精品解析：山东省聊城第三中学2025-2026学年高三上学期第一次质量检测数学试题

聊城三中高三年级数学质量检测一 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的函数的图象关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 4. 的内角A，B，C的对边分别为，，，若，则为（ ） A. 等腰非等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 5. “”是“函数的值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 7. 若正数，满足，则的最小值是（       ） A. B. C. 5 D. 6 8. 定义在上的偶函数的导函数为，且当.则 A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知实数x，y满足（0<a<1），则下列关系式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，则（ ） A. 的极小值点为3 B. 当时， C. 当时， D. 有3个零点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一扇形的圆心角为，弧长为7，则该扇形的面积为__________． 13. 函数是上的减函数，则的取值范围是_____________. 14. 已知函数，则不等式的解集为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）已知角α终边上一点求的值． （2）已知，求的值. 16. 已知函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数的极值. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）在锐角中，若，，，求的面积. 18. 设锐角的内角所对的边分别为，已知. （1）求证：； （2）求的取值范围； （3）若，求面积的取值范围. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若时，，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 聊城三中高三年级数学质量检测一 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式然后结合交集的概念即可得解. 【详解】不等式，解得，即， . 故选：D. 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较大小即可. 【详解】因为在R上单调递增，且， 所以； 因为在R上单调递减，且， 所以； 因为在上单调递增，且， 所以． 综上所述，， 故选：A． 3. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的函数的图象关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数图象的平移变换，可得到平移后的函数解析式，结合其图象性质，列出所满足的相应等式，即可求得答案. 【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度后， 得到的函数图象对应的解析式为， 由于的图象关于轴对称，即为偶函数， 故，即， 由于，故， 故选：D 4. 的内角A，B，C的对边分别为，，，若，则为（ ） A. 等腰非等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理化边为角，然后由诱导公式、两角和的正弦公式变形可求得，从而判断出三角形形状． 【详解】解：，所以.在中，，故， 因为，所以，因为，所以，故为直角三角形. 故选：C． 5. “”是“函数的值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】若函数的值域为，则函数与轴有交点，列出不等式求解出的范围，结合充分条件与必要条件的性质即可得解． 【详解】若函数的值域为，则函数与轴有交点， 所以，则或， “”是或的既不充分也不必要条件， 故选：D． 6. 记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解. 【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得， 又因为函数图象关于点对称，所以，且， 所以，所以，， 所以. 故选：A 7. 若正数，满足，则的最小值是（       ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C． 8. 定义在上的偶函数的导函数为，且当.则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，设g（x）=x2f（x）， 其导数g′（x）=（x2）′f（x）+x2•f（x）=2xf（x）+x2•f（x）=x[2f（x）+xf'（x）]， 又由当x＞0时，有2f（x）+xf'（x）<0成立，则数g′（x）=x[2f（x）+xf'（x）]<0， 则函数g（x）在（0，+∞）上为减函数， 若g（x）=x2f（x），且f（x）为偶函数，则g（-x）=（-x）2f（-x）=x2f（x）=g（x）， 即g（x）为偶函数，所以 即 因为为偶函数，所以,所以 故选D 点睛：本题考查函数的导数与函数单调性的关系，涉及函数的奇偶性与单调性的应用，关键是构造函数g（x）并分析g（x）的单调性与奇偶性． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知实数x，y满足（0<a<1），则下列关系式恒成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先根据题干条件，得出，再进行判断，BD选项可以通过举出反例进行证明，AC选项可以通过函数的单调性进行证明. 【详解】因为，所以是单调递减函数，因为，所以，而是定义在R上单调递增函数，故，A正确；当，时，满足，此时，故B错误；因为，所以，所以，C正确；当，时，，，所以，D错误. 故选：AC 10. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式及重要不等式，结合指数的运算、对数的运算和对数函数的性质即可求解. 【详解】对于A：因为，，， 所以，当且仅当，即时，等号成立，故A正确； 对于B：因为，，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，故B错误； 对于C：因为，，，所以， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D：因为，，，所以，即， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：ACD 11. 设函数，则（ ） A. 的极小值点为3 B. 当时， C. 当时， D. 有3个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数求导可得，从而求出其单调区间及极值，然后逐项分析即可对ABC判断求解，利用零点存在定理可对D判断. 【详解】A、B、C:由， 可得在和上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极小值点，选项A正确； 当时，又， 所以，而在上单调递增，所以，选项B错误； 当时，，而在上单调递减， 所以，所以，选项C正确； D：由的单调性可知，的极大值点是1，极小值点是3， 而，，，，， 所以有2个零点，选项D错误. 故选：AC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一扇形的圆心角为，弧长为7，则该扇形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的弧长和面积公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为， 则，所以 所以该扇形的面积为. 故答案为：. 13. 函数是上的减函数，则的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数单调性先分段分析，再在定义域上分析，建立关于的不等式组求解可得. 【详解】是上的减函数， ，解得， 故的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性分析可得为奇函数，求出函数的导数分析可得函数在上为增函数，据此分析可得，解可得的取值范围，即可得答案． 【详解】解：根据题意，函数， 则，即函数为奇函数， 又由，则函数在上为增函数， 则， 即， 解可得：，即不等式的解集为； 故答案为：． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析的单调性，属于中档题． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）已知角α终边上一点求的值． （2）已知，求的值. 【答案】（1）－；（2）. 【解析】 【分析】（1）由三角函数定义、诱导公式即可求解； （2）由平方关系、商数关系即可求解. 【详解】（1）因为角α终边上一点， 所以，所以. （2）因为＝ ＝，解得. 16. 已知函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数的极值. 【答案】（1） （2）的极大值为;的极小值为. 【解析】 【分析】(1)根据导数的几何意义即可求解;(2)根据导数与极值的关系即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 所以， 而， 所以函数f（x）在处的切线方程为：， 即， 【小问2详解】 因为， 所以， 所以， 令， 解得或， 又因为， 所以或， ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 函数的极大值为; 函数的极小值为. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）在锐角中，若，，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期； （2）由已知条件结合角的取值范围可求得角的值，利用余弦定理可求得边的长，再利用三角形的面积公式可求得结果. 【小问1详解】 解：因为 . 所以，函数的最小正周期为. 【小问2详解】 解：因为，所以，， 因为，则，，可得， 由余弦定理可得， 即，因为，解得， 此时，为最长边，角为最大角，此时，则角为锐角， 所以，. 18. 设锐角的内角所对的边分别为，已知. （1）求证：； （2）求的取值范围； （3）若，求面积的取值范围. 【答案】（1） 因为， 由正弦定理得，所以， 又因为为锐角三角形，可得， 所以，可得，即. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和两角差的正弦公式，化简得到，结合为锐角三角形，得到，即可求解； （2）由（1）求得，得到，结合正弦定理，即可求解； （3）由正弦定理和面积公式，化简得到，结合函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：因为，且为锐角三角形，且， 可得，所以 又因为，即，可得，所以， 则，即的取值范围是. 【小问3详解】 解：由正弦定理得， 所以 ， 又由，可得， 设在为单调递减函数，可得， 所以，故的取值范围是. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若时，，求实数的取值范围． 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2） 【解析】 【分析】（1）求导后分、与进行讨论即可得； （2）记，由题意可得时恒成立，计算可得，再求导后结合（1）中所得单调性分及进行讨论并计算即可得. 【小问1详解】 ， 当时，，在上单调递减； 当时，令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 记，由题知时恒成立， 则，则， ，由（1）知：当时， 在上单调递减，在上单调递增； 若，则，故在上单调递增，所以恒成立； 若，则，故， 令，则， 则当时，，故在上单调递增， 则在上恒成立，即， 则，则， 故不能恒成立，故舍去； 综上可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $