专题02 直线和圆的方程（考点+二级结论+16题型+易错，期末复习知识清单）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理“直线和圆的方程”单元内容，涵盖直线倾斜角与斜率、圆的方程等16个核心知识点，搭建了从概念定义到综合应用的递进式学习支架。 清单采用“知识点清单+题型分类+易错警示”三维架构，通过表格对比斜率与倾斜角关系培养数学思维，设16类题型归纳解题方法发展数学语言表达，配套3类易错点专项突破助力学生用数学眼光规避错误，教师可直接用于备课，学生能高效自主复习。

专题02 直线和圆的方程（16知识&16题型&3易错） 【清单01】直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3．直线的方向向量 我们知道,直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线P1P2的方向向量的坐标为. 当直线P1P2与x轴不垂直时,.此时向量也是直线P1P2的方向向量,且它的坐标为,即,其中k是直线P1P2的斜率.因此,若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则. 【清单02】 直线的点斜式方程 我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 【清单03】直线的斜截式方程 1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 2．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 【清单04】直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ＝，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等． 【清单05】直线的截距式方程 我们把方程＋＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 【清单06】直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 注意点： (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 【清单07】两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表： 位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 v1∥v2 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0 垂直 v1⊥v2 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 v1与v2不共线 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 【清单08】直线的交点与方程组解的关系 (1)两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. (2)两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 【清单09】距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝. 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝. 【清单10】 对称问题 (1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0). (2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)， 则有可求出x′，y′. 【清单11】 圆的定义和圆的方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心C 半径r＝ 【清单12】点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内. 【清单13】直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 【清单14】圆的切线方程 1、点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 【清单15】直线被圆截得的弦长 1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 【清单16】 圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 【二级结论1】直线系方程 1、定义：如果两条曲线方程是和，它们的交点是，方程的曲线也经过点（是任意常数）.由此结论可得出：经过两曲线和交点的曲线系方程为：.利用此结论可得出相关曲线系方程. 概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系.它的方程称直线系方程. 2、几种常见的直线系方程： （1）过已知点的直线系方程（为参数）. （2）斜率为的直线系方程（是参数）. （3）与已知直线平行的直线系方程（为参数）. （4）与已知直线垂直的直线系方程（为参数）. （5）过直线与的交点的直线系方程：（为参数）. （6）到定点的距离为定值的直线系方程：（也可以理解成以为圆心，以为半径的圆的切线的方程）. （6）的证明 ：直接使用点到直线的距离公式可得点到直线的距离，得证. 3、直线系方程问题的一般解法 根据直线系方程的定义可知，处理直线系方程相关问题的关键是寻找这个直线系方程满足什么条件，再把这个条件作为突破口解决问题.常见的条件有直线过定点、直线的斜率为定值、直线的截距为定值、定点到直线的距离为定值等. 【二级结论2】圆系方程 1.圆系方程 根据前面直线系方程的铺垫，我们这里可以直接将圆系方程定义如下：圆系方程是满足某个条件的一系列圆的通式方程.圆系方程中比较常见的通式方程有以下三种： ①圆系，为圆心坐标是的圆的通式方程. ②如果圆与直线有两个交点， 那么圆系，为过圆M与直线l的两个交点的圆的通式方程. ③如果圆与圆有两个交点， 那么当时，圆系为过圆M与圆N的两个交点的圆的通式方程（不含圆），当时，为过圆M与圆N的两个交点的直线的方程.（在二次项系数一致的情况下，两圆方程相减即可得过两圆点的直线方程） 2.圆系方程问题的一般解法 类似于直线系方程相关问题，要处理圆系方程相关问题，关键是寻找这个圆系方程满足什么条件，进而把这个条件作为突破口解决问题. 【二级结论3】阿波罗尼斯圆 1．阿波罗尼斯圆的定义 平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点M的轨迹是圆（，此圆被称为阿波罗尼斯圆．特别的，当时，点M的轨迹是线段AB的中垂线. 证明 以直线AB为x轴建立平面直角坐标系，并设，，． 因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以，所以点M的轨迹是圆． 2．阿波罗尼斯圆的性质——三角形相似 当把点A，B的坐标分别记为，时，其阿波罗尼斯圆的方程为， 即，则阿波罗尼斯圆圆心为，半径为， 此时有，于是与相似． 若取，，则如下图所示．虽然是取特殊坐标推导的，但结论具有普遍性，即当M为阿波罗尼斯圆上一点，且M不与O，A，B三点所在直线共线时，相似于． 题型1 直线的倾斜角与斜率定义 1、求直线倾斜角的方法及关注点 （1）定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角． （2）关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论． 2、求直线斜率的方法 （1）定义法：由倾斜角的值（或范围）求斜率的值（或范围）时，用定义式求解． （2）公式法：由两点坐标，求斜率，利用两点斜率公式求解． （3）待定系数法：如果直线沿轴负方向平移个单位长度，再沿轴正方向平移个单位长度后，又回到原来的位置，求直线的斜率．此类问题可通过平移前和平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果． 【例1】（22-23高二上·安徽阜阳·月考）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·全国·期末）已知直线l经过点，，则正确的是（ ） A．直线l的方程为 B．直线l的倾斜角为 C．直线l的方向向量为 D．直线l的法向量为 【变式1-2】（25-26高二上·河北·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高三上·上海宝山·期末）已知第一象限的点和经过直线，若直线的倾斜角为，则的最小值为 ． 题型2 直线斜率的取值范围问题 斜率取值范围的2种求法 （1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定； （2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可． 【例2】（24-25高二上·河南驻马店·期中）已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（   ） A． B． C．D． 【变式2-1】（25-26高二上·贵州·期末）设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 【变式2-2】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2021高二上·全国·专题练习）已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型3 求解直线的方程 （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； （2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程． 【例3】（25-26高二上·山东淄博·期中）直线l过点，且其横截距为纵截距的3倍，则l的方程为 . 【变式3-1】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求的平分线所在直线的斜截式方程. 【变式3-2】（24-25高二上·云南楚雄·月考）已知点和直线． (1)若直线经过点，且，求直线的方程； (2)若直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【变式3-3】（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知的三个顶点是. (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)过点作直线的垂线，求垂足的坐标. 题型4 两条直线的位置关系问题 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)， l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1与l2相交的充分条件 ≠(A2B2≠0) l1与l2重合的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0) 【例4】（25-26高二上·天津·期中）设，则“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-1】（22-23高二上·湖北武汉·期末）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-2】（23-24高二上·北京昌平·期末）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-3】（25-26高二上·广东·期末）已知直线与直线垂直，则实数（ ） A．或0 B． C．0 D．1 题型5 直线的交点与距离问题 1、求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程． 2、点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 （1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． （2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 【例5】（25-26高二上·天津和平·期中）已知直线：与：相交于点，则过点且与垂直的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二上·广东江门·月考）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．5 D． 【变式5-3】（24-25高二上·安徽·期末）两平行直线与之间的距离是，则（　　） A．-2 B．-12 C．12 D．14 题型6 与直线有关的对称问题 1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． 3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)， 则有 4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 【例6】（24-25高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（21-22高二上·湖北孝感·期末）设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 【变式6-3】（2025高三·全国·专题练习）已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 ． 题型7 与直线有关的最值问题 1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短; 2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短． 【例7】（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知直线.及点，.为上任意一点，则的最小值是 . 【变式7-1】（25-26高二上·山西晋中·期中）已知点为直线上一点，则的最小值是（    ） A． B．7 C． D．5 【变式7-2】（24-25高二上·河南·月考）已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】【多选】（22-23高二上·吉林长春·期中）已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线：上一动点，则（    ） A．周长的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为4 题型8 求圆的标准方程与一般方程 1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； （2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 【例8】（25-26高二上·北京·期中）圆心在直线上，并且经过原点和的圆的方程为 【变式8-1】（25-26高二上·山东青岛·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】【多选】（25-26高二上·河南郑州·期中）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．该方程一定是圆的方程 B．该方程一定能表示过坐标原点的圆 C．若该方程表示圆，则圆心在定直线上 D．若该方程表示圆，则圆上总存在两点到原点的距离为1 【变式8-3】（24-25高一下·重庆·期末）若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型9 与圆有关的轨迹问题 1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； 2、定义法：根据圆、直线等定义列方程； 3、几何法：利用圆的几何性质列方程； 4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 【例9】（25-26高二上·福建泉州·期中）已知点是圆上的一动点，点，点是线段的中点，则动点的轨迹方程是 【变式9-1】（25-26高二上·广西·月考）已知圆，点. (1)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程； (2)若经过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程. 【变式9-2】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）已知点，圆，点在圆上运动，点满足，动点在直线上，则的最小值为 ． 【变式9-3】（25-26高二上·江苏·期末）已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为 ． 题型10 直线与圆的位置关系及应用 1、直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 2、根据直线与圆的位置关系求参数 第一步：明确直线与圆的方程形式，圆的一般方程化为标准方程，直线的斜截式化为一般式． 第二步：选择合适的代数条件，优先用距离法，次用判别式法． 第三步：建立不等式（或方程）并求解参数范围． （1）求根据题目要求的位置关系（相离/相切/相交），代入对应的代数条件，建立关于参数的不等式； （2）求解不等式时，注意参数的隐含限制（如圆的半径为正、直线斜率存在的条件等），最终取“不等式解”与“隐含限制”的交集． 【例10】（25-26高二上·河南·月考）已知直线与曲线恰有两个公共点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26高二上·云南普洱·期中）设，，直线经过圆C：的圆心，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式10-2】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知圆上到直线的距离等于1的点恰有两个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】【多选】（25-26高二上·广东·期末）已知直线，点为上一点，则（    ） A．直线与相离 B．点到直线距离的最小值为 C．与关于直线对称的圆的方程为 D．平行于且与相切的两条直线方程为和 题型11 圆的弦长及中点弦问题 1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点， 则|AB|＝·＝ ·|yA－yB| (其中k≠0)． 特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|． 【例11】（25-26高二上·广东江门·期中）直线被圆截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【变式11-1】【多选】（25-26高二上·福建福州·期中）设动直线交圆于，两点（点为圆心），则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．当取得最小值时， C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为24 【变式11-2】【多选】（25-26高三上·河北·期中）已知圆，直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．若直线与圆相切，则 D．圆上的点到直线的最大距离为7 【变式11-3】（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知圆，、为圆上的两个动点，为圆内的一点，若，则线段中点的轨迹方程为 . 题型12 圆的切线方程及切线长问题 求圆的切线方程的方法 1、几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证； 2、代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证． 【例12】（25-26高二上·云南玉溪·月考）过点作圆：的切线，则切线方程为 ． 【变式12-1】（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 【变式12-2】（24-25高二下·甘肃甘南·期末）过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（   ） A． B． C． D．5 【变式12-3】【多选】（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为、，则（   ） A．线段的最小值为 B．线段的最大值为 C．当直线与圆相切时，原点到直线的距离为 D．当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为 题型13 圆与圆的位置关系 可用代数法与几何法判断圆与圆的位置关系： （1）集合法：通过比较两圆半径为r1，r2与圆心距d＝|O1O2|之间的关系判断； （2）代数法：联立两圆的方程，通过确定方程解的个数来判断圆与圆的位置关系． 【例13】（25-26高二上·陕西商洛·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．内含 B．外切 C．内切 D．相交 【变式13-1】（24-25高二下·甘肃定西·期末）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（　　） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【变式13-2】【多选】（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若，则圆和圆相离 B．若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是 C．若圆和圆外切，则或 D．若圆和圆内切，则 【变式13-3】【多选】（25-26高二上·贵州黔南·期中）圆与圆有且只有一个公共点，则的值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型14 两圆的公共弦问题 公共弦长的求法 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． （2）几何法：将两圆作差可得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长． 【例14】（25-26高二上·陕西榆林·期中）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）圆与圆的公共弦所在直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式14-2】（22-23高二上·浙江湖州·期中）圆：与圆：的公共弦长为 . 【变式14-3】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知圆的方程为，其中. (1)若圆和圆的公共弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程. 题型15 两圆的公切线问题 两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 【例15】（25-26高二上·陕西延安·期中）圆与圆公切线的条数为 ． 【变式15-1】（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 【变式15-2】【多选】（24-25高二上·浙江丽水·期末）已知圆，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，圆与圆相离 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线方程是 【变式15-3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 题型16 与圆有关的最值问题 求解与圆有关的最值问题步骤： 第一步定型：根据题目条件确定最值问题的类型； 第二步作图：根据几何意义，画出图形，利用数形结合思想求解； 第三步求值：根据图形，利用相关知识求解． 【例16】（25-26高二上·陕西商洛·期中）已知是直线上任意一点，则的最小值为 . 【变式16-1】【多选】（25-26高二上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，已知，直线，动点满足，则（    ） A．原点O到直线的距离的最大值为12 B．面积的最大值为8 C．点到距离的最大值为17 D．的最大值为 【变式16-2】【多选】（23-24高二下·广东深圳·期末）已知点为圆上两动点，且，点为直线 :上动点，则（      ） A．以为直径的圆与直线相离 B．的最大值为 C．的最小值为8 D．的最小值为112 【变式16-3】【多选】（23-24高二上·四川成都·期中）点是圆上的动点，则下面正确的有（    ） A．圆的半径为3 B．既没有最大值，也没有最小值 C．的范围是 D．的最大值为72 【题型一】误解“截距”与距离的关系致错 【例1】【多选】（23-24高二上·吉林·期末）直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】【多选】（22-23高二上·浙江杭州·期中）在下列直线方程中，表示经过点且在两坐标轴上截距相等的直线有（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【变式1-3】（23-24高二上·云南昭通·月考）已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. (1)若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； (2)求面积的最小值及此时直线的方程. 【题型二】平行线间的距离公式使用不当致错 【例2】（25-26高二上·山东枣庄·期中）直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 ． 【变式2-1】（25-26高二上·贵州·期末）、分别为与上任一点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 【变式2-2】（25-26高二上·广东深圳·期中）直线，直线，若，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·广东深圳·期末）若直线：与直线：间的距离为，则（    ） A．17 B． C．14 D．7 【题型三】遗漏方程表示圆的充要条件致错 【例3】（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知方程表示的曲线是一个圆，则实数的取值范围是 ． 【变式3-1】（24-25高一下·浙江宁波·期末）“关于的方程：表示圆”是“”的（       ）条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【变式3-2】（24-25高二上·福建福州·期中）已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 【变式3-3】（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知方程表示一个圆. (1)求t的取值范围； (2)求这个圆的圆心和半径； 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程（16知识&16题型&3易错） 【清单01】直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 2．直线的斜率 (1)直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. (2)斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 (3)过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 3．直线的方向向量 我们知道,直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线P1P2的方向向量的坐标为. 当直线P1P2与x轴不垂直时,.此时向量也是直线P1P2的方向向量,且它的坐标为,即,其中k是直线P1P2的斜率.因此,若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则. 【清单02】 直线的点斜式方程 我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 【清单03】直线的斜截式方程 1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 2．把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在y轴上的截距． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. 【清单04】直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ＝，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等． 【清单05】直线的截距式方程 我们把方程＋＝1叫做直线的截距式方程，简称截距式．直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程，与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 【清单06】直线的一般式方程 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 注意点： (1)直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 【清单07】两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表： 位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件 平行 v1∥v2 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0 垂直 v1⊥v2 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 相交 v1与v2不共线 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 【清单08】直线的交点与方程组解的关系 (1)两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标. (2)两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 【清单09】距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝. 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝. 【清单10】 对称问题 (1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x0，2b－y0). (2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)， 则有可求出x′，y′. 【清单11】 圆的定义和圆的方程 定义 平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心C 半径r＝ 【清单12】点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系： (1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外； (2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上； (3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内. 【清单13】直线与圆的位置关系 1、直线与圆的位置关系： （1）直线与圆相交，有两个公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相离，没有公共点． 2、直线与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断直线与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线与圆C有公共点． 有两组实数解时，直线与圆C相交； 有一组实数解时，直线与圆C相切； 无实数解时，直线与圆C相离． （2）几何法： 由圆C的圆心到直线的距离与圆的半径的关系判断： 当时，直线与圆C相交； 当时，直线与圆C相切； 当时，直线与圆C相离． 【清单14】圆的切线方程 1、点在圆上，如图． 法一：利用切线的斜率与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于，即． 法二：圆心到直线的距离等于半径． 2、点在圆外，则设切线方程：，变成一般式：，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出． 【清单15】直线被圆截得的弦长 1、应用圆中直角三角形：半径，圆心到直线的距离，弦长具有的关系，这也是求弦长最常用的方法． 2、利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长． 【清单16】 圆与圆的位置关系 1、圆与圆的位置关系： （1）圆与圆相交，有两个公共点； （2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点； （3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点． 2、圆与圆的位置关系的判定： （1）代数法： 判断两圆的方程组成的方程组是否有解． 有两组不同的实数解时，两圆相交； 有一组实数解时，两圆相切； 方程组无解时，两圆相离． （2）几何法： 设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为． 当时，两圆相交； 当时，两圆外切； 当时，两圆外离； 当时，两圆内切； 当时，两圆内含． 【二级结论1】直线系方程 1、定义：如果两条曲线方程是和，它们的交点是，方程的曲线也经过点（是任意常数）.由此结论可得出：经过两曲线和交点的曲线系方程为：.利用此结论可得出相关曲线系方程. 概念：具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系.它的方程称直线系方程. 2、几种常见的直线系方程： （1）过已知点的直线系方程（为参数）. （2）斜率为的直线系方程（是参数）. （3）与已知直线平行的直线系方程（为参数）. （4）与已知直线垂直的直线系方程（为参数）. （5）过直线与的交点的直线系方程：（为参数）. （6）到定点的距离为定值的直线系方程：（也可以理解成以为圆心，以为半径的圆的切线的方程）. （6）的证明 ：直接使用点到直线的距离公式可得点到直线的距离，得证. 3、直线系方程问题的一般解法 根据直线系方程的定义可知，处理直线系方程相关问题的关键是寻找这个直线系方程满足什么条件，再把这个条件作为突破口解决问题.常见的条件有直线过定点、直线的斜率为定值、直线的截距为定值、定点到直线的距离为定值等. 【二级结论2】圆系方程 1.圆系方程 根据前面直线系方程的铺垫，我们这里可以直接将圆系方程定义如下：圆系方程是满足某个条件的一系列圆的通式方程.圆系方程中比较常见的通式方程有以下三种： ①圆系，为圆心坐标是的圆的通式方程. ②如果圆与直线有两个交点， 那么圆系，为过圆M与直线l的两个交点的圆的通式方程. ③如果圆与圆有两个交点， 那么当时，圆系为过圆M与圆N的两个交点的圆的通式方程（不含圆），当时，为过圆M与圆N的两个交点的直线的方程.（在二次项系数一致的情况下，两圆方程相减即可得过两圆点的直线方程） 2.圆系方程问题的一般解法 类似于直线系方程相关问题，要处理圆系方程相关问题，关键是寻找这个圆系方程满足什么条件，进而把这个条件作为突破口解决问题. 【二级结论3】阿波罗尼斯圆 1．阿波罗尼斯圆的定义 平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点M的轨迹是圆（，此圆被称为阿波罗尼斯圆．特别的，当时，点M的轨迹是线段AB的中垂线. 证明 以直线AB为x轴建立平面直角坐标系，并设，，． 因为，所以，所以， 所以， 所以， 所以，所以点M的轨迹是圆． 2．阿波罗尼斯圆的性质——三角形相似 当把点A，B的坐标分别记为，时，其阿波罗尼斯圆的方程为， 即，则阿波罗尼斯圆圆心为，半径为， 此时有，于是与相似． 若取，，则如下图所示．虽然是取特殊坐标推导的，但结论具有普遍性，即当M为阿波罗尼斯圆上一点，且M不与O，A，B三点所在直线共线时，相似于． 题型1 直线的倾斜角与斜率定义 1、求直线倾斜角的方法及关注点 （1）定义法：根据题意画出图形，结合倾斜角的定义找倾斜角． （2）关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如三角形内角和定理及其有关推论． 2、求直线斜率的方法 （1）定义法：由倾斜角的值（或范围）求斜率的值（或范围）时，用定义式求解． （2）公式法：由两点坐标，求斜率，利用两点斜率公式求解． （3）待定系数法：如果直线沿轴负方向平移个单位长度，再沿轴正方向平移个单位长度后，又回到原来的位置，求直线的斜率．此类问题可通过平移前和平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果． 【例1】（22-23高二上·安徽阜阳·月考）如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用倾斜角的大小，结合正切函数的单调性可作出判断. 【详解】设直线，，的倾斜角分别为，，， 则根据图象可得：， 再由正切函数的单调性可知：， 即有， 故选：D. 【变式1-1】（25-26高二上·全国·期末）已知直线l经过点，，则正确的是（ ） A．直线l的方程为 B．直线l的倾斜角为 C．直线l的方向向量为 D．直线l的法向量为 【答案】B 【分析】先根据已知两点求出直线斜率，再利用斜率结合各选项中条件逐一判定选项． 【详解】 直线l经过点，， 直线l的斜率为 选项A：直线l的方程为，一般式为，故A错误； 选项B：直线的倾角，，倾斜角为，故B正确； 选项C、D：，方向向量为，法向量为，其中， 与不平行，不是直线的方向向量，故C错误； 与的数量积为，故不是直线的法向量，故D错误． 故选：B． 【变式1-2】（25-26高二上·河北·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系计算即可. 【详解】①当时，此时，倾斜角为， ②当时，则， 而，所以， 则， 综上所述，倾斜角的范围是. 故选：C 【变式1-3】（25-26高三上·上海宝山·期末）已知第一象限的点和经过直线，若直线的倾斜角为，则的最小值为 ． 【答案】//1.125 【分析】由题设知，根据目标式，结合基本不等式“1”的代换求最小值即可. 【详解】由题设知，可得， ∴， 当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为. 故答案为：. 题型2 直线斜率的取值范围问题 斜率取值范围的2种求法 （1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定； （2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可． 【例2】（24-25高二上·河南驻马店·期中）已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（   ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，为倾斜角，分别求出倾斜角在和时斜率的值，再根据正切函数在给定区间的单调性确定斜率的取值范围. 【详解】当时，. 当时，. 因为在上单调递增，在上也单调递增. 当时，； 当时，. 所以的取值范围是. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高二上·贵州·期末）设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】结合斜率公式和图象确定正确答案. 【详解】如图所示：由题意得，所求直线的斜率满足或， 即，或，，或， 即直线的斜率的取值范围是或． 故选：A 【变式2-2】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 【变式2-3】（2021高二上·全国·专题练习）已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定C的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案. 【详解】正的顶点，且顶点在第一象限，故顶点的坐标为，， 可看作内部及其边界上一点与点的连线斜率， 当运动到点时，直线的斜率最大，故的最大值为 故选：B. 题型3 求解直线的方程 （1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程； （2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程． 【例3】（25-26高二上·山东淄博·期中）直线l过点，且其横截距为纵截距的3倍，则l的方程为 . 【答案】或 【分析】讨论截距是否为0，设相应的直线方程，代入点坐标求参数值，即可得直线方程. 【详解】当截距为0时，设直线为，则，即，此时， 当截距不为0时，设直线为，则，此时， 综上，直线为或. 故答案为：或 【变式3-1】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知的三个顶点的坐标分别为. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求的平分线所在直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线的斜率，可得出边上的高所在直线的斜率，可得出边上的高所在直线的点斜式方程，化为一般式方程即可； （2）由图可知，所以的平分线所在直线的斜率为，可得到的平分线所在直线的点斜式方程，化为斜截式方程即可. 【详解】（1）因为点、，则， 所以，边上的高所在直线的斜率为， 又，所以边上的高所在直线的方程为，即， 即边上的高所在直线的一般式方程为. （2）    如图，可得，所以的平分线所在直线的倾斜角为，斜率为， 又，所以的平分线所在直线的方程为，即， 即的平分线所在直线的斜截式方程为. 【变式3-2】（24-25高二上·云南楚雄·月考）已知点和直线． (1)若直线经过点，且，求直线的方程； (2)若直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）先根据平行得出斜率，再点斜式得出直线方程，最后转化为一般式即可； （2）先分直线经过原点及直线不经过原点，应用点斜式及截距式设直线再代入点计算求参，最后转化为一般式即可. 【详解】（1）由直线的方程可知它的斜率为， 因为，所以直线的斜率为． 又直线经过点， 所以直线的方程为：，即． （2）若直线经过原点，直线的斜率为， 则直线的方程为，即； 若直线不经过原点，设直线方程为， 代入可得，即，故直线方程为． 综上所述，直线的方程为或． 【变式3-3】（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知的三个顶点是. (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)过点作直线的垂线，求垂足的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点式来求得正确答案. （2）求的直线的方程，通过联立方程组来求得的坐标. 【详解】（1）中点为，由直线两点式方程， 故边上的中线所在直线的一般方程为. （2）由题意知，，则垂线的斜率， 故直线的方程为，即， 直线的方程为，即 联立和方程，解得垂足. 题型4 两条直线的位置关系问题 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)， l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) l1与l2垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行的充分条件 ＝≠(A2B2C2≠0) l1与l2相交的充分条件 ≠(A2B2≠0) l1与l2重合的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0) 【例4】（25-26高二上·天津·期中）设，则“”是“直线：与直线：平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两直线的位置关系并验证求得或，结合充分条件、必要条件的定义即可下结论. 【详解】由题意知，若，则， 即，解得或或， 当时，轴，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，与重合，不符合题意, 综上，或. 所以“”是“”的充分不必要条件, 故选：A 【变式4-1】（22-23高二上·湖北武汉·期末）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先证明充分性，当时，求出，即可判断两直线是否平行；再证明必要性，先讨论然后写出两直线方程或两直线斜率，当时，得到两直线斜率的关系，建立方程并求解，然后再验证两直线是否重合即可求得的值.然后得到本题结论. 【详解】当时，直线的斜率，直线的斜率，即，又代入易知两直线不重合，∴，满足充分性； 当时，，，当时，，， 当时，显然，∴，即，∴，∴或， 当时，，，两直线重合，舍去. ∴，满足必要性. ∴“”是“”的充要条件. 故选：C. 【变式4-2】（23-24高二上·北京昌平·期末）已知直线，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用两条直线垂直求出的关系，利用充分条件和必要条件求解. 【详解】，， 若，则， 由可以得到，但是由不一定得到， 故“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A. 【变式4-3】（25-26高二上·广东·期末）已知直线与直线垂直，则实数（ ） A．或0 B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据两直线垂直列出方程，求解即可. 【详解】若直线与直线垂直， 则，即，解得或0． 故选：A． 题型5 直线的交点与距离问题 1、求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程． 2、点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件 （1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． （2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 【例5】（25-26高二上·天津和平·期中）已知直线：与：相交于点，则过点且与垂直的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过解方程组求出交点坐标，再根据互相垂直两直线方程的特征进行求解即可. 【详解】由， 与垂直的直线方程可设为， 把代入，得， 故选：B 【变式5-1】（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析得直线过定点，当与直线垂直时距离有最大值，利用两点间距离公式计算可得结果. 【详解】 由得， 由得，故直线过定点. 记点为点，当与直线垂直时，点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D. 【变式5-2】（25-26高二上·广东江门·月考）已知实数x，y满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离，而点满足直线方程，因此问题转化为：求点到直线 的距离. 【详解】 表示平面直角坐标系中，点到点的距离， 而点满足直线方程， 而直线外一点到直线上点的距离垂线段最短，则点到直线的距离， 因此， 的最小值为. 故选：D 【变式5-3】（24-25高二上·安徽·期末）两平行直线与之间的距离是，则（　　） A．-2 B．-12 C．12 D．14 【答案】C 【分析】先根据两直线平行的条件（），判断两直线平行求出，再由两平行直线间的距离公式求出，即可. 【详解】因为直线与平行， 所以，即，得：， 将变形为：， 则直线与之间的距离是， 所以，所以，解得或（舍去）， 所以. 故选C. 题型6 与直线有关的对称问题 1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． 3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)， 则有 4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 【例6】（24-25高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率关系以及中点关系，即可列方程求解. 【详解】设关于直线的对称点坐标为， 则，解得，故对称点坐标为， 故选：B 【变式6-1】（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 【变式6-2】（21-22高二上·湖北孝感·期末）设直线和直线的交点为. (1)若直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线关于点对称，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立方程求得，根据垂直关系设出直线的方程，将点代入计算即可求解； （2）法一：根据平行关系设出直线的方程，然后利用到两条直线的距离相等列式求解即可； 法二，设直线上任意一点，利用对称性求得点关于点对称的点，将坐标代入已知直线方程，化简即可求解. 【详解】（1）由得交点， 由直线与直线垂直，则可设直线的方程为， 又直线过点，代入得，则， 所以直线的方程为； （2）法一：由题意可得直线与直线平行， 则可设直线方程为：， 由直线与直线关于点对称，得到两条直线的距离相等， 即，得（舍）或，所以直线的方程为. 法二：设直线上任意一点，则点关于点对称的点为， 且点在直线上，得， 化简得直线的方程为. 【变式6-3】（2025高三·全国·专题练习）已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是 ． 【答案】 【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，故. 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 题型7 与直线有关的最值问题 1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短; 2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短． 【例7】（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知直线.及点，.为上任意一点，则的最小值是 . 【答案】5 【分析】求出点关于直线的对称点的坐标，线段与直线的交点为，最小值为. 【详解】    如图，设点关于直线的对称点的坐标为， 则，解得，即， 则直线的方程为，联立解得，即交点为， 此时，的值最小，最小值为. 故答案为：5. 【变式7-1】（25-26高二上·山西晋中·期中）已知点为直线上一点，则的最小值是（    ） A． B．7 C． D．5 【答案】D 【分析】先求出点关于直线的对称点的坐标，然后转化成求两点间的距离求解即可. 【详解】因为在直线上，设点关于直线的对称点为， 则解得故，连接交直线于点， 当在点时，取得最小值，其最小值为. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高二上·河南·月考）已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点关于直线的对称点，则为直线与直线的交点时，满足条件，进而可求得答案. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则中点在直线上，即①， 直线与直线垂直，即②， 解得，即点关于直线的对称点为， 又，所以， 所以直线的方程为，即， 由，解得，， 所以当取得最小值时，点的坐标为． 故选：B． 【变式7-3】【多选】（22-23高二上·吉林长春·期中）已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线：上一动点，则（    ） A．周长的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为4 【答案】BCD 【分析】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为，对于A：根据对称性可得，进而可得结果；对于B：根据点到直线的距离分析判断；对于C：因为，结合点到直线的距离分析判断；对于D：根据题意分析可得，结合点到直线的距离分析判断. 【详解】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为， 可知， 对于选项A： 可得周长， 当且仅当四点共线时，等号成立， 所以周长的最小值为，故A错误；    对于选项B：设到轴，直线：的距离分别为， 则， 可得， 所以的最小值为，故B正确；    对于选项C：因为， 设到直线：的距离为， 可得， 所以的最小值为，故C正确；    对于选项D：作，垂足为， 因为直线的斜率，则，可得， 则， 可得， 所以的最小值为4，故D正确；    故选：BCD. 题型8 求圆的标准方程与一般方程 1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． 2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值； （2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． 【例8】（25-26高二上·北京·期中）圆心在直线上，并且经过原点和的圆的方程为 【答案】 【分析】由垂径定理找到圆心，然后得到半径，即可写出圆的方程. 【详解】设，则中点， 过点作直线，使得，则， 联立方程组，解得，即圆心， 半径， 所以圆的方程为. 故答案为：. 【变式8-1】（25-26高二上·山东青岛·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出已知圆的圆心关于直线对称的点，再利用轴对称的性质求出半径，即得对称圆的方程. 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为． 设点关于直线对称的点， 则，解得，． 由轴对称的性质得新圆的半径为， 对称的圆的方程为，故A正确. 故选：A 【变式8-2】【多选】（25-26高二上·河南郑州·期中）已知方程，则下列说法正确的是（    ） A．该方程一定是圆的方程 B．该方程一定能表示过坐标原点的圆 C．若该方程表示圆，则圆心在定直线上 D．若该方程表示圆，则圆上总存在两点到原点的距离为1 【答案】ACD 【分析】化一般方程为标准方程，再结合选项逐个判断即可. 【详解】对于A：由得：，显然该方程表示圆心为， 半径为的圆，所以A正确； 对于B：将点代入圆的方程得：，显然该圆不过坐标原点，所以B错误； 对于C：因为圆心始终在直线上，所以C正确； 对于D：由得：， 所以，解得或， 所以该方程表示的圆恒过两点， 因为这两点到原点的距离都为1， 所以圆上总存在两点到原点的距离为1，所以D正确. 故选：ACD. 【变式8-3】（24-25高一下·重庆·期末）若方程表示圆，且圆心位于第四象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化成，再利用条件列不等式求解即可. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，解得，实数的取值范围是. 故选：C 题型9 与圆有关的轨迹问题 1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； 2、定义法：根据圆、直线等定义列方程； 3、几何法：利用圆的几何性质列方程； 4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式． 【例9】（25-26高二上·福建泉州·期中）已知点是圆上的一动点，点，点是线段的中点，则动点的轨迹方程是 【答案】 【分析】设点，利用中点坐标公式得，解得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，所以①， 又，代入①有：，解得， 故答案为：. 【变式9-1】（25-26高二上·广西·月考）已知圆，点. (1)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程； (2)若经过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据相关点法求解出点的轨迹方程； （2）先计算出到的距离，然后根据的斜率是否存在进行分类讨论，由此求解出结果. 【详解】（1）设点，由点是的中点，得， 所以，故点， 因为在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程， 所以，化简得， 故点的轨迹方程是. （2）因为直线与圆所截弦长为， 所以直线到圆心的距离为， ①若直线的斜率不存在，直线的方程为， 此时到的距离为，故直线符合题意； ②若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 则直线，即为， 综上所述，直线的方程为或. 【变式9-2】（25-26高二上·辽宁葫芦岛·月考）已知点，圆，点在圆上运动，点满足，动点在直线上，则的最小值为 ． 【答案】1 【分析】设出点、的坐标，结合向量坐标运算可得点的轨迹方程，再利用圆上的点到定直线的距离的最值求法计算即可得. 【详解】设，，则， 由，则，所以， 故，化简得， 即点在圆上，该圆圆心为，半径， 则. 故答案为：1 【变式9-3】（25-26高二上·江苏·期末）已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用直线过定点及两直线位置关系先确定的轨迹，取，证明，再根据两点之间线段最短可求解. 【详解】当时，，此时交点为， 当时，由直线，斜率为k； 由直线，斜率为，所以， 又，所以直线恒过点， ，所以直线恒过， 若M为，的交点，则， 所以点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，E点， 综合以上两种情况，点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故M的轨迹方程为，即， 又，易知在该圆内，又由题意可知圆C上一点 满足，取，则，满足， 下面证明任意一点都满足，即， 因为， 又， 所以， 所以， 又， 所以， 如图，当且仅当三点共线，且M位于N，D之间时，等号成立， 即最小值为. 故答案为：. 题型10 直线与圆的位置关系及应用 1、直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． （2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． （3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 2、根据直线与圆的位置关系求参数 第一步：明确直线与圆的方程形式，圆的一般方程化为标准方程，直线的斜截式化为一般式． 第二步：选择合适的代数条件，优先用距离法，次用判别式法． 第三步：建立不等式（或方程）并求解参数范围． （1）求根据题目要求的位置关系（相离/相切/相交），代入对应的代数条件，建立关于参数的不等式； （2）求解不等式时，注意参数的隐含限制（如圆的半径为正、直线斜率存在的条件等），最终取“不等式解”与“隐含限制”的交集． 【例10】（25-26高二上·河南·月考）已知直线与曲线恰有两个公共点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】曲线表示以为圆心、半径等于1的半圆，当直线过点时，可得，满足条件；当直线和半圆相切时，由，得，数形结合可得实数的取值范围． 【详解】将两边平方整理得， 即曲线表示以为圆心、半径等于1的半圆，如图所示： 当过点时，，满足与有两个不同的公共点； 当直线和半圆相切时，由，得或， 由图知，此时纵截距，即，所以， 故直线与曲线有两个不同的公共点时， 实数的取值范围为. 故选：B 【变式10-1】（25-26高二上·云南普洱·期中）设，，直线经过圆C：的圆心，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】由题意得到，再由基本不等式乘1法即可求解. 【详解】由可得圆心坐标， 由题意，即， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为4， 故选：A 【变式10-2】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知圆上到直线的距离等于1的点恰有两个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断圆心到直线的距离，利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围. 【详解】圆的圆心是，半径， 而圆上恰有两个点到直线的距离等于1， 所以圆心到直线的距离，满足， 即，解得或. 故选：D. 【变式10-3】【多选】（25-26高二上·广东·期末）已知直线，点为上一点，则（    ） A．直线与相离 B．点到直线距离的最小值为 C．与关于直线对称的圆的方程为 D．平行于且与相切的两条直线方程为和 【答案】AC 【分析】由已知可得圆心，半径，根据圆心到直线的距离公式即可判断；根据圆上的点到直线的距离的最小值的求解方法即可判断；先求圆心关于直线的对称点，可得对称后圆的方程，即可判断；设平行于且与相切的直线方程为，根据圆心到直线的距离为半径，即可判断. 【详解】因为， 所以圆心，半径， 对于，圆心到直线的距离为：， 所以直线与相离，故正确； 对于，因为点到直线距离的最小值为，故错误； 对于，设圆心关于直线对称点为， 则，解得， 所以与关于直线对称的圆的方程为，故正确； 对于，设平行于且与相切的直线方程为， 所以，解得或， 所以平行于且与相切的两条直线方程为和，故错误. 故选：. 题型11 圆的弦长及中点弦问题 1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2 2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点， 则|AB|＝·＝ ·|yA－yB| (其中k≠0)． 特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA－xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA－yB|． 【例11】（25-26高二上·广东江门·期中）直线被圆截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为. 故选：C. 【变式11-1】【多选】（25-26高二上·福建福州·期中）设动直线交圆于，两点（点为圆心），则下列说法正确的有（    ） A．直线过定点 B．当取得最小值时， C．当最小时，其余弦值为 D．的最大值为24 【答案】ACD 【分析】A令可得；BC根据直线与过点和的直线垂直判断；D利用数量积的几何意义求出. 【详解】对于A：由有， 令有，所以，所以直线过定点，故A正确； 对于B：点在圆内，圆的圆心为， 当取得最小值时，直线与过点和的直线垂直， 所以，解得，故B错误； 对于C：当最小时，此时最小， 则， 由余弦定理有，故C正确； 对于D：， 即的最大值为24，故D正确. 故选：ACD. 【变式11-2】【多选】（25-26高三上·河北·期中）已知圆，直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．若直线与圆相切，则 D．圆上的点到直线的最大距离为7 【答案】ABD 【分析】化简直线为，可判断A正确；利用圆的弦长公式，可判断B正确；由圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程，求得的值，可判断C不正确；求得圆心到直线的距离的最大值，结合圆的性质，可判断D正确. 【详解】对于A，由直线，可得， 可得直线恒过定点，所以A正确； 对于B，由圆，可得圆心，半径为， 则圆心到轴的距离，所以弦长为，所以B正确； 对于C，若直线与圆相切，则满足，即， 解得，所以C不正确； 对于D，由圆的圆心为，直线恒过定点，可得， 当直线与垂直时，此时圆心到直线的距离取得最大值，最大值为， 又因为圆的半径为，所以圆上的点到直线的最大距离为，所以D正确. 故选：ABD. 【变式11-3】（25-26高二上·广东揭阳·期中）已知圆，、为圆上的两个动点，为圆内的一点，若，则线段中点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据圆的性质，以及两点间的距离公式，列出方程，求出点的轨迹方程. 【详解】 由题意得，圆的半径为3，如图，设线段的中点为，连接，，， 易得，在中，，所以， 得， 化简得， 即. 所以线段中点的轨迹方程为. 故答案为：. 题型12 圆的切线方程及切线长问题 求圆的切线方程的方法 1、几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证； 2、代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证． 【例12】（25-26高二上·云南玉溪·月考）过点作圆：的切线，则切线方程为 ． 【答案】 【分析】易得点在圆上，则切线必垂直于切点与圆心的连线，进而求解即可. 【详解】因为，所以点在圆上， 故切线必垂直于切点与圆心的连线， 由，则圆心为， 则切点与圆心连线的斜率为，即切线的斜率为， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 【变式12-1】（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆. (1)过点作圆的切线，求的方程； (2)已知直线，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求直线被圆所截得的弦长. 【答案】(1)或 (2)相交，弦长为 【分析】（1）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出的值，综合可得出直线的方程； （2）求出圆心到直线的距离，并与半径比较大小，结合勾股定理可求得直线截圆所得弦长. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为. 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意， 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）圆心到直线的距离为，故直线与圆相交， 直线被圆所截得的弦长为. 【变式12-2】（24-25高二下·甘肃甘南·期末）过圆外的点作O的一条切线，切点为A，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，结合切线的性质求切线长. 【详解】由题意可知：圆O的圆心为，半径， 所以，即． 故选：B. 【变式12-3】【多选】（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为、，则（   ） A．线段的最小值为 B．线段的最大值为 C．当直线与圆相切时，原点到直线的距离为 D．当直线平分圆的周长时，原点到直线的距离为 【答案】AD 【分析】根据圆的切线的几何性质可求得，确定，可求得的取值范围，即可判断AB；当直线与圆相切时，设直线的方程，利用和圆相切可得，继而求得原点到直线的距离，判断C；当直线平分圆的周长时, 直线过点，设直线方程，可得，由此求得原点到直线的距离，判断D. 【详解】如图示：、，    根据直角三角形的等面积方法可得，， 因为，，即， 故，故A正确，B错误； 当直线与圆相切时，由题意可知的斜率存在， 故设的方程为，则有 ，即， 即或， 设原点到直线的距离为，则， 当时， ；当时，，故C错误； 当直线平分圆的周长时，即直线过点, 则直线斜率存在，设直线方程为，即 ， 则 ，即，则， 故原点到直线的距离为,则 ，故D正确. 故选：AD. 【点睛】结论点睛：若点是半径为的圆外的一点，则点到圆的上一点的距离的取值范围是. 题型13 圆与圆的位置关系 可用代数法与几何法判断圆与圆的位置关系： （1）集合法：通过比较两圆半径为r1，r2与圆心距d＝|O1O2|之间的关系判断； （2）代数法：联立两圆的方程，通过确定方程解的个数来判断圆与圆的位置关系． 【例13】（25-26高二上·陕西商洛·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．内含 B．外切 C．内切 D．相交 【答案】B 【分析】求出圆心和半径，圆心和半径，利用两点间的距离公式求出， 比较和的大小得到两圆的位置关系. 【详解】：，圆心，半径， ：，圆心，半径， ，，， 圆：与圆：的位置关系是外切. 故选：B. 【变式13-1】（24-25高二下·甘肃定西·期末）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（　　） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【分析】先根据圆的面积被直线平分得出直线过圆心，从而求出圆的参数 ，确定圆的圆心和半径，再结合已知圆的圆心和半径，通过计算圆心距并与两圆半径的和差关系作比较，判断两圆位置关系. 【详解】圆可整理为，其圆心. 由题可知，直线经过圆心，即，解得， 因此圆，圆心，. 圆，圆心，. 圆心距，，， ，两圆相交. 故选：A. 【变式13-2】【多选】（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知圆：和圆：，则下列说法正确的是（   ） A．若，则圆和圆相离 B．若，则圆和圆的公共弦所在直线的方程是 C．若圆和圆外切，则或 D．若圆和圆内切，则 【答案】BD 【分析】根据两圆的位置关系判断ACD，利用相交圆公共弦求法判断B. 【详解】圆：，圆心，半径为， 圆：，圆心，半径为， 对于A，当时，，因为， 故两圆相交，故A错误； 对于B，当时，两圆相交，公共弦所在直线的方程是， 即，故B正确； 对于C，由两圆外切，得，解得，故C错误； 对于D，由两圆内切，得，解得，故D正确. 故选：BD. 【变式13-3】【多选】（25-26高二上·贵州黔南·期中）圆与圆有且只有一个公共点，则的值可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BD 【分析】根据圆与圆的位置关系列式计算即得参数值. 【详解】由题意知，圆的圆心为，半径为 圆的圆心为，半径为， 因为两圆只有一个公共点，所以两圆内切或外切， 当两圆外切时，， 当两圆内切时，. 故或4,即或. 故选：BD 题型14 两圆的公共弦问题 公共弦长的求法 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． （2）几何法：将两圆作差可得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长． 【例14】（25-26高二上·陕西榆林·期中）圆与圆的公共弦所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出圆心，再判断两圆位置关系，将两圆方程相减可判断选项； 【详解】圆圆心，半径为； 圆圆心，半径为； 因为，此时两圆相交， 将两圆方程相减得，即， 故两圆公共弦所在直线的方程为； 故选：D. 【变式14-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）圆与圆的公共弦所在直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定两圆的位置关系，再由两圆的方程作差即可求出公共弦所在直线方程. 【详解】由，所以圆心，半径； 由，所以圆心，半径. 所以，且，所以两圆相交. 所以两圆公共弦所在的直线方程为：， 即，就是. 故选：B 【变式14-2】（22-23高二上·浙江湖州·期中）圆：与圆：的公共弦长为 . 【答案】 【分析】由两圆的方程先求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式及弦长公式，求得公共弦长即可. 【详解】联立， 两圆方程相减得公共弦方程：， 化为标准方程：，圆心为，半径为 圆心到公共弦的距离为：， 公共弦长为： 综上所述：公共弦长为：， 故答案为： 【变式14-3】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知圆的方程为，其中. (1)若圆和圆的公共弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将两圆方程作差可得相交弦所在直线的方程，求出圆心到相交弦所在直线的距离，再利用勾股定理可得出关于的等式，解之即可； （2）记点、，分析可知圆心为直线和线段垂直平分线的交点，联立这两条直线的方程，可得出圆心的坐标，进而可得出圆的半径，即可得出圆的方程. 【详解】（1）因为圆的方程为，则，解得， 将两圆方程作差可得，即为两圆相交弦所在直线的方程， 圆的圆心为，半径为， 由勾股定理可知，圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可得，解得或. （2）由题意可知，点在圆上，则，解得， 故圆的方程为，其标准方程为，    记点、， 由圆的几何性质可知，圆心在直线上， 且，所以直线的方程为，即， 因为圆过点、两点，所以圆心在线段的垂直平分线上， 线段的中点为，， 故线段的垂直平分线的方程为，即， 联立，解得，即圆心， 所以，圆的半径为， 故圆的方程为. 题型15 两圆的公切线问题 两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 【例15】（25-26高二上·陕西延安·期中）圆与圆公切线的条数为 ． 【答案】 【分析】根据题意，分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系的判定，得到圆与圆相交，进而得到答案. 【详解】由圆，即，可得圆心，半径为， 又由圆，即，可得圆心，半径为， 因为，可得， 即，所以圆与圆相交，所以两圆有2条公切线. 故答案为：. 【变式15-1】（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 【答案】（或或，任写一条即可，答案不唯一） 【分析】求出两圆圆心和半径，两圆圆心距以及两圆心所在直线方程即可得两圆公切线情况，再结合直线垂直关系以及两平行直线距离公式即可求公切线方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆心距为，故两圆外切， 两圆圆心所在直线的方程为，即，中点为， 切线垂直于直线，且经过中点，所以切线的方程为； 切线平行于直线，且到直线的距离为， 设平行于直线切线方程为， 则或， 所以切线的方程分别为.    故答案为：（或或，任写一条即可，答案不唯一）. 【变式15-2】【多选】（24-25高二上·浙江丽水·期末）已知圆，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，圆与圆相离 B．当时，是圆与圆的一条公切线 C．当时，圆与圆相交 D．当时，圆与圆的公共弦所在直线方程是 【答案】ABD 【分析】通过计算两圆的圆心距，再与两圆半径之和、半径之差比较来判断位置关系；对于公切线，需要判断两圆圆心到直线的距离是否等于半径；对于公共弦，可通过两圆方程相减得到. 【详解】圆的圆心坐标为，半径；圆的圆心坐标为，半径为. 则两圆的圆心距. 对于A，当时，.，知圆与圆相离，A正确； 对于B，当时，，由可得两圆相离. 因圆心到的距离为；圆心到的距离为， 故是圆与圆的一条公切线，B正确； 对于C，当时，，因为，两圆相离，C错误； 对于D，当时，将两圆方程相减得：， 整理得，即圆与圆的公共弦所在直线方程是，D正确. 故选：ABD. 【变式15-3】（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5．若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆公切线段的长度； (3)过直线上一点作圆的切线PC，PD，切点为C，D，当四边形面积最小时，求直线CD的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，根据题意列出关于的方程，求得即可； （2）首先得两圆相交，进一步得所求为； （3）首先得四边形面积最小时，点的坐标，进一步即可求解. 【详解】（1）由题意，设． 圆过点，且与直线相切， ，． 圆的半径小于5， ，此时圆的半径为3，圆心为，故方程为． 圆与圆关于直线对称，圆的方程为． （2）由（1）知圆，圆心为，半径为， 圆，圆心为，半径为，两圆相交，有两条公切线． 又公切线段的长度等于． （3）圆的半径， 则四边形的面积． 设， ， 当时，，此时四边形的面积最小，为． 在以为直径的圆上，圆的方程为， 又圆的方程为， 两个方程相减，可得直线CD的方程为． 题型16 与圆有关的最值问题 求解与圆有关的最值问题步骤： 第一步定型：根据题目条件确定最值问题的类型； 第二步作图：根据几何意义，画出图形，利用数形结合思想求解； 第三步求值：根据图形，利用相关知识求解． 【例16】（25-26高二上·陕西商洛·期中）已知是直线上任意一点，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】设，当圆与直线相切时，最小，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】设，则表示圆心为原点，半径为的圆， 当圆与直线相切时，最小， 由点到直线的距离公式有：， 所以的最小值为， 故答案为：. 【变式16-1】【多选】（25-26高二上·浙江杭州·期中）在平面直角坐标系中，已知，直线，动点满足，则（    ） A．原点O到直线的距离的最大值为12 B．面积的最大值为8 C．点到距离的最大值为17 D．的最大值为 【答案】ABC 【分析】先根据题设求出点的轨迹方程为，可得点的轨迹是圆，且圆心为，半径，再利用直线恒过定点，当直线与过点O和的直线垂直时，原点O到直线的距离最大即可求解A；根据面积公式即可求解B；利用直线恒过定点，当直线与过和的直线垂直时，点到直线的距离最大即可求解C；对于D，根据直线PM与圆C相切时，最大，此时，在直角三角形中计算． 【详解】设，由，得， 即，则点的轨迹是圆，且圆心为，半径. 对于A，由于恒过定点，而原点O和之间的距离为12， 当直线与过点O和的直线垂直时， 原点O到直线的距离最大，最大值为12，故A正确； 对于B，在圆上运动，其圆心在轴上， 则面积的最大值为，故B正确； 对于C，由于恒过定点，和之间的距离为13， 当直线与过点和的直线垂直时， 点到直线的距离最大，最大距离为，故C正确； 对于D，当直线与圆C相切时，最大，此时， 易知，，则，故D错误． 故选：ABC.    【变式16-2】【多选】（23-24高二下·广东深圳·期末）已知点为圆上两动点，且，点为直线 :上动点，则（      ） A．以为直径的圆与直线相离 B．的最大值为 C．的最小值为8 D．的最小值为112 【答案】ACD 【分析】对于A，设的中点为，连接，求出点到直线的距离的最小值进行判断，对于B，举例判断，对于CD，利用向量的数量积运算结合图形分析判断即可. 【详解】对于A，设的中点为，连接，则， 所以， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 所以点到直线的距离的最小值为， 因为，所以以为直径的圆与直线相离，所以A正确， 对于B，如图，当直线与直线平行，且共线时，则为等腰三角形， 此时， 则， 所以，所以，所以B错误， 对于C，因为, 所以 , 因为， 所以 ，当，共线，且在之间时取等号， 所以的最小值为8，所以C正确， 对于D，因为， 所以， 所以 ，当，共线，且在之间时取等号， 所以的最小值为112，所以D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的位置关系，考查向量的数量积的运算，解题的关键是画出图形，结合图形分析判断，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 【变式16-3】【多选】（23-24高二上·四川成都·期中）点是圆上的动点，则下面正确的有（    ） A．圆的半径为3 B．既没有最大值，也没有最小值 C．的范围是 D．的最大值为72 【答案】BC 【分析】将圆方程化为标准方程可判断选项A错误.设 ，则转化为直线与圆有交点，可算得既没有最大值，也没有最小值，选项B正确.对于选项C和D，可用三角换元化简，再结合辅助角公式即可判断. 【详解】圆转化为， 则圆的圆心为，半径为2，选项A错误. 设，则直线与圆有交点，即， 整理得，解得或. 既没有最大值，也没有最小值，选项B正确. 设，， 则，其中. 则的取值范围为，选项C正确. 又，则， 因此 其中. 则的最大值为，选项D错误. 故选：BC. 【题型一】误解“截距”与距离的关系致错 【例1】【多选】（23-24高二上·吉林·期末）直线l经过点，且两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分截距为零与不为零讨论，不为零时设出截距式，利用点在直线上求出直线方程，逐一判断即可. 【详解】当直线l的截距为0时，直线l的方程为，即．故A正确； 当直线l的截距不为0时，设直线l的方程为，则 解得或 若则直线l的方程为，即；故C正确； 若则直线l的方程为，即．故D正确； 故选：ACD. 【变式1-1】【多选】（22-23高二上·浙江杭州·期中）在下列直线方程中，表示经过点且在两坐标轴上截距相等的直线有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意利用直线的截距式方程运算求解，注意讨论截距是否为0. 【详解】设直线在x，y轴上截距分别为，则， 当时，则直线过原点，设直线方程为， 由题意可得：，即， 故直线方程为； 当时，则设直线方程为， 由题意可得：，则， 故直线方程为，即； 综上所述：直线方程为或. 故选：CD. 【变式1-2】（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可； （2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解. 【详解】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积，    由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 【变式1-3】（23-24高二上·云南昭通·月考）已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点. (1)若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程； (2)求面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1) (2)24， 【分析】（1）根据题意，假设直线的方程为，代入所经过点即可得解； （2）利用直线的截距式方程，结合基本不等式求得，从而得到的面积的最小值与直线的方程，从而得解. 【详解】（1）由题意可知直线不经过原点， 又直线在两坐标上的截距相等，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 故直线的方程为，即. （2）依题意，设直线的方程为， 则，且， 所以，解得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积， 即的面积的最小值为， 此时直线的方程为，即. 【题型二】平行线间的距离公式使用不当致错 【例2】（25-26高二上·山东枣庄·期中）直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 ． 【答案】 【分析】求出过直线方程，由直线平行求出，再由平行线间距离公式得解. 【详解】因为直线过点，， 所以直线的方程为：，即， 因为与直线平行， 所以，所以两平行线间的距离， 故答案为： 【变式2-1】（25-26高二上·贵州·期末）、分别为与上任一点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】先通过直线平行的判定公式判断已知直线互相平行，再利用平行线的距离公式计算求解． 【详解】直线和直线满足， 两条直线互相平行， 又、分别为与上任一点， 的最小值就是平行线（即）与之间的距离， . 故选：C 【变式2-2】（25-26高二上·广东深圳·期中）直线，直线，若，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线间距离公式列式计算得解. 【详解】由直线与直线平行，得， 所以直线与的距离. 故选：C 【变式2-3】（23-24高二上·广东深圳·期末）若直线：与直线：间的距离为，则（    ） A．17 B． C．14 D．7 【答案】D 【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】因为，所以直线与直线间的距离为， 解得或， 因为，所以. 故选：D. 【题型三】遗漏方程表示圆的充要条件致错 【例3】（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知方程表示的曲线是一个圆，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由曲线表示圆可得，从而可求出的取值范围. 【详解】因为方程表示的曲线是一个圆， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：. 【变式3-1】（24-25高一下·浙江宁波·期末）“关于的方程：表示圆”是“”的（       ）条件 A．必要不充分 B．充要 C．充分不必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】先得的表示圆时的的取值范围，从而得到结论. 【详解】由题意有， 所以或， 由于为或的真子集， 故方程表示圆是的必要不充分条件， 故选：A. 【变式3-2】（24-25高二上·福建福州·期中）已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆及点在圆外列不等式求参数范围即可. 【详解】圆的方程可化为，则，可得， 又点在圆外，则，可得， 所以. 故选：B 【变式3-3】（25-26高二上·陕西渭南·月考）已知方程表示一个圆. (1)求t的取值范围； (2)求这个圆的圆心和半径； 【答案】(1)； (2)圆心坐标为，半径为. 【分析】（1）由二元二次方程表示圆的条件列不等式求解； （2）配方得圆的标准方程后可得圆心坐标与半径. 【详解】（1）由题意，解得：， 所以的取值范围是； （2）圆的标准方程是， 圆心坐标为，半径为. 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $