精品解析：吉林省长春市长春汽车经济技术开发区西湖实验学校2025-2026学年八年级上学期第一次月考数学试卷

2025—2026学年上学期初中部10月核心素养调研（八）年级数学学科试题 满分：120分 作答时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 平方根等于它本身的数是（ ） A. 0 B. 0和1 C. D. 0和 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方根．如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．任何正数a的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根仍旧是零；负数没有平方根． 【详解】解：根据平方根的定义，平方根等于它本身的数只有0． 故选：A． 2. 下列命题不是基本事实的是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 经过两点，有且只有一条直线 C. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查基本事实（公理）与定理的区分．基本事实是无需证明而被公认的命题，而定理需通过推理证明．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、两点之间，线段最短，称为线段公理，属于基本事实，故不符合题意； B、经过两点，有且只有一条直线，是直线公理，属于基本事实，故不符合题意； C、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，是平行线的性质，需通过平行公理（如同位角相等）推导得出，属于定理，而非基本事实，故符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是垂直公理，属于基本事实，故不符合题意； 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除及合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别根据同底数幂相乘、幂的乘方、同底数幂相除及合并同类项进行计算，即可判断． 【详解】解：A、不能合并，则A选项错误，不符合题意； B、，则B选项正确，符合题意； C、，则C选项错误，不符合题意； D、，则D选项错误，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，沿边所在直线向右平移到，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，全等三角形的判定和性质，掌握图形平移的性质是解题的关键．根据图形平移是改变图形的位置，不改变其大小，对应边相等，对应角相等，由此即可求解． 【详解】解：A、根据平移，，则A正确，不符合题意； B、根据对应角相等，则，则B正确，不符合题意； C、根据平移的性质，，则，那么，即，故C正确，不符合题意； D、根据平移可得，，但与不一定相等，故D错误，符合题意； 故选：D． 5. 加上下列单项式后，仍不能使4x2+1成为一个整式的完全平方式的是（　　） A. B. 4x C. D. 2x 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式的结构对各选项进行验证即可得解． 【详解】A、4x4+4x2+1=（2x2+1）2，故本选项错误； B、4x+4x2+1=（2x+1）2，故本选项错误； C、-4x+4x2+1=（2x-1）2，故本选项错误； D、2x+4x2+1不能构成完全平方公式结构，故本选项正确． 故选D． 【点睛】本题是对完全平方公式的考查，熟记公式结构是解题的关键，完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2． 6. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ） A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C. 两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D. 两点之间线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意易证，根据证明方法即可求解． 【详解】解：O为、的中点， ，， （对顶角相等）， 在与中， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键． 7. 已知，，则的值为（ ） A. 5 B. C. 23 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法以及幂的乘方．逆用幂的乘方以及同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故选：D． 8. 若a，b，c是的三边长，则的结果（ ） A. 大于零 B. 等于零 C. 小于零 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】先因式分解，后利用三角形三边关系定理解答即可． 本题考查了三角形三边关系定理，因式分解，求代数式的值，熟练掌握因式分解，三角形三边关系是解题的关键． 【详解】解：∵，，是三角形的三边长， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 的立方根是_______________ 【答案】2 【解析】 【详解】解：，， ∴的立方根是． 10. 分解因式：___________. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】． 故答案为：． 11. 把“内错角相等，两直线平行”改写成“如果…那么…”的形式__________________． 【答案】如果两条直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，那么这两条直线平行 【解析】 【分析】先分清命题“内错角相等，两直线平行”的题设与结论，然后把题设写在如果的后面，结论部分写在那么的后面． 【详解】解：“内错角相等，两直线平行”改写成“如果…那么…”的形式为如果两条直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，那么这两条直线平行． 故答案为：如果两条直线被第三条直线所截，截得的内错角相等，那么这两条直线平行． 【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题；解题的关键是掌握命题由题设和结论两部分组成． 12. 命题“当时，”是_______命题（填“真”或“假”）；如果是假命题，请举出一个反例：________． 【答案】 ①. 假 ②. 当时，（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查了判断命题的真假，举反例． 先判断出原命题是假命题，再举反例即可． 【详解】命题“当时，”是假命题； 反例：当时，； 故答案为：假，当时，（答案不唯一）． 13. 若a是的整数部分，b是它的小数部分，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的估算，二次根式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先用平方法估算的整数部分，再用减去它的整数部分就得到它的小数部分，然后代入计算即可． 【详解】解：， ， ∴，， ． 14. 根据，……的规律．可以得出的个位数字是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字规律探究、有理数的乘方，解答的关键是认真观察，从简单入手，发现规律．先根据已知规律得出式子的化简形式，再分析化简后数的个位数字规律． 【详解】解：观察已知规律 据， ， ， 可以总结出规律：， 分析的个位数字规律 ，个位数字是； ，个位数字是； ，个位数字是； ，个位数字是； ，个位数字是； ，个位数字是； 可以发现的个位数字是以这个数字为一个周期循环的, ∵， ∴的个位数字是一个周期中的第个数字，也就是， ∴的个位数字是， 综上，的个位数字是， 故答案为：． 三、解答题（本题共10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，涉及零指数幂的意义，绝对值的化简，平方根；任何非零实数的零次方为1即，，，最后算出结果即可． 【详解】解： ． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算． （1）根据多项式乘以单项式的运算法则计算即可； （2）根据多项式除以单项式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 17. 先化简．再求值：，其中． 【答案】，4 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据完全平方公式将括号展开后合并得最简结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 试证明：两个连续整数n和（n为整数）的平方差一定是奇数． 【答案】 证明：， ∵n为整数， ∴这两个连续整数的平方差是奇数． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握平方差公式进行计算． 运用平方差公式将化简，得出结果即可解答． 【详解】略 19. 如图，现在有A（边长为a的正方形）、B（长、宽分别为a、b的长方形）、C（边长为b的正方形）三种型号的瓷砖若干块，想在面积为的地面上无空隙、无重叠的拼接． （1）需要A瓷砖_______块，B瓷砖_______块，C瓷砖_______块． （2）试在网格图中画出示意图． 【答案】（1）2，7，3 （2） 解：如图． 【解析】 【分析】本题是考查的是多项式乘法与图形面积，熟练掌握多项式乘法法则是解决本题的关键． （1）根据多项式乘法计算，再根据三种型号的瓷砖的面积即可解答． （2）根据（1）中结论和题意画图即可． 【小问1详解】 解：， 根据题意三种型号的瓷砖的面积分别为， 故需要A瓷砖2块，B瓷砖7块，C瓷砖3块， 故答案为：2，7，3； 【小问2详解】 略 20. 已知，求（1）的值；（2）的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）由完全平方公式变形，即可求出答案； （2）先求出，即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， 又∵， ∴； （2）∵， ∴． 【点睛】本题考查了完全平方公式，完全平方变形求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式进行计算． 21. 如图，已知且，．试判断线段与的关系，并给出证明． 【答案】 ，证明如下， ∵， ∴， ∵， ∴，即 又∵， ∴， ∴，． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，根据平行线的性质得出，进而证明，根据证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】略 22. 感知：为了求代数式的值，我们必须知道的值． 若，则这个代数式的值为 　　 ； 若，则这个代数式的值为 　　 ； 若，则这个代数式的值为 　　 ； ． 可见，这个代数式的值因的取值不同而变化．尽管如此，我们还是有办法来找到这个代数式值的范围． 探索：把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式的最大（或最小）值问题． 例如：，因为是非负数，所以这个代数式的最小值是 　　 ，此时相应的的值是 　　 ． 应用：试说明代数式有最大值，并求出最大值及相应的的值． 【答案】4，5，8；4，；最大值为，， 应用： ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 【解析】 【分析】本题考查因式分解，配方法的应用，非负数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 感知：把，0，1分别代入代数式计算即可； 探索：利用非负数的性质即可确定最小值为4，并可知此时值，从而求出相应的的值； 应用：将配方，然后利用非负数的性质求解即可． 【详解】解：感知：当，则这个代数式的值为：， 当，则这个代数式的值为5， 当，则这个代数式的值为， 故答案为：4，5，8； 探索：， ， ， 这个代数式的最小值是4，此时相应的的值是， 故答案为：4，； 应用：略 23. 【教材呈现】如图分别是华师版教材八年级上册第38页、第39页和第53页的图形，结合图形面积和乘法公式解决下列问题． （1）观察图1和图2，分别写出它们可以解释什么代数恒等式：____________． （2）图3是用4个长、宽分别为a、b的长方形拼成的一个正方形，利用其面积表示出代数式、和之间的等量关系：________． 【结论应用】根据（2）中探索的结论，回答下列问题： （3）设、，试化简：． 【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式及其应用，掌握完全平方公式的结构特点是正确应用的前提，适当的变形是得出答案的关键． （1）根据图1、图2中各个部分面积之间的关系得出乘法公式； （2）根据大正方形的面积等于小正方形面积与4个长方形面积的和可得答案； （3）由完全平方公式可得，再代入求值即可． 【详解】解：（1）图1大正方形的边长为，根据各个部分面积之间的关系可得， ， 图2中，最大的正方形的边长为a，较小的正方形的边长为，最小的正方形的边长为b，根据各个部分面积之间的关系得， ， 故答案为：，； （2）根据大正方形的面积等于小正方形面积与4个矩形面积的和可得， ， 故答案为：； （3）由完全平方公式得， ， 当、时， 原式． 24. 【教材呈现】下面是华师版教材八年级上册第78页的部分内容： 例5证明：全等三角形对应边上的高相等． 已知：如图1，，、分别是的边和的边上的高．求证：． 【问题解决】从图中可以看出，、分别属于和，要证明，只需证明这两个三角形全等即可．补全下列证明过程： 证明：∵（已知） ∴ ∴（________） ∴（__________） 【拓展延伸】小彤想要探究全等三角形对应角的角平分线之间的关系． ①仿照“全等三角形对应边上的高相等”写出你的猜想：________； ②如图2，她挑选了两个全等的三角形（），其中的角平分线AM已经给出，请你利用尺规作图：作出的角平分线． ③结合【问题解决】中的证明思路，验证你的猜想． 【答案】【问题解决】，，全等三角形对应边相等 【拓展延伸】①全等三角形对应角平分线相等 ②角平分线即为所求： ③证明：， ，，． 平分，平分， ，． ， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． 【问题解决】利用证明，即可证明； 【拓展延伸】①仿照“全等三角形对应边上的高相等”写出猜想“全等三角形对应角平分线相等”；②利用角平分线尺规作图的方法作图即可；③利用证明即可证得 【详解】解：【问题解决】略 【拓展延伸】 ①全等三角形对应角平分线相等； 故答案为：全等三角形对应角平分线相等； ②以D为圆心，任意长为半径画弧，分别交于，分别以为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于一点，连接此点与点D交于N，则即为所求； ③略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上学期初中部10月核心素养调研（八）年级数学学科试题 满分：120分 作答时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 平方根等于它本身的数是（ ） A. 0 B. 0和1 C. D. 0和 2. 下列命题不是基本事实的是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 经过两点，有且只有一条直线 C. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 D. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，沿边所在直线向右平移到，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 加上下列单项式后，仍不能使4x2+1成为一个整式的完全平方式的是（　　） A. B. 4x C. D. 2x 6. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ） A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C. 两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D. 两点之间线段最短 7. 已知，，则的值为（ ） A. 5 B. C. 23 D. 8. 若a，b，c是的三边长，则的结果（ ） A. 大于零 B. 等于零 C. 小于零 D. 不确定 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 的立方根是_______________ 10. 分解因式：___________. 11. 把“内错角相等，两直线平行”改写成“如果…那么…”的形式__________________． 12. 命题“当时，”是_______命题（填“真”或“假”）；如果是假命题，请举出一个反例：________． 13. 若a是的整数部分，b是它的小数部分，则_______． 14. 根据，……的规律．可以得出的个位数字是_______． 三、解答题（本题共10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简．再求值：，其中． 18. 试证明：两个连续整数n和（n为整数）的平方差一定是奇数． 19. 如图，现在有A（边长为a的正方形）、B（长、宽分别为a、b的长方形）、C（边长为b的正方形）三种型号的瓷砖若干块，想在面积为的地面上无空隙、无重叠的拼接． （1）需要A瓷砖_______块，B瓷砖_______块，C瓷砖_______块． （2）试在网格图中画出示意图． 20. 已知，求（1）的值；（2）的值． 21. 如图，已知且，．试判断线段与的关系，并给出证明． 22. 感知：为了求代数式的值，我们必须知道的值． 若，则这个代数式的值为 　　 ； 若，则这个代数式的值为 　　 ； 若，则这个代数式的值为 　　 ； ． 可见，这个代数式的值因的取值不同而变化．尽管如此，我们还是有办法来找到这个代数式值的范围． 探索：把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式的最大（或最小）值问题． 例如：，因为是非负数，所以这个代数式的最小值是 　　 ，此时相应的的值是 　　 ． 应用：试说明代数式有最大值，并求出最大值及相应的的值． 23. 【教材呈现】如图分别是华师版教材八年级上册第38页、第39页和第53页的图形，结合图形面积和乘法公式解决下列问题． （1）观察图1和图2，分别写出它们可以解释什么代数恒等式：____________． （2）图3是用4个长、宽分别为a、b的长方形拼成的一个正方形，利用其面积表示出代数式、和之间的等量关系：________． 【结论应用】根据（2）中探索的结论，回答下列问题： （3）设、，试化简：． 24. 【教材呈现】下面是华师版教材八年级上册第78页的部分内容： 例5证明：全等三角形对应边上的高相等． 已知：如图1，，、分别是的边和的边上的高．求证：． 【问题解决】从图中可以看出，、分别属于和，要证明，只需证明这两个三角形全等即可．补全下列证明过程： 证明：∵（已知） ∴ ∴（________） ∴（__________） 【拓展延伸】小彤想要探究全等三角形对应角的角平分线之间的关系． ①仿照“全等三角形对应边上的高相等”写出你的猜想：________； ②如图2，她挑选了两个全等的三角形（），其中的角平分线AM已经给出，请你利用尺规作图：作出的角平分线． ③结合【问题解决】中的证明思路，验证你的猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $