精品解析：天津市崇化中学2025-2026学年高二上学期阶段质量监测（一）数学试卷

2025—2026学年第一学期高二年级数学学科阶段质量监测（一） 试卷 一、单选题：（本大题共10小题，每题3分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将直线表示成斜截式方程，得出斜率，由倾斜角和斜率的关系得到答案. 【详解】由可得，， 则直线斜率为，设直线倾斜角为，则， 又，则. 故选：A 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B. 若，则､的长度相等且方向相同 C. 若向量､满足，且与同向，则 D. 若两个非零向量与满足，则. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量的模长、共线、共面等相关概念依次判断4个选项即可. 【详解】空间中任意两个向量必然共面，A错误； 若，则､的长度相等但方向不确定，B错误； 向量不能比较大小，C错误； 由可得向量与长度相等，方向相反，故，D正确. 故选：D. 3. 已知直线的倾斜角为45°，且过点，则在直线上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点斜式求解直线方程，将各点代入检验即可. 【详解】直线的斜率，方程为，即，将A，B，C，D中各点代入知， A正确. 故选：A 4. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算法则求解. 【详解】 . 故选：B. 5. 已知，，且，则（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量平行的充要条件列出关于x、y的方程组，解之即可求得x、y的值. 【详解】因为，， 所以， 由，可得，解之得 故选：B 6. 已知点，，则线段的垂直平分线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求出线段的中点，再由，可得线段的垂直平分线的斜率为，利用点斜式即可求解. 【详解】由点，，则线段的中点为， 因为，所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为， 整理可得. 故选：B 7. 过点且方向向量为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的方向向量求得直线的斜率，再根据点斜式即可得出答案. 【详解】解：因为直线的方向向量为， 所以直线的斜率为， 所以过点且方向向量为的直线方程为， 即. 故选：A. 8. 已知，，，若三向量不能作为空间的一组基底，则实数等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理列方程求解即可. 【详解】若三向量不能作为空间的一组基底， 所以共面，则存在，使得， 即， 则，解得， 故选：C. 9. 已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】先求出向量与的坐标，由向量与的夹角为锐角， 可以得到且与不平行，再计算求解即可. 【详解】，， ，向量与的夹角为锐角， 且向量与不平行， ，， 向量与不平行，， 的取值范围为且，选项B正确. 故选：B. 10. 如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，错误的是（ ） A. 存在点∥平面 B. 对任意点 C. 存在点，使得与所成的角是 D. 不存在点，使得与平面所成的角是 【答案】D 【解析】 【分析】设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求解.选项A，取平面的一个法向量，将∥平面平面转化为；选项B，转化为；选项C，与所成的角是转化为；选项D，由平面，结合选项C可知. 【详解】设正方体的棱长为1，以点为坐标原点， 以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，又， ∴，又， 则， ∴， 选项A，取平面的一个法向量， 令，解得，此时， ∴当时，与垂直，而平面， 故∥平面，故A项正确； 选项B，， 则， 故对任意点，故B项正确； 选项C，，则， 令， 化简得，解得，或， 故存在点，使得与所成的角是，故C项正确； 选项D，连接， 在正方体中， 由底面是正方形，则， 由平面，平面，则， 又平面，平面，， 则平面，即是平面的一个法向量， 由C项分析可知，存在点，使得与所成的角是， 即存在点，使得与平面所成的角是，故D项错误. 故选：D. 二、填空题：（本大题共5小题，共15分） 11. 已知.则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，解得，进而求出，由此求的值． 【详解】因为，且， 所以，解得， 则，故， 所以. 故答案为：． 【点睛】本题主要考查空间向量坐标运算、向量垂直与数量积的关系，向量模的计算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 12. 设空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】由结合向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，所以向量在向量上的投影向量的坐标为 故答案为： 13. 过点且与直线垂直的直线方程__________． 【答案】 【解析】 【详解】利用直线系方程，设所求直线的方程为， 直线过点，则：， 所求解的直线方程为：. 14. 若直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可得直线的斜率存在，设直线为，然后分别求出直线在两坐标轴上的截距，再由截距相等列方程可求出的值，从而可求出直线的方程. 【详解】由题意可得直线的斜率存在，设直线为， 当时，， 当时，， 因为直线在两坐标轴上截距相等， 所以，化简得， 解得或， 所以直线为或， 即或， 故答案为：或 15. 两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】找出直线过的定点，由题意可得：直线不能经过原点，与轴不能平行，与直线不能平行，即可求解． 【详解】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， 因为，所以不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 因为两直线与轴相交且能构成三角形， 所以，直线不能经过原点，∴； 直线与轴不能平行，∴，即； 直线与直线不能平行，∴，即， 综上得满足的条件是：且． 故答案为：且． 三、解答题：（本大题共5题，共55分 16. 已知的顶点． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程； （3）的中位线与边平行，求所在直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出BC边所在直线的斜率，则BC边上的高所在直的斜率可求，由点斜式写出直线方程； （2）求出BC的中点，由两点式求出BC边上中线所在直线的斜率，由点斜式写出方程. （3）求出AC的中点，求出BC的斜率，由点斜式即可写出方程. 【小问1详解】 三角形的三个顶点是． 所以BC斜率为：，所以BC边上的高AD的斜率为：，BC边上的高AD所在直线的方程为：，即； 【小问2详解】 顶点是则其中点，所以中线AP所在直线直线斜率， 所以中线AP所在直线方程为：，即. 【小问3详解】 求出的中点，求出BC的斜率为：，由点斜式即可写出方程,即 17. 已知直线，直线. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行关系得到关于的方程，求解出的值并进行检验； （2）根据垂直关系得到关于的方程，由此求解出结果. 【小问1详解】 因为，所以， 整理得，解得或， 当时，重合，舍去， 当时，，符合题意， 故. 【小问2详解】 因为， 所以， 解得. 18. 已知平行六面体． （1）求的长度？ （2）求证：； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）； （2） ， 则，则. （3） 【解析】 【分析】（1）首先写出，再根据向量数量积的运算律即可得到答案； （2）利用基底法得，再计算数量积为0即可； （3）首先写出，再求出相关数量积和模长，最后根据数量积的夹角公式即可得到答案. 【小问1详解】 设，， ，，， 则 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 则， 而 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 19. 在直三棱柱中，，，点，分别为，的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成的角； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ，，，，，，， ∵，，∴ ∴∴； （2） （3） 【解析】 【分析】以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）先求出相关直线的方向向量，再计算数量积来证明垂直； （2）求出平面的一个法向量，再利用向量夹角公式即可求出夹角； （3）利用点到面的距离公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为 ， 由 令，则， ∴平面的一个法向量为 由 设直线与平面所成角为 ∴直线与平面所成角为； 【小问3详解】 点到平面的距离. 20. 如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】（1） 因为四边形为矩形，所以， 又平面平面，平面平面，平面 所以平面． 取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， 设平面的法向量， 因为，， 由，取，得， 又，所以，则， 又因为平面，所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）使用空间向量证明：只需证明与平面的法向量垂直即可； （2）分别求出两个平面的法向量，使用空间向量求两面夹角的余弦值； （3） 设，根据直线与平面所成角的正弦值使用空间向量求出值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量， 因为，， 由，取，可得， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 由点在线段上，设，， 所以， 又因为平面的法向量，设直线与平面所成角为， 则， 所以，即， 因为，所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期高二年级数学学科阶段质量监测（一） 试卷 一、单选题：（本大题共10小题，每题3分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B. 若，则､的长度相等且方向相同 C. 若向量､满足，且与同向，则 D. 若两个非零向量与满足，则. 3. 已知直线的倾斜角为45°，且过点，则在直线上的点是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知点，，则线段的垂直平分线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 过点且方向向量为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，若三向量不能作为空间的一组基底，则实数等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ） A. B. 且 C. D. 且 10. 如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，错误的是（ ） A. 存在点∥平面 B. 对任意点 C. 存在点，使得与所成的角是 D. 不存在点，使得与平面所成的角是 二、填空题：（本大题共5小题，共15分） 11. 已知.则__________． 12. 设空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为________. 13. 过点且与直线垂直的直线方程__________． 14. 若直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为_________． 15. 两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是_____． 三、解答题：（本大题共5题，共55分 16. 已知的顶点． （1）求边上的高所在直线的方程； （2）求边上的中线所在直线的方程； （3）的中位线与边平行，求所在直线的方程． 17. 已知直线，直线. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值. 18. 已知平行六面体． （1）求的长度？ （2）求证：； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 19. 在直三棱柱中，，，点，分别为，的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成的角； （3）求点到平面的距离. 20. 如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $