精品解析：江苏省南京市第二十九中学2025-2026学年上学期九年级数学10月月考试卷

2025-2026学年第一学期九年级限时练习 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0．5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一．选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）． 1. 已知⊙的半径为，点到圆心的距离为，那么点与⊙的位置关系是（ ）． A. 点在⊙外 B. 点在⊙内 C. 点在⊙上 D. 无法确定 2. 将方程x2+6x+1=0配方后，原方程可变形为（ ） A. （x+3）2=﹣10 B. （x﹣3）2=﹣10 C. （x﹣3）2=8 D. （x+3）2=8 3. 下列语句中，正确的是（ ） A. 同一平面上的三点确定一个圆 B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等 C. 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 D. 菱形的四个顶点在同一圆上 4. 如图，等腰直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点是量角器上刻度线的外端点，连接交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 你知道吗？股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（　　） A. （1+x）2= B. x+2x= C. （1+x）2= D. 1+2x= 6. 如图，点、分别在轴、轴上，以为直径的圆经过原点，是的中点，连结，．下列结论：①；②；③若，，则的面积等于5；④若，则点的坐标是．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二．填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 写出一个以和4为根且二次项系数为1的一元二次方程是___．（用一般形式表示） 8. 已知方程的一个根是1，则的值为_____． 9. 某景区六月份游客接待量为300万人次，八月份游客接待量为363万人次．设游客接待量的月平均增长率是x，根据题意可列方程为______． 10. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是_________． 11. 设的半径为2，圆心到直线的距离，且使得关于的方程没有实数根，则直线与的位置关系为__________ 12. 如图，在⊙O中，直径EF⊥CD，垂足为M，若CD＝2，EM＝4，则⊙O的半径为_____． 13. 如图，四边形是的外切四边形，且，，若四边形的面积等于，则的半径等于______． 14. 定义：顶点在圆内，并且角的两边与圆相交的角叫圆内角．例如图中为圆内角，设的两边及其反向延长线所夹的弧、的度数分别为、，则的度数是_____（用、表示） 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______． 16. 如图，点的坐标分别为，，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为________． 三．解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交⊙O于点E，连接CE． （1）求证； （2）若的度数为，求的度数． 19. 已知代数式． （1）当为何值时，代数式A比B的值大2； （2）求证：对于任意的值，代数式的值恒为正数． 20. 尺规作图：作已知圆的一条直径． 要求：①保留作图痕迹；②用两种不同方法作图． 21. 已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0． （1）若方程有一个根是2，求m的值； （2）求证：不论m为何值，方程总有实数根． 22. 如图，为的直径，于点，，与交于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 23. 宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用． （1）当定价为200元时，会空 间房，每天的利润是 元； （2）若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？ 24. 已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知： 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：已知实数满足，且，则___________，___________，___________； （2）拓展应用：已知实数满足，且，求的值． 25. 如图，中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 26. 某牧场准备利用现成的一堵“L”形的墙面（粗线A－B－C表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为34米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场，并在每个区域开一个宽1米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），点F可能在线段上（如图1），也可能在线段的延长线上 （如图2）． （1）当点F在线段上时， ①设的长为x米，则________米；（用含x的代数式表示） ②若围成的饲养场的面积为66平方米，求饲养场的的长； （2）用现有的篱笆所围成的饲养场的面积能否为96平方米？如果能达到，求出的长；如果不能，请说明理由． 27. （1）发现：如图1，在平面内，已知的半径为r，B为外一点，且，P为上一动点，连接，易得的最大值为___________，最小值为___________；（用含a，r的代数式表示） （2）应用：①如图2，在矩形中，，E为边中点，F为边上一动点，在平面内沿将翻折得到，连接，则的最小值为___________； ②如图3，点P为线段外一动点，分别以为直角边，P为直角顶点，作等腰和等腰，连接．若，则最大值为___________； （3）拓展：如图4，已知以为直径的半圆O，C为弧上一点，，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，则的最小值为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级限时练习 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0．5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一．选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）． 1. 已知⊙的半径为，点到圆心的距离为，那么点与⊙的位置关系是（ ）． A. 点在⊙外 B. 点在⊙内 C. 点在⊙上 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：∵OP=8＞5，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外． 故选A． 2. 将方程x2+6x+1=0配方后，原方程可变形为（ ） A. （x+3）2=﹣10 B. （x﹣3）2=﹣10 C. （x﹣3）2=8 D. （x+3）2=8 【答案】D 【解析】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】∵x2+6x+1=0， ∴x2+6x=-1， 则x2+6x+9=-1+9，即（x+3）2=8， 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3. 下列语句中，正确的是（ ） A. 同一平面上的三点确定一个圆 B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等 C. 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点 D. 菱形的四个顶点在同一圆上 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查外心定义，圆的定义，垂直平分线性质，圆内接四边形性质．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵同一平面内，不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，故A选项不正确； ∵三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，根据垂直平分线性质可知外心到三角形三个顶点距离相等，故B选项不正确，C选项正确； ∵圆内接四边形对角互补，菱形对角相加不一定等于，故D选项不正确， 故选：C． 4. 如图，等腰直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点是量角器上刻度线的外端点，连接交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆中求角度，涉及量角器测角、圆周角定理和三角形内角和定理等知识，连结，读出量角器角度，结合圆周角定理求出，再由三角形内角和定理即可得到答案，掌握圆周角定理是解决问题的关键． 【详解】解：连结，如图所示： 由题意可知，则， 等腰直角三角板的斜边与量角器的直径重合， 是的直径，， 在中，，则， 在中，，，则， 故选：B． 5. 你知道吗？股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（　　） A. （1+x）2= B. x+2x= C. （1+x）2= D. 1+2x= 【答案】C 【解析】 【详解】解：设票股价的平均增长率x. 则 即 故选C 6. 如图，点、分别在轴、轴上，以为直径的圆经过原点，是的中点，连结，．下列结论：①；②；③若，，则的面积等于5；④若，则点的坐标是．其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的有关知识，勾股定理及三角形全等等知识点，关键是综合运用几何知识点．根据圆周角定理判断①，弧、弦、圆心角的关系判断②，求出，根据等腰直角三角形的性质可判断③，作轴于，轴于，通过构造全等三角形，可判断④． 【详解】解：是直径， ，故①符合题意； 是中点， ，故②符合题意； ， ， 是等腰直角三角形， ， 的面积为，故③符合题意； 作轴于，轴于， ， ， ， ， ， ，， 是正方形， 设正方形的边长为， ， ， ， 点坐标是，故④不符合题意， 故选：B． 二．填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 写出一个以和4为根且二次项系数为1的一元二次方程是___．（用一般形式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，根与系数的关系式，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此根据根与系数的关系确定一次项系数和常数项即可得到答案． 【详解】解：由根与系数的关系可得，一次项系数为，常数项为， ∴符合题意的一元二次方程为， 故答案为：． 8. 已知方程的一个根是1，则的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，解题的关键是利用“方程的根满足原方程，即把根代入方程后等式成立”的性质，将已知根代入方程转化为关于参数的一元一次方程求解． 已知是方程的根，根据根的定义将代入原方程，得到关于的一元一次方程；解这个一元一次方程，即可求出的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入方程，得； 化简得，即； 解得． 故答案为：． 9. 某景区六月份游客接待量为300万人次，八月份游客接待量为363万人次．设游客接待量的月平均增长率是x，根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了与增长率有关的一元二次方程的应用，理解题意，找到等量关系并正确列出方程是关键；根据等量关系：，列出方程即可． 【详解】解：由题意得：； 故答案为：． 10. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值是_________． 【答案】2018 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴ ∴ ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 故答案为：2018． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，还有整体的思想，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解本题的关键． 11. 设的半径为2，圆心到直线的距离，且使得关于的方程没有实数根，则直线与的位置关系为__________ 【答案】相离 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及直线与圆的位置关系，解题的关键是先通过判别式求出圆心到直线的距离的取值范围，再根据“圆心到直线的距离与圆半径的大小关系判定直线与圆的位置”得出结论． 先明确一元二次方程无实数根的条件（判别式），对关于的方程计算判别式，列不等式求出的取值范围；再结合的半径为2，对比与半径的大小关系（半径相离，半径相切，半径相交），确定直线与的位置关系． 【详解】解：对于一元二次方程（），无实数根时判别式； 在方程中，，，， 计算判别式： ； ∵方程无实数根， ∴，即， 解得； 已知的半径为2，圆心到直线的距离， ∵（距离大于半径）， ∴直线与的位置关系为相离． 故答案为：相离． 12. 如图，在⊙O中，直径EF⊥CD，垂足为M，若CD＝2，EM＝4，则⊙O的半径为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用垂径定理设出半径R，建立一个关于R的方程，解方程即可. 【详解】解：设⊙O的半径为R， ∵EM＝4， ∴OC＝R，OM＝4﹣R， ∵直径EF⊥CD，垂足为M，CD＝2， ∴∠OMC＝90°，CM＝DM＝1， 由勾股定理得：OC2＝OM2+CM2， 即R2＝（4﹣R）2+12， 解得：R＝， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理的内容是解题的关键. 13. 如图，四边形是的外切四边形，且，，若四边形的面积等于，则的半径等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，设点为四边形与的切点，连接，由切线长定理可得，，，，由，可得，进而可得，设，最后根据面积可得，据此即可求解，掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键． 【详解】解：设点为四边形与的切点，连接，则，，，， 由切线长定理得，，，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， 设， ∵四边形的面积等于， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 定义：顶点在圆内，并且角的两边与圆相交的角叫圆内角．例如图中为圆内角，设的两边及其反向延长线所夹的弧、的度数分别为、，则的度数是_____（用、表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内角的度数推导及圆周角定理的应用，解题的关键是通过作辅助线（如连接）将圆内角转化为两个圆周角的和，再利用“圆周角的度数等于它所对弧度数的一半”的性质推导圆内角度数． 连接，利用三角形外角性质（）将圆内角拆分为两个圆周角；其中是弧所对的圆周角，是弧所对的圆周角；根据圆周角与弧的关系，分别表示出两个圆周角的度数，再相加即可得到的度数． 【详解】解：连接， ∵是的外角， ∴； ∵是弧所对的圆周角，弧的度数为， ∴； ∵是弧所对的圆周角，弧的度数为， ∴； ∴． 故答案为：． 15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】连接，根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，分点在线段上和的延长线上，且，勾股定理求得即可． 【详解】如图，连接， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，， ，， ， 根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且， ， 如图，在中，， 在中， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，确定点的位置是解题的关键． 16. 如图，点的坐标分别为，，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同圆的半径相等可知：点在半径为1的上，通过画图可知，点在与的交点时，最小，在的延长线上时最大，由勾股定理可求出，再根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：如图， ∵点为坐标平面内一点，， 在上，且半径为1， 取，连接， ，， 是的中位线， ， 当最大时，即最大，而三点共线时，当在的延长线上时，最大， ，， ， ， ，即的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与立体感虽然性质，三角形中位线定理等知识，确定为最大值时点的位置是关键． 三．解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法（因式分解法），解题的关键是将方程通过提取公因式等方式变形为“两个因式乘积等于0”的形式，再根据“若，则或”求解方程的根． （1）对于方程，观察到左边两项有公因式，先提取公因式将方程化为，再分别令两个因式为0求解； （2）对于方程，先将右边 变形为，再移项使方程右边为0，得到，提取公因式 化为，最后令因式为0求解． 【小问1详解】 解： 提取公因式，得； 根据“若两数乘积为0，则至少其一为0”，得或； 解得，． 【小问2详解】 解： 将右边变形为，移项得； 提取公因式，得，即； 根据“若两数乘积为0，则至少其一为0”，得或； 解得，． 18. 如图，为的直径，D是弦延长线上一点，，的延长线交⊙O于点E，连接CE． （1）求证； （2）若的度数为，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图：连接 是的直径 ，即 又 ． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，首先证明，即可求解； （2）根据的度数为，可得到，根据，且，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的度数为 又，且 ． 【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角，弧、弦的关系，解题关键是灵活运用所学知识解决问题． 19. 已知代数式． （1）当为何值时，代数式A比B的值大2； （2）求证：对于任意的值，代数式的值恒为正数． 【答案】（1）当或时，代数式A比B的值大2； （2） ∵， ∴， ∴对于任意的值，代数式的值恒为正数． 【解析】 【分析】（1）由题意得，得到，解一元二次方程即可求解； （2）由题意得，即可证明结论成立． 【小问1详解】 解：由题意得， 去括号得， 整理得， 解得或， 当或时，代数式A比B的值大2； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了解一元二次方程，配方法的运用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 20. 尺规作图：作已知圆的一条直径． 要求：①保留作图痕迹；②用两种不同方法作图． 【答案】 如图所示，直径与即为所作． 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 方法1：在圆上任取弦，作线段的垂直平分线，与圆分别交于点，，连接，根据垂径定理可知为已知圆的一条直径； 方法2：在圆上任取弦，过点作的垂线，交圆于点，连接，由圆周角定理可知为已知圆的一条直径． 【详解】解：略． 21. 已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0． （1）若方程有一个根是2，求m的值； （2）求证：不论m为何值，方程总有实数根． 【答案】（1）1； （2）证明：当m＝0时，原方程为一次方程，此时x＝1； 当m≠0时，＝（m+2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0， ∴当m≠0时，方程有实数根． 综上所述：不论m为何值，方程总有实数根． 【解析】 【分析】（1）将x=2代入方程计算即可得出答案； （2）当m＝0时，原方程为一次方程，有实数根；当m≠0时，判断≥0即可． 【详解】解：（1）将x＝2代入原方程，得：4m﹣2（m+2）+2＝0， 解得：m＝1． 故m的值为1； （2）略 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程根的判别式，当时，有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根． 22. 如图，为的直径，于点，，与交于点． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为的直径，于， ∴由垂径定理得； 又∵， ∴； ∴，； ∴； ∵在同圆中，等弧对等弦， ∴. （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查了圆的垂径定理、等弧对等弦与圆周角性质、勾股定理及等腰三角形的判定，解题的关键是通过“同角的余角相等”和“等弧所对等圆周角相等”证得角相等，进而判定等腰三角形，再结合勾股定理建立方程求解未知线段。 （1）要证，先由垂径定理得时，再结合已知，推得，根据“等弧对等弦”证得； （2）先由（1）得,垂径定理得；在中求；通过“同角的余角相等”和“等弧所对圆周角相等”证,得等腰（）；设,用表示，最后在中用勾股定理列方程求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，， 由（1）知, ∵，为直径，由垂径定理得； ∵, ∴,则（直角三角形两锐角互余）； ∵为直径， ∴（直径所对圆周角为直角），则； 由和，得（同角的余角相等）； 又∵, ∴； ∴（等量代换）， 则为等腰三角形，； 设, ∴,则； 在中，由勾股定理得, 代入、、，得； 展开左边：,消去得； 解得,即 答：的长为. 23. 宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用． （1）当定价为200元时，会空 间房，每天的利润是 元； （2）若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？ 【答案】（1）2，8640 （2）应该将每间房每天定价为350元 【解析】 【分析】（1）先计算加价20元，空2间房，再计算出利润即可； （2）设房价定为x元，根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得． 【小问1详解】 （元） 20÷10=2（间） 所以，每天的利润为：（元） 故答案为：2，8640； 【小问2详解】 解：设房价定为x元， 根据题意，得． 整理，得， 解得． 答：应该将每间房每天定价为350元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系． 24. 已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知： 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：已知实数满足，且，则___________，___________，___________； （2）拓展应用：已知实数满足，且，求的值． 【答案】（1）7，1，7 （2）1 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是构建一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解． （1）可以看作是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）可以看作是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵实数满足，且， ∴可以看作是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵实数满足，且， ∴可以看作是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴． 25. 如图，中，，以为直径的交于点D，，垂足为E． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ∵为的直径， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴是的中位线． ∴， 又∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线性质，勾股定理等知识，掌握切线的判定是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理，结合等腰三角形的性质和三角形中位线可证得，即可证得结论； （2）如图，作于点F，得到矩形，再通过勾股定理进行计算即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，作于点F， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， 中，， ∴， 中，． 26. 某牧场准备利用现成的一堵“L”形的墙面（粗线A－B－C表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为34米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场，并在每个区域开一个宽1米的门，如图（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），点F可能在线段上（如图1），也可能在线段的延长线上 （如图2）． （1）当点F在线段上时， ①设的长为x米，则________米；（用含x的代数式表示） ②若围成的饲养场的面积为66平方米，求饲养场的的长； （2）用现有的篱笆所围成的饲养场的面积能否为96平方米？如果能达到，求出的长；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）①；②饲养场的宽的长为11米； （2）宽EF为8米时，饲养场BDEF的面积为96平方米． 【解析】 【分析】（1）①根据各边之间的关系，即可用含x的代数式表示出的长； ②利用矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合不超过9米，即可得出饲养场的宽的长为11米； （2）分情况讨论，点F在线段上和点F在线段的延长线上讨论即可． 【小问1详解】 解：①设的长为x米，则（米）． 故答案为：． ②依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：饲养场的宽的长为11米． 【小问2详解】 解：设饲养场的面积为S，的长为x米， ①点F在线段上， 则， 整理可得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，不合题意，舍去． ∴当点F在线段上时，面积不能达到96平方米； ②点F在线段的延长线上， 则， ∴时，，，符合题意， 综上，宽EF为8米时，饲养场BDEF的面积为96平方米． 【点睛】此题主要考查的是一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键． 27. （1）发现：如图1，在平面内，已知的半径为r，B为外一点，且，P为上一动点，连接，易得的最大值为___________，最小值为___________；（用含a，r的代数式表示） （2）应用：①如图2，在矩形中，，E为边中点，F为边上一动点，在平面内沿将翻折得到，连接，则的最小值为___________； ②如图3，点P为线段外一动点，分别以为直角边，P为直角顶点，作等腰和等腰，连接．若，则最大值为___________； （3）拓展：如图4，已知以为直径的半圆O，C为弧上一点，，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，则的最小值为___________． 【答案】（1）；（2）①，②；（3） 【解析】 【分析】（1）当P在延长线上时，最大为：．当P在上时，最小为：． （2）①由沿将翻折得到，可知，即P的运动轨迹是以点E为圆心，以2为半径的半圆，则当E、P、B三点共线时，小，此时进而即可求解；②由和是等腰直角三角形，可证，得，进而 ，当C、A、B三点共线时，最大，进而可求解； （3）以为边作，在的异侧作等边，为半圆O的直径，，由，由是等边三角形，可得，即D的运动轨迹是G为圆心，为半径的，进而可求； 【详解】解：（1）当P在延长线上时最大，如图： ∴最大为：． 当P在上时最小，如图： ∴最小为：． 故答案为∶． （2）①如图： ∵沿将翻折得到， ∴，即P的运动轨迹是以点E为圆心，以2为半径的半圆， ∴当E、P、B三点共线时，小，此时， ∴的最小值为， 故答案为：． ②∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴ ，即， ∴， ∴， ∴当最大时，就最大， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当C、A、B三点共线时，最大，如图： ∴此时． （3）以为边作，在的异侧作等边， ∵为半圆O的直径，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即D的运动轨迹是G为圆心，为半径的，而， ∴， 在中，， ∴， 当G、D、B三点共线时，BD最小，如图： ∴最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，涉及翻折变换，全等三角形的判定及性质，三角形两边之差小于第三边等知识，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，等边三角形及转化思想的应用，综合性较强． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $