精品解析：江苏省连云港市灌南县惠泽高级中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

灌南县惠泽高级中学2025～2026学年第一学期第一次月考 高一数学试题 注意事项： 1.考试时间120分钟，试卷总分150分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3．请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合真子集的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据真子集的定义，列举出集合所有的真子集，即得答案. 【详解】的真子集具体包括： ，，，，，，，共个. 故选：B 2. 设全集，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合. 【详解】因为全集，，故. 故选：B. 3. 设是函数的两个零点，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到是函数的根，再利用韦达定理求解即可. 【详解】因为是函数的根， 由题意，，， 故选：D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得或，则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 不等式的解集是，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得和3是方程的两根，由根与系数的关系可求解. 【详解】因为不等式的解集是， 所以和3是方程的两根且， 所以，解得，所以. 故选：C. 6. 若命题是假命题，则实数m的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】写出命题的否定，结合即可. 【详解】命题的否定是， 因命题为假命题，则命题的否定为真命题，则，得， 故实数m的取值范围是. 故选：A 7. 已知，，若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用1的代换，基本不等式求解. 【详解】, 当且仅当时，最小值为. 故选：D. 8. 若不等式对任意，恒成立，则实数取值范围中整数值的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，然后再解一元二次不等式即可. 【详解】不等式右边可化为：， 由于 ，由基本不等式得： ， 当且仅当时取“=”， 所以， 不等式对任意，恒成立， 等价于， 得：， 解不等式得：， 不等式的整数解包括：，共5个. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ）． A. 命题“，”是真命题 B. 命题“若，则”是真命题 C. “”是“”的必要且不充分条件 D. 设，则“且”的充分且不必要条件是“” 【答案】BC 【解析】 【分析】根据不等式判断选项A错B对，根据前后推导关系判断命题充分必要性，从而判断选项C对D错； 【详解】对于A，因为所以命题“，”是假命题，错误； 对于B，若，则，所以命题“若，则”是真命题，正确; 对于C，不能判断出，可以判断出，所以“”是“”的必要不充分条件，正确; 对于D，不能得到且，但且可以得到，则“且”的必要不充分条件是“”，错误； 故选：BC. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 的最小值为2 D. 的最小值为2 【答案】AB 【解析】 【分析】利用基本不等式，注意等号成立条件判断A、B、D，根据不等式性质判断C. 【详解】当时，， 当且仅当时，即时等号成立，故A正确； 当时，， 当且仅当时，即时等号成立，故B正确； 当时，显然不成立，故C错误； 因为， 当且仅当时等号成立，此时无解，故取不到等号，故D错误． 故选：AB 11. 关于的不等式的解集为，下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 的最大值为 D. 关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系，即可得，进而可判断ABC，根据二次函数零点分布即可求解D. 【详解】不等式的解集为或， 故和是方程的两个根， 所以，解得，故A正确， 对于B，可变为，解得或，故B错误， 对于C，，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，C正确， 对于D，的不等式可变为， 记由于，故0是的一个整数解， 由于对称轴，要使不等式解集中仅有两个整数，则，故，故D正确， 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. “”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出不等式的解，再利用充分不必要条件的要求列不等式求解. 【详解】由，得，由，得， 因“”是“”的充分不必要条件， 则是的真子集，即，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 13. 若集合，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】由题意方程只有唯一解，求解即可. 【详解】由，得，解得， 所以. 故答案为：. 14. 已知，满足，求的最小值___________ 【答案】 【解析】 【分析】首先设，，得到，，.再利用基本不等式求解即可. 【详解】设，，则，即，. 因为，所以. 所以，. 所以. 因为， 当且仅当，即，时等号成立， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或. （1）当时，求； （2）若是的子集，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分、两种情况讨论，根据是的子集可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 因为或，所以， 故. 【小问2详解】 由（1）知，且是的子集， 当时，则，解得，满足是的子集； 当时，由题意可得，解得. 综上所述，，即的取值范围为. 16. 已知命题：函数在上有零点；命题，使得成立. （1）若和均为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和中恰有一个是真命题，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别求出当真，真时的范围，再取交集即可； （2）分 真 假与 假 真两种情况，分别求出的范围，再取并集即可. 【小问1详解】 命题  为真：函数  在  上有零点， 即判别式 或； 命题  为真：存在 ，使得 ， 设，求其在 上的最大值， ， 当  时，； 当  时，. 所以的最大值为 ，因此 .  为真： 或 ，  为真：， 因此，. 【小问2详解】 情况 1： 为真， 为假  为真： 或 ；  为假：， 因此. 情况 2： 为假， 为真  为假：；  为真：， 因此，. 综上，实数的取值范围为. 17. 已知关于的一元二次不等式的解集为． （1）求和的值； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）， （2）当时，解集为， 当时，解集为空集， 当时，解集为． 【解析】 【分析】（1）依题意和是方程的两个根，利用韦达定理得到方程组，解得即可； （2）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【小问1详解】 由题意知和是方程的两个根且， 由根与系数的关系得，解得； 【小问2详解】 由、，不等式可化为， 即，则该不等式对应方程的实数根为和． 当时，，解得，即不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为空集， 当时，，解得，即不等式的解集为， 综上：当时，解集为， 当时，解集为空集， 当时，解集为． 18. 已知一矩形纸片的周长为，如图，将沿向折叠，折过去后交于点． （1）证明：． （2）若改变的长度矩形的周长保持不变，设，的面积为. ①试用表示面积； ②是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②存在，且最大值为. 【解析】 【分析】（1）证明出，即可证得结论成立； （2）①设，，则，，，在中，利用勾股定理可得出，再由三角形的面积公式可得出关于的函数关系式，由求出函数的定义域，即可得出答案； ②利用基本不等式可求出的最大值，利用等号成立的条件求出的值，再验证成立，即可得出结论. 【小问1详解】 设折叠后点变成， 在与中，因为，，所以． 因为，，所以， 又，所以，所以． 【小问2详解】 ①由题意可知矩形的周长为． 设，，则，，． 因为为直角三角形，所以，即， 解得， 从而， 所以， 由得可得， 因此，； ②因为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 此时，，满足， 故当时，的面积取得最大值，最大值为. 19. 若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”． （1）判断是否为“集合”，说明理由； （2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合； （3）求所有满足条件的“集合”． 【答案】（1）不是，理由见解析； （2）； （3），其中. 【解析】 【分析】（1）根据集合新定义直接判断即可； （2）设，进而研究或是否存在正整数解即可； （3）讨论“集合”为双元素集或含有两个以上的元素，同（2）分析及反证法研究是否存在正整数解. 【小问1详解】 因为，所以不是“一集合”． 【小问2详解】 设． 若，则或． 由，解得（舍去），此时； 由化为，而，故方程无正整数解． 若，则或， 由，解得，此时； 由化为，而，故方程无正整数解． 综上，所有满足条件的集合为． 【小问3详解】 若“集合”为双元素集， 不妨设，则或， 由，则，而，故，此时； 由，则，而，显然不存在正整数解； 所以，“集合”为，其中． 若“集合”含有两个以上的元素， 设最小的元素为，最大的元素为，第二大的元素为， 则是“集合”中的元素， 若，解得， 若，则，矛盾， 若，该方程的解为，则n，a不可能同时为整数，无解． 故所有满足条件的“集合”为，其中． 【点睛】关键点点睛：对于第二、三问，根据集合新定义给定公式，将问题化为研究相关方程是否存在正整数解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 灌南县惠泽高级中学2025～2026学年第一学期第一次月考 高一数学试题 注意事项： 1.考试时间120分钟，试卷总分150分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3．请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合真子集的个数为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 2. 设全集，，则为（ ） A. B. C. D. 3. 设是函数的两个零点，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 不等式的解集是，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 6. 若命题是假命题，则实数m的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 7. 已知，，若，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 若不等式对任意，恒成立，则实数取值范围中整数值的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ）． A. 命题“，”是真命题 B. 命题“若，则”是真命题 C. “”是“”的必要且不充分条件 D. 设，则“且”的充分且不必要条件是“” 10. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 的最小值为2 D. 的最小值为2 11. 关于的不等式的解集为，下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 的最大值为 D. 关于的不等式解集中仅有两个整数，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. “”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____. 13. 若集合，则__________． 14. 已知，满足，求的最小值___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，或. （1）当时，求； （2）若是的子集，求的取值范围． 16. 已知命题：函数在上有零点；命题，使得成立. （1）若和均为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题和中恰有一个是真命题，求实数的取值范围. 17. 已知关于的一元二次不等式的解集为． （1）求和的值； （2）求不等式的解集． 18. 已知一矩形纸片的周长为，如图，将沿向折叠，折过去后交于点． （1）证明：． （2）若改变的长度矩形的周长保持不变，设，的面积为. ①试用表示面积； ②是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，说明理由． 19. 若至少由两个元素构成的有限集合，且对于任意的，都有，则称为“集合”． （1）判断是否为“集合”，说明理由； （2）若双元素集为“集合”，且，求所有满足条件的集合； （3）求所有满足条件的“集合”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $