精品解析：浙江省强基联盟2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题（A卷）

浙江强基联盟2025年10月高二联考 数学试题（A卷） 浙江强基联盟研究院 命制 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的斜率为，则的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜率（直线的倾斜角）求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率是，所以， 又因为，所以，即直线倾斜角为． 故选：C 2. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及直线平行的判定与性质得解. 【详解】当时，直线， 当时，，推不出， 综上，是的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知点，，过点的直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜率公式，分别求得直线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】，，， ，， 过点的直线与线段有交点，如图： 该直线斜率的取值范围是. 故选：B. 4. 已知圆关于直线对称，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心坐标，代入直线方程可得出实数的值. 【详解】由题意得：圆的标准方程为,故圆心为, 由于圆关于直线对称， 即直线过圆的圆心，所以且，解得，故A正确. 故选：A. 5. 已知，点是圆内一点，直线是以点为中点的弦所在的直线，直线的方程是，则下面正确的是（ ） A. ，且与圆相交 B. ，且与圆相离 C. ，且与圆相切 D. ，且与圆相离 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，求得，进而利用圆心到直线的距离公式可求得圆心到直线的距离，可得结论. 【详解】因为在圆内，所以， 又因为直线是以点为中点的弦所在的直线，，所以， 所以.又因为，，所以直线与直线垂直. 又因为圆心到直线的距离，所以直线与圆相离. 故选：D. 6. 已知正三棱锥，，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取中点，连接，，得到（或补角）即为异面直线与所成角求解. 【详解】取中点，连接，，则， 所以（或补角）即为异面直线与所成角， 因为，，则，， 由余弦定理可得， 所以异面直线AF与BD所成角的余弦值为. 故选：D. 7. 过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程和曲线方程，判断面积最大时的情况，进而列出直线满足的条件，列出方程，求出参数即可. 【详解】由，则，，即， 所以曲线，是以原点为圆心，2为半径的圆的上半部分，如图. 可知，因为， 则当面积取最大值时，，即， 半圆的圆心为，半径，此时， 所以圆心到直线的距离为. 设直线的斜率为，则直线的方程为，， 圆心到直线的距离， 解得，因为，所以. 故选：C. 8. 已知为正方形所在平面上一点，点满足，则的可能取值为（ ） A. 1，2 B. 2，3 C. 3，4 D. 1，3 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意建立坐标系，由，即，然后分别可得点的轨迹方程，再利用赋值验证法分别分析是否符合题意即可. 【详解】设点，以为原点建立平面直角坐标系， 不妨设正方形边长为1，则，，，又， 所以，，即， 整理得：， 此时点在以为圆心，半径为的圆上， 又，所以， 当时，此时点在的垂直平分线上， 代入中，得，有解，所以符合题意； 当时，整理得：， 此时点在以为圆心，半径为的圆上, 要使这样的点存在，则圆与圆要有交点， 当时，，，此时，， 故符合题意； 当时，，，此时，， 圆与圆内含，故不符合题意； 当时，，，此时，， 圆与圆内含，故不符合题意.综上，或符合题意， 故选：A. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋中不放回地依次随机摸出2个球，表示事件“恰有1个白球”，表示事件“恰有2个白球”，表示事件“取到了编号为1的小球”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件，互为对立事件 B. C. D. 事件，为相互独立事件 【答案】BCD 【解析】 【分析】除了事件与事件，还有事件“恰有2个红球”可判断A；求得总的基本事件的个数，再求得事件，事件，事件包含的基本事件的个数，利用古典概型概率公式求得概率可判断BCD. 【详解】因在一次取球中，事件与事件不可能同时发生， 除了这两个基本事件外，还有事件“恰有2个红球”，故和不为对立事件，故A错误； 因为从袋子中随机地取出2个球，共有，，，，，，， ，，，，，12种情况， 事件包含8个基本事件，事件包含6个基本事件，事件包含4个基本事件， 则，，， 所以事件，相互独立事件，故BCD正确. 故选：BCD. 10. 已知，若过定点的动直线和过定点的动直线交于点（与，不重合），则下列结论正确的是（ ） A. 点 B. C. D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出直线恒过定点判断A；利用一般式直线方程垂直关系的判定判断B；求出定点，利用两点距离公式计算判断C；设，则，，然后利用辅助角公式化简，利用正弦函数性质求解最值判断D. 【详解】因为可化为， 所以直线恒过定点.所以A选项正确； 又因为可化为， 所以直线恒过定点，对于直线，，因为， 所以，所以B选项正确； ，所以C选项错误； 设，因为，所以为锐角，，， 所以，其中， 所以当时，取得最大值，所以D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积是 C. 的最小值为 D. 不存在点使直线与直线夹角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，对A，证明；对B，由求解；对C，将表示为的函数求最值；对D，求两异面直线夹角的范围判断. 【详解】以为坐标原点，，，分别为，，轴， 建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，， 所以，，，设，，则. 对于A：因为，故，故A正确； 对于B：因为，平面，平面， 则平面，所以三棱锥的体积为，故B错误； 对于C：因为， 所以， ， 当时，取得最小值为，故C正确； 对于D：因为，， 所以，， 设与的夹角为，则， 故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由数量积的坐标运算求解. 【详解】由，得，解得. 故答案为：. 13. 已知点在圆上，点，若的最小值为1，则过点且与圆相切的直线方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，根据的最小值为，得到方程求出的值，即可求出圆的方程，再分斜率存在与不存在两种情况，分别求出切线方程，即可得解. 【详解】由题可得圆的圆心，半径， 因，所以可得点在圆外， 又因为的最小值为，则得，解得， 所以圆：，半径为， 当过点的切线斜率不存在，此时直线方程为， 此时圆心到直线的距离为， 所以直线为圆的切线； 当过点的切线斜率存在， 设切线方程为：，则得，解得. 此时直线为，即. 综上所述：过点且与圆相切的直线方程为或. 故答案：或. 14. 圆上任意一点，若的值与，都无关，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆上点横纵坐标的取值范围知，据此由恒等式知恒成立， 分离参数后，令，利用直线与圆有公共点得出的范围得解. 【详解】圆的圆心为，半径， 由点在圆上知，，， 所以. 则， 由的值与，无关，可得恒成立， 即恒成立，从而得. 令，即， 易知直线与圆有公共点， 则，解得，故， ，故的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知直线与直线互相垂直且交于点. （1）求的值及点的坐标； （2）若过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求的直线方程. 【答案】（1）3， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直时斜率的性质，列出方程，求出结果； （2）根据截距的概念，以及点斜式方程的性质，列出方程，求出结果即可； 【小问1详解】 ，所以，解得， 故，即. 由方程组，解得， 点的坐标为. 【小问2详解】 直线的斜率显然存在且不为0，设， 令，得，令，得， 可得，化简得，解得或， 得方程为：或. 16. 在如图所示试验装置中，由矩形和构成，且，，.，分别在对角线，上移动，且与长度保持相等.记，，，且，. （1）当时，用向量，，表示，. （2）为何值时，长最小？ （3）是否存在，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）， （2） （3）存在 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算法则结合图象求，再结合关系求； （2）由条件结合向量线性运算可证明，再结合向量的模的性质和数量积的性质求，再结合二次函数性质求结论； （3）假设存在使得平面，由此可得，，结合（2）列方程求即可. 【小问1详解】 ， ， . 【小问2详解】 因为，则，， 可得 ， 又，，， ，，，，， 所以，，，，，， 所以，，， ， 当时，的最小值为. 【小问3详解】 假设存在使得平面，又，平面， 可知，， 由（2）知，，可得. 且， 化简得，解得， 故存在，使得平面. 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足. （1）若，求； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】（1）或. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简条件得，解得或，进一步求出即可. （2）由余弦定理得，根据得，然后利用不等式的性质求得的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以，所以或即. ①若，则； ②若，则，即，则，所以，则. 综上所述，或. 【小问2详解】 因为为锐角三角形，由(1)可得， 由正弦定理可得，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以， 所以取值范围为. 18. 已知菱形，，分别是，中点，且，.现将平面沿着翻折一定程度后，再将平面沿着翻折得到三棱台（如图2所示）.取的中点，线段的四等分点（靠近点）. （1）证明：平面. （2）若三棱台的体积为， （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）若二面角为锐二面角，求三棱台的外接球半径. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据条件，利用几何关系可，再由线面平行的判定定理，即可求解； （2）（i）过作平面于，则为与平面所成的角，根据条件求出的长，即可求解；（ii）利用均为等边三角形及正弦定理，求出两个三角形外接圆的圆心，结合题设条件及球的截面的性质，建立等量关系，即可求解. 【小问1详解】 取中点，连接，则，故，，，四点共面， 又，，则，又， 所以四边形是平行四边形，所以， 由平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 （i）过作平面于，连接，则为与平面所成的角， 设棱台高为，因为，， 则棱台的体积为，解得， 在中，，，所以， 故与平面所成角的正弦值为. （ii）因为均为等边三角形，记中心为，中心为， 设球心为，则平面，平面，又平面平面， 则三点共线，又二面角的平面角为锐角，则在线段上或的延长线上， 又的边长分别为，则由正弦定理可得，， 由（i）可知，设球的半径为，， 则，得到， 则，即在延长线上，且， 所以球半径为. 19. 已知圆经过，，三点. （1）求圆的方程. （2）若点满足直线斜率是直线斜率的2倍， （i）求证：点在定直线上； （ii），是直线上两个不同动点，且轴，记以，为圆心的圆半径分别为，，若圆、圆、圆均两两外切，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）代入点的坐标，求解方程组得到圆的方程； （2）（i）由斜率关系得点坐标满足关系，确定其所在直线；（ii）将，代入圆的方程，求出，，化简得到的范围. 【小问1详解】 由已知可得 所以圆. 【小问2详解】 （i）设，则， 解得或，即点在定直线或定直线上. （ii）由题意可知，，是直线上两个不同动点， 不妨设点在点上方，记圆与圆切点纵坐标为， 则，， 因为，，所以， 化简得， 当时，； 当时，，， 令，对函数,， 所以函数在单调递减，所以， 所以； 综上 所以取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江强基联盟2025年10月高二联考 数学试题（A卷） 浙江强基联盟研究院 命制 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的斜率为，则的倾斜角为（ ） A B. C. D. 2. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知点，，过点的直线与线段有交点，则直线斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆关于直线对称，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 5. 已知，点是圆内一点，直线是以点为中点的弦所在的直线，直线的方程是，则下面正确的是（ ） A. ，且与圆相交 B. ，且与圆相离 C. ，且与圆相切 D. ，且与圆相离 6. 已知正三棱锥，，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 过点作直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为正方形所在平面上一点，点满足，则的可能取值为（ ） A. 1，2 B. 2，3 C. 3，4 D. 1，3 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 从装有除颜色外完全相同的2个红球（编号为1，2）和2个白球（编号为3，4）的口袋中不放回地依次随机摸出2个球，表示事件“恰有1个白球”，表示事件“恰有2个白球”，表示事件“取到了编号为1的小球”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件，互为对立事件 B. C. D. 事件，为相互独立事件 10. 已知，若过定点动直线和过定点的动直线交于点（与，不重合），则下列结论正确的是（ ） A. 点 B. C. D. 的最大值为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积是 C. 的最小值为 D. 不存在点使直线与直线夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则__________. 13. 已知点在圆上，点，若的最小值为1，则过点且与圆相切的直线方程为__________. 14. 圆上任意一点，若的值与，都无关，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知直线与直线互相垂直且交于点. （1）求的值及点的坐标； （2）若过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求的直线方程. 16. 在如图所示试验装置中，由矩形和构成，且，，.，分别在对角线，上移动，且与长度保持相等.记，，，且，. （1）当时，用向量，，表示，. （2）为何值时，的长最小？ （3）是否存在，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足. （1）若，求； （2）若为锐角三角形，且，求取值范围. 18. 已知菱形，，分别是，中点，且，.现将平面沿着翻折一定程度后，再将平面沿着翻折得到三棱台（如图2所示）.取的中点，线段的四等分点（靠近点）. （1）证明：平面. （2）若三棱台的体积为， （i）求与平面所成角的正弦值； （ii）若二面角为锐二面角，求三棱台外接球半径. 19. 已知圆经过，，三点. （1）求圆方程. （2）若点满足直线斜率是直线斜率的2倍， （i）求证：点在定直线上； （ii），是直线上两个不同动点，且轴，记以，为圆心的圆半径分别为，，若圆、圆、圆均两两外切，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $