精品解析：江苏省苏州市苏州工业园区星海实验初级中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷

2025—2026学年第一学期初三十月练习试卷 数学 学生练习答题须知： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考号、原班级均用阿拉伯数字填写清楚． 2．客观题必须使用2B铅笔填写，主观题必须使用0.5毫米黑色签字笔，不得用铅笔、红笔或圆珠笔答题，不能用涂改液、修正带，字迹工整，笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．每道题右侧的方框为评分区，考生不得将答案写在该区域，也不得污损该区域． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破． 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卷相应位置上． 1. 抛物线的开口向下，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 为锐角，且，则的范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，于，设，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 若点在二次函数的图象上，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 8. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线，则下列四个结论：①；②；③；④若是抛物线上两点，则．正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卷相应位置上． 9. 二次函数的图象经过点，则代数式的值为___________. 10. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_____． 11. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度，它把物体从地面处送到离地面2米高的处，则物体从到所经过的路程为__________米． 12. 已知二次函数的函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … 7 1 1 n … 则n的值为______． 13. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，D为AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，连接BE，则△ABE的面积等于_____ 14. 如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点都在格点上，则的值为______． 15. 如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，则的值为_______． 16. 如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则________． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．请将解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 计算：2sin30°+4cos30°·tan60°-cos245° 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围． （2）若方程一实数根为，求实数的值． 20. 某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … （1）直接写出y与x之间的函数关系式； （2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ 21. 图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． （1）如图，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； （2）如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，) 22. 如图，在中，是边上的高，． 求：（1）线段的长； （2）的值． 23. 某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡底部C处测得塔顶B的仰角为，沿斜坡走13米到达斜坡D处，测得塔顶B的仰角为，且斜坡的坡度，其中点A，C，G，F在同一条水平直线上．求： （1）点D到地面的距离； （2）塔的高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，，） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、两点（点在点的左侧），交轴于点，连接，，． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，的取值范围______； （3）当时，的取值范围______． 25. 已知抛物线：． （1）抛物线的对称轴为：直线______； （2）当时，将抛物线沿x轴翻折，得到的新的抛物线的解析式为______； （3）若抛物线的顶点在x轴上，求a的值． 26. 智能机器人在如图所示的区域工作，，直线为生产流水线，且平分的面积（即为的中点）．机器人从点出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点表示，设机器人运动的时间为，记点到的距离（即垂线段的长）为．与的部分对应数值如下表： （min） 0 20 24 18 0 18 （1）________； （2）求长； （3）求的值． 27. 如图，抛物线经过、，与轴交于另一点为直线上方抛物线上一动点，过点作轴于点，与相交于点．于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求线段长度的最大值； （3）连接，是否存在点，使得中有一个角与相等？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期初三十月练习试卷 数学 学生练习答题须知： 1．答题前，考生先将自己的姓名、考号、原班级均用阿拉伯数字填写清楚． 2．客观题必须使用2B铅笔填写，主观题必须使用0.5毫米黑色签字笔，不得用铅笔、红笔或圆珠笔答题，不能用涂改液、修正带，字迹工整，笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．每道题右侧的方框为评分区，考生不得将答案写在该区域，也不得污损该区域． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破． 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卷相应位置上． 1. 抛物线的开口向下，那么a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线开口向下可得，进而求解． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∴， 故选：B． 2. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理，先由勾股定理求出，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选C． 3. 为锐角，且，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊的三角函数值，解题的关键是熟记特殊三角函数值； 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 4. 如图，在中，于，设，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，求角的余弦值，先利用勾股定理求出的长，进而求出的值，再证明即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5. 将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据上加下减，左加右减进行解答即可． 【详解】解：将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到抛物线的解析式是，即， 故选：C． 6. 若点在二次函数的图象上，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 先求出对称轴，根据A，B，C三点到对称轴的距离大小关系求解即可判断函数值大小． 【详解】解：由可得对称轴为直线，开口向上， ，，， ∵， ∴， 故选：B． 7. 函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一次函数的性质确定a>0与a<0两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解：函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0） A. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是交y轴正半轴，故选项A不正确； B. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是在坐标原点上，故选项B不正确； C. 函数y＝ax图形可得a＞0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴，故选项C不正确； D. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴正确，故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键． 8. 如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线，则下列四个结论：①；②；③；④若是抛物线上两点，则．正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质并数形结合是解题的关键． ①根据直线是对称轴，确定的值； ②根据时，确定的符号； ③根据时，，求得，即可得到结论； ④根据抛物线的对称性，得到与的大小关系即可． 【详解】解：∵直线是对称轴， ∴，即， ∴，故①正确； ∵直线是对称轴，二次函数图象经过点， ∴抛物线经过点, ∴当时，， 即，故②错误； 当时，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小， ∵，，与是抛物线上两点， ∵， ∴，故④错误， 综上，正确的是①③， 故选：B． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卷相应位置上． 9. 二次函数的图象经过点，则代数式的值为___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把点直接代入解析式即可得到答案． 【详解】解：∵二次函的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 10. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记根与系数关系的公式． 利用一元二次方程根与系数的关系即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度，它把物体从地面处送到离地面2米高的处，则物体从到所经过的路程为__________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解决此题的关键是正确的计算；先根据坡度比算出水平距离的长度为4，根据勾股定理即可得到答案； 【详解】解：∵传送带和地面所成斜坡的坡度，垂直高度为2， ∴水平长度为4， 根据勾股定理可得：（米）， ∴物体从到所经过的路程为米， 故答案为：． 12. 已知二次函数的函数值和自变量的部分对应取值如下表所示： x … 0 1 2 3 … y … 7 1 1 n … 则n的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，先由表格确定对称轴为直线，再由对称性求解值． 【详解】解：由表格可得和时的函数值相等， ∴对称轴为直线， ∴和时的函数值相等， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，D为AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，连接BE，则△ABE的面积等于_____ 【答案】 【解析】 【分析】由中点定义可得AD的长，根据∠A的三角函数可得DE的长，利用三角形面积公式即可得答案， 【详解】∵AB=2，D为AB的中点， ∴BD=AD=AB=×2=， ∵∠A=30°，DE⊥AB交AC于点E， ∴tan∠A=tan30°=， 解得：DE=1． ∴S△ABE=AB•DE=×2×1=． 故答案为： 【点睛】本题考查利用锐角三角函数解直角三角形，熟练掌握各三角函数的定义并熟记特殊角的三角函数值是解题关键． 14. 如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点都在格点上，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理，解直角三角形，解题的关键是作出合理的辅助线；先连接，根据勾股定理分别算出，，的长，再根据勾股定理的逆定理判定直角三角形，进而得到答案； 【详解】解：如图，连接， 设小正方形的边长为1， 由勾股定理可得：，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，则的值为_______． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，掌握以上知识并正确作出辅助线是解题关键． 证明，从而可证明，设，正方形的边长设为，在中利用勾股定理建立方程，解得，进而可求出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵在正方形纸片中，E是边的中点， ，， 由折叠性质可得，， ，， ． ， 设，正方形的边长设为， ， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，翻折的性质，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，由，设，则，结合，求出，，由翻折得，设，则，，在中，利用，求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∴， 设，则， ∴， 得， 则，， 由翻折得， 设， 则，， 在中，， 即， 解得：， 即， 故答案为：． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．请将解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先移项，再由因式分解法求解即可； （2）利用直接开平方法求解即可； （3）由因式分解法求解即可； （4）先移项，再利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解： 或 ∴，； 【小问2详解】 解： 或， ∴，； 【小问3详解】 解： 或， ∴，； 【小问4详解】 解： ， ， ， ∴，． 18. 计算：2sin30°+4cos30°·tan60°-cos245° 【答案】 【解析】 【分析】将sin30°=，cos30°=，tan60°=，cos45°=代入运算，即可得出答案． 【详解】解： 原式=2×＋4×·－ =1＋6－ =． 【点睛】考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握一些特殊角的三角函数值，牢记特殊三角函数值是解题的关键． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围． （2）若方程一实数根为，求实数的值． 【答案】（1） （2），， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式之间的关系及方程的解，解题的关键是熟练掌握方程有实数根判别式大于或等于0． （1）根据方程有实数根得到判别式大于或等于0，列不等式求解即可得到答案； （2）将代入方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：，，，方程有实数根， ， ； 【小问2详解】 解：若方程一实数根为，则， ， ，， 由（1）得，两个解都符合题意． 20. 某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/元 … 12 13 14 … 每天销售数量y/件 … 36 34 32 … （1）直接写出y与x之间的函数关系式； （2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ 【答案】（1） （2）销售单价为元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． （）利用待定系数法解答即可； （）根据题意列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为，把和代入得， ， 解得 ， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得，， 解得，， ， 答：销售单价为元． 21. 图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． （1）如图，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； （2）如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用．正确构造直角三角形是解题的关键． （1）作于点，易得的长度和的度数，根据的长度和的余弦值可得的长度； （2）在（1）中求得的长，作于点，可得的长度，则水桶在竖直方向上升的距离为与的差． 【小问1详解】 解：如图，作于点，则， 由题意得：，， ， ， ， ， 米，为的中点， 米， （米； 【小问2详解】 解：在（1）中米， 如图，作于点，则， 同理可得，， ， 水桶在竖直方向上升的距离为米， 故水桶在竖直方向上升的距离约为米． 22. 如图，在中，是边上的高，． 求：（1）线段的长； （2）的值． 【答案】（1）5；（2）． 【解析】 【分析】（1）在Rt△ABD中，由AD=12，sinB=，可求出AB，再根据勾股定理求出BD，进而求出CD； （2）作高，构造直角三角形，求出CE、AC即可，利用三角形的面积公式和勾股定理可求． 【详解】解：（1）∵AD是BC边上的高， ∴∠D=90°， 在Rt△ABD中， ∵sinB=， ∴， 又∵AD=12， ∴AB=15， ∴BD==9， 又∵BC=4， ∴CD=BD-BC=9-4=5； 答：线段CD的长为5； （2）如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E， ∵S△ABC=BC•AD=AB•CE ∴×4×12=×15×CE， ∴CE=， 在Rt△AEC中， ∴sin∠BAC=， 答：sin∠BAC的值为． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系和三角形的面积公式是解决问题的关键． 23. 某数学兴趣小组到一公园测量塔楼的高度，如图所示，塔楼剖面图与斜坡剖面图在同一平面内，在斜坡底部C处测得塔顶B的仰角为，沿斜坡走13米到达斜坡D处，测得塔顶B的仰角为，且斜坡的坡度，其中点A，C，G，F在同一条水平直线上．求： （1）点D到地面的距离； （2）塔的高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，，） 【答案】（1）5米 （2）17.1米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，勾股定理． （1）根据坡度和的长进行求解即可； （2）过点作，垂足为，设米，则米，在中， 米，在中，米，根据建立方程求解，得到m的值，即可解答． 【小问1详解】 解：∵斜坡的坡度，设，， ∵， ∴， 解得， 答：点D到地面的距离为米； 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为， 由题意得：米，，， 斜坡的坡度，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， 米， 塔高约为米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、两点（点在点的左侧），交轴于点，连接，，． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，的取值范围______； （3）当时，的取值范围______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点C的坐标，得到的长，进一步得到点A和点B的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）根据抛物线与x的交点坐标及函数图象进行判断即可； （3）求出顶点坐标即函数最大值，求出当和时的函数值，根据二次函数的图象即可得到答案； 此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式等知识，数形结合是解题的关键． 【小问1详解】 解：当时，， ∴点C的坐标是， ∴， ∴， ∴点B的坐标是， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点A的坐标是， 把点B，点A代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解由抛物线图象可知，当时，则的取值范围是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标是，对称轴为直线， ∵抛物线开口向下， ∴当时，有最大值4， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为， 故答案为： 25. 已知抛物线：． （1）抛物线的对称轴为：直线______； （2）当时，将抛物线沿x轴翻折，得到的新的抛物线的解析式为______； （3）若抛物线的顶点在x轴上，求a的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质以及轴对称变换，属于基本题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据二次函数的对称轴公式解答即可； （2）先确定当时抛物线的顶点坐标，再得出翻折后的顶点坐标和a的值，进而可得答案； （3）抛物线的顶点在x轴上也就是顶点的纵坐标为0，据此解答即可． 【小问1详解】 解：对称轴为直线， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当，抛物线为， ∴顶点为， ∴将抛物线沿x轴翻折，得到的新的抛物线顶点为，， ∴新解析式为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， ∴顶点为， ∵抛物线的顶点在x轴上， ∴， ∴． 26. 智能机器人在如图所示的区域工作，，直线为生产流水线，且平分的面积（即为的中点）．机器人从点出发，沿的方向以的速度匀速运动，其所在位置用点表示，设机器人运动的时间为，记点到的距离（即垂线段的长）为．与的部分对应数值如下表： （min） 0 20 24 18 0 18 （1）________； （2）求长； （3）求的值． 【答案】（1） （2）的长． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形，相似三角形和解直角三角形，解决此题的关键是作出合理的辅助线； （1）先作出辅助线，根据题意得到边长，运用勾股定理算出的长度，根据全等得到的长度，判断三角形相似，根据相似的性质得到的长度，进而可得到答案； （2）由（1）的过程已经算出； （3）根据相似得到答案即可； 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点，过点C作于点， ∴， 由题和表格可知：， 在中， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 在中， ， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∴的长． 【小问3详解】 解：当时，点运动到的位置，如图，则， 当时，点运动到的位置，如图，则， ∵， ∴ ∴， 由（1）可知： ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴的值为． 27. 如图，抛物线经过、，与轴交于另一点为直线上方抛物线上一动点，过点作轴于点，与相交于点．于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求线段长度的最大值； （3）连接，是否存在点，使得中有一个角与相等？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）设抛物线解析式为，将代入，即可求出抛物线解析式； （2）设，且，设直线的解析式为，将，代入，求出直线BC的解析式，证明，得出，，即可得解； （3）由正切的定义得出，过点B作，交的延长线于点G，过点G作轴于H，分两种情况①若，②若分别求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线经过、， ， 解得， 抛物线的解析式为。 【小问2详解】 解： 设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，且，则， ， ∵， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ， ∴当时，取得最大值，最大值是。 【小问3详解】 解：存在点D，使得中有一个角与相等． ，，， ∴,，， ∴， 如图2，过点B作，交的延长线于点G，过点G作轴于H， ①若， ∴， ∵， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∴； 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴D的横坐标为：； ②若， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴D的横坐标为：， ∴存在点D，使得中有一个角与相等，点D的横坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合问题， 待定系数法求二次函数解析式，求一次函数与二次函数交点，相似三角形的判定以及性质，正切等知识，正确作出辅助线，综合运用以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $