期中复习专题3—垂径定理在实际问题中的运用（必考题提升训练）2025-2026学年苏科版数学九年级上册

2025-2026学年苏科版数学九年级上册期中复习 专题4—垂径定理在实际问题中的运用 （必考题提升训练） 【典型例题】 【例1】一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，M是中弦的中点，连接，并延长交于点E，若，隧道的高，则的半径为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【例2】如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名，某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为（ ） A. B. C. D. 【例3】往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为 ___． 【例4】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是________米． 【例5】如图所示，一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？ 【例6】如图所示，有一圆弧形拱桥，其跨度AB=10m，拱高为1m. （1）请你确定圆弧所在圆的圆心（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）； （2）求拱桥所在圆的半径. 【举一反三】 【变式1】工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为10mm，钢珠上顶端离零件上表面的距离为8mm，如图，则这个零件小孔的宽口AB等于（ ）mm． A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【变式2】“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为1寸，锯长为10寸，则圆材的半径为_____寸． 【变式3】如图，摩天轮的最高处A到地面l的距离是62米，最低处B到地面l的距离是2米．若游客从B处乘摩天轮绕一周需15分钟，则游客从B处乘摩天轮到地面l的距离是47米时至少需______分钟． 【变式4】数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为__________． 【变式5】在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为，在操场地上砸出一个深的小坑，则该坑的直径为______． 【变式6】 “圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为，拱门下端为． （1）在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若拱门最高点为点D，求点D到地面的距离． 【巩固练习】 1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知，则球的半径长是（　　） A. B. C. D. 2.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题即：“如图所示，CD垂直平分弦AB，CD=1寸，AB=10寸，求圆的直径”（1尺=10寸）根据题意直径长为（　　） A. 10寸 B. 20寸 C. 13寸 D. 26寸 3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，，点C是的中点，，且，则这段弯路所在圆的半径为（ ） A. B. 20m C. 30m D. 4.将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 5.石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度米，拱高米，那么桥拱所在圆的半径___________米． 6.如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为 ____厘米． 7.如图，某铜镜残片呈圆弧型，测得圆弧的两端A，B之间的距离为，上的点到弦的最大距离为，则该铜镜所在圆的半径为_______． 8.“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是________． 9.有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸥，滇朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图．设所在圆的圆心为，拱桥的拱顶为点，于点．已知此拱桥的跨径长约为16m，拱高约为5m．求此拱桥所在圆的半径． 10.如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽为米，污水的最大深度为米． (1) 求此下水管横截面的半径： (2) 随着污水量的增加，水位又被抬升米，求此时水面的宽度增加了多少？ 11.如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求： （1）拱桥所在的圆的半径； （2）通过计算说明是否需要采取紧急措施． 12.综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 答案解析 【典型例题】 【例1】一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，M是中弦的中点，连接，并延长交于点E，若，隧道的高，则的半径为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【例2】如图，月洞门为中国古典建筑中常见的过径门，因圆形如月而得名，某地园林中有一个圆弧形门洞，高为，地面入口宽为，则该门洞的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【例3】往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为 ___． 【答案】8cm 【例4】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是________米． 【答案】 【例5】如图所示，一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？ 【答案】能通过，理由如下： 根据题意可知DH=2.3米． 卡车关于中线对称更容易通过，所以OD=0.8米． 在Rt△OCD中，根据勾股定理，得 （米）， ∴CH=CD+DH=0.6+2.3=2.9＞2.5， ∴卡车能通过此门． 【例6】如图所示，有一圆弧形拱桥，其跨度AB=10m，拱高为1m. （1）请你确定圆弧所在圆的圆心（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）； （2）求拱桥所在圆的半径. 【答案】（1）根据弦的垂直平分线都经过圆心，作AB的垂直平分线MN，交弧于C，连接BC，作BC的垂直平分线EF，MN与EF相交于O，点O就是所求的圆心．如图， （2）连接OA． 设这个拱桥的半径为r，则OD=r﹣1，∴AD=BD=AB=×10=5m． 在Rt△OAD中，AD=5m，OD=r﹣1． 由勾股定理得：OA2=AD2+OD2 即r2=52+（r﹣1）2，∴r=13m． 这个拱桥所在圆的半径长为13m． 【举一反三】 【变式1】工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为10mm，钢珠上顶端离零件上表面的距离为8mm，如图，则这个零件小孔的宽口AB等于（ ）mm． A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【变式2】“圆材埋壁”是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为1寸，锯长为10寸，则圆材的半径为_____寸． 【答案】13 【变式3】如图，摩天轮的最高处A到地面l的距离是62米，最低处B到地面l的距离是2米．若游客从B处乘摩天轮绕一周需15分钟，则游客从B处乘摩天轮到地面l的距离是47米时至少需______分钟． 【答案】5 【变式4】数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为__________． 【答案】 【变式5】在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为，在操场地上砸出一个深的小坑，则该坑的直径为______． 【答案】8 【变式6】 “圆”是中国文化的一个重要精神符号，中式圆的含蓄和韵味，被设计师一一运用在了园林设计中，带来了浓浓的的古典风情．如图1，是某园林的一个圆形拱门，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味，图2是其示意图．已知拱门圆的半径为，拱门下端为． （1）在图2中画出拱门圆的圆心O（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若拱门最高点为点D，求点D到地面的距离． 【答案】（1）解：如图，点O即为所求， （2）连接， ， 设点E为的中点， 点O为圆心，连接并延长交圆于点D， 点D即为拱门为最高点， ， ，， ，， 在中， ， 点D到地面的距离为． 【巩固练习】 1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知，则球的半径长是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 2.“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题即：“如图所示，CD垂直平分弦AB，CD=1寸，AB=10寸，求圆的直径”（1尺=10寸）根据题意直径长为（　　） A. 10寸 B. 20寸 C. 13寸 D. 26寸 【答案】D 3.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，，点C是的中点，，且，则这段弯路所在圆的半径为（ ） A. B. 20m C. 30m D. 【答案】D 4.将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 5.石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度米，拱高米，那么桥拱所在圆的半径___________米． 【答案】10 6.如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为 ____厘米． 【答案】 7.如图，某铜镜残片呈圆弧型，测得圆弧的两端A，B之间的距离为，上的点到弦的最大距离为，则该铜镜所在圆的半径为_______． 【答案】 8.“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是________． 【答案】 9.有一种叫云南的生活：冬日暖阳，倚桥观鸥，滇朴倒影，如诗如画．如图1，大观河上的这座圆弧形拱桥建于上世纪70年代．图2是拱桥的示意图．设所在圆的圆心为，拱桥的拱顶为点，于点．已知此拱桥的跨径长约为16m，拱高约为5m．求此拱桥所在圆的半径． 【答案】解：连接， 由题意知：，，设拱桥所在圆的半径，则． 是半径，且 在中， ， 解得：， 答：此桥拱所在圆的半径为8.9m． 10.如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽为米，污水的最大深度为米． (3) 求此下水管横截面的半径： (4) 随着污水量的增加，水位又被抬升米，求此时水面的宽度增加了多少？ 【答案】(1)过点O作于点C，交圆O于点D，连接，则米， ∴米， 设此下水管横截面的半径为r米，则米， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 即此下水管横截面的半径为米； （2）解：如图，过点O作于点H， ∴， 根据题意得：米，米， ∴米， ∴米， ∴米， ∴此时水面的宽度增加了米． 11.如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求： （1）拱桥所在的圆的半径； （2）通过计算说明是否需要采取紧急措施． 【答案】解：（1）设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′， 设半径为xm， 则OA＝OA′＝OP， 由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N， ∵AB＝30m， ∴AMAB＝15（m）， 在Rt△AOM中，OM＝OP﹣PM＝（x﹣9）m， 由勾股定理可得：AO2＝OM2+AM2， 即x2＝（x﹣9）2+152， 解得：x＝17， 即拱桥所在的圆的半径为17m； （2）∵OP＝17m， ∴ON＝OP﹣PN＝17﹣2＝15（m）， 在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N8（m）， ∴A′B′＝2A'N＝16米＞15m， ∴不需要采取紧急措施． 12.综合与实践 【问题情境】如图1，贴窗花是我国特有的喜庆文化之一，我们可以从寓意团圆平安的窗花图案中抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形（共同的圆心称为中心），如图2，我们称这种图形为“环花”． 【实践探究】设直线与“环花”从左到右依次交于点，，，． (1)如图2，当直线经过中心时，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图3，当直线不经过中心时，请证明（1）中的结论仍然成立； 【问题深化】 (3)如图4，当把“环花”中的两个圆形换成两个相似的菱形时（中心点是这两个菱形对角线的公共交点，且，，，四点均在对角线上），类似地形成了“方花”，直线不经中心时，与“方花”从左到右依次交于点，，，，求的值． 【答案】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴． （3）解：如图，连接，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 同理可得，，， ∵四边形与四边形均为菱形，为它们的中心， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $