所在的直线的方程为：， 故选：D 5．点在圆上运动，它与点所连线段中点为，则点轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【详解】设，又与点所连线段中点为，则， 因为点在圆上运动，则， 所以，故点轨迹方程为. 故选：A 6．若圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】圆心到直线的距离为：， 根据题意，圆上到直线距离为的点有且仅有个，需满足：，   因此， 的取值范围为. 故选：A. 7．已知，若两圆和恰有三条公切线，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【详解】圆，整理得， 则圆心为，半径为1， 圆，整理得， 则圆心为，半径为2， 因为两圆恰有三条公切线， 所以两圆外切，即圆心距等于半径和， 所以，解得，     令，则，代入， 得，展开得， 因为， 所以，解得. 所以的最大值为. 故选：D 8．过点作直线与曲线交于，两点，为坐标原点，则面积的最大值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【详解】由，则，，即， 所以曲线，是以原点为圆心，2为半径的半圆，如图. 因为， 所以当面积取最大值时，， 即. 故选：C. 二、多选题 9．数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点，距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．圆方程为 B．点的轨迹围成区域的面积为 C．点的轨迹关于对称 D．点在圆内 【详解】对A：设，则有， 化简得，故点的轨迹是圆，故A正确； 对B：由点的轨迹是圆， 则点的轨迹围成区域的面积为，故B正确； 对C：由点的轨迹是圆，圆心为， 又直线过点，故点的轨迹关于对称，故C正确； 对D：，故点在圆外，故D错误. 故选：ABC. 10．已知直线，圆，为圆上任意一点，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．的最大值为5 C．的最大值为 D．圆心到直线的距离小于4 【详解】A：由题可得，即，解得，所以直线恒过定点，故A正确； B：由题可得圆：，即圆心，半径， 因为圆上任意一点，则， 则等价于原点到圆上一点距离值的平方， 即，则的最大值为，故B错误； C：如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，，，且，故C正确； D：圆心到直线的距离，当时，； 当时，，故D正确. 故选：ACD. 11．圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 【详解】由，得，则，半径， 由，得，则，半径， 对于A，由于,故两圆相交，则公共弦所在的直线方程为， 即，所以A正确， 对于B，到直线的距离， 所以公共弦的长为，所以B正确， 对于C，因为，，， 所以圆与圆的公切线长为，所以C正确， 对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为， 所以直线为，即，所以D错误， 故选：ABC. 三、填空题 12．已知直线将圆的面积平分，过点作圆C的切线，切点为N，则 . 【详解】由圆，即， 则圆心，半径为， 因为直线将圆的面积平分， 所以圆心在直线上， 则，解得，故， 则， 所以． 故答案为：. 13．已知圆与圆，若两圆有四条公切线，则直线与圆的位置关系是 ． 【详解】圆的圆心为，半径为2， 圆的圆心为，半径为1， 由两圆存在四条切线，故两圆外离，则． ，即或，可得或， 圆的圆心为，半径为1， 则圆心到直线的距离， 直线与圆相离． 故答案为：相离. 14．已知直线和圆.若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为 . 【详解】由圆，得， 故圆心，半径， 又已知直线，点在直线上，设点， 则， 由圆的切线性质可得，，    当且仅当时，取得最小值，最小值为. 故答案为： 四、解答题 15．在平面直角坐标系中，曲线与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C. (1)是否存在以线段AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由； (2)试确定：过A，B，C三点的圆是否过定点. 【详解】（1）由曲线，令，得， 设，则可得，，． 令，得，即．若存在以AB为直径的圆过点C， 则，得，即， 所以或．由，得或，所以， 此时，AB的中点即圆心，半径， 故所求圆的方程为． （2）设过A，B，C的圆P的方程为， 满足， 代入P得， 展开得， 当，即或时方程恒成立， 所以圆P方程恒过定点或． 16．已知的三个顶点分别是． (1)求的外接圆（为圆心）的标准方程： (2)若点的坐标是，点是圆上的一个动点，点满足，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状. 【详解】（1）设圆的方程为（其中） 因为三点都在圆上，可得 解得，满足， 所以所求圆的方程为，即 （2）设的坐标是，点的坐标是， 因为的坐标是，且， 所以，解得， 又因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，即， 代入得，整理得， 点的轨迹方程是，轨迹是以为圆心，半径为的圆. 17．已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的方程； (3)设点，过点作直线，交圆于两点，再过点作与直线垂直的直线，交圆于两点，记四边形的面积为，求的最大值. 【详解】（1）设，由圆与直线相切于点， 得，解得，所以 则圆半径， 所以圆的标准方程为. （2）当切线斜率不存在时，直线为，显然圆心直线到的距离为等于半径， 所以直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线为，即， 由圆心到切线的距离为得，解得， 则，整理得， 综上，切线方程为或. （3）法一：当直线无斜率时，，， 当直线斜率为时，，. 当直线斜率存在且不为时，设直线为，即， 则圆心到直线距离， 所以， 因为，用替换上式中的可得. 则 ， 当且仅当，即时取等号 综上所述，因为，所以的最大值为. 法二：设圆心到直线的距离，到直线的距离， 则，， 又直线与直线垂直，所以，， 当且仅当时取等，所以的最大值为. 18．已知圆经过点，与直线相切，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)已知直线经过点，并且直线与圆交于两点，若，求直线的方程． 【详解】（1）因为圆心在直线上，可设圆心为． 则点到直线的距离，据题意，，则， 解得．所以圆心为，半径，则所求圆的方程是． （2）当不存在时，得：直线，代入圆方程中解得：，， 由于，所以，符合题意； 当存在时，设直线方程， 由于，故为等腰直角三角形，因此可得圆心到直线的距离为， 即，，直线方程为． 综上所述，直线方程为或． 19．已知过点且斜率为的直线与圆交于，两点. (1)求的最小值，并求取最小值时的方程； (2)若为锐角，为坐标原点，求的取值范围. 【详解】（1）圆的标准方程为，圆心为，半径. 因为，所以点在圆内， 则当与垂直时，取最小值. 此时点到的距离，所以. 因为，所以此时的方程为，即. （2）设，. 由题可知的方程为. 联立得整理得， 则 所以. 因为为锐角，所以， 即，解得. 又因为点在圆内，和不可能同向， 所以的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $