精品解析：重庆市第八中学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的倒数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是， 故选：A． 2. 反比例函数的图象经过（ ） A. 第一、三象限 B. 第一、二象限 C. 第二、四象限 D. 第二、三象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质即可判断，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴反比例函数 的图象经过第一、三象限， 故选：A． 3. 如图，直线，等腰直角三角形的直角顶点在直线上，点在直线上，，则的度数为（ ） A. B. 20° C. D. 40° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，平行公理推论等知识，过点作，则，得到，，由等腰直角三角形的性质得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，则， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则sinB的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求出三角函数值即可. 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5， ∴sinB＝=． 故选D． 【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键. 5. 对于二次函数，以下说法正确的是（ ） A. 其图像的开口向下 B. 其图像的对称轴为直线 C. 其顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据，得出图像的开口向上，图像的对称轴为直线，顶点坐标为，当时，随的增大而增大，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴其图像的开口向上，故A选项不符合题意； ∵， ∴其图像的对称轴为直线，故B选项符合题意； ∵， ∴其顶点坐标为，故C选项不符合题意； ∵的图像的开口向上，其图像的对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故D选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，小巴用同样大小的黑色棋子摆放“中”字，其中第①个图形中有10颗棋子，第②个图形中有14颗棋子，第③个图形中有18颗棋子，…，按此规律，则第⑦个图形中，棋子的个数为（　　） A. 30 B. 32 C. 34 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察图形可得前4个图形中棋子个数的规律，进而求解即可． 【详解】解：第①个图有个棋子， 第②个图有个棋子， 第③个图有个棋子， 第④个图有个棋子， ……， ∴第⑦个图形中棋子的个数为个棋子． 故选：C． 7. 如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）的场地，被3条宽度相同的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．利用平移思想，整体处理求解即可． 【详解】解：∵长方形场地的长为60米，宽为40米， ∴被分成六块的活动场所可合成长为米，宽为米的长方形． 根据题意得：． 故选：B． 8. 在正方形中，点为中点，点在对角线上，且，连接，过点作交于，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，如图，延长交于，过作于，设，，证明，，进一步利用相似三角形的性质与勾股定理建立方程求解即可. 【详解】解：如图，延长交于，过作于，设，， ∵四边形是正方形， ∴四边形是矩形，，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴. 故选：D． 9. 已知整式，其中为正整数，且，且，下列说法正确的个数是（ ） 若，则多项式可以为二次三项式；若，满足条件的所有整式的和为；若，满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有4个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式加减的应用，多项式，一元二次方程的根的判别式． 逐一分析各说法，结合因数分解和判别式进行验证即可． 【详解】解：当时，寻找且的正整数解， 可能的分解为或，均不满足严格递增条件， 故不存在二次三项式， ∴错误； 当时，所有可能的整式包括： 一次多项式：，， 二次三项式：， 求和后常数项为， 一次项为，二次项为，总和为， ∴正确； 当时，满足的二次三项式有： ，，，， 计算各多项式判别式均小于0，故所有多项式恒非负， ∴正确． 综上，正确的个数为2． 故选：C． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 10. 已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b=___． 【答案】9 【解析】 【详解】解∵16<17<25， ∴ ∴a=4，b=5． ∴a+b=9， 故答案为：9． 11. 如图，将三角形沿平行于的直线折叠，折痕为，点落在点处，若，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，由折叠的性质得到，再根据，，求出，最后根据平行线的性质得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12. 已知二次函数与轴的其中一个交点坐标为，该函数的对称轴为直线，则它与轴的另一个交点坐标为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线的对称性，根据抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称可得答案. 【详解】解：∵二次函数与轴的其中一个交点坐标为，该函数的对称轴为直线， ∴设另一个交点的横坐标为，则根据对称性有，解得，即它与轴的另一个交点坐标为， 故答案为：． 13. 已知是斜边的中线，若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，解直角三角形．根据直角三角形斜边中线的性质，求得，推出，由，求得，据此求解即可． 【详解】解：∵是斜边的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，四边形是菱形，是边延长线上一点，，连接，若，则长为_____；平分交于点，则的面积为_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，连接，交于点，过点作于点，根据勾股定理求出，得到，根据菱形的面积公式求出，再根据勾股定理求出，即可求出，延长交的延长线于点，过点作于点， 作于点， 证明四边形是矩形，得到，证明，得到，设，则，求出，得到，即可求出的面积，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，交于点，过点作于点，如图： ∵四边形是菱形， ∴，，，， 在中，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 延长交的延长线于点，过点作于点， 作于点，如图： ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴共线， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：，． 15. 若一个四位自然数满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，的千位数字比百位数字大2，个位数字比十位数字大3，则称为“跳跃数”，最小的“跳跃数”为_____，将的千位数字和十位数字交换，百位数字和个位数字交换后得到的新数记为，规定：，若为整数，是整数，则满足条件的自然数为_____． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题考查的是数的整除，整式加减运算的应用，二元一次方程组的解法，根据新定义的含义可得最小的“跳跃数”的千位为，再进一步可得最小的“跳跃数”，分别求解，，可得，求解，结合整除的性质建立方程组解题即可． 【详解】解：∵一个四位自然数满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，的千位数字比百位数字大2，个位数字比十位数字大3，则称为“跳跃数”， ∴，， 则当时，M最小， ∴最小的“跳跃数”为， ∵将的千位数字和十位数字交换，百位数字和个位数字交换后得到的新数记为， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴ ， ∵为整数， ∴是的倍数， ∵为至的正整数且互不相同， 而， ∴或或或， ∵是整数， ∴是整数， ∴是的倍数， 而， ∴或， 当，解得：， ∴，， ∴， 当，没有正整数解舍去， 当，没有正整数解舍去， 当，没有正整数解舍去， 当，没有正整数解舍去， 当，解得：， ∴，，不符合题意舍去， 当，没有正整数解舍去， 当，没有正整数解舍去， 综上：为． 故答案为：；． 三、解答题：（本大题共2小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 16. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及其整数解，根据解不等式组的方法求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：． 17. 在学习菱形的过程中，小兰发现：在菱形中，是边上的中点，与对角线相交于点，如果，则一定有．为此小兰进行了证明探究，请你根据她的思路，完成以下作图和填空： 第一步：利用尺规作图，过点作的垂线，垂足为（不写作法，保留作图痕迹）； 第二步：利用三角形的全等证明她的猜想． 证明：四边形是菱形 ， ① ， ② ， 是中点， ， ③ ， 在和中， ， ， ， 【答案】 菱形的性质，，，． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，过点作的垂线，垂足为，由菱形的性质得到，由等腰三角形的性质得到，进一步得到，证明，得到，即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】证明：过点作的垂线，垂足为， 四边形是菱形， ，（菱形的性质） ， ， 是中点， ， ， 在和中， ， ， ， ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 18. 重庆市文旅局邀请广大游客朋友对“新韵重庆”无人机灯光秀表演打分（分数为百分制且为整数）并从男、女游客中各随机抽取25名游客的分数，并将数据进行整理、描述和分析（分数均不低于60分，用表示，共分4组：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息： 25名男游客打分在C组的数据：80，81，82，83，85，87，88； 25名女游客打分：60，61，63，65，67，69，72，74，75，78，80，82，94，94，94，94，94，95，96，97，98，99，100，100，100； 抽取男、女游客的分数统计表 游客性别 男游客 女游客 平均数 83 83 中位数 94 众数 78 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，_____； （2）根据以上数据，你认为男、女游客谁更喜欢“新韵重庆”无人机灯光秀表演？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）此次打分的男游客有1075人，女游客750人，请估计男、女游客中打分不低于90分的游客人数一共是多少人？ 【答案】（1） （2）女游客，女游客打分的中位数和众数大于男游客打分的众数； （3）男、女游客中打分不低于90分的游客人数一共是人． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，统计表，用样本估计总体等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据中位数定义可求出，根据众数的定义可求出，用总体“1”减去组所占的比例可求出； （2）根据中位数和众数可得出答案； （3）用总人数乘以打分不低于90分的游客人数所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：25名男游客打分中从小到大排列，中位数是第个数，打分在组的数据共有（个）， ∴结合组数据可得：中位数， 25名女游客打分中，出现次数最多的是，共次， ∴， 25名男游客打分在C组的数据有个， ∴打分在C组所占的比例为：， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：我认为女游客更喜欢“新韵重庆”无人机灯光秀表演， 理由：男女游客打分中，平均数相同，但女游客打分的中位数和众数大于男游客打分的众数； 【小问3详解】 解：（人） ∴男、女游客中打分不低于90分的游客人数一共是人． 19. 先化简，再求值：．其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂等知识，根据分式的运算法则先化简分式，根据零指数幂，负整数指数幂求出，再代入进行计算即可，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 由， ∴原式． 20. 中秋佳节是中国的传统节日，吃月饼象征着团圆和幸福，寄托着人们对美好生活的祝愿．某公司为了迎接中秋节，特别推出了、两款月饼．已知生产5盒款月饼和生产6盒款月饼的成本相同，生产3盒款月饼的成本比生产2盒款月饼的成本多160元． （1）求每盒款和款月饼的成本； （2）该公司线上销售月饼，每盒款月饼的售价比每盒款月饼的售价少，中秋节当天两款月饼销售额都为54000元，款月饼比款月饼多售出100盒．求每盒款月饼的售价． 【答案】（1）每盒A款月饼的成本为120元，每盒B款月饼的成本为100元； （2）每盒B款月饼的售价为135元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设每盒A款月饼的成本为x元，每盒B款月饼的成本为y元，根据题意列出方程组，求解即可； （2）设每盒B款月饼的售价为m元，则每盒A款月饼的售价为元，根据题意列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：设每盒A款月饼的成本为x元，每盒B款月饼的成本为y元， 根据题意，得：， 解得：， 答：每盒A款月饼的成本为120元，每盒B款月饼的成本为100元； 【小问2详解】 解：设每盒B款月饼的售价为m元，则每盒A款月饼的售价为：元， 根据题意，得：， 解得： 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：每盒B款月饼的售价为135元． 21. 如图，点为菱形对角线，的交点，，，点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿着线段运动，用（单位：秒）表示点的运动时间，其中，过点作垂直于直线于，作垂直于直线于．点之间的距离为的和与之比为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2）函数图象如下所示；在内，随着的增大而减小；在内，随着的增大而减小； （3） 【解析】 【分析】（1）先根据菱形的性质得，，，结合点P的运动速度，分析得，再结合过点作垂直于直线于，作垂直于直线于．所以，即，进行分析，即可作答． （2）根据，，进行描点作图，再分析函数图象，即可作答． （3）运用数形结合思想得当时，则的取值范围为，即可作答． 【小问1详解】 解：点为菱形对角线，的交点，，， ∴，， ∴， 则 ∵点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿着线段运动，用（单位：秒）表示点的运动时间， ∴当点P在上运动时，则，即， ∴， ∴当点P在上运动时，则，即， ∴， 则， 即； 连接， ∵过点作垂直于直线于，作垂直于直线于． ∴， 则， ∵， 即， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∴在内，随着的增大而减小； 在内，随着的增大而减小； 【小问3详解】 解：结合（2）的函数图象，当时，则的取值范围为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，反比例函数图象与一次函数的图象的交点问题，反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22. 为提升全民体重管理意识和技能，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点出发，目的地在点的东北方向处点，点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，点在点的东南方向，且在点的南偏西方向．（参考数据：） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 【答案】（1）； （2）甲先到达点 ． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）先证明为等腰直角三角形，根据解直角三角形求出，，即可求解； （2）通过解直角三角形求出长，再分别求出甲，乙到达点的时间，比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：过点作，交的延长线于点，如图： 由题意可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图： 在中，， ∴， ∴， ∴甲到达所用的时间为：， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴乙到达所用的时间为：， ∵， ∴甲先到达点． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过作于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接．当线段长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．（写出必要的求解过程） 【答案】（1） （2）， （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据以及抛物线的对称轴是直线，再建立方程组求解即可． （2）如图，连接，过作轴交于，当最大时，最大，求解直线为：，设，则，可得当时，的面积最大，此时最大，，求解，如图，过作的平行线，过作，两平行线交于点，可得当三点共线时，，此时最小，最小，再进一步求解即可． （3）求解新抛物线为，结合，如图，在轴上取，作直线交新抛物线于，作关于的对称点，连接并延长交新抛物线于，则，垂足为，交轴于，此时，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得：， ∴抛物线为：． 【小问2详解】 解：如图，连接，过作轴交于， ∵， ∴当最大时，最大， ∵当时，， ∴，而， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， 设，则， ∴， ∴， 当时，的面积最大，此时最大， ∴， ∵当时，， 解得：或， ∴， 如图，过作的平行线，过作，两平行线交于点， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 当三点共线时，，此时最小， ∴最小， ∴， ∴的最小值为：． 【小问3详解】 解：∵，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴抛物线向上平移3个单位，再向右平移1个单位为： ，即， ∵， ∴， 如图，在轴上取，作直线交新抛物线于， ∴， ∴， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：或， ∴， 作关于的对称点，连接并延长交新抛物线于，则，垂足为，交轴于， 此时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：， ∴， 由对称可得：为的中点， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴， 综上：或． 【点睛】本题是二次函数的综合，主要考查待定系数法，线段最值问题，轴对称的最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 24. 在中，，点是边上一点，是直线上一点，连接． （1）如图1，连接，线段上有一点，使得，连接交于点，若，，求的度数； （2）如图2，若此时点恰为中点，连接，点在上，连接交于点，连接，过作，交延长线于点，若，求证：； （3）如图3，若，，点是线段上一动点，是中点，将沿翻折得，点是的中点，连接．当取得最小值时，求的面积． 【答案】（1） （2） 证明：如图，在上取一点使得，连接， ∵，， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得到，，通过证明得到，设，利用角的和差表示出和的度数，再利用三角形内角和定理即可求出的度数； （2）在上取一点使得，连接，则是等边三角形，得出，，通过证明得到，，进而推出，利用含30度直角三角形的性质和勾股定理得到，利用线段的和差关系以及等量代换推出，再通过证明得到，即可证明； （3）取的中点，连接，通过证明得到，得到，则当三点共线时，取得最小值，此时作于点，于点，利用正切的定义得到，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，进而求出的长，通过证明四边形是矩形，得到的长，最后利用三角形面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 设， ∴，， ∵， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，取的中点，连接， ∵是中点，， ∴， ∵将沿翻折得， ∴， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值； 当取得最小值时，作于点，于点， 则， ∵，即， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定、解直角三角形、勾股定理、全等三角形的性质与判定、矩形的性质与判定、一元二次方程的应用，熟练掌握相关知识点，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象经过（ ） A. 第一、三象限 B. 第一、二象限 C. 第二、四象限 D. 第二、三象限 3. 如图，直线，等腰直角三角形的直角顶点在直线上，点在直线上，，则的度数为（ ） A. B. 20° C. D. 40° 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则sinB的值为（　　） A. B. C. D. 5. 对于二次函数，以下说法正确的是（ ） A. 其图像的开口向下 B. 其图像的对称轴为直线 C. 其顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 6. 如图，小巴用同样大小的黑色棋子摆放“中”字，其中第①个图形中有10颗棋子，第②个图形中有14颗棋子，第③个图形中有18颗棋子，…，按此规律，则第⑦个图形中，棋子的个数为（　　） A. 30 B. 32 C. 34 D. 36 7. 如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）的场地，被3条宽度相同的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在正方形中，点为中点，点在对角线上，且，连接，过点作交于，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 9. 已知整式，其中为正整数，且，且，下列说法正确的个数是（ ） 若，则多项式可以为二次三项式；若，满足条件的所有整式的和为；若，满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有4个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 10. 已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则a+b=___． 11. 如图，将三角形沿平行于的直线折叠，折痕为，点落在点处，若，则的度数为_____． 12. 已知二次函数与轴的其中一个交点坐标为，该函数的对称轴为直线，则它与轴的另一个交点坐标为_____． 13. 已知是斜边的中线，若，则_____． 14. 如图，四边形是菱形，是边延长线上一点，，连接，若，则长为_____；平分交于点，则的面积为_____． 15. 若一个四位自然数满足各个数位上的数字互不相同且均不为0，的千位数字比百位数字大2，个位数字比十位数字大3，则称为“跳跃数”，最小的“跳跃数”为_____，将的千位数字和十位数字交换，百位数字和个位数字交换后得到的新数记为，规定：，若为整数，是整数，则满足条件的自然数为_____． 三、解答题：（本大题共2小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 16. 求不等式组：的所有整数解． 17. 在学习菱形的过程中，小兰发现：在菱形中，是边上的中点，与对角线相交于点，如果，则一定有．为此小兰进行了证明探究，请你根据她的思路，完成以下作图和填空： 第一步：利用尺规作图，过点作的垂线，垂足为（不写作法，保留作图痕迹）； 第二步：利用三角形的全等证明她的猜想． 证明：四边形是菱形 ， ① ， ② ， 是中点， ， ③ ， 在和中， ， ， ， 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 18. 重庆市文旅局邀请广大游客朋友对“新韵重庆”无人机灯光秀表演打分（分数为百分制且为整数）并从男、女游客中各随机抽取25名游客的分数，并将数据进行整理、描述和分析（分数均不低于60分，用表示，共分4组：A．；B．；C．；D．），下面给出部分信息： 25名男游客打分在C组的数据：80，81，82，83，85，87，88； 25名女游客打分：60，61，63，65，67，69，72，74，75，78，80，82，94，94，94，94，94，95，96，97，98，99，100，100，100； 抽取男、女游客的分数统计表 游客性别 男游客 女游客 平均数 83 83 中位数 94 众数 78 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中_____，_____，_____； （2）根据以上数据，你认为男、女游客谁更喜欢“新韵重庆”无人机灯光秀表演？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）此次打分的男游客有1075人，女游客750人，请估计男、女游客中打分不低于90分的游客人数一共是多少人？ 19. 先化简，再求值：．其中． 20. 中秋佳节是中国的传统节日，吃月饼象征着团圆和幸福，寄托着人们对美好生活的祝愿．某公司为了迎接中秋节，特别推出了、两款月饼．已知生产5盒款月饼和生产6盒款月饼的成本相同，生产3盒款月饼的成本比生产2盒款月饼的成本多160元． （1）求每盒款和款月饼的成本； （2）该公司线上销售月饼，每盒款月饼的售价比每盒款月饼的售价少，中秋节当天两款月饼销售额都为54000元，款月饼比款月饼多售出100盒．求每盒款月饼的售价． 21. 如图，点为菱形对角线，的交点，，，点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿着线段运动，用（单位：秒）表示点的运动时间，其中，过点作垂直于直线于，作垂直于直线于．点之间的距离为的和与之比为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过）． 22. 为提升全民体重管理意识和技能，国家卫健委联合16个部门制定了《“体重管理年”活动实施方案》．甲乙两人积极响应号召，相约在公园跑步锻炼．如图，他们从点出发，目的地在点的东北方向处点，点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，点在点的东南方向，且在点的南偏西方向．（参考数据：） （1）求的长度（结果保留根号）； （2）甲乙两人同时从点出发跑步前往点，甲选择路线，乙选择路线，已知甲的速度为每分钟，乙的速度为每分钟，请通过计算说明甲和乙谁先到达点． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一动点，过作于点，点，为抛物线对称轴上的动点（点在点的下方），且，连接．当线段长度取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．（写出必要的求解过程） 24. 在中，，点是边上一点，是直线上一点，连接． （1）如图1，连接，线段上有一点，使得，连接交于点，若，，求的度数； （2）如图2，若此时点恰为中点，连接，点在上，连接交于点，连接，过作，交延长线于点，若，求证：； （3）如图3，若，，点是线段上一动点，是中点，将沿翻折得，点是的中点，连接．当取得最小值时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $