专题1.6 有理数的乘方与近似数（高效培优讲义）数学华东师大版2024七年级上册

专题1.6 有理数的乘方与近似数 1. 理解乘方的意义，会运用乘方的意义准确进行有理数的乘方运算. 2. 掌握有理数的混合运算顺序，能熟练进行简单的混合运算，提高运算能力. 3. 会用科学记数法表示绝对值大于10的数，会将用科学记数法表示的数还原. 4. 了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算. 知识点1 有理数的乘方的意义 概念 示例 乘方：求个相同乘数的积的运算，叫作乘方. 如个相乘：. 幂：乘方的结果叫作幂. 在中，是幂. 底数：在中，叫作底数. 在中，是底数. 指数：在中，叫作指数. 在中，是指数. 说明：指数是正整数，底数可以是任意有理数. 注意：(1)一个数可以看作这个数本身的1次方，例如，5就是，指数1通常省略不写.(2)指数是2时读作平方（或2次方），指数是3时读作立方（或3次方）.例如，读作“的平方”（或“的2次方”），读作“的立方”（或“的3次方”）. 典例1 把下列各式写成幂的形式，并指出底数、指数各是什么. (1)；(2)； (3). 解：(1)，底数是，指数是3. (2)，底数是，指数是4. (3)，底数是，指数是. 知识点2 有理数的乘方运算 1. 乘方运算的符号法则 正数：正数的任何次幂都是正数. 负数：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 0：0的任何正整数次幂都是0. 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 有理数的乘方运算 示例 指数为奇数 （底数为负数，结果为负数） 指数为偶数 （底数为负数，结果为正数） 3. ，及的区别与联系 相同点 指数都是. 不同点 意义不同 个相乘的积. 个相乘的积的相反数. 个相乘的积. 底数不同 联系 为奇数 ，且，都与互为相反数（）. 为偶数 ，且，都与互为相反数（）. 为正整数 若，则. 教材延伸 互为相反数的两个数的幂的关系 (1) 互为相反数的两个数的奇次幂仍然互为相反数，即若，则（为正整数）. (2) 互为相反数的两个数的偶次幂相等，即若，则（为正整数）. 注：若为正整数，通常用表示偶数，表示奇数. 典例2 计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5). 解：(1). (2). (3). (4). (5). 知识点3 有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序： (1) 先乘方，再乘除，最后加减； (2) 同级运算，从左到右进行； (3) 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 典例4 计算：. 解： . 知识点4 科学记数法 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中大于或等于1，且小于10，是正整数），使用的是科学记数法.对于小于的数也可以类似表示.例如，. 2.科学记数法的表示步骤 确定：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后面. 确定： 方法一：根据原数的整数位数来确定，等于原数的整数位数减1. 方法二：按小数点移动的位数来确定，小数点向左移动了几位，就等于几. 用科学记数法表示数 数 科学记数法表示 （整数位数是11，） （小数点向左移动5位） 典例5为了加快构建清洁低碳、安全高效的能源体系，国家发布《关于促进新时代新能源高质量发展的实施方案》，旨在锚定到2030年我国风电、太阳能发电总装机容量达到千瓦以上的目标.数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 解析：. 答案：B 知识点5 近似数 1. 准确数：与实际完全符合的数，称为准确数. 2. 近似数：接近准确数但不等于准确数的数. 3. 近似数的精确度 近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度. 近似数的精确度的表述方法： (1) 用数位表示：如精确到个位或百分位等. (2) 用小数点表示：如精确到或等. 4. 确定近似数的精确度的方法 看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪一个数位. 注意：用小数表示的近似数末尾的0不可随意省略，它表示的是这个数的精确度.例如，中末尾的0表示这个数精确到百分位. 示例3 确定近似数的精确度 精确到百分位；因为，所以精确到十位. 5. 取近似数的方法 根据精确度取近似数时，要采用四舍五入法；在实际问题中，特殊情况下使用去尾法或进一法. (1) 四舍五入法：四舍五入法是最常用的取近似数的方法.求一个精确到某一数位的近似数时，对这一数位后面的那个数进行四舍五入.例如，精确到十分位为. (2) 去尾法：去尾法是去掉数的小数部分，取其整数部分的取近似数的方法.例如，把一根长的钢筋截成长的小段作零件，由，可知能截得的零件数为3. (3) 进一法：进一法是去掉多余部分的数后，在保留部分的最后一个数字上加1的取近似数的方法.例如，有112名学生外出旅游，计算租用45座的客车的辆数时，由于，此时应取近似数3，即租用3辆45座的客车才能满足112名学生旅游所需. 题型一、有理数幂的概念理解 典例1（2024河北张家口期末）化简＝（　　） A． B． C． D． 变式1-1（2024广东梅州期中）的底数是 ，指数是 ． 变式1-2（2024云南昭通期中）的底数是 ，指数是 ． 变式1-3（2024河北保定期中）甲、乙、丙、丁4位同学，学了有理数的乘方之后，发表了以下见解，观点正确的有（    ） 甲：是2个5相加； 乙：与是不同的结果； 丙：中底数是，指数是4； 丁：是n个4相乘 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式1-4（2024辽宁葫芦岛期中）的5次方可以表示为（   ） A． B． C． D． 变式1-5（2024河南开封期中）阅读材料，解决问题： 我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到： ;观察上述算式: 可以得到： 类比上述式子，你能够得到： (1) ， ； (2)利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整数）；我们把类似于和这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (3)知识运用： ， ； (4)已知 求的值． 题型二、有理数的乘方运算 典例2下列各对数中，数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 变式2-1（2024安徽安庆期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 变式2-2（2024甘肃兰州期中）将下列各数在给出的数轴上表示出来，并用“”把它们连接起来． ，，，，， 变式2-3（2024江苏无锡期中）对于整数a，b，定义一种新的运算“⊕”：当a与b同号时，规定（且）；当a与b异号时，规定（且）． (1)当，时，则______． (2)当，且，则______． (3)已知，求式子的值． 变式2-4我们平常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9在电子数字计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1．如二进制中等于十进制的数5，等于十进制中的数23，那么二进制中的1011等于十进制的数 ． 变式2-5（2024山东济宁期中）阅读下列例题： 计算：． 解：设，① 那么．② ②①，得． 所以原式． 仿照上面的例题计算： ． 题型三、有理数乘方逆运算 典例3（2024江苏泰州期中）如图，在下列计算程序中填写适当的数 ． 变式3-1（2024广东汕头期中）中学数学中，我们知道加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算，如式子可以变形为，也可以变形为，类似的，表示为 ． 变式3-2（2024贵州铜仁期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：______； (2)计算：． 变式3-3（2024重庆期中）若，为立方是它本身的正数，是最大的负整数，且，则 ． 变式3-4（2024四川达州期中）2021年第十四届国际数学教育大会（ICME－14）在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“ ”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7 共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，2021表示 ICME－14 的举办年份．【注：】某同学设计了一个n进制数501 ，换算成十进制数是406 ，则n的值为 ． 变式3-5（22-23七年级上·四川眉山期末）若，且 ． 题型四、乘方运算的符号规律 典例4（2024山东济宁期中）已知，则的值是 ． 变式4-1（2024四川南充期中）已知的最大值为 ． 变式4-2（2024安徽合肥期中）如果，则 ． 变式4-3（2024广东广州期中）观察下图三行数： ，4，，16，，64，...；① 0，6，，18，，66，...；② ，2，，8，，32，...；③ 取每行数的第9个数，这三个数的和为 ； 变式4-4（2024江苏南京期中）有一列按照一定规律写出的单项式：，，，，，…请写出这列单项式的第个和第个（k是正整数） ， ． 题型五、乘方的应用 典例5（2024浙江湖州期中）如图，从卫生纸的包装纸上得到以下信息：300格，每格，如图①；用尺子量出整卷卫生纸的半径与纸筒内芯的半径分别为和，如图②．求卫生纸的厚度．（取3） 变式5-1《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”大意是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截取一根长为1米的木棍，则第五天截取的木棍的长度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 变式5-2（2024北京期中）我国古代（易经）一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天 变式5-3（2024山东济宁期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 变式5-4（2024安徽安庆期中）生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似地，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． (1)如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是 ． (2)本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你在图4中帮他补充完整． (3)随着学校办学规模不断扩大，班级及学生数量不断增加，该校准考证的编码识别系统能否一直适用？请通过计算说明理由． 变式5-5（2024广东汕头期中）如图，当你把纸对折1次时，可以得到2层；当对折2次时，可以得到4层；当对折3次时，可以得到8层；照这样下去． (1)你能发现层数S和折纸的次数n之间的关系是_________． (2)计算：当时，求S． (3)如果每张纸的厚度是毫米，求对折次时，总的厚度是多少？ 题型六、用科学记数法表示绝对值大于1的数 典例6（2024安徽安庆期中）月日，国家统计局公布年各地区夏粮产量数据，安徽夏粮总产量为亿斤，较上年增加亿斤，居全国第三位．数据“亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 变式6-1（2024广东中山期中）今年国庆假期是深中通道开通后迎来的首个长假．根据中山市文旅局10月7日发布的数据，在国庆“黄金周”期间全市累计接待游客超340万人次，较去年同期上升近．其中数据340万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 变式6-2是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达1750亿个模型参数，数据“1750亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 变式6-3为实现我国碳达峰、碳中和的目标，光伏发电等可再生能源将发挥重要作用．去年全国光伏发电量为3259亿千瓦时，数据“3259亿”，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 题型七、将用科学记数法表示的数变回原数 典例7（2024宁夏石嘴山期中）已知：，则a表示的数为 ． 变式7-1（2024安徽宿州期中）用科学记数法表示为的数是（    ） A．1888 B．188.8 C．0.001888 D．18880 变式7-2（2024浙江宁波期中）下列说法正确的是（    ） A．近似数0.30精确到0.1； B．近似数1.6所表示数的范围是大于等于1.55小于1.64； C．有理数3928精确到百位是3900； D．近似数精确到千位 变式7-3一个整数8150…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为 个． 变式7-4一个数用科学记数法表示为，则这个数有 个整数位． 题型八、求一个数的近似数 典例8（2024广西南宁·期中）用四舍五入法对取近似数，精确的到的是（   ） A． B． C． D． 变式8-1（2024广西百色·期中）将205001精确到万位的近似数是（    ） A．20 B．21 C． D． 变式8-2（2024江苏南通·期中）下列说法中：①2.04（精确到0.1）取近似数是2.0；②两个三次多项式的和一定是三次多项式；③若是8的相反数，比的相反数小3，则；④若，则可能的值为0或；正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型九、求近似数的精确度 典例8（2024山东菏泽·期中）下列说法中正确的是（   ） A．万精确到万位 B．近似数千和精确度是相同的 C．精确到千位可以表示为万，也可表示为 D．近似数和的精确度不相同 变式8-1下列说法中正确的有（    ）个． 近似数与是一样的； 近似数精确到，有效数字是，； 近似数精确到个位，有效数字是，，，； 由四舍五入法得到的近似数精确到十分位，有个有效数字． A． B． C． D． 变式8-2下列说法错误的是（  ） A．近似数是精确到千分位 B．整数和分数统称为有理数 C．立方等于它本身的数是和 D．一个数的前面加上负号，就是负数 题型十、近似数推断取值范围 典例10（2024浙江宁波·期中）某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式10-1（2024四川眉山·期中）下列说法正确的是（    ） A．的倒数是 B．若，则 C．几个数相乘，当负乘数个数为奇数时，积为负，当负乘数个数为偶数时，积为正 D．数a的近似数为，那么a的真实值的范围是 变式10-2（2024广西贺州·期中）数a的近似值为，那么a的真实值的范围是（   ） A． B． C． D． 变式10-3（2024黑龙江牡丹江·阶段练习）下列说法中正确的有（    ） 近似数与表示的意义不同； 近似数是精确到十位； 近似数是精确到； 精确到百位； 近似数所表示的准确数是． A．个 B．个 C．个 D．个 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6 有理数的乘方与近似数 1. 理解乘方的意义，会运用乘方的意义准确进行有理数的乘方运算. 2. 掌握有理数的混合运算顺序，能熟练进行简单的混合运算，提高运算能力. 3. 会用科学记数法表示绝对值大于10的数，会将用科学记数法表示的数还原. 4. 了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算. 知识点1 有理数的乘方的意义 概念 示例 乘方：求个相同乘数的积的运算，叫作乘方. 如个相乘：. 幂：乘方的结果叫作幂. 在中，是幂. 底数：在中，叫作底数. 在中，是底数. 指数：在中，叫作指数. 在中，是指数. 说明：指数是正整数，底数可以是任意有理数. 注意：(1)一个数可以看作这个数本身的1次方，例如，5就是，指数1通常省略不写.(2)指数是2时读作平方（或2次方），指数是3时读作立方（或3次方）.例如，读作“的平方”（或“的2次方”），读作“的立方”（或“的3次方”）. 典例1 把下列各式写成幂的形式，并指出底数、指数各是什么. (1)；(2)； (3). 解：(1)，底数是，指数是3. (2)，底数是，指数是4. (3)，底数是，指数是. 知识点2 有理数的乘方运算 1. 乘方运算的符号法则 正数：正数的任何次幂都是正数. 负数：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 0：0的任何正整数次幂都是0. 2. 有理数的乘方运算 计算一个有理数的乘方时，应将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值. 有理数的乘方运算 示例 指数为奇数 （底数为负数，结果为负数） 指数为偶数 （底数为负数，结果为正数） 3. ，及的区别与联系 相同点 指数都是. 不同点 意义不同 个相乘的积. 个相乘的积的相反数. 个相乘的积. 底数不同 联系 为奇数 ，且，都与互为相反数（）. 为偶数 ，且，都与互为相反数（）. 为正整数 若，则. 教材延伸 互为相反数的两个数的幂的关系 (1) 互为相反数的两个数的奇次幂仍然互为相反数，即若，则（为正整数）. (2) 互为相反数的两个数的偶次幂相等，即若，则（为正整数）. 注：若为正整数，通常用表示偶数，表示奇数. 典例2 计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5). 解：(1). (2). (3). (4). (5). 知识点3 有理数的混合运算 有理数混合运算的顺序： (1) 先乘方，再乘除，最后加减； (2) 同级运算，从左到右进行； (3) 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. 典例4 计算：. 解： . 知识点4 科学记数法 1.科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中大于或等于1，且小于10，是正整数），使用的是科学记数法.对于小于的数也可以类似表示.例如，. 2.科学记数法的表示步骤 确定：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后面. 确定： 方法一：根据原数的整数位数来确定，等于原数的整数位数减1. 方法二：按小数点移动的位数来确定，小数点向左移动了几位，就等于几. 用科学记数法表示数 数 科学记数法表示 （整数位数是11，） （小数点向左移动5位） 典例5为了加快构建清洁低碳、安全高效的能源体系，国家发布《关于促进新时代新能源高质量发展的实施方案》，旨在锚定到2030年我国风电、太阳能发电总装机容量达到千瓦以上的目标.数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 解析：. 答案：B 知识点5 近似数 1. 准确数：与实际完全符合的数，称为准确数. 2. 近似数：接近准确数但不等于准确数的数. 3. 近似数的精确度 近似数的精确度是指近似数与准确数的接近程度. 近似数的精确度的表述方法： (1) 用数位表示：如精确到个位或百分位等. (2) 用小数点表示：如精确到或等. 4. 确定近似数的精确度的方法 看这个近似数的最后一位数字，它在哪个数位上就说明该近似数精确到哪一个数位. 注意：用小数表示的近似数末尾的0不可随意省略，它表示的是这个数的精确度.例如，中末尾的0表示这个数精确到百分位. 示例3 确定近似数的精确度 精确到百分位；因为，所以精确到十位. 5. 取近似数的方法 根据精确度取近似数时，要采用四舍五入法；在实际问题中，特殊情况下使用去尾法或进一法. (1) 四舍五入法：四舍五入法是最常用的取近似数的方法.求一个精确到某一数位的近似数时，对这一数位后面的那个数进行四舍五入.例如，精确到十分位为. (2) 去尾法：去尾法是去掉数的小数部分，取其整数部分的取近似数的方法.例如，把一根长的钢筋截成长的小段作零件，由，可知能截得的零件数为3. (3) 进一法：进一法是去掉多余部分的数后，在保留部分的最后一个数字上加1的取近似数的方法.例如，有112名学生外出旅游，计算租用45座的客车的辆数时，由于，此时应取近似数3，即租用3辆45座的客车才能满足112名学生旅游所需. 题型一、有理数幂的概念理解 典例1（2024河北张家口期末）化简＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了乘方的意义，根据乘方的意义分别表示出分子分母即可． 【详解】解：由乘方的意义可得分子表示个相乘，表示为；由乘法的意义可得分母表示个相加，表示为， ∴． 故选：B． 变式1-1（2024广东梅州期中）的底数是 ，指数是 ． 【答案】 3 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了乘方的意义，一般地，n个相同的因数a相乘，即计作，这种求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在中，a叫做底数，n叫做指数．根据乘方的意义解答即可． 【详解】解：的底数是，指数是3． 故答案为：，3． 变式1-2（2024云南昭通期中）的底数是 ，指数是 ． 【答案】 2 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】此题主要考查幂的含义，解题的关键是熟知的含义：a为底数，n为指数，读作a的n次方，含义是n个a相乘． 根据幂的形式特点得出的指数和底数即可； 【详解】解：的底数是，指数是2， 故答案为：，2． 变式1-3（2024河北保定期中）甲、乙、丙、丁4位同学，学了有理数的乘方之后，发表了以下见解，观点正确的有（    ） 甲：是2个5相加； 乙：与是不同的结果； 丙：中底数是，指数是4； 丁：是n个4相乘 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方的意义以及有理数乘方法则是解题的关键．根据有理数的乘方的意义以及有理数乘方法则逐个判断即可． 【详解】解：是5个2相乘，故甲的观点不正确； ，结果相同，故乙的观点不正确； 中底数是，指数是4，故丙的观点正确； 是4个n相乘，故丁的观点不正确； 所以观点正确的有1个． 故选：B． 变式1-4（2024辽宁葫芦岛期中）的5次方可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题主要考查了乘方的定义，根据乘方的定义逐项判断即可． 【详解】因为表示2的5次方的相反数，所以A不符合题意； 因为表示的5次方，所以B符合题意； 因为表示5的2次方的相反数，所以C不符合题意； 因为表示的2次方，所以D不符合题意． 故选：B． 变式1-5（2024河南开封期中）阅读材料，解决问题： 我们学习了乘方的定义和意义，根据乘方和乘法两种运算之间的转化了解到： ;观察上述算式: 可以得到： 类比上述式子，你能够得到： (1) ， ； (2)利用由特殊到一般的思想，可以得到： （m、n都是正整数）；我们把类似于和这样的式子叫同底数幂；因此可以得到“同底数幂的乘法”法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (3)知识运用： ， ； (4)已知 求的值． 【答案】(1)， (2) (3)； (4) 【知识点】有理数幂的概念理解、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了乘方的定义和意义，得到同底数幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键． （1）根据题目中给出的信息进行运算即可； （2）总结题目信息得出同底数幂的运算法则； （3）根据同底数幂的运算法则进行运算即可； （4）逆用同底数的乘法公式进行运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为，； （2）（m、n都是正整数）， 故答案为； （3），， 故答案为，； （4）∵， ∴． 题型二、有理数的乘方运算 典例2下列各对数中，数值相等的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方，熟练掌握负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，正数的任何次幂都是正数是解题的关键．根据乘方的运算法则算出各自的结果，再比较即可得到答案． 【详解】解：A、，，两者不相等，故不符合题意； B、，，两者不相等，故不符合题意； C、，，两者相等，故符合题意； D、，，两者不相等，故不符合题意； 故选：C． 变式2-1（2024安徽安庆期中）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算、有理数乘方逆运算 【分析】本题考查有理数的乘方及其逆运算． 按照运算法则，将原式转化为，计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 变式2-2（2024甘肃兰州期中）将下列各数在给出的数轴上表示出来，并用“”把它们连接起来． ，，，，， 【答案】，数轴见解析 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、有理数的乘方运算 【分析】该题主要考查了有理数大小比较，把各数在给出的数轴上表示出来是解题的关键；先把各数在数轴上表示出来，再从左到右用“”连接起来即可． 【详解】解：， 则， 在数轴上表示出来如图． 变式2-3（2024江苏无锡期中）对于整数a，b，定义一种新的运算“⊕”：当a与b同号时，规定（且）；当a与b异号时，规定（且）． (1)当，时，则______． (2)当，且，则______． (3)已知，求式子的值． 【答案】(1) (2)2 (3)或4或7或8或10 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查新定义的运算，有理数的乘方，读懂题意，掌握运算法则是解题的关键． （）根据新定义的运算即可求解； （）根据新定义的运算即可求解； （）根据新定义的运算分当与同号时和当与异号时两种情况即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴与异号， ∴， 故答案为：； （2）解：由，，为整数，可得与不可能异号， ∴当与同号时，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：当与同号时， ∴， ∴，或，或，， 则的值为或或； 当与异号时，， ∴， ∴，或，， 则的值为或； 综上可知：的值为或或或或． 变式2-4我们平常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码（又叫数字）：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9在电子数字计算机中用的是二进制，只要两个数码：0和1．如二进制中等于十进制的数5，等于十进制中的数23，那么二进制中的1011等于十进制的数 ． 【答案】11 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，弄清题中的转换方法是解本题的关键．根据题意得出二进制与十进制的转换方法，计算即可得到结果． 【详解】解：二进制数1011等于十进制的数为， 故答案为：11． 变式2-5（2024山东济宁期中）阅读下列例题： 计算：． 解：设，① 那么．② ②①，得． 所以原式． 仿照上面的例题计算： ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类及有理数的混合运算，设①，那么②，再利用②①可求出原式的值． 【详解】解：设，① 那么．② ②①，得． 所以原式． 题型三、有理数乘方逆运算 典例3（2024江苏泰州期中）如图，在下列计算程序中填写适当的数 ． 【答案】4或 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据得到要填写的数与1的和为，据此可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴填写的数为4或， 故答案为；4或． 变式3-1（2024广东汕头期中）中学数学中，我们知道加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算，如式子可以变形为，也可以变形为，类似的，表示为 ． 【答案】 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】本题考查了新定义运算的含义，乘方的逆运算，理解乘方的逆运算是解题关键．根据题干乘方的逆运算法则列式解即可． 【详解】解：∵式子可以变形为，也可以变形为， ∴表示为， 故答案为：． 变式3-2（2024贵州铜仁期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道，可以求的值．如果知道，可以求的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，则．例如：，则． (1)填空：______； (2)计算：． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】有理数的乘方运算、有理数乘方逆运算 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，读懂题意掌握运算法则是解题关键． （1）根据规定，进行求解即可； （2）先根据规定，求出，再进行加法运算即可； 【详解】（1）解：因为，所以． 故答案为： （2）因为，所以． 又因为， 所以． 所以． 变式3-3（2024重庆期中）若，为立方是它本身的正数，是最大的负整数，且，则 ． 【答案】 【知识点】有理数乘方逆运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了平方的逆运算，立方的定义，根据平方和立方的定义求出x、y的值，再由最大的负整数为负1求出z的值，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，为立方是它本身的正数，是最大的负整数， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式3-4（2024四川达州期中）2021年第十四届国际数学教育大会（ICME－14）在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“ ”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7 共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，2021表示 ICME－14 的举办年份．【注：】某同学设计了一个n进制数501 ，换算成十进制数是406 ，则n的值为 ． 【答案】9/九 【知识点】有理数乘方逆运算 【分析】本题考查了乘方的逆运算；根据题意得：，即可求得n的值． 【详解】解：501转换成n进制数为：， 由题意得：， 即； 由于，不考虑负值； 故； 故答案为：9． 变式3-5（22-23七年级上·四川眉山期末）若，且 ． 【答案】1或3/3或1 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较、有理数乘方逆运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】先根据绝对值和有理数的乘方的定义求出，再由得到，，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴或， 故答案为：1或3． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，有理数的乘方，绝对值，有理数比较大小，正确求出，是解题的关键． 题型四、乘方运算的符号规律 典例4（2024山东济宁期中）已知，则的值是 ． 【答案】1 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、乘方运算的符号规律 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为：1． 变式4-1（2024四川南充期中）已知的最大值为 ． 【答案】 【知识点】乘方运算的符号规律 【分析】本题考查乘方的非负性．熟练乘方的非负性是解题的关键． 根据乘方的非负性，确定最大值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴的最大值为：； 故答案为：． 变式4-2（2024安徽合肥期中）如果，则 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、乘方运算的符号规律、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题考查了非负数的性质、乘方运算、求代数式的值等知识，熟练掌握绝对值和平方的非负性是解题的关键．根据绝对值和平方的非负性求出a和b的值，再代入即可求得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， 即，， ∴， 故答案为：． 变式4-3（2024广东广州期中）观察下图三行数： ，4，，16，，64，...；① 0，6，，18，，66，...；② ，2，，8，，32，...；③ 取每行数的第9个数，这三个数的和为 ； 【答案】 【知识点】乘方运算的符号规律、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查数字的变化类，根据题目中的数据，可以发现第一行数字的变化特点，从而可以写出第n个数的式子，同理可以发现第二行的数字就是第一行对应的数字加上2，第三行数字的特点就是第一行对应的数字除以2，然后即可得到每行的第9个数字，再作和即可解答本题． 【详解】解：由题目中的数据可得， 第一行数据的第n个数是， 第二行数据的第n个数是， 第三行数据的第n个数是， 故第一行的第9个数是，第二行数据的第9个数是，第三行数据的第9个数是， ， 故答案为：． 变式4-4（2024江苏南京期中）有一列按照一定规律写出的单项式：，，，，，…请写出这列单项式的第个和第个（k是正整数） ， ． 【答案】 （或） 【知识点】乘方运算的符号规律、用代数式表示数、图形的规律、单项式规律题 【分析】本题考查数字的变化规律，能够通过所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．通过观察可得规律：第n个单项式是，由此即可求解题． 【详解】解：∵，，，，，… ∴第n个单项式是， 当时，第2021个单项式是， 当时，第2021个单项式是， 故答案为：；． 题型五、乘方的应用 典例5（2024浙江湖州期中）如图，从卫生纸的包装纸上得到以下信息：300格，每格，如图①；用尺子量出整卷卫生纸的半径与纸筒内芯的半径分别为和，如图②．求卫生纸的厚度．（取3） 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算、乘方的应用 【分析】本题考查了有理数的乘方的应用，有理数的乘除的混合应用，圆柱的体积，正确掌握相关性质是解题的关键． 先结合整卷卫生纸的半径与纸筒内芯的半径分别为和，且运用圆柱的体积公式进行列式计算可得整卷卫生纸的体积，再根据图中的数据信息进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵整卷卫生纸的半径与纸筒内芯的半径分别为和， ∴整卷卫生纸的体积， 则卫生纸的厚度． 变式5-1《庄子》中记载：“一尺之捶，日取其半，万世不竭．”大意是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截取一根长为1米的木棍，则第五天截取的木棍的长度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【知识点】乘方的应用、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了有理数的乘方应用、用代数式表示规律，理解题意是解题的关键．根据题意，每天截取的长度是前一天剩余的一半，据此列式即可求解． 【详解】解：根据题意，每天截取的长度为前一天剩余的一半， 第一天截取米，剩余米， 第二天截取米，剩余米， 第三天截取米，剩余米， …… 依此类推，第天截取的长度为米； 所以第五天截取的木棍的长度是米． 故选：C． 变式5-2（2024北京期中）我国古代（易经）一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是 天 【答案】520 【知识点】乘方的应用 【分析】本题主要考查了乘方的运算， 仿照“十进制”的算法，可知总天数为右面第一个数字加上第二个数字乘以7，依次第三个数字乘以，第四个数字乘以，再相加得出答案. 【详解】解：孩子自出生后的天数是：（天）. 故答案为：520. 变式5-3（2024山东济宁期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，理解乘方的意义是解题关键． （1）仿照小明的做法画出图形求解即可； （2）仿照小亮的做法验证即可； （3）仿照小亮的做法求解即可； 【详解】（1）解：， （2）解：设， 则， 因为，所以． （3）解：设， 则， 因为， 所以． 变式5-4（2024安徽安庆期中）生活在数字时代的我们，很多场合使用二维码来表示不同的信息，类似地，可通过正方形网格中，对每个小正方格涂黑色或不涂色所得的图形来表示不同的信息．在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”，“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．如图1是某校一次考试中三位同学的准考证号对应的二维码的简易编码．如图2是王芳同学准考证号的二维码简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：．同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1100，111，11100，1101，转化成10进制为：12，07，28，13，将五行编码有序组合在一起就是王芳的准考证号2412072813，其中第一行编码“24”表示区县，第二行编码“12”表示学校，第三行编码“07”表示班级，第四行编码“28”表示考场号，第五行编码“13”表示座位号． (1)如图3是本次考试张亮同学准考证号的二维码简易编码，其中第四行代表二进制的数字是10101，转化成10进制后可得他的考场号是 ． (2)本次考试中，赵军的准考证号是2917021311，如图4是赵军为自己绘制的二维码简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你在图4中帮他补充完整． (3)随着学校办学规模不断扩大，班级及学生数量不断增加，该校准考证的编码识别系统能否一直适用？请通过计算说明理由． 【答案】(1)21 (2)见解析 (3)不能，理由见解析 【知识点】乘方的应用 【分析】（1）根据二维码编码规则即可确定第四行代表二进制的数字，再将其转化为10进制数字即可； （2）根据题意可知赵军的准考证号是2917021311，由二进制和十进制数字转化规则确定各行编码二进制数字，即可获得答案； （3）计算该编号识别系统中班级、考场号、座位号的最大值即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得，第四行代表二进制的数字是10101， 二进制的数字10101，转化成10进制为：， ∴转化成10进制后可得他的考场号是21， 故答案为：21； （2）解：准考证号2917021311，分别将29，17，02，13，11转化为二进制， ，29转化为二进制为：11101， ，17转化为二进制为：10001， ，02转化为二进制为：10， ，13转化为二进制为：1101， ，11转化为二进制为：1011， 如图所示： （3）解：∵， ∴班级、考场号、座位号的最大值都是31， ∴随着学校规模的不断扩大，班级数在不断增加，该编号识别系统不能一直适用． 【点睛】本题主要考查了二进制与十进制数字转化、有理数运算等知识，熟练掌握二进制与十进制转化规则是解题关键． 变式5-5（2024广东汕头期中）如图，当你把纸对折1次时，可以得到2层；当对折2次时，可以得到4层；当对折3次时，可以得到8层；照这样下去． (1)你能发现层数S和折纸的次数n之间的关系是_________． (2)计算：当时，求S． (3)如果每张纸的厚度是毫米，求对折次时，总的厚度是多少？ 【答案】(1) (2) (3)毫米 【知识点】乘方的应用、用代数式表示数、图形的规律、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了乘方的应用，列代数式，以及代数式求值； （1）分析题意可知，对折的次数为时，层数为，对折的次数为时，层数为，当对折3次时，可以得到层，进而求出对折的次数与层数之间的关系； （2）将对折的次数为代入（1）中得出的关系式中即可求出对折次的层数； （3）首先要求出对折次时对应的层数，再根据每层即每张纸的厚度为毫米即可求出总的厚度． 【详解】（1）解：根据题意可得层数S和折纸的次数n之间的关系是 （2）当时，； （3）因为每张纸的厚度是毫米，所以对折次时，总的厚度是毫米． 题型六、用科学记数法表示绝对值大于1的数 典例6（2024安徽安庆期中）月日，国家统计局公布年各地区夏粮产量数据，安徽夏粮总产量为亿斤，较上年增加亿斤，居全国第三位．数据“亿”用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：亿， ． 故选：C． 变式6-1（2024广东中山期中）今年国庆假期是深中通道开通后迎来的首个长假．根据中山市文旅局10月7日发布的数据，在国庆“黄金周”期间全市累计接待游客超340万人次，较去年同期上升近．其中数据340万用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解： 340万， 故选：B． 变式6-2是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达1750亿个模型参数，数据“1750亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：1750亿， 故选：D． 变式6-3为实现我国碳达峰、碳中和的目标，光伏发电等可再生能源将发挥重要作用．去年全国光伏发电量为3259亿千瓦时，数据“3259亿”，用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：3259亿， 故选：C． 题型七、将用科学记数法表示的数变回原数 典例7（2024宁夏石嘴山期中）已知：，则a表示的数为 ． 【答案】 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查科学记数法，利用有理数的乘方运算，把科学记数法表示的数还原即可． 【详解】解：； 故答案为： 变式7-1（2024安徽宿州期中）用科学记数法表示为的数是（    ） A．1888 B．188.8 C．0.001888 D．18880 【答案】A 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查科学记数法表示的数变回原数．科学记数法指把一个数写成（其中，为整数）的形式． 【详解】解：． 故选：A． 变式7-2（2024浙江宁波期中）下列说法正确的是（    ） A．近似数0.30精确到0.1； B．近似数1.6所表示数的范围是大于等于1.55小于1.64； C．有理数3928精确到百位是3900； D．近似数精确到千位 【答案】D 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查了科学记数法与有效数字以及有理数大小比较，掌握近似数的定义是解答本题的关键．根据近似数的定义，科学记数法的表示方法以及有理数大小比较方法解答即可． 【详解】解：A．近似数0.30精确到0.01，故本选项不符合题意； B．近似数1.6所表示数的范围是大于等于1.55小于1.65，故本选项不符合题意； C．有理数3928精确到百位是，故本选项不符合题意； D．近似数精确到千位，故本选项符合题意； 故选：D． 变式7-3一个整数8150…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为 个． 【答案】8/八 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题主要考查科学记数法与原数的转化，将科学记数法表示的数转化为原数，即可求出0的个数． 【详解】解：， 原数中有8个0， 故答案为：8． 变式7-4一个数用科学记数法表示为，则这个数有 个整数位． 【答案】7/七 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示的数还原成原数时，时，是几，小数点就向后移几位． 【详解】解：， 用科学记数法表示为，则这个数有个整数位． 故答案为：． 题型八、求一个数的近似数 典例8（2024广西南宁·期中）用四舍五入法对取近似数，精确的到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数“近似数是与实际接近的数．一般的来说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位”，熟记近似数的定义是解题关键．根据近似数的定义求解即可得． 【详解】解：用四舍五入法对取近似数，精确的到的是， 故选：C． 变式8-1（2024广西百色·期中）将205001精确到万位的近似数是（    ） A．20 B．21 C． D． 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数“一般的来说，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数的精确度在哪一位”、科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．熟练掌握近似数和科学记数法是解题关键．根据近似数和科学记数法的定义求解即可得． 【详解】解：将205001精确到万位的近似数是， 故选：D． 变式8-2（2024江苏南通·期中）下列说法中：①2.04（精确到0.1）取近似数是2.0；②两个三次多项式的和一定是三次多项式；③若是8的相反数，比的相反数小3，则；④若，则可能的值为0或；正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【知识点】相反数的定义、带有字母的绝对值化简问题、求一个数的近似数、整式的加减运算 【分析】本题考查近似数，绝对值，相反数及整式加减，解题的关键是掌握相关概念，能进行准确计算．由四舍五入可判断①；根据整式的加减可判断②；求出a，b相加可判断③；根据，可判断出，中负数的个数为1个或2个，然后分类化简可判断④． 【详解】解：①2.04（精确到0.1）取近似数是2.0，故①正确； ②两个三次多项式的和不一定是三次多项式；故②错误； ③a是8的相反数，b比a的相反数小3，则，故③正确； ④∵， ∴中负数的个数为1个或2个， 当中负数的个数为1个时， 原式． 当中负数的个数为2个时， 原式，故④错误． 故选：C． 题型九、求近似数的精确度 典例8（2024山东菏泽·期中）下列说法中正确的是（   ） A．万精确到万位 B．近似数千和精确度是相同的 C．精确到千位可以表示为万，也可表示为 D．近似数和的精确度不相同 【答案】C 【知识点】求一个数的近似数、求近似数的精确度 【分析】本题考查了近似数和有效数字，熟练掌握近似数和有效数字是解题的关键； 精确位和有效数字是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 根据近似数的精确度对各选项进行判断． 【详解】解：A．万精确到百位，所以选项错误； B．近似数千精确度到千位，近似数精确到个位，所以选项错误； C．精确到千位可以表示为万，也可以表示为，所以选项正确； D．近似数和都精确到十分位，精确度是一样的，所以选项错误． 故选：C 变式8-1下列说法中正确的有（    ）个． 近似数与是一样的； 近似数精确到，有效数字是，； 近似数精确到个位，有效数字是，，，； 由四舍五入法得到的近似数精确到十分位，有个有效数字． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求近似数的精确度 【分析】此题考查了近似数与有效数字，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法，掌握近似数与有效数字的概念是解答本题的关键． 根据近似数与有效数字的概念对各小题分析判断后即可得解． 【详解】解：近似数精确到，近似数精确到，故错误； 近似数精确到，有效数字是，，故正确； 近似数精确到个位，有效数字是，，，，故正确； 由四舍五入法得到的近似数精确到十分位，有、、、共个有效数字，故正确； 综上所述，正确的是共个， 故选：B． 变式8-2下列说法错误的是（  ） A．近似数是精确到千分位 B．整数和分数统称为有理数 C．立方等于它本身的数是和 D．一个数的前面加上负号，就是负数 【答案】D 【知识点】正负数的定义、有理数的分类、求近似数的精确度 【分析】本题主要考查近似数，有理数，立方，负数，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据近似数的精确度可判断A，根据有理数定义可判断B，根据立方的概念可判断C，根据负号的定义可判断D． 【详解】解：A.近似数是精确到千分位，故正确； B.整数和分数统称为有理数，故正确； C.立方等于它本身的数是和，故正确； D.的前面加上负号，还是，负数的前面加上负号就是正数，故错误． 故选择：D． 题型十、近似数推断取值范围 典例10（2024浙江宁波·期中）某人的体重约为，这个数是个近似数，那么这个人的体重的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】此题主要考查了近似数，取近似数的方法：精确到哪一位，只需对下一位数字进行四舍五入． 【详解】解：根据取近似数的方法，知：当百分位大于或等于5时，十分位应是3； 当百分位小于5时，十分位应是4． ∴的准确值的范围为：， 故选B． 变式10-1（2024四川眉山·期中）下列说法正确的是（    ） A．的倒数是 B．若，则 C．几个数相乘，当负乘数个数为奇数时，积为负，当负乘数个数为偶数时，积为正 D．数a的近似数为，那么a的真实值的范围是 【答案】B 【知识点】绝对值的几何意义、倒数、多个有理数的乘法运算、近似数推断取值范围 【分析】本题考查了倒数的定义，绝对值的化简，有理数的乘法法则，近似数，根据倒数的定义，绝对值的性质，有理数的乘法法则，近似数对各项判断即可． 【详解】解：A、非0有理数的倒数是，故原说法错误，不符合题意； B、若，则，正确，符合题意； C、几个不为0的数相乘，当负乘数个数为奇数时，积为负，当负乘数个数为偶数时，积为正，故原说法错误，不符合题意； D、数a的近似数为，那么a的真实值的范围是，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 变式10-2（2024广西贺州·期中）数a的近似值为，那么a的真实值的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】近似数推断取值范围 【分析】本题主要考查四舍五入，熟练掌握四舍五入的定义是解题的关键．根据四舍五入进行判断即可． 【详解】解：数a的近似值为，那么a的真实值的范围是． 故选B． 变式10-3（2024黑龙江牡丹江·阶段练习）下列说法中正确的有（    ） 近似数与表示的意义不同； 近似数是精确到十位； 近似数是精确到； 精确到百位； 近似数所表示的准确数是． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数、求近似数的精确度、近似数推断取值范围 【分析】本题主要考查了指出一个近似数精确到哪一位，由近似数推断真值范围等知识点，熟练掌握近似数的相关知识是解题的关键． 根据精确度判断；根据系数中的位置确定精确度，从而判断；根据末位数字的位置确定精确度，从而判断；根据末位数字的位置确定精确度，从而判断；根据四舍五入方法判断． 【详解】解：近似数的精确度是，的精确度是，故正确； 近似数是精确到十位，故正确； 近似数是精确到的近似数，故正确； 精确到个位，故错误； 近似数所表示的准确数的范围是，故错误； 说法正确的有，共个， 故选：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $