精品解析：江苏省苏州第十中学校2025-2026学年高二上学期十月阶段性检测数学试题

江苏省苏州第十中学校2025-2026学年第一学期高二十月阶段性测试 数 学 2025.10.10 一、单选题（分） 1. 已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（ ）项 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 2. 记等差数列的前项和为．若，则（ ） A. 28 B. 48 C. 64 D. 84 3. 若数列满足，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4. 记为数列的前项和．若，则（ ） A. B. C. D. 5. 设等差数列的前项和分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 生活中有各种不同的进制，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用十进制．任何进制数均可转换为十进制数，例如八进制数转换为十进制数的算法为．若将三进制数转换为十进制数，则转换后的数是（ ） A. 856 B. 527 C. 728 D. 242 7. 已知正项等比数列的前项积为，且，则（ ） A. 2024 B. 2025 C. D. 8. 已知数列的各项均为正数，数列是常数列，则数列（ ） A. 是递增数列 B. 是递减数列 C. 先递增后递减 D. 先递减后递增 二、多选题（分） 9. 若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（ ） A. B. C. (为常数) D. 10. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，的最大值为21 C. 数列为等差数列，且公差为 D. 记数列的前项和为，则最大 11. 已知数列满足，设的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题（分） 12. 若直线经过两点，且倾斜角为，则的值为__________． 13. 已知数列满足．现将数列和的公共项由小到大组成新数列，则__________． 14. 数列满足，则数列的通项公式为__________. 四、解答题（合计77分） 15. 已知数列是等差数列，数列是公比大于0的等比数列．且． （1）求和的通项公式； （2）记数列的前项和为，求． 16. 已知数列满足，且对任意的，都有 （1）令，证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式，及数列的前项和． 17. 已知函数，数列满足. （1）求证：为定值，并求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求证：． 18. 某区域市场中5G智能终端产品的制造全部由甲、乙两公司提供技术支持．据市场调研，5G商用初期，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有15转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有10转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响． （1）用表示，并求使数列是等比数列的实数； （2）经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到60及以上？若能，则至少需要经过几次技术更新？若不能，请说明理由． 19. 人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如． （1）求的值； （2）已知数列满足，求的前项和； （3）若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省苏州第十中学校2025-2026学年第一学期高二十月阶段性测试 数 学 2025.10.10 一、单选题（分） 1. 已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（ ）项 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】观察法求出数列的通项公式，令，解方程求出结果即可. 【详解】由题意可知，被开方数是首项为3，公差为2的等差数列， 则该数列的通项公式为，令，解得，故A正确. 故选：A 2. 记等差数列的前项和为．若，则（ ） A. 28 B. 48 C. 64 D. 84 【答案】B 【解析】 【分析】设出首项和公差，再利用公式法求和即可. 【详解】设首项为，公差为，由题意得， 则，解得，， 可得，故B正确. 故选：B 3. 若数列满足，，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出数列周期性即可得到答案. 【详解】数列满足，， ，，， ，， 是周期为3的周期数列， 而，故． 故选：D. 4. 记为数列的前项和．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据求出数列的首项，再通过推导出数列的通项公式，最后将代入通项公式求出的值. 【详解】由题意，当时，，解得， 对于，由和，相减得：， 故数列是首项为，公比为的等比数列，通项公式为：， 因此，. 故选：C. 5. 设等差数列的前项和分别为．若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先对目标式合理变形得到，再结合题意求值即可. 【详解】由题意得， 因为，所以，故A正确. 故选：A. 6. 生活中有各种不同的进制，计算机使用的是二进制，数学运算一般使用十进制．任何进制数均可转换为十进制数，例如八进制数转换为十进制数的算法为．若将三进制数转换为十进制数，则转换后的数是（ ） A. 856 B. 527 C. 728 D. 242 【答案】C 【解析】 【分析】利用进位制的转化结合等比数列的求和公式求得结果即可. 【详解】由题意可得将三进制数转换为十进制数， 则转换后的数为. 故选：C． 7. 已知正项等比数列的前项积为，且，则（ ） A. 2024 B. 2025 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知及等比数列的性质可得，再由即可求值. 【详解】由题意得，， 则， ， ， ， . 故选：D 8. 已知数列的各项均为正数，数列是常数列，则数列（ ） A. 是递增数列 B. 是递减数列 C. 先递增后递减 D. 先递减后递增 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先求出的范围，再利用数列单调性定义判断. 【详解】设（k为常数），所以， 因为，所以， 令，则， 所以，所以单调递减， 所以，所以， 所以， 所以， 所以数列为递增数列． 故选：A. 二、多选题（分） 9. 若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（ ） A. B. C. (为常数) D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据等差数列的定义逐一进行检验即可求解. 【详解】对于选项A，数列是等差数列，取绝对值后不是等差数列，故选项A不符合题意； 对于选项B，若为等差数列，根据等差数列的定义可知：数列为常数列，故为等差数列，故选项B符合题意； 对于选项C，若为等差数列，设其公差为，则为常数列， 故为等差数列，故选项C符合题意； 对于选项D，若为等差数列，设其公差为，则为常数，故为等差数列，故选项D符合题意， 故选：BCD. 10. 设等差数列的前项和为，公差为，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，的最大值为21 C. 数列为等差数列，且公差为 D. 记数列的前项和为，则最大 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的性质，等差中项，通项公式，求和公式逐项验证即可. 【详解】A：等差数列中，，，， 则，所以，故A正确； B：，故B错误； C：由可得， 所以数列为等差数列，首项为，公差为，故C错误； D：因为， 令， 则， 所以时，最大，故D正确； 故选：AD. 11. 已知数列满足，设的前项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】若，则，两式相减可得，可证得为周期2的周期数列，由数列的周期性可判断A，B；若，可得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式和前项和公式可判断C，D即可. 【详解】对于A，B，若，则， 两式相减可得，为周期2的周期数列， ，则，故A正确； ，故B错误； 对于C，D，若，则， 可得 数列是以2为首项，2为公比的等比数列， ，则，故C错误； ，故D正确， 故选：AD． 三、填空题（分） 12. 若直线经过两点，且倾斜角为，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线的斜率公式，建立方程求解参数即可. 【详解】由题意，可知直线的斜率存在，且， 可得，解得. 故答案为： 13. 已知数列满足．现将数列和的公共项由小到大组成新数列，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数列和的通项公式找出它们的公共项，进而确定新数列的前几项，从而得到的值. 【详解】数列的奇数项满足， 数列的项形式为， 观察发现，当且仅当为奇数，此时可表示为， 因此，新数列的通项公式为， 计算得. 故答案为：. 14. 数列满足，则数列的通项公式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列通项求解即得. 【详解】数列中，由，得，即， 而，，于是数列是首项为3，公比为的等比数列， 因此，即， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 四、解答题（合计77分） 15. 已知数列是等差数列，数列是公比大于0的等比数列．且． （1）求和的通项公式； （2）记数列的前项和为，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意建立方程组，求解即可. （2）先将绝对值数列分类讨论拆分，再求和即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，且． 依题意得，解得，则或． 又因为，所以，解得，故，． 【小问2详解】 由上问得，则， 令，解得，此时， 令，解得，此时， 则前项和为， 第6到第16项和为， 则. 16. 已知数列满足，且对任意的，都有 （1）令，证明：数列为等比数列； （2）求数列的通项公式，及数列的前项和． 【答案】（1）数列是以为首项，为公比的等比数列； （2），. 【解析】 【分析】（1）需要根据等比数列的定义，证明为常数； （2）先由（1）求出的通项公式，进而得到的通项公式，再通过分组求和的方法求出的前项和. 【小问1详解】 已知，则， 因为，所以， 则， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； 【小问2详解】 由（1）可知， 因为，所以， ， ， 先求，这是首项为，公比为的等比数列的前项和， 可得：， 再求，根据等差数列求和公式可得：， 所以. 17. 已知函数，数列满足. （1）求证：为定值，并求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） 由题意得 ， 则， 得到， 两式相加得，即. （2） 由题意得， 则， 而，而，可得当时，， 令，因为反比例函数在上单调递减， 所以在上单调递增，即在上单调递增，故得证. 【解析】 【分析】（1）计算为定值2，用倒序相加法求得通项公式； （2）由（1）得到，裂项相消求和得，进而结合单调性证明不等式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某区域市场中5G智能终端产品的制造全部由甲、乙两公司提供技术支持．据市场调研，5G商用初期，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品各占一半，假设两公司的技术更新周期一致，且随着技术优势的体现，每次技术更新后，上一周期采用乙公司技术的产品中有15转而采用甲公司技术，采用甲公司技术的产品中有10转而采用乙公司技术．设第次技术更新后，该区域市场中采用甲公司与乙公司技术的智能终端产品占比分别为和，不考虑其他因素的影响． （1）用表示，并求使数列是等比数列的实数； （2）经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比能否达到60及以上？若能，则至少需要经过几次技术更新？若不能，请说明理由． 【答案】（1）；； （2）经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到以上，理由：由（1）可知， 则，． 所以经过次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比为， 对于任意，所以， 即经过若干次技术更新后，该区域市场采用甲公司技术的智能终端产品的占比不会达到以上． 【解析】 【分析】（1）根据条件得到数列的递推关系，利用数列是等比数列，求的值即可； （2）首先由（1）得数列的通项公式，再求出的范围判断不等式是否有解即可. 【小问1详解】 由题意知，经过次技术更新后，， 则， 即．设，则， 令，解得．又， 所以当时，是以为首项，为公比的等比数列． 【小问2详解】 略 19. 人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如． （1）求的值； （2）已知数列满足，求的前项和； （3）若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据欧拉函数的定义直接计算即可； （2）利用错位相减法求和，即可得出结果； （3）由（2）可知，求出 ，将不等式 化简，分离参数，研究数列的单调性，求出其最大项的值，即可得出结果. 【小问1详解】 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以 正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个，所以； 【小问2详解】 所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，，共个， 所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个， 即， 两式相减得 【小问3详解】 由（2）可知 ， 得 恒成立， 令 ， 则 ， 可得 ； 当 时，，当时，， 所以的最大值为， 故 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $