精品解析：辽宁省沈阳市翔宇中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

翔宇中学2025~2026学年上学期10月月考 高一数学试卷 一、单选题 1. 下列有关命题的说法正确的是 A. “”是“”的充分不必要条件． B. “x=2时,x2－3x+2=0”的否命题为真命题． C. 命题“使得”的否定是：“ 均有”． D. 命题 “若，则”的逆否命题为真命题． 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，设，若中有且仅有3个元素，则满足条件的整数的个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 2 D. 12 5. 在一个半径为的圆内有一个长和宽分别为的圆内接矩形，则这个矩形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，，中恰好有一个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知曲线的方程，则“”是“曲线是圆”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知集合M={(x，y)|y=f(x)}，若对于任意实数对(x1，y1)∈M，都存在(x2，y2)∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合： ①M=； ②M={(x，y)|y=log2x}； ③M={(x，y)|y=ex-2}； ④M={(x，y)|y=sinx+1}. 其中是“垂直对点集”的序号是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ③④ D. ②④ 二、多选题 9. 下列命题的否定中，是全称命题且为假命题的有（ ） A. 中国所有的江河都流入太平洋 B. 有的四边形既是矩形，又是菱形 C. 存在x∈R，有x2＋x＋1＝0 D. 有的数比它的倒数小 10. 已知平面向量满足，，且对任意的实数，都有恒成立，则下列结论正确的是（ ） A. 与垂直 B. C. 的最小值为 D. 的最大值为 11. 已知正数x，y满足，则方程有解的m的取值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 三、填空题 12. 不等式的解集是____. 13. 某校高一年级组织趣味运动会，其中“毛毛虫”和“两人三足”两个比赛项目深受学生喜爱，报名踊跃.已知某班学生参加“毛毛虫”的人数是该班全体人数的四分之一；参加“两人三足”的人数比参加“毛毛虫”的人数多2人；两个项目都参加的人数比两个项目都不参加的学生人数少26人；则该班参加“两人三足”比赛的人数是__________. 14. 已知正数，满足，则的最大值是______. 四、解答题 15. 设全集，已知集合，集合， （1）求 （2）若且，求实数的取值范围. 16. 已知集合A＝{x|－2＜x≤5}，． （1）若A∪B＝A，求实数m的取值范围； （2）当x∈R时，若A∩B＝，求实数m的取值范围． 17. 设. （1）当时，解关于的不等式； （2）当时，解关于的不等式； （3）若关于的不等式在时有解，求实数的取值范围. 18. 已知函数，. （1）证明：对任意，，都有. （2）已知，设是函数的零点，证明：. 19. 已知函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧． （1）求实数m的取值范围： （2）令，求的值：（其中表示不超过t的最大整数，例如：，）. （3）对（2）中的t，求函数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 翔宇中学2025~2026学年上学期10月月考 高一数学试卷 一、单选题 1. 下列有关命题的说法正确的是 A. “”是“”的充分不必要条件． B. “x=2时,x2－3x+2=0”的否命题为真命题． C. 命题“使得”的否定是：“ 均有”． D. 命题 “若，则”的逆否命题为真命题． 【答案】D 【解析】 【详解】选项不正确，由于可得，故“”是“”的必要不充分条件；选项不正确，“时,”的逆命题为“当时，”是假命题，故其逆命题也为假；选项不正确，题“存在，使得”的否定是：“对任意，均有”；选项正确，角相等时函数值一定相等，原命题为真命题，故逆否命题为真，故选D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式然后结合交集的概念即可得解. 【详解】不等式，解得，即， . 故选：D. 3. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过解不等式，得x＜0或x＞1，从而可求出命题“”的否定. 【详解】由，得x＜0或x＞1，所以的否定是， 所以命题的否定是. 故选：B. 4. 已知函数，设，若中有且仅有3个元素，则满足条件的整数的个数为（ ） A. 9 B. 10 C. 2 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，作出函数的图象，根据题意转化为或，利用数形结合进行求解即可. 【详解】解：由题可知： 当时，， 则，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，， 则，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 作出的图象，如下图， 由于，中有且仅有3个元素， 当时，满足不等式，所以是0集合中的元素． 当时，或， 又，，， 当时，符合题意，此时整数有8个， 当时符合题意，此时整数有1个， 当时，，此时无整数， 综上满足条件的整数共有9个． 故选：A. 【点睛】本题考查分段函数的应用，结合函数的单调性和不等式的解法，考查数形结合和分类讨论思想. 5. 在一个半径为的圆内有一个长和宽分别为的圆内接矩形，则这个矩形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件有,又圆的内接矩形的面积为，由重要不等式可得答案. 【详解】圆的内接矩形长和宽分别为，则, 则，即，当且仅当时取等号. 所以矩形的面积为. 故选：B 【点睛】本题考查利用重要不等式求矩形的面积的最值问题,属于基础题. 6. 已知集合，，中恰好有一个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合或，根据中恰好有一个整数解，得到该整数解是-3或5，利用二次函数的零点分布求解. 【详解】因为集合或，， 又中恰好有一个整数解， 所以该整数解是-3或5，令 当整数解是-3时，则 ，即， 所以 ，无解； 当整数解为5时，则 ，即 ， 所以 ，解得， 故选：B 7. 已知曲线的方程，则“”是“曲线是圆”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件、必要不充分条件的定义可得答案. 【详解】，即， ∴曲线是圆，∴“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 8. 已知集合M={(x，y)|y=f(x)}，若对于任意实数对(x1，y1)∈M，都存在(x2，y2)∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合： ①M=； ②M={(x，y)|y=log2x}； ③M={(x，y)|y=ex-2}； ④M={(x，y)|y=sinx+1}. 其中是“垂直对点集”的序号是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ③④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意知曲线y=f(x)上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直，只需对题目中各个集合进行逐个检验即可. 【详解】记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x1x2+y1y2=0得OA⊥OB. 对于①，M=，假设集合M是“垂直对点集”，则存在两点（x1，），（x2，），满足•＝﹣1，化为＝﹣1，无解，因此假设不成立，即集合M不是“垂直对点集”， 对于②，当A为点(1，0)时，由对数函数图像可知不存在B∈M满足题意. 对于③M＝{（x，y）|y＝ex﹣2}，其图象过点（0，﹣1），且向右向上无限延展，向左向下无限延展，所以任取一点A，连OA，过原点作OA的垂线OB必与y＝ex﹣2的图象相交，即一定存在点B，使得OB⊥OA成立，故M＝{（x，y）|y＝ex﹣2}是“垂直对点集”． 对于④M＝{（x，y）|y＝sinx+1}，任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，因为y＝sinx+1的图象沿x轴向左向右无限延展，且与x轴相切，因此直线OB总会与y＝sinx+1的图象相交．所以M＝{（x，y）|y＝sinx+1}是“垂直对点集”，故符合；即③④满足题意， 故选：C. 【点睛】本题考查了新定义“垂直对点集”、直线垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二、多选题 9. 下列命题的否定中，是全称命题且为假命题的有（ ） A. 中国所有的江河都流入太平洋 B. 有的四边形既是矩形，又是菱形 C. 存在x∈R，有x2＋x＋1＝0 D. 有的数比它的倒数小 【答案】BD 【解析】 【分析】 为全称命题，其否定为特称命题，不选；为假命题，其否定为真命题，不选；为特称命题且为真命题，其否定为全称命题且为假命题，故选BD 【详解】“中国所有的江河都流入太平洋”为全称命题，其否定为特称命题；故不选； “有的四边形既是矩形，又是菱形”为特称命题且为真命题，其否定为全称命题且为假命题，故可以选； “存在x∈R，有x2＋x＋1＝0” 为特称命题且为假命题，其否定为全称命题且为真命题，故不选； “有的数比它的倒数小” 为特称命题且为真命题，其否定为全称命题且为假命题，故可以选； 故选：BD 【点睛】思路点睛：转化为判断命题是否为特称命题以及命题是否为真命题. 10. 已知平面向量满足，，且对任意的实数，都有恒成立，则下列结论正确的是（ ） A. 与垂直 B. C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题中条件，结合向量的运算法则，不等式，可化为，利用，可求得，故可求得的值，继而可判断出A,B；设，，用坐标表达及，结合结果的几何意义即可求得最值，继而判定C,D. 【详解】由恒成立得， 即恒成立， 因为，， 设夹角为，则恒成立， 所以， 即， 所以，则， 所以， 所以， 所以与垂直，A正确； ，B不正确； 设，， 则， 所以 ， 其几何意义是与和连线的距离之和的2倍， 当三点共线时取得最小值，最小值为，C正确； ，， 所以 其几何意义是与和连线的距离之差的2倍， 当三点共线时最得最大值，最大值为，D不正确， 故选：AC. 11. 已知正数x，y满足，则方程有解的m的取值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据换元法和均值不等式即可求解. 【详解】由对数函数定义域知且， 令， 所以， 所以可转化为， 作出函数与函数， 两个函数图像的公共交点是， 所以， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为， 方程有解的m的范围是， 故选：BCD. 三、填空题 12. 不等式的解集是____. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由绝对值的几何意义，分别表示数轴上点到点的距离，不等式的解集，就是数轴上到距离之和不小于的的集合.结合数轴知所求解集为{}. 考点：不等式选讲，绝对值不等式. 13. 某校高一年级组织趣味运动会，其中“毛毛虫”和“两人三足”两个比赛项目深受学生喜爱，报名踊跃.已知某班学生参加“毛毛虫”的人数是该班全体人数的四分之一；参加“两人三足”的人数比参加“毛毛虫”的人数多2人；两个项目都参加的人数比两个项目都不参加的学生人数少26人；则该班参加“两人三足”比赛的人数是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设该班总人数为，两个项目都参加的人数为，根据题设并利用容斥原理列方程求，即可得答案. 【详解】设该班总人数为，则参加“毛毛虫”的人数为，参加“两人三足”的人数为， 若两个项目都参加的人数为，则两个项目都不参加的学生人数为， 所以，故该班参加“两人三足”比赛的人数是. 故答案为： 14. 已知正数，满足，则的最大值是______. 【答案】6 【解析】 【分析】变形得到，求出，从而得到，得到答案. 【详解】， 两边同除以得，即， 故， 其中， 当且仅当，即时，等号成立， 故，解得， 故的最大值为6，此时. 故答案为：6 四、解答题 15. 设全集，已知集合，集合， （1）求 （2）若且，求实数的取值范围. 【答案】（1）；或. （2） 【解析】 【分析】（1）解分式与二次不等式化简集合，从而利用集合的交并补运算即可得解； （2）根据题意得到，再利用集合的包含关系，分类讨论与两种情况，得到关于的不等式组，解之即可得解. 【小问1详解】 解，得，则， 解，得，则， 所以，， 则或. 【小问2详解】 因为，所以， 而，， 当时，则，解得，满足题意； 当时，则，且，解得； 综上，，即实数的取值范围为. 16. 已知集合A＝{x|－2＜x≤5}，． （1）若A∪B＝A，求实数m的取值范围； （2）当x∈R时，若A∩B＝，求实数m的取值范围． 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】（1）由，可以得到集合A与集合B的关系，进而结合数轴求出m的取值范围，注意分类讨论； （2）由A∩B＝出发，得到集合A与B的关系，从而求出结果. 【详解】（1）因为，所以， 当B=时，即，求出，满足； 当B≠时，要使只需满足：，解得：. 综上，m的取值范围是. （2）因为A∩B＝，则由以下两种情况： 当B=时，，求出，满足A∩B＝； 当当B≠时，要使A∩B＝，只需或，解得：， 所以m的取值范围为或. 17. 设. （1）当时，解关于的不等式； （2）当时，解关于的不等式； （3）若关于的不等式在时有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） ，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）通过解一元二次不等式来求得正确答案. （2）对进行分类讨论，结合一元二次不等式的解法来求得正确答案. （3）利用分离参数法，结合函数的单调性、最值等知识来求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，由，得，解得，所以不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，由整理得，解得； 当时，由整理得， 即，解得； 当时，由整理得， 即，令，解得或， 令，解得， 当，即时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或. 综上，，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问3详解】 依题意，关于x的不等式在时有解， 即在时有解， 由于， 所以在区间上能成立， 由于在区间上单调递增，最小值为， 所以，所以的取值范围是. 18. 已知函数，. （1）证明：对任意，，都有. （2）已知，设是函数的零点，证明：. 【答案】（1）证明：因为， 所以； （2）证明：，则是R上的增函数， 是函数的零点，即，，，则， 设（）， 设，则，，， 所以，即单调递增， ，而，所以，∴， 综上，， ， 又，， ， 而，所以，即． 【解析】 【分析】（1）作差后利用基本不等式可得证； （2）由，，然后由得，然后证明函数（）是增函数，这样可得出，即有，从而得出，然后中消去参数得关于的二次函数，由二次函数性质可证结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知函数的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧． （1）求实数m的取值范围： （2）令，求的值：（其中表示不超过t的最大整数，例如：，）. （3）对（2）中的t，求函数的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，在时进行验证即可；在时，由可分二次函数有且只有一个零点且为正零点、一个正零点和一个负零点、两个正零点三种情况进行分类讨论，由此能求出实数m的取值范围． （2）求出，可得，然后分和两种情况讨论，根据定义得出的值； （3）分，，三种情况讨论，在时代入函数的解析式计算即可，在时，利用函数的单调性得出该函数的值域，在时，考查（），结合函数的单调性得出值域，由此能求出函数的取值范围． 【小问1详解】 由题意知函数， ①若，则，令，得， 此时函数只有一个正零点，符合题意； ②若，由于， （i）若函数有且只有一个零点且为正数，则，解得m＝1； （ii）若函数有一个正零点和一个负零点，则，解得； （iii）若函数有两个正零点时，则，解得， 综上所述，实数m的取值范围是． 【小问2详解】 ∵，∴， 当时，， 此时，，当时，，此时， ∴； 【小问3详解】 ∵， ①当时，； ②当时，，，此时在上单调递增，故； ③当时，设（）， 则， 此时，在上单调递增， 则， 设， 则， 当时，；当且时，，则， ∴， 设， 当时，数列单调递减，故， ∴当时，函数的值域为． 综上所述，函数的取值范围是. 【点睛】难点点睛：本题考查函数中参数的取值范围、函数值、函数的单调性、分类讨论思想等基础知识，考查运算求解能力，是难题．解答时注意变形，从而化简后，再结合数列的单调性求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $