专题02 对称图形—圆 18个题型（期中专项训练）九年级数学上学期苏科版

专题02 对称图形—圆 题型1 点、直线与圆的位置关系（常考点） 题型11 最值问题（难点） 题型2 垂径定理（常考点） 题型12 证明圆的切线（重点） 题型3 圆的计算（常考点） 题型13 尺规作图（重点） 题型4 正多边形与圆 题型14 圆锥侧面最短路径（重点） 题型5 圆的折叠（常考点） 题型15 无刻度尺作图 题型6 圆周角定理（常考点） 题型16 动圆相切求t（难点） 题型7 弧、弦、圆心角关系（常考点） 题型17 新定义圆——几何（难点） 题型8 三角形的外接圆（常考点） 题型18 新定义圆——函数（难点） 题型9 三角形的内切圆 题型10求不规则图形的面积（重点） 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 点、直线与圆的位置关系（常考点） 1．的半径为3，点到圆心的距离为2，点与的位置关系是（   ） A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．不能确定 2．已知的半径为3，，则点A和的位置关系是（    ） A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定 3．如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．平行 题型二 垂径定理（常考点） 4．如图，已知是的弦，直径，交于点H，连接，若，，则（    ） A．3 B． C． D． 5．游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动1次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（   ） A． B． C． D． 6．如图，一个底部是球形的烧瓶，截面图中弦的长为，弧液体的深度，则球的半径为 ． 题型三 圆的计算（常考点） 7．已知半径为，在中的圆心角所对的弧长是（ ） A． B． C． D． 8．已知一个扇形的面积是，半径是24，则这个扇形的弧长是（    ） A． B． C．20 D． 9．若圆锥的底面半径，高，则它的侧面展开图中扇形的圆心角是 度． 题型四 正多边形与圆 10．如图，正五边形内接于，点是弧上的动点，则的度数为（   ） A． B． C． D．随着点F的变化而变化 11．如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则的度数为（　　） A． B． C． D． 12．如图，正五边形内接于，连接，，则的大小是 ．    题型五 圆的折叠（常考点） 13．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 14．如图为一圆形纸片，为圆周上三点，其中为直径，以为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的，且弧交于点，如图所示，若的度数为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠，若和都经过圆心O，则阴影部分图形的面积是 ． 题型六 圆周角定理（常考点） 16．如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 17．如图，圆O为的外接圆，其中点D在弧上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．如图，是直径，点C是中点，四边形内接于，若，则 ． 题型七 弧、弦、圆心角关系（常考点） 19．如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 20．图1中建筑的上半部分是由圆弧形成的尖顶结构，图2为其示意图．与关于直线成轴对称，长，长，且，所在圆的圆心，落在线段上，则长为 ． 21．如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 题型八 三角形的外接圆（常考点） 22．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 23．如图，外接圆的圆心坐标为 ． 24．如图，在的正方形网格中，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图1中找点D，使得线段是的中线； (2)在图2中找点O，使得点O为的外心． 题型九 三角形的内切圆 25．如图， 的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且， ，则的周长为（   ）. A．7 B．1 C．10 D．14 26．如图，是的内切圆，切点分别是D，E，F． （1）若，，则的度数为 ． （2）若，则的度数为 ． 27．如图，锐角． (1)分别作出的外接圆、的内切圆（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)已知点是外接圆的圆心，点是内切圆的圆心．试探究与的度数之间的关系； (3)如果，那么的度数是多少？ 题型十 求不规则图形的面积（重点） 28．如图，正方形的边长为，以为圆心，为半径作圆弧；以为圆心，为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别记为、，则的值为（    ） A． B． C． D． 29．如图，菱形的边长为，，弧是以点A为圆心，长为半径的弧，弧是以点B为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为 ． 30．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆，交的延长线于点，过点作交于点，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若是的中点，，求图中阴影部分的面积． 题型十一 最值问题（难点） 31．如图，是正方形的边的中点，是正方形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段．连接．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 32．综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片，如图：，，他在边上取中点N，又在边上任取一点M，再将沿折叠得到，连结．达到最小值时，求 ． 33．【问题初探】 （）如图，动点在半径为的上，若，直接写出的最小值． 分析：由于和都是定长，当点，，形成三角形时，丽丽想到了“三角形两边之差小于第三边”，由此可知当点在上时最短．按照丽丽的思路，请直接写出最小值______． 【类比分析】 （）如图，点和分别是边长为的正方形边和上的两个动点，且，连接和交于点，连接，求的最小值． 丽丽尝试着绘制了点在不同位置的几张图，目测始终都是直角，于是联想到了“圆周角所对的弦是直径”，也就是说“点是正方形内以为直径的圆弧上的点”，进而本题可以类比图解决，请按照丽丽的思路完成求最小值的解题过程，以下是证明的部分过程． 证明：在正方形中，，， ， ， 证明过程缺失，， ∴可判断点的轨迹，进而求出的最小值． 请补全缺失的证明过程． 【学以致用】 （）如图，请结合上述探究过程在图中作出【类比分析】中的点（要求无刻度的直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹，并用铅笔或黑色笔加黑加粗）并直接写出此时的最小值_____． 题型十二 证明圆的切线（重点） 34．如图，是的直径，四边形内接于，是的中点，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 35．如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 36．如图，是的直径，C是的中点，连结并延长到点D，使，E是的中点，连结并延长交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若交于点H，连接，，求的长． 题型十三 尺规作图（重点） 37．如图，破残的圆形轮片上有三点A，B，C． (1)请用直尺和圆规画出该轮片的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 38．请用圆规和无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，过点P作的一条切线； (2)如图②，在l上作一点Q，使得直线被截得的弦被点P平分； (3)如图③，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与弦的长度相等． 39．如图，在中，． (1)尺规作图： 作的平分线交于点； 以点为圆心，长为半径作．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用证明： 在（1）的条件下，求证：与相切． 题型十四 圆锥侧面最短路径（重点） 40．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线（）长为． (1)求圆锥形纸杯的侧面积． (2)若在母线上的点A处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，求此蚂蚁爬行的最短距离． 41．已知圆锥的底面半径为，高，现有一只蚂蚁从底边上一点A出发，在侧面上爬行一周后又回到A点． (1)求圆锥的全面积； (2)求蚂蚁爬行的最短距离． 42．完成下列各题： (1)如图，点A的坐标为，以点A为圆心，5个单位长度为半径画圆，分别交x轴于点B，C，交y轴于点E，F，求点B，C，E，F的坐标． (2)如图，有一个圆柱，它的高等于，底面上圆的周长等于．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ (3)为了提高某种农作物的产量，农场通常采用喷施药物的方法控制其高度．已知该农作物的平均高度与每公项所喷施药物的质量之间的关系如图所示．经验表明，该种农作物高度在左右时，它的产量最高，那么每公顷应喷施药物多少千克？ 题型十五 无刻度尺作图 43．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，可得到．请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作出的平分线； (2)在图2中，作出线段的中点． 44．（1）如图1，用无刻度的直尺和圆规在图1中作出的内接正六边形，保留作图痕迹． （2）如图2、图3是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．其中点A、点D为格点，经过点A、点D，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务． ①如图2，过点O作的垂线，交于； ②如图3，点B在上，过点B作弦． 45．图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均是格点，格点O在边BC上，且经过格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，在上找一点M，使点M与点A的距离最大； (2)在图②中，在上找一点N，使点N到的距离最小； (3)在图③中，过点B作的切线，点H为切点． 题型十六 动圆相切求t（难点） 46．如图，在四边形中，，，，，对角线平分，点P是边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为；点Q是上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为．设点P，Q同时出发，移动时间为（），连接，以为直径作． (1)求的长； (2)当t为何值时，线段被截得的线段长恰好等于的半径？ (3)当t为______时，与的一条边相切． 47．九（1）班数学课代表小华在学习“直线与圆位置关系”时，利用手中的量角器及三角尺深入研究了如下直线与圆位置关系的动态问题，请你也来试试看． 已知半圆和．半圆的直径，在中，，，．半圆的直径和的边在水平直线上． (1)如图1，保持不动，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动的时间为，当时，半圆在的左侧，．当为何值时，某一条边所在的直线能与半圆所在的圆相切？ (2)如图2，将图1中的绕点逆时针旋转至的位置．保持不动，半圆仍然以原来方式运动，请直接写出的边能与半圆所在的圆相切（切点在边上）时的可取的一切值． 48．在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，P、Q两点在分别到达B、C两点时就停止移动，设两点移动的时间为t秒，解答下列问题： （1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）如图2，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 题型十七 新定义圆——几何（难点） 49．【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接． ①写出的度数是______，的度数是______，的度数是______； ②点为的中点，的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，的半径为6，则的最大值是______． 50．【定义新知】 定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，判断、与之间的数量关系，并说明理由． 51．定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”． 例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”． 利用上述知识解答下列问题． (1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________． (2)在四边形中，对角线平分． ①如图1，若，，求的最小值． ②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数． ③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积． 题型十八 新定义圆——函数（难点） 52．在平面直角坐标系中，给定Q点和直线l．对不在直线l上的点P给出如下定义：作出P关于直线l的对称点，当时，称点P是点Q关于直线l的“反射点”．在点Q关于直线l的所有“反射点”中，到点Q距离最小的点P称为点Q关于直线l的“反射极小值点”，到点Q距离最大的点P称为点Q关于直线l的“反射极大值点”． (1)已知直线． ①对于点，在点，，，中，点Q关于直线l的“反射极大值点”是______，“反射极小值点”是______； ②已知点Q在直线上，若点Q关于直线l的“反射极大值点”与“反射极小值点”的距离之比为，则点Q的坐标为______； (2)已知点，直线l恒过点．记点Q关于直线l的“反射极大值点”为，“反射极小值点”为．当直线l绕点旋转时，直接写出与的取值范围． 53．在平面直角坐标系中，对于点和半径为1的给出如下定义：若过点的直线交于，两点，在，，三点中，其中一点恰为以另外两点为端点的线段中点时，则称点为的关联点． (1)当点与重合时． ①在点，中，的关联点是___________； ②已知点在直线上，若点为的关联点，直接写出的取值范围__________； (2)的圆心，直线与轴，轴分别交于点，，若线段上存在的关联点，则的取值范围是__________． 54．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于点A和线段，给出如下定义：若将线段绕点A旋转可以得到的弦（，分别是B，C的对应点），则称线段是的以点A为中心的“关联线段”． (1)如图，点，，，，，，的横、纵坐标都是整数．在线段，，中，的以点A为中心的“关联线段”是_______； (2)等腰直角三角形的斜边长为，点A不为原点．若是的以点A为中心的“关联线段”，在坐标系中画出点A组成的图形． (3)在中，，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长． $专题02 对称图形—圆 题型1 点、直线与圆的位置关系（常考点） 题型11 最值问题（难点） 题型2 垂径定理（常考点） 题型12 证明圆的切线（重点） 题型3 圆的计算（常考点） 题型13 尺规作图（重点） 题型4 正多边形与圆 题型14 圆锥侧面最短路径（重点） 题型5 圆的折叠（常考点） 题型15 无刻度尺作图 题型6 圆周角定理（常考点） 题型16 动圆相切求t（难点） 题型7 弧、弦、圆心角关系（常考点） 题型17 新定义圆——几何（难点） 题型8 三角形的外接圆（常考点） 题型18 新定义圆——函数（难点） 题型9 三角形的内切圆 题型10求不规则图形的面积（重点） 1 / 78 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 点、直线与圆的位置关系（常考点） 1．的半径为3，点到圆心的距离为2，点与的位置关系是（   ） A．点在外 B．点在内 C．点在上 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径的关系进行判定即可求解． 【详解】解：设点到圆心的距离， ∵， ∴点在内， 故选：B ． 2．已知的半径为3，，则点A和的位置关系是（    ） A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有 ①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内． 【详解】解：的半径为3，， 点A到圆心的距离大于半径， 点在圆外， 故选：B． 3．如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．平行 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．根据直线与圆有两个交点，则直线与圆相交，由此即可得． 【详解】解：由图可知，图中的江面和太阳的位置关系为相交， 故选：C． 题型二 垂径定理（常考点） 4．如图，已知是的弦，直径，交于点H，连接，若，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握相关定理是解答本题的关键．根据垂径定理得出，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：∵直径，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：D． 5．游乐场里有诸多有趣的项目，大摆锤便是其中之一．如图，大摆锤以为圆心前后摆动，大摆锤底端前后摆动1次的运动轨迹可以看作，连接，交于点，已知，且点为的中点，，，则大摆锤的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由，且点为的中点，则，，设，则，然后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，且点为的中点， ∴，， 设，则， ∴， ∴， 解得：， ∴大摆锤的长度为， 故选：． 6．如图，一个底部是球形的烧瓶，截面图中弦的长为，弧液体的深度，则球的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理等知识，熟练掌握垂径定理是解题关键．设球的半径为，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：设球的半径为，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，，即， 解得， 即球的半径为， 故答案为：5． 题型三 圆的计算（常考点） 7．已知半径为，在中的圆心角所对的弧长是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算，解题的关键是记住弧长公式．直接利用弧长公式计算即可． 【详解】解：圆心角所对的弧长． 故选：C． 8．已知一个扇形的面积是，半径是24，则这个扇形的弧长是（    ） A． B． C．20 D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积计算公式是解决本题的关键． 根据扇形面积计算公式“”可直接列出方程求出弧长． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故选：D． 9．若圆锥的底面半径，高，则它的侧面展开图中扇形的圆心角是 度． 【答案】288 【分析】本题考查圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长． 首先利用勾股定理求得圆锥的母线长，从而得圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的角度，把相关数值代入即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面圆半径为，圆锥高， 圆锥的母线长为， 圆锥的底面周长为， 设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为， ， 解得． 故答案为：288． 题型四 正多边形与圆 10．如图，正五边形内接于，点是弧上的动点，则的度数为（   ） A． B． C． D．随着点F的变化而变化 【答案】C 【分析】本题考查了多边形内角和，圆内接四边形，掌握圆内接四边形对角互补是解题关键．先求出正五边形的内角度数，再利用圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：正五边形内接于， ， 点是弧上的动点， 四边形内接于， ， ， 故选：C． 11．如图，正五边形内接于，点是劣弧上一点（点不与点重合），则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形和圆的性质以及圆周角定理，熟练掌握正多边形内角与圆心角的关系以及圆周角定理是解题的关键．先连接、，利用正五边形的性质求出圆心角的度数，再根据圆周角定理求出的度数． 【详解】解：连接、， ∵ 五边形是正五边形 ∴ ∴ ∴ 故选：C． 12．如图，正五边形内接于，连接，，则的大小是 ．    【答案】/18度 【分析】本题考查正多边形和圆，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据正多边形和圆的性质求出中心角的度数，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可，掌握正多边形中心角的计算方法，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提． 【详解】解：如图，连接、，    ∵五边形是的内接正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 题型五 圆的折叠（常考点） 13．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求弧长，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，连接，则，根据折叠可知，，从而得到是等边三角形，进而得到，，再利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图所示，连接，则， ∵将扇形沿着过点B的直线折叠， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的长； 故选：D． 14．如图为一圆形纸片，为圆周上三点，其中为直径，以为折线将纸片向右折叠，纸片盖住部分的，且弧交于点，如图所示，若的度数为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，折叠的性质，三角形的内角和定理，设折叠前在点，连接，由折叠的性质得到： ，，，又是圆的直径，则，由等腰三角形的性质得，从而求出，然后根据三角形的内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设折叠前在点，连接， 由折叠的性质得到： ，，， ∴， ∴， ∵是圆的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 15．如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠，若和都经过圆心O，则阴影部分图形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查圆中的计算问题和扇形面积计算，解直角三角形的应用，熟练掌握公式，是解题的关键．作于点D，连接，求出，再求出弓形的面积，然后根据阴影部分的面积等于圆的面积减去2个弓形的面积，即可得出答案． 【详解】解：作于点D，延长线交于点E，连接， 则，， ∵弓形折叠后为弓形过圆心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴阴影部分的面积为： ． 故答案为：． 题型六 圆周角定理（常考点） 16．如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟记圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角求得，根据圆内接四边形的性质得出，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：∵四边形为圆O的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是半圆O的直径， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 17．如图，圆O为的外接圆，其中点D在弧上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理以及垂径定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 先根据圆周角定理求出和的度数，再由得出弧和弧相等，进而求出和的度数，最后通过角的和求出的度数． 【详解】解：连接、， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 故选：C． 18．如图，是直径，点C是中点，四边形内接于，若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．连接，根据圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接， 点为劣弧的中点，， ， 为的直径， ， ， 故答案为：． 题型七 弧、弦、圆心角关系（常考点） 19．如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接、，如图，利用等腰三角形的性质得，，则根据三角形内角和定理得到，，则，于是得到的度数为． 【详解】解：连接、，如图， ，， ，， ，， ， ∴的度数为． 故选：B． 20．图1中建筑的上半部分是由圆弧形成的尖顶结构，图2为其示意图．与关于直线成轴对称，长，长，且，所在圆的圆心，落在线段上，则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质；首先根据对称与等腰三角形的三线合一得到，再由勾股定理求得半径的长，进而得到，解题即可． 【详解】解 与关于直线对称， ，且， 与的半径相等， 设半径为， ， 由勾股定理可知，即， 解得， ， ， 故答案为：． 21．如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，勾股定理，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证； （2）先证明四边形为平行四边形，等积法推出，即可得证； （3）垂径定理结合勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （3）∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 由（2）知：四边形为菱形， ∴设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得； ∴． 题型八 三角形的外接圆（常考点） 22．在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是（   ） A．8 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外接圆的性质，直角三角形角的性质以及勾股定理．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴这个三角形的外接圆的直径是， 故选：C． 23．如图，外接圆的圆心坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线及三角形的外心．三角形三边的垂直平分线的交点是三角形的外心．解决本题需仔细分析三条线段的特点．利用网格，作线段线段的垂直平分线相交于D，再根据图形写出点D的坐标即可． 【详解】解：作线段、线段的垂直平分线相交于点D，如图， 由图可得点D的坐标为：， 故答案为：． 24．如图，在的正方形网格中，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图1中找点D，使得线段是的中线； (2)在图2中找点O，使得点O为的外心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作出以为对角线的正方形的另一条对角线，交于点，连结即可； （2）分别作出，垂直平分线交点O． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求． （2）解：如图2，点即为所求． 【点睛】本题考查了三角形中线的意义，正方形的性质，三角形的外心，垂直平分线的性质，解题关键是掌握正方形的性质，垂直平分线的性质． 题型九 三角形的内切圆 25．如图， 的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且， ，则的周长为（   ）. A．7 B．1 C．10 D．14 【答案】D 【分析】本题考查了圆的切线长定理，由此可得，，，根据三角形的周长公式计算即可，掌握切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长度相等”是解题的关键． 【详解】解：的内切圆与、、分别相切于点、、， ，，， ， 的周长为： 故选：D． 26．如图，是的内切圆，切点分别是D，E，F． （1）若，，则的度数为 ． （2）若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】（1）直接利用切线的性质结合三角形内角和定理以及圆周角定理得出答案； （2）利用圆周角定理得出的度数，进而得出的度数． 【详解】解：（1）连接、， ∵，， ∴， ∵是的内切圆，切点分别是、、， ∴， ∴， ∴的度数为：； 故答案为：； （2）如图，连接ID，IE． ， ． ，AC分别与相切于点D，E， ． ， ． 故答案为：，. 【点睛】此题主要考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． 27．如图，锐角． (1)分别作出的外接圆、的内切圆（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)已知点是外接圆的圆心，点是内切圆的圆心．试探究与的度数之间的关系； (3)如果，那么的度数是多少？ 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内切圆和外接圆的性质，尺规作图——作角平分线和垂直平分线，掌握知识点的应用是解题的关键． （）作垂直平分线交于点，作和角平分线交于点即可； （）由点是外接圆的圆心，得，由点是内切圆的圆心，则，，从而可得，然后代入可得； （）由（）得，，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∴的外接圆、的内切圆即为所求； （2）解：，理由， 如图， ∵点是外接圆的圆心， ∴， ∵点是内切圆的圆心 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（）得，， ∵， ∴． 题型十 求不规则图形的面积（重点） 28．如图，正方形的边长为，以为圆心，为半径作圆弧；以为圆心，为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别记为、，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形面积的计算，根据题意和图形，可以分别计算出和的值，然后用即可得到的值，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：如图， 由，， ∴ ， 故选：． 29．如图，菱形的边长为，，弧是以点A为圆心，长为半径的弧，弧是以点B为圆心，长为半径的弧，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．连接，过点D作于点E，证明是等边三角形，可得，，从而得到，再由阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点D作于点E， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为 ． 故答案为：． 30．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆，交的延长线于点，过点作交于点，连接并延长，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若是的中点，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据等边对等角以及平行线的性质得到，进而证明，再利用全等三角形对应角相等和切线的判定定理即可证明； （2）根据斜边中线定理可得，推出为等边三角形，利用三角形内角和定理得到，得到，设，利用勾股定理列出方程，求出的值，再利用割补法以及三角形和扇形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 又，， ， ， ， 是的切线； （2）解：由（1）可知，为直角三角形． 点是的中点， ， 又， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在中，， 设，则， 由勾股定理得，， 解得． ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、求扇形面积、勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 题型十一 最值问题（难点） 31．如图，是正方形的边的中点，是正方形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段．连接．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．连接，将以为中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【详解】解，如图，连接，将以为中心，逆时针旋转，点的对应点为， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， 由旋转得：， ， ， 的值最小为． 故选：B． 32．综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片，如图：，，他在边上取中点N，又在边上任取一点M，再将沿折叠得到，连结．达到最小值时，求 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题），勾股定理．正确运用相关性质定理是正确解答此题的关键．根据折叠的性质得到，根据圆的定义得到点在以N为圆心，为半径的圆上，根据三角形的三边关系得到 ，结合点M在上，根据勾股定理即可求出． 【详解】解：将沿折叠得到， ， 点为的中点，， ， 当点在边上运动时，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 连接,在中， ， 共线时，的值最小，如图， 最小为； ， 设， ，， 在直角三角形中， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即， 故答案为：． 33．【问题初探】 （）如图，动点在半径为的上，若，直接写出的最小值． 分析：由于和都是定长，当点，，形成三角形时，丽丽想到了“三角形两边之差小于第三边”，由此可知当点在上时最短．按照丽丽的思路，请直接写出最小值______． 【类比分析】 （）如图，点和分别是边长为的正方形边和上的两个动点，且，连接和交于点，连接，求的最小值． 丽丽尝试着绘制了点在不同位置的几张图，目测始终都是直角，于是联想到了“圆周角所对的弦是直径”，也就是说“点是正方形内以为直径的圆弧上的点”，进而本题可以类比图解决，请按照丽丽的思路完成求最小值的解题过程，以下是证明的部分过程． 证明：在正方形中，，， ， ， 证明过程缺失，， ∴可判断点的轨迹，进而求出的最小值． 请补全缺失的证明过程． 【学以致用】 （）如图，请结合上述探究过程在图中作出【类比分析】中的点（要求无刻度的直尺和圆规，不写作法，保留作图痕迹，并用铅笔或黑色笔加黑加粗）并直接写出此时的最小值_____． 【答案】（）；（）证明见解析；（）作图见解析， 【分析】（）连接，设交于点，由三角形三边关系可得，进而即可求解； （）由正方形的性质可证，即得，进而由得到，即得到，得到点的运动轨迹是以为直径的半圆，即点在以为直径的半圆上，设的中点为，连接，交半圆于点，则此时最小； （）作线段的垂直平分线，交于点，以点为圆心，为半径画圆，连接，交半圆于点，可知此时的值最小，点即为所求，利用勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】（）连接，设交于点，如图， 则， ∴， ∴点与点重合时，取得最小值为， 故答案为：； （）证明：在正方形中，，， ， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是以为直径的半圆，即点在以为直径的半圆上， 设的中点为，连接，交半圆于点，则此时最小； （）如图所示，点即为所求， ∵正方形的边长为，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，点和圆的位置关系，线段垂直平分线的作法，勾股定理，由题意判断出点的运动轨迹是解题的关键． 题型十二 证明圆的切线（重点） 34．如图，是的直径，四边形内接于，是的中点，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定定理是解题关键． （1）连接，先根据圆周角定理可得，再证出，根据平行线的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）过点作于点，先证出，，根据全等三角形的性质可得，再设，则，然后根据求解即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，过点作于点， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∴平分， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为2． 35．如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明，推出，即可证明与相切； （2）由可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 与相切； （2）解：如图，连接交于点D， ， ，， 垂直平分， ，，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 36．如图，是的直径，C是的中点，连结并延长到点D，使，E是的中点，连结并延长交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若交于点H，连接，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据垂径定理可证为的中位线，再根据中位线的性质可得，即可得证； （2）根据证明，再根据勾股定理求得，再根据等面积法即可得解． 【详解】（1）证明：连接，如图， 是的直径，C是的中点， ， ， 为的中位线， ， ， 是的切线； （2）解：E是的中点， ， ， ， ， ， 在中，， ， 为直径，   ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，三角形的中位线，垂径定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理，圆周角定理，解题的关键综合运用以上知识点，正确作出辅助线． 题型十三 尺规作图（重点） 37．如图，破残的圆形轮片上有三点A，B，C． (1)请用直尺和圆规画出该轮片的圆心（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若是等腰三角形，底边，腰，求圆片的半径R． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）作线段，的垂直平分线交于点O，点O即为所求； （2）连接交于点D．连接．利用勾股定理求出，再利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：连接交于点D．连接． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴， 在中，， 解得． 38．请用圆规和无刻度的直尺按要求作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图①，过点P作的一条切线； (2)如图②，在l上作一点Q，使得直线被截得的弦被点P平分； (3)如图③，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦的长度与弦的长度相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了尺规作图、切线的判定、圆周角定理、垂径定理，根据题意正确作图是解题的关键． （1）作的垂直平分线交于点，再以M为圆心，为半径画圆，交于点，连接，根据圆周角定理得到，则切线即为所求； （2）连接，过点作的垂线，直线交直线l于点Q，根据垂径定理可得弦被点P平分，则点Q即为所求； （3）过点O作的垂线，垂足为G；以点O为圆心，长为半径作小；作的垂直平分线得到的中点M，再以为直径作，交小于点H，根据圆周角定理得到；作直线，交于点C，D，则，则直线即为所求． 【详解】（1）解：如图①，直线即为所求； （2）解：如图②，点Q即为所求； （3）解：如图③，直线即为所求． 39．如图，在中，． (1)尺规作图： 作的平分线交于点； 以点为圆心，长为半径作．（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)应用证明： 在（1）的条件下，求证：与相切． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是尺规作图，角平分线的性质、切线的判定，熟练掌握角平分线的性质及作图方法、切线的判定是解答本题的关键． （1）根据角平分线的作图方法作图即可；根据要求作出即可． （2）过点作于点，根据角平分线的性质可得，则为的半径，结合切线的判定可知，与相切． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：过点作于点， 平分，，， ， 即为的半径， 与相切． 题型十四 圆锥侧面最短路径（重点） 40．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线（）长为． (1)求圆锥形纸杯的侧面积． (2)若在母线上的点A处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，求此蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】(1)平方厘米 (2) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． （1）根据圆锥侧面积公式计算即可得到结果； （2）要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，求出长即可，在中，，，根据勾股定理求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：（平方厘米）； （2）解：圆锥侧面沿母线展开可得下图： 则圆锥底面周长的一半， ∴，即， 在中，， 根据勾股定理可得：， 所以蚂蚁爬行的最短距离为． 41．已知圆锥的底面半径为，高，现有一只蚂蚁从底边上一点A出发，在侧面上爬行一周后又回到A点． (1)求圆锥的全面积； (2)求蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求圆锥全面积，勾股定理，弧长公式， 对于（1），先根据勾股定理求出圆锥的母线，再根据得出答案； 对于（2），先根据弧长公式求出圆心角，可知该三角形是直角三角形，结合两点之间线段最短，再根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）解：∵． ∴在中，由勾股定理，得母线， ∴； （2）解：设扇形的圆心角为．由（1）知，， 而圆锥的侧面展开后的扇形的弧长为， ∴， 解得，即是等腰直角三角形． 在中，由勾股定理，得， ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 42．完成下列各题： (1)如图，点A的坐标为，以点A为圆心，5个单位长度为半径画圆，分别交x轴于点B，C，交y轴于点E，F，求点B，C，E，F的坐标． (2)如图，有一个圆柱，它的高等于，底面上圆的周长等于．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ (3)为了提高某种农作物的产量，农场通常采用喷施药物的方法控制其高度．已知该农作物的平均高度与每公项所喷施药物的质量之间的关系如图所示．经验表明，该种农作物高度在左右时，它的产量最高，那么每公顷应喷施药物多少千克？ 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标是，点C的坐标是，点F的坐标是； (2)蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是； (3)每公顷应喷施药物约． 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理求最短路径，用待定系数法求一次函数关系式． （1）连接，由题意易得，，则有，，然后根据垂径定理可求解的长，进而问题可求解； （2）如图把圆柱体展开，连接，然后可知，，进而可由两点之间，线段最短可知即为所求； （3）根据已知两点的坐标求出直线解析式，求时的值． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴点B的坐标是， ∵， ∴点C的坐标是， ∵，， ∴， ∴点E的坐标是， ∵过圆心， ∴点F的坐标是； （2）解：连接，如图所示： ∵圆柱的高等于，底面上圆的周长等于， ∴，， ∴， ∴蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是； （3）解：设，由图象可得： ， 解得， 所以， 当时，， 解得； 即每公顷应喷施药物． 题型十五 无刻度尺作图 43．如图，在中，，将绕点A顺时针旋转，可得到．请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作出的平分线； (2)在图2中，作出线段的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了正方形的判定和性质、旋转的性质、圆周角定理、四点共圆等知识，熟练掌握正方形的判定和性质、圆周角定理是关键． （1）分别延长线段相交于点，由旋转的性质和已知得到四边形是正方形，则射线即为所求； （2）连接相交于点Q，设相交于点M，由题意可知，，则都是等腰直角三角形，则，又由，得到，即可得到四点共圆，由可知是直径，则,由等腰三角形三线合一得到即为的中点． 【详解】（1）解：如答图1，射线即为所求； （2）如答图2，点即为所求； 44．（1）如图1，用无刻度的直尺和圆规在图1中作出的内接正六边形，保留作图痕迹． （2）如图2、图3是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．其中点A、点D为格点，经过点A、点D，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务． ①如图2，过点O作的垂线，交于； ②如图3，点B在上，过点B作弦． 【答案】（1）画图见解析；（2）①画图见解析；②画图见解析 【分析】（1）先作直径，分别以为圆心，为半径画弧，与的交点分别为，再顺次连接即可得到正六边形； （2）①取格点，连接交于，过作直线交于即可； ②取格点，连接交于，过作直线交于，连接交于，连接并延长交于，连接，则即为所求． 【详解】解：（1）如图，六边形即为所求； 理由：连接， 由作图可得：， ∴为等边三角形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴六边形为的正六边形； （2）①如图，即为所求； 理由：由格点图形可得：四边形为正方形， ∴， ∴，即； ②如图，即为所求； 理由：由（2）得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是作圆的内角正六边形，垂径定理的应用，线段的垂直平分线的性质，圆周角定理的应用，平行线的判定，熟练的作图是解本题的关键． 45．图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均是格点，格点O在边BC上，且经过格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图． (1)在图①中，在上找一点M，使点M与点A的距离最大； (2)在图②中，在上找一点N，使点N到的距离最小； (3)在图③中，过点B作的切线，点H为切点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析． 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，勾股定理、垂径定理，切线的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据过圆外一点与圆上一点取最值时两点所在直线过圆心，作射线交于点，点即为所求； （2）取格点，连接交于点，此时，则点即为所求； （3）取格点，此时，则直线即为切线即可． 【详解】（1）解：如图①中，点M即为所求； （2）解：如图②中，点N即为所求； （3）解：如图③中，直线即为所求． 题型十六 动圆相切求t（难点） 46．如图，在四边形中，，，，，对角线平分，点P是边上一动点，它从点B出发，向点A移动，移动速度为；点Q是上一动点，它从点A出发，向点C移动，移动速度为．设点P，Q同时出发，移动时间为（），连接，以为直径作． (1)求的长； (2)当t为何值时，线段被截得的线段长恰好等于的半径？ (3)当t为______时，与的一条边相切． 【答案】(1) (2)或1 (3) 【分析】（1）过点D作于点M，证明，利用直角三角形的性质及勾股定理求出的长，再证明即可； （2）分和两种情况，分别列方程求解即可； （3）分与相切和与相切两种情况，分别根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：过点D作于点M， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 设， ，， ， ， ， ， 解得， ， ， ， ， ， ； （2）解：当线段被截得的线段长恰好等于的半径时，该线段与半径组成的三角形是等边三角形，此三角形的内角为，分两种情况： 当时，点为圆与的另一交点，连接， 由题意，，， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， 在中，， ， ， ， 解得； 当时， ， ， ， ， ， 解得； 综上所述，当或1时，线段被截得的线段长恰好等于的半径； （3）当与相切时，，点Q为切点， ， ， ， ， ， ， 解得； 当与相切时，设切点为点E，连结并延长，交于点F，连结， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， 是直径， ， ， ， ，， ， ， ，， 在中，， ， 解得，， ， ，均不合题意，舍去； 综上所述，当t为时，与的一条边相切． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，运用分类讨论思想合理分类并画出相应的图形求解是关键． 47．九（1）班数学课代表小华在学习“直线与圆位置关系”时，利用手中的量角器及三角尺深入研究了如下直线与圆位置关系的动态问题，请你也来试试看． 已知半圆和．半圆的直径，在中，，，．半圆的直径和的边在水平直线上． (1)如图1，保持不动，半圆以的速度从左向右运动，在运动过程中，点、始终在直线上．设运动的时间为，当时，半圆在的左侧，．当为何值时，某一条边所在的直线能与半圆所在的圆相切？ (2)如图2，将图1中的绕点逆时针旋转至的位置．保持不动，半圆仍然以原来方式运动，请直接写出的边能与半圆所在的圆相切（切点在边上）时的可取的一切值． 【答案】(1)当，，，时，的一边所在直线与半圆所在的圆相切 (2)当或或时，的边能与半圆所在的圆相切（切点在边上） 【分析】（1）随着半圆的运动分四种情况：①当点与点重合时，与半圆相切；②当点运动到点时，与半圆相切； ③当点运动到的中点时，再次与半圆相切；④当点运动到点的右侧时，的延长线与半圆所在的圆相切；接下来分别求得半圆的圆心移动的距离后，再求得运动的时间即可． （2）分为①如图，当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时，②如图，当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时，③如图，当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时，分别画图解答即可． 【详解】（1）解：①如图1， 当点与点重合时，，，与半圆相切， 此时点运动了，所求运动时间为：． ②如图2，当点运动到点时，过点作，垂足为． 在中，，， 则，即等于半圆的半径， 所以与半圆所在的圆相切． 此时点运动了，所求运动时间为：． ③如图3，当点运动到的中点时，，，与半圆相切． 此时点运动了，所求运动时间为：． ④如图，当点运动到点的右侧，且时， 过点作，垂足为． 在中，，则， 即等于半圆所在的圆的半径， 所以直线与半圆所在的圆相切． 此时点运动了，所求运动时间为：． 综上所述，当，，，时，的一边所在直线与半圆所在的圆相切． （2）解：①如图，当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时， 假设切点为，连接，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时点运动了，所求运动时间为：． ②如图，当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时， 假设切点为，连接，则，， ∵， ∴， ∴， 此时点运动了，所求运动时间为：． ③如图， 过点作， ∵， ∴，， ∵， ∴边上所有点到的距离都是，等于半圆所在的圆的半径， 所以边与半圆所在的圆相切． 当半圆与边相切于点A时，点运动了，所求运动时间为：， 当半圆与边相切于点B时，点运动了，所求运动时间为：， 故当的边与半圆所在的圆相切（切点在边上）时，， 综上，当或或时，的边能与半圆所在的圆相切（切点在边上）． 【点睛】该题考查了切线的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，二次根式的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论思想解答． 48．在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝10cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，P、Q两点在分别到达B、C两点时就停止移动，设两点移动的时间为t秒，解答下列问题： （1）如图1，当t为几秒时，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）如图2，以Q为圆心，PQ为半径作⊙Q．在运动过程中，是否存在这样的t值，使⊙Q正好与四边形DPQC的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）t=1秒或4秒；（2）t＝0秒或(﹣15+)秒. 【分析】（1）由题意可知PA＝t，BQ＝2t，从而得到PB＝5﹣t，BQ＝2t，然后根据△PQB的面积＝4cm2列方程求解即可； （2）当t＝0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合，此时圆Q与PD相切；当⊙Q正好与四边形DPQC的DC边相切时，由圆的性质可知QC＝QP，然后依据勾股定理列方程求解即可； 【详解】解：（1）∵当运动时间为t秒时，PA＝t，BQ＝2t， ∴PB＝5﹣t，BQ＝2t． ∵△PBQ的面积等于4cm2， ∴PB•BQ＝（5﹣t）•2t． ∴（5﹣t）•2t＝4． 解得：t1＝1，t2＝4． 答：当t为1秒或4秒时，△PBQ的面积等于4cm2； （2）由题意可知圆Q与PQ、CQ不相切．下面分两种情况讨论： （Ⅰ）如图1所示：当t＝0时，点P与点A重合时，点B与点Q重合． ∵∠DAB＝90°， ∴∠DPQ＝90°． ∴DP⊥PQ． ∴DP为圆Q的切线． （Ⅱ）当⊙Q正好与四边形DPQC的DC边相切时，如图2所示． 由题意可知：PB＝5﹣t，BQ＝2t，PQ＝CQ＝10﹣2t． 在Rt△PQB中，由勾股定理可知：PQ2＝PB2+QB2，即（5﹣t）2+（2t）2＝（10﹣2t）2． 解得：t1＝﹣15+，t2＝﹣15﹣（舍去）． 综上所述可知当t＝0秒或t＝(﹣15+)秒时，⊙Q与四边形DPQC的一边相切． 【点睛】本题主要考查的是切线的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，根据题意画出图形是解题的关键． 题型十七 新定义圆——几何（难点） 49．【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接． ①写出的度数是______，的度数是______，的度数是______； ②点为的中点，的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，的半径为6，则的最大值是______． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）①根据定义和圆周角定理求角即可；②根据垂径定理和特殊角的三角函数值进行解答即可； （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明，则，进一步证明，当是直径时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． ②连接交于点P， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴． （2）如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵是的一条弦， ∴当是直径时，取最大值， 即的最大值是． 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 50．【定义新知】 定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，四边形是圆美四边形，是美角． ①的度数为________； ②连接，若的半径为5，求线段的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形是圆美四边形，是美角，连接，若平分，判断、与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①60；②（2） 【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用勾股定理计算即可． （2）延长到点M，使得，连接，得到 是等边三角形，证明即可． 【详解】（1）①∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴, ∴, 解得， 故答案为：60． ②作圆的直径,连接, 则 ∵圆的半径为5， ∴, ∵， ∴. ∴． （2）关系为：，理由如下： 如图，延长到点M，使得，连接， ∵四边形是圆美四边形，是美角， ∴, ∴, 解得， ∴, ∵平分， ∴, ∴是等边三角形， ∴,， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴, ∴, ∵, ∴． 【点睛】本题考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 51．定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”． 例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”． 利用上述知识解答下列问题． (1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________． (2)在四边形中，对角线平分． ①如图1，若，，求的最小值． ②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数． ③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积． 【答案】(1)菱形、正方形； (2)①的最小值是4；②；③或． 【分析】（1）根据菱形、正方形的对角线平分一组对角可得出答案； （2）①当，时，与最小，此时最小；利用直角 三角形的性质可求解； ②过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G，证明，，得出，从而得到平分，即可求解； ③先证明，，，四点共圆，不规则分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形、矩形的对角线不一定平分平行四边形、矩形的角， ∴平行四边形、矩形不一定是“可折四边形”； ∵菱形、正方形的对角线平分一组对角， ∴菱形、正方形一定是“可折四边形”； 故答案为：菱形、正方形． （2）解：①当，时，与最小， ∴此时最小； ∵，对角线平分． ∴ ∴， ∴ 答：的最小值为4； ②如图1，过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G， ① 又平分，平分 ， ② ①×2－②得 ∵，，， 又平分，平分 ∴， 平分 ∴ ③如图2 过作，， 又∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ 则，，，四点共圆 ∴， 当时，如图3 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ． 当时，如图4 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴同理可求得，，， ． 综上，四边形的面积为或． 【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，菱形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的面积，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．本题综合性较强，注意分类讨论，以免漏解． 题型十八 新定义圆——函数（难点） 52．在平面直角坐标系中，给定Q点和直线l．对不在直线l上的点P给出如下定义：作出P关于直线l的对称点，当时，称点P是点Q关于直线l的“反射点”．在点Q关于直线l的所有“反射点”中，到点Q距离最小的点P称为点Q关于直线l的“反射极小值点”，到点Q距离最大的点P称为点Q关于直线l的“反射极大值点”． (1)已知直线． ①对于点，在点，，，中，点Q关于直线l的“反射极大值点”是______，“反射极小值点”是______； ②已知点Q在直线上，若点Q关于直线l的“反射极大值点”与“反射极小值点”的距离之比为，则点Q的坐标为______； (2)已知点，直线l恒过点．记点Q关于直线l的“反射极大值点”为，“反射极小值点”为．当直线l绕点旋转时，直接写出与的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2)； 【分析】（1）①由定义知：在上或内，又P与关于直线l对称，则P在关于直线l对称的圆上或圆内．先将关于直线l对称得到，则，由图可知点，，都在上，最小为2，最大为4，故符合定义的点为，； ②由定义可知，连接交于点M、N，如图2所示，所以，，所以，，设，由两点间距离公式可得方程，解之即可得Q点坐标； （2）如图3所示，作关于过的动直线l对称的，即的圆心在以为圆心、2为半径的上，则此时的“反射极大值”点为点，“反射极小值”点为点，根据在转动过程中，会经过点Q，结合图形，分别得出和的取值范围即可． 【详解】（1）解：由定义知：在上或内，又P与关于直线l对称，则P在关于直线l对称的圆上或圆内； ①如图1所示，将关于直线l对称得到，则， ∵点P是点Q关于直线与的“反射极值点”， 则点P必在上，且的距离必须为所有符合条件中的P中的最大值或最小值， ∵，，都在上，最小为2，最大为4， 故符合定义的点为，， 故答案为：；； ②由定义可知，连接交于点M、N，如图2所示， 则由定义可知，为点Q关于直线与的“反射极大值点”N的距离， 为点Q关于直线与的“反射极小值点”的距离， 所以，， 所以，， 设，由两点间距离公式可得：， 解得或4， 故或， 故答案为：或； （2）解：如图3所示，作关于过的动直线l对称的对称， 即的圆心在以为圆心、2为半径的上， 则此时的“反射极大值”点为点，“反射极小值”点为点， ∵，， ∴， ∴的最大值为：，最小值为：， ∴的取值范围为：； ∵在转动过程中，会经过点Q， ∴的最小值为0， 最大值为：， ∴的取值范围为：． 【点睛】本题是一道为圆为背景的新定义型综合题，考查了轴对称的性质，一次函数的性质，勾股定理，点圆最值，其本质还是点圆最值，熟练掌握以上内容并理解新定义下的本质是解题关键． 53．在平面直角坐标系中，对于点和半径为1的给出如下定义：若过点的直线交于，两点，在，，三点中，其中一点恰为以另外两点为端点的线段中点时，则称点为的关联点． (1)当点与重合时． ①在点，中，的关联点是___________； ②已知点在直线上，若点为的关联点，直接写出的取值范围__________； (2)的圆心，直线与轴，轴分别交于点，，若线段上存在的关联点，则的取值范围是__________． 【答案】(1)①E   ② (2) 【分析】本题在新定义的基础上，考查了点和圆的位置关系，根据一次函数求点的坐标，解直角三角形等知识，解决问题的关键是根据新定义转化为点和圆的位置关系． （1）①点E在内，连接，过点E作的垂线，交于两点，则E是的中点，点D在圆外，点D到最小的距离为3，大于的直径2，进一步得出结果； ②设直线与x轴和y轴分别相交于点，则，点A、B到的最小距离是2，圆的直径是2，当点P在线段时，点P是的关联点，进一步得出结果； （2）先求得M和N坐标，作于A，作轴于B，当时，点A是的关联点，解直角三角形得出从而得出，进一步得出结果． 【详解】（1）解：①点E在内，连接，过点E作的垂线，交于两点A，B，则E是的中点（垂径定理），故点E是的关联点，点D不是， ②如图1， 设直线与x轴和y轴分别相交于点A，B，则，点A、B到的最小距离是2，圆的直径是2， 当点P在线段时，点P是的关联点， ； （2）如图2， ∵直线方程为， 当时，， ， 当时，， ， ， ， ， 作于A， ， ， 当时，点A是的关联点，此时， ∵线段上存在的关联点， ∴，即，且， 解得： 故答案为：． 54．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于点A和线段，给出如下定义：若将线段绕点A旋转可以得到的弦（，分别是B，C的对应点），则称线段是的以点A为中心的“关联线段”． (1)如图，点，，，，，，的横、纵坐标都是整数．在线段，，中，的以点A为中心的“关联线段”是_______； (2)等腰直角三角形的斜边长为，点A不为原点．若是的以点A为中心的“关联线段”，在坐标系中画出点A组成的图形． (3)在中，，．若是的以点为中心的“关联线段”，直接写出的最小值和最大值，以及相应的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)最小值为2，此时；最大值为3，此时 【分析】（1）以点为圆心，分别以，，，，，为半径画圆，进而观察是否与圆有交点即可； （2）当是的以点为中心的“关联线段”时，则有是等腰直角三角形，连接，由，可知，，可证四边形为正方形，得到，从而得到点组成的图形为以点为圆心，为半径的圆； （3）根据题意可知，都在上，当以为圆心，3为半径作圆，然后以点为圆心，2为半径作圆，即可得到点的运动轨迹，连接，，可知当、、共线时取得最小值，连接，作于点，设，则，利用勾股定理得到，，解之得到，再利用勾股定理得到，解之即可；同理当当、、共线时取得最大值，用同样的方法可求得此时的． 【详解】（1）解：以点为圆心，分别以，，，，，为半径画圆，如图， 观察图象可得，线段能绕点旋转得到的“关联线段”，，都不能绕点进行旋转得到． 故答案为：； （2）解：由题意可得，当是的以点为中心的“关联线段”时， 则有是等腰直角三角形，如图，连接， ， ，即， ， ，， 又， 四边形为菱形， ， 菱形为正方形， ， 点组成的图形为以点为圆心，为半径的圆， 故点组成的图形如下图即为所求， （3）解：是的以点为中心的“关联线段”， ，都在上， ，, ，， 当以为圆心，3为半径作圆，然后以点为圆心，2为半径作圆， 即可得到点的运动轨迹，如图，连接，， ， 当、、共线时取得最小值， 最小值为， 如下图，连接，作于点， 则， 设，则， ， ，即， 解得， ，， ， 当取的最小值为2时，； 同理，当、、共线时取得最大值，如图， 最大值为， 连接，作于点， 设，则， ， ，即， 解得， ，， ； 当取的最大值为3时， 综上所述，最小值为2，此时，最大值为3，此时． 【点睛】本题考查了旋转的综合，圆的基本性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质以及作出合适的辅助线构建直角三角形是解题的关键． $