第三章 代数式单元复习（全章知识点总结+12种题型举一反三）2025-2026学年人教版数学七年级上册专题复习

第1章 有理数全章复习 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 1、核心知识点梳理 1.代数式的定义与构成 用运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式，单独的一个数或字母也是代数式（如、）。 不含“”“”“”“”“”“”等关系符号。 2.代数式的书写规范 乘号：字母与字母、数与字母相乘，乘号可省略或写为“”（如写作或)；数与数相乘必须用“”。 数字位置：数与字母相乘，数字写在字母前面(如写作)。 带分数：带分数与字母相乘，化为假分数(如写作)。 除法：除法运算写成分数形式(如写作)。 单位：代数式为和/差形式且带单位时，整体加括号(如)。 3.代数式的意义与列代数式 意义：解读代数式表示的数量关系(如可表示“的3倍与2的和”)。 列代数式：抓住关键词(和、差、积、商、倍、分)，理清运算顺序(如“与差的平方”写作)。 4.反比例关系 定义：两个相关联的量，一个量变化，另一个量随之变化，且乘积一定(，为定值且)。 变化规律：一个量随另一个量的增大而减小(如路程一定时，速度与时间成反比例)。 5.代数式的值与求值方法 定义：用数值代替代数式中的字母，按运算顺序计算的结果。 求值方法：①直接代入(已知字母具体值时)；②整体代入(已知含字母的式子的值时，如已知，求)。 2、重难点突破 1.重点 代数式的书写规范与列代数式(准确反映实际数量关系)。 代数式求值(尤其是整体代入法的应用)。 反比例关系的判断与表示(模型的应用)。 2.难点 整体代入求值：通过变形待求式，将已知式子作为整体代入(如由，求，需将化为)。 规律探索：数、式、图形规律的提炼(如数列、、…，需分别找分子、分母与序数的关系)。 3、高频易错点警示 1.书写规范错误 漏改带分数(如未写作)； 数与字母相乘时数字在后(如)； 除法用“”而非分数(如未写作)。 2.整体代入失误 忽略符号或系数(如已知，求，误算为，正确为)； 未对代数式变形(如已知，求，未将化为)。 3.规律探索漏验证 仅通过前2-3项提炼规律，未用后续项验证(如数列规律需至少验证4项)。 4.程序流程图逻辑混淆 看错分支条件(如“时执行，否则执行”，误将条件颠倒)； 漏算循环步骤(如循环规律从第3次开始，误从第1次计算周期)。 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【题型1】代数式的识别 1.核心知识点总结 代数式不含“”“”“”等关系符号； 单独的数或字母(如、)也是代数式。 2.高频考点梳理 判断给出的式子是否为代数式(如区分(是)与(否))； 统计代数式的个数。 3.易错点警示 混淆代数式与等式、不等式(如误将归为代数式)； 忽略“单独的数/字母是代数式”(如漏算、)。 4.解题技巧拆解 第一步：检查式子是否含关系符号(“”“”等)，含则不是代数式； 第二步：单独的数或字母直接判定为代数式。 【例题1】．（2024-2025•普陀区校级期末）下列各式中，不是代数式的是（　　） A．x＝1 B．5 C．2a2+1 D．x﹣2y+3 【答案】A． 【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【解答】解：A．x＝1是等式，不是代数式； B．5是代数式； C．2a2+1是代数式； D．x﹣2y+3是代数式． 故选：A． 【点评】本题主要考查了代数式，解题关键是熟练掌握代数式的定义． 【变式题1-1】．（2024-2025•隆阳区期末）下列式子是代数式的是（　　） ①x+1＝7；②5t；③x+1≠0；④x﹣5≥0． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B． 【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【解答】解：式子5t，符合代数式的定义，是代数式； 式子x+1＝7是等式，不是代数式； 式子x+1≠0，x﹣5≥0是不等式，不是代数式． 故代数式有②． 故选：B． 【点评】本题主要考查了代数式，解题关键是熟练掌握代数式的定义． 【变式题1-2】．（2024-2025•澧县期末）下列各式中，是代数式的是 　①④⑤　 ．（填序号） ①2x﹣1；②a＝1；③S＝πR2；④π；⑤m；⑥． 【答案】①④⑤． 【分析】根据代数式的概念求解即可． 【解答】解：是代数式的是2x﹣1，π，m， 故答案为：①④⑤． 【点评】本题主要考查代数式，代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式． 【变式题1-3】．（2024-2025•内乡县期末）在式子n﹣3、a、1、80%t、S＝ab中，代数式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C． 【分析】根据代数式的概念，用运算符号把数字与字母连接而成的式子叫做代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式． 【解答】解：式子n﹣3，a，1，80%t，符合代数式的定义，是代数式； 式子s＝ab是等式，不是代数式． 故代数式有4个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了代数式，解题关键是熟练掌握代数式的定义． 【题型2】代数式书写规范判断 1.核心知识点总结 遵循乘号、数字位置、带分数、除法、单位的书写规则； 不符合任一条规则即书写不规范。 2.高频考点梳理 判断单个代数式的书写正误(如、是否规范)； 选出符合规范的代数式(多选或单选)。 3.易错点警示 带分数未化假分数(如认为规范)； 数与字母相乘数字在后(如认为规范)。 4.解题技巧拆解 对照书写规则逐一检查：先看乘号/除法，再看数字位置，最后看带分数和单位； 排除法：找出明显违反规则的选项，缩小范围。 【例题2】．（2024-2025•秀峰区校级期末）下列各式中，符合代数式书写规则的是（　　） A．x×5 B． C．mn2 D．m÷n 【答案】B． 【分析】根据代数式的书写要求判断各项． 【解答】解：选项A正确的书写格式是5x， 选项B正确， 选项C正确的书写格式是2mn， 选项D正确的书写格式是． 故选：B． 【点评】本题考查代数式的书写习惯，掌握代数式的书写习惯是解题的关键． 【变式题2-1】．（2024-2025•瑞金市期末）下列代数式符合书写要求的是（　　） A． B．m×3 C．m÷2n D．3mn 【答案】D 【分析】根据代数式的书写要求判断各项． 【解答】解：选项A正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项B正确的书写格式是3m，故此选项不符合题意； 选项C正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项D正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查代数式的书写习惯，掌握代数式的书写习惯是解题的关键． 【变式题2-2】．（2024-2025•湛江校级期末）下列各式中，符合代数式书写规范的是（　　） A．a÷﹣b B．2a3 C．4×m D． 【答案】B． 【分析】根据代数式的书写要求判断各项． 【解答】解：选项A正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项B正确，故此选项符合题意； 选项C正确的书写格式是4m，故此选项不符合题意； 选项D正确的书写格式是，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查代数式的书写习惯，掌握代数式的书写习惯是解题的关键． 【变式题2-3】．（2024-2025•宝山区校级期末）下列各式最符合书写规范的是（　　） A． B．3x2ym C．n÷3 D． 【答案】B 【分析】根据代数式的书写要求判断各项． 【解答】解：选项A正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项B正确，故此选项符合题意； 选项C正确的书写格式是，故此选项不符合题意； 选项D正确的书写格式是，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查代数式的书写习惯，掌握代数式的书写习惯是解题的关键． 【题型3】代数式的意义解读 1.核心知识点总结 按运算顺序解读(先运算的先描述，后运算的后描述)； 同一代数式可对应不同实际意义(如可表示“2个元物品的总价”或“边长为的正方形的周长的一半”)。 2.高频考点梳理 用文字描述代数式的意义(如：“的5倍与3的差”)； 判断代数式意义的表述是否正确(如是否表示“与差的平方”)。 3.易错点警示 混淆运算顺序(如将解读为“的平方与的平方的和”)； 忽略“平方”“立方”的表述(如将解读为“的3倍”)。 4.解题技巧拆解 先确定核心运算(如“差的平方”先算差，再算平方)； 结合实际场景验证(如用“价格、长度”等场景辅助理解)。 【例题3】．（2024-2025•复兴区期末）代数式2（a﹣2）的意义是（　　） A．a的2倍与2的差 B．a与2的差的2倍 C．2与a的差的2倍 D．2的2倍与a的差 【答案】B 【分析】根据代数式表示的形式，先说括号，再说括号外的系数，由此即可求解． 【解答】解：根据题意可知，2（a﹣2）表示的意义是a与2的差的2倍， ∴B选项符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了代数式，掌握代数式表示的方法，表示的意义是解题的关键． 【变式题3-1】．（2024-2025•襄城区期末）下列选项用文字叙述代数式的意义，表述正确的是（　　） A．x的倒数与1的和 B．1除以x的商与1的和 C．比x的倒数小1的数 D．比x的倒数大1的数 【答案】C 【分析】根据四个选项的文字描述写出相应代数式，并与题目验证即可得到答案． 【解答】解：由选项用文字叙述代数式的意义分析可得， A、由x的倒数与1的和可得代数式，与题目不符，不符合题意； B、由1除以x的商与1的和可得代数式，与题目不符，不符合题意； C、由比x的倒数小1的数可得代数式，与题目符合，符合题意； D、由x的倒数与1的和可得代数式，与题目不符，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查代数式的意义，熟记代数式的表示方法是解决问题的关键． 【变式题3-2】．（2024-2025•榆次区期末）对代数式“4a”可以赋予实际意义：如果一支铅笔的价格是a元，那么4a表示4支铅笔的总价．请你再对“4a”赋予一个实际意义：　如果每千克苹果的价格是4元，那么4a表示a千克苹果的总价（答案不唯一）　 ． 【答案】如果每千克苹果的价格是4元，那么4a表示a千克苹果的总价．（答案不唯一） 【分析】根据代数式赋予其实际意义即可． 【解答】解：如果每千克苹果的价格是4元，那么4a表示a千克苹果的总价． 故答案为：如果每千克苹果的价格是4元，那么4a表示a千克苹果的总价．（答案不唯一） 【点评】本题考查代数式，理解代数式并根据代数式赋予其实际意义是解题的关键． 【变式题3-3】．（2024-2025•惠农区期末）对代数式“3a”可以赋予实际意义：如果一天读书a页，那么3a表示3天读书的总页数．请你再对代式“3a”赋予一个实际意义：　如果1个共享充电宝每小时的租金是a元，那么3a表示租用1个共享充电宝3小时的总租费　 ． 【答案】如果1个共享充电宝每小时的租金是a元，那么3a表示租用1个共享充电宝3小时的总租费（答案不唯一，合理即可）． 【分析】为3a赋予一定的实际意义，合理即可． 【解答】解：3a＝3×a，根据此关系式分析， 可得如果1个共享充电宝每小时的租金是a元，那么3a表示租用1个共享充电宝3小时的总租费． 故答案为：如果1个共享充电宝每小时的租金是a元，那么3a表示租用1个共享充电宝3小时的总租费（答案不唯一，合理即可）． 【点评】本题考查了代数式的实际意义，根据代数式写成符合式子的实际意义即可，理解代数式的特点是解题的关键． 【题型4】列代数式 1.核心知识点总结 抓住关键词(和、差、积、商、倍、分、大、小)； 理清运算顺序(先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内)。 2.高频考点梳理 结合文字描述列代数式(如“的与的2倍的和”：)； 结合实际场景列代数式(如“购买个单价为元的笔记本的总价”：)。 3.易错点警示 漏加括号(如“与的和的2倍”误写为，正确为)； 混淆“倍”与“多/少”(如“比多3的数”误写为，正确为)。 4.解题技巧拆解 第一步：圈出关键词，确定运算类型(加、减、乘、除)； 第二步：用“先…再…”描述运算顺序，转化为代数式； 第三步：验证(代入具体值，看是否符合文字意义)。 【例题4】．（2024-2025•临澧县期末）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过20立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+2）元．该地区某家庭上月用水量为25立方米，则应缴水费（　　） A．25a元 B．（25a+10）元 C．（25a+50）元 D．（20a+10）元 【答案】B 【分析】分别求出前20方和超过20方部分的水费，再求和就能表示出总的水费了． 【解答】解：20a+（a+2）（25﹣20） ＝20a+5a+10 ＝（25a+10）（元）， 故选：B． 【点评】此题考查了列代数式解决分段消费实际问题的能力，关键是能根据题意分别表示出各段的水费． 【变式题4-1】．（2024-2025•新邵县期末）一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数可表示为（　　） A．ab B．a+b C．10a+b D．10b+a 【答案】D 【分析】两位数＝10×十位数字+个位数字． 【解答】解：这个两位数可表示为：10b+a． 故选：D． 【点评】此题考查列代数式问题，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 【变式题4-2】．（2024-2025•日照期末）如图，下列四个式子中，不能表示阴影部分面积的是（　　） A．x2+5 B．x（x+3）+6 C．3（x+2）+x2 D．（x+3）（x+2）﹣2x 【答案】A 【分析】根据图形列出各个算式，再得出答案即可． 【解答】解：阴影部分的面积S＝x2+3（2+x）＝x（x+3）+3×2＝（x+3）（x+2）﹣2x， 故选：A． 【点评】本题考查了列代数式，能根据图列出算式是解此题的关键． 【变式题4-3】．（2024-2025•松原二模）小红妈妈去市场买了a斤苹果和y斤香蕉，苹果每斤8元，香蕉每斤5元，则共花费 　（8a+5y）　 元（用含a，y的代数式表示）． 【答案】见试题解答内容 【分析】分别求出苹果和香蕉的费用，求和即可． 【解答】解：根据题意可得一共应付（8a+5y）元， 故答案为：（8a+5y）． 【点评】本题主要考查了列代数式，正确读懂题意是解题关键． 【题型5】反比例关系的判断与表示 1.核心知识点总结 反比例关系的核心：两个量的乘积一定(，)； 区分反比例与正比例(正比例：比值一定，)。 2.高频考点梳理 判断两个量是否成反比例(如“路程一定，速度与时间”成反比例)； 用代数式表示反比例关系(如已知与成反比例，且时，则)。 3.易错点警示 混淆反比例与正比例(如认为“圆的面积与半径”成反比例，实际面积与半径的平方成正比例)； 忽略“乘积一定”的条件(如“被减数一定，减数与差”，乘积不确定，不成反比例)。 4.解题技巧拆解 第一步：确定两个量是否相关联(一个量变化，另一个量是否随之变化)； 第二步：计算两个量的乘积，若乘积为定值，则成反比例；否则不成。 【例题5】．（2024-2025•汕头期末）如表所示，x和y两个量成反比例关系，则“△”处应填（　　） x 7 △ y 5 14 A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5 【答案】B 【分析】若两个量乘积一定，则它们成反比例关系，据此列式解答即可． 【解答】解：根据两个量乘积一定，则它们成反比例关系可得； 7×5＝△×14， 故△＝2.5， 故选：B． 【点评】本题考查代数式钟的反比例关系．抓住乘积相等是解题的关键． 【变式题5-1】．（2024-2025•海门区期末）下列各对相关联的量中，不成反比例关系的是（　　） A．车间计划加工800个零件，加工时间与每天加工的零件个数 B．社团共有500名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数 C．圆柱的体积为6m3，圆柱的底面积与高 D．计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额 【答案】D 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定．如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例．由此逐项判断即可． 【解答】解：A、车间计划加工800个零件，加工时间与每天加工的零件个数成反比例，故本选项不符合题意； B、社团共有500名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数成反比例，故本选项不符合题意； C、圆柱的体积为6m3，圆柱的底面积与高成反比例，故本选项不符合题意； D、计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额不成反比例，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】此题考查了反比例的定义，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断． 【变式题5-2】．（2024-2025•马边县校级开学）下列说法正确的是（　　） A．圆的周长一定，圆的直径与圆周率成反比例 B．长方形的面积一定，它的长和宽成正比例 C．圆柱的底面积一定时，圆柱的体积与其高度成反比例 D．正方体的一个面的面积与它的表面积成正比例 【答案】D 【分析】判断两种量成正比例还是成反比例时，关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定．如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例． 【解答】解：A．圆的周长（一定）＝πd，π是定值，所以圆的直径与圆周率不成比例，原说法错误，不符合题意； B．长方形的面积（一定）＝长×宽，所以它的长和宽成反比例，原说法错误，不符合题意； C．圆柱的底面积（一定）＝圆柱的体积÷其高度，所以圆柱的体积与其高度成正比例；原说法错误，不符合题意； D．它的表面积÷正方体的一个面的面积＝6，6是一个定值，所以正方体的一个面的面积与它的表面积成正比例，正确，符合题意， 故选：D． 【点评】本题主要考查正比例和成反比例，熟记定义是解题的关键． 【变式题5-3】．（2024-2025•郧阳区校级开学）如果，那么x和y成　正　 比例关系；如果那么x和y成　反　 比例关系．（x、y均大于0） 【答案】正，反． 【分析】根据比例的性质求解判断即可． 【解答】解：根据比例的性质可知： ∵， ∴，即x和y的比值一定， ∴x和y成正比例关系； ∵， ∴x和y的乘积一定， ∴x和y成反比例关系． 故答案为：正，反． 【点评】此题考查了比例的性质，正比例和反比例的定义，熟练掌握以上知识点是关键． 【题型6】直接代入求代数式的值 1.核心知识点总结 步骤：①代(用数值代替代数式中的字母，负数加括号)；②算(按运算顺序计算)；③验(检查运算过程)； 注意：字母取值需使代数式有意义(如分母不能为0)。 2.高频考点梳理 已知字母具体值(如)，求代数式的值(如)； 结合绝对值、相反数、倒数求字母值后再代入(如，是的相反数，求)。 3.易错点警示 负数代入未加括号(如时，误算为，正确为)； 运算顺序错误(如先算再平方，正确为先算再乘2)。 4.解题技巧拆解 代入时：负数、分数加括号，避免符号/指数错误； 计算时：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内； 验证：重新代入计算，核对结果。 【例题6】．（2024-2025•桓台县期末）若x＝﹣1，则5x3﹣2x＝（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣7 D．7 【答案】A 【分析】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解答】解：当x＝﹣1时，原式＝5×（﹣1）3﹣2×（﹣1）＝﹣3． 故选：A． 【点评】本题考查代数式求值，把代数式中的字母用具体的数代替，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 【变式题6-1】．（2024-2025•海南模拟）当x＝﹣2时，代数式3x﹣2的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．8 D．﹣8 【答案】D． 【分析】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解答】解：当x＝﹣2时，原式＝3×（﹣2）﹣2＝﹣8． 故选：D． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 【变式题6-2】．（2024-2025•东坡区期末）已知x＝7时，代数式ax3+bx+2的值为14，则x＝﹣7时，代数式ax3+bx﹣5的值为（　　） A．﹣17 B．﹣15 C．12 D．7 【答案】A 【分析】将x＝7代入ax3+bx+2，得到a与b的关系式，再将x＝﹣7代入ax3+bx﹣5并利用a与b的关系式求值即可． 【解答】解：当x＝7时，73a+7b+2＝14， 解得73a+7b＝12， 则当x＝﹣7时， ax3+bx﹣5 ＝﹣（73a+7b）﹣5 ＝﹣12﹣5 ＝﹣17． 故选：A． 【点评】本题考查代数式求值，掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键． 【变式题6-3】．（2024-2025•大洼区校级期末）如图是某种杆秤，在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点，当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动列点C，秤杆处于平衡，当秤盘中放入x克物品后移动秤砣．秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡，测得x与y的几组对应数据如表，由表中数据的规律可知，当x＝24克时，y的长度是（　　） x/克 0 2 4 6 10 y/毫米 10 14 18 22 30 A．50毫米 B．52毫米 C．58毫米 D．60毫米 【答案】C 【分析】先观察表格中数据的变化规律，找到x与y之间的数量关系，再将x＝24代入求出y的值． 【解答】解：当x＝0时，y＝10； 当x＝2时，y＝14， 当x＝4时，y＝18， 当x＝6时，y＝22， 当x＝8时，y＝26， ∴y＝10+2x， ∴x＝24时，y＝10+2×24＝10+48＝58． 故选：C． 【点评】本题主要考查了通过数据找规律，熟练掌握观察数据变化趋势并总结规律是解题的关键． 【题型7】整体代入求代数式的值(提升) 1.核心知识点总结 适用场景：已知含字母的式子的值(如)，求与之相关的代数式的值(如)； 关键：将待求式变形为含已知式子的形式(如)。 2.高频考点梳理 单次整体代入(如已知，求)； 多次整体代入(如已知，求)。 3.易错点警示 漏乘系数(如已知，求，误将算为，正确为)； 符号错误(如已知，求，误算为，正确为)。 4.解题技巧拆解 第一步：观察待求式与已知式子的系数关系(如系数成倍数)； 第二步：对於求式进行因式分解或合并同类项，构造已知式子； 第三步：代入已知式子的值，计算结果。 【例题7】．（2024-2025•费县期末）已知整式x2﹣2x的值为3，则2x2﹣4x+6的值为（　　） A．7 B．9 C．12 D．18 【答案】C 【分析】先把代数式进行适当的变形，然后直接把已知整式的值代入代数式即可求出代数式的值． 【解答】解：2x2﹣4x+6＝2（x2﹣2x）+6， 将x2﹣2x＝3代入上面的代数式得， 2x2﹣4x+6， ＝2×3+6， ＝12， 故选：C． 【点评】本题主要考查了代数式的求值方法，通车分为三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简． 【变式题7-1】．（2024-2025•临邑县期末）已知x＝2y+3，则代数式4x﹣8y+9的值是（　　） A．19 B．﹣20 C．21 D．﹣23 【答案】C 【分析】直接将已知变形进而代入原式求出答案． 【解答】解：∵x＝2y+3， ∴x﹣2y＝3， 则代数式4x﹣8y+9＝4（x﹣2y）+9 ＝4×3+9 ＝21． 故选：C． 【点评】此题主要考查了整式的加减以及代数式求值，正确将原式变形是解题关键． 【变式题7-2】．（2024-2025•德阳期末）如果m﹣2n的值为6，那么4+2m﹣4n的值为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C． 【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【解答】解：∵4+2m﹣4n＝2m﹣4n+4， ∴当m﹣2n＝6时，原式＝2m﹣4n+4＝2（m﹣2n）+4＝2×6+4＝16． 故选：C． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 【变式题7-3】．（2024-2025•郯城县期末）若a2﹣b＝﹣3，则代数式6+2a2﹣2b的值为　0　 ． 【答案】0． 【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【解答】解：当a2﹣b＝﹣3时，原式＝2（a2﹣b）+6＝2×（﹣3）+6＝0． 故答案为：0． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 【题型8】程序流程图中代数式求值(提升) 1.核心知识点总结 程序流程图：按条件分支执行运算，常涉及“循环规律”(如从第次开始循环)； 关键：明确每一步的运算规则(如“为偶数时执行，奇数时执行”)。 2.高频考点梳理 单次求值：输入具体值，按流程输出结果(如输入，按流程计算)； 循环求值：输入值后，输出结果循环出现，求第次输出结果(如第2024次输出)。 3.易错点警示 看错分支条件(如“执行，否则执行”，误将归为“”分支)； 漏算循环周期(如循环从第3次开始，周期为2，误从第1次计算周期)。 4.解题技巧拆解 第一步：梳理流程图逻辑，用文字描述每一步规则(如“输入→判断是否为1→是则输出，否则输出”)； 第二步：计算前5-6次输出结果，寻找循环规律(如第3次开始，结果为)； 第三步：计算与循环周期的关系(如，周期为2，，，无余数则为周期最后一个数)。 【例题8】．（2024-2025•淄博期末）如图所示是计算机程序流程图，若开始输入x＝1，则最后输出的结果是（　　） A．11 B．﹣11 C．13 D．﹣13 【答案】C 【分析】利用程序图进行运算即可解答． 【解答】解：当x＝1时，﹣4x﹣（﹣1）＝﹣4×1+1＝﹣3＜10， ∴当x＝﹣3时，﹣4x﹣（﹣1）＝﹣4×（﹣3）+1＝13＞10，符合要求， ∴最后输出的结果是：13． 故选：C． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算、求代数式的值等知识点，理解程序的要求是解题的关键． 【变式题8-1】．（2024-2025•日照期末）根据如图所示的计算程序，若输出的值为y＝﹣1，则输入的值x为（　　） A．﹣5或1 B．﹣5或﹣1 C．1或﹣1 D．﹣5或1或﹣1 【答案】A 【分析】利用分类讨论的思想方法，根据程序图列出关于x的方程，解方程并依据题意解答即可． 【解答】解：当x为正数时， |x|﹣2＝﹣1， ∴|x|＝1， ∴x＝±1， ∵x为正数， ∴x＝1． 当x为负数时， x+4＝﹣1， ∴x＝﹣5． 综上，输入的值x为1或﹣5． 故选：A． 【点评】本题主要考查了求代数式的值，有理数的混合运算，一元一次方程的解法，利用分类讨论的思想方法，根据程序图列出关于x的方程是解题的关键． 【变式题8-2】．（2024-2025•峄城区期末）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是（　　） A．﹣2 B．﹣9 C．﹣7 D．﹣27 【答案】C 【分析】根据程序运算图列出运算式子，再计算即可得． 【解答】解：∵输入，4x+1，﹣2＝﹣2，不小于﹣2， ∴将x＝﹣2再次输入：4x+1＝4×（﹣2）+1＝﹣7， 所以最后输出的结果是﹣7， 故选：C． 【点评】本题考查了程序运算图，读懂程序运算图是解题关键． 【变式题8-3】．（2024-2025•武城县期末）如图1，规定A•B＝C，按此规定图2中M处的代数式是（　　） A．a﹣b B．ab C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，用除法即可计算出M的代数式． 【解答】解： ， 故选：C． 【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是掌握运算法则． 【题型9】数列规律探索(培优) 1.核心知识点总结 数列规律：从分子、分母、符号、序数四个维度分析； 常见规律：等差(后项-前项为定值)、等比(后项÷前项为定值)、平方/立方关系(如分子为)。 2.高频考点梳理 已知数列(如、、、…)，求第项或第项(如第20项)； 已知数列前几项，验证某数是否为数列中的项。 3.易错点警示 仅分析分子或分母，忽略整体关系(如数列、、…，分子为，分母为，漏看分母规律)； 符号规律遗漏(如数列、、、…，符号为，误忽略符号)。 4.解题技巧拆解 第一步：列出数列的序数(1,2,3,4…)与对应项，表格对比； 第二步：分别分析分子、分母、符号与的关系(如分子：，，，则分子为)； 第三步：写出第项的代数式，代入验证； 第四步：求第项时，将代入代数式计算。 【例题9】．（2024-2025•邵东市期末）我国南宋数学家杨辉发现了如图所示的三角形数表，我们称之为“杨辉三角”，图中两线之间的一列数：1，3，6，10，15，⋯，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，⋯，第n个数记为an，则a9﹣a7+a4值是（　　） A．17 B．45 C．27 D．﹣55 【答案】C 【分析】根据前几个数的特点，找到规律．再代入求值． 【解答】解：第一个数记为a1＝1，第二个数记为a2＝3，第三个数记为a3＝6，…，第n个数记为an＝1+2+3+……+n， ∴a9﹣a7+a410＝45﹣28+10＝27， 故选：C． 【点评】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 【变式题9-1】．（2024-2025•钟楼区月考）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一、用“杨辉三角”可以解释（a+b）n（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如（a+b）2＝a2+2ab+b2的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数．．．．．．，小明经过仔细观察，还发现（a+b）n（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①（x﹣1）2025的计算结果中x2024项的系数为﹣2025； ②（x﹣1）2025的计算结果中各项系数的绝对值之和为22025； ③当x＝﹣3时，（x﹣1）2025的计算结果为﹣24050； ④当x＝2025，（x﹣1）2025除以2025，余数为2023． 上述结论中，正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①x2024项为kx2024•（﹣1），其中k为第2026行的第2个数2025，则系数为2025×（﹣1）＝﹣2025； ②通过“杨辉三角”得到规律：第n行系数的绝对值之和为2n﹣1，所以（x﹣1）2025所在的第2026行系数的绝对值之和为22025； ③第n行计算结果为（﹣3﹣1）n﹣1＝（﹣1）n﹣1•4n﹣1，所以（x﹣1）2025的计算结果为﹣24050； ④“杨辉三角”奇数行除以2025余数为1，偶数行除以2025余数为2024，所以（x﹣1）2025除以2025余数为2024， 【解答】解：根据“杨辉三角”得到的规律，逐项分析判断如下： ①观察“杨辉三角”可知，（a+b）n各项系数对应“杨辉三角”中第n+1行的数，该行共有n+1个数， an项的系数对应“杨辉三角”所在行的第1个数，an﹣1项的系数对应第2个数，a项的系数对应第n+1个数， （x﹣1）2025各项系数对应“杨辉三角”中第2026行的数， x2024项的系数对应“杨辉三角”所在行的第2个数，即2025， 由于（x﹣1）2025中，b＝﹣1， ∴x2024项的系数为﹣2025，说法正确，符合题意； ②首先在“杨辉三角”中找规律， 第3行系数的绝对值之和为1+2+1＝22， 第4行系数的绝对值之和为1+3+3+1＝23， 第5行系数的绝对值之和为1+4+6+4+1＝24， ∴第n行系数的绝对值之和为2n﹣1， ∴（x﹣1）2025所在的第2026行系数的绝对值之和为22025，说法正确，符合题意； ③当x＝﹣3时， 第3行计算结果为42， 第4行计算结果为﹣43， 第5行计算结果为44， 因此第n行计算结果为 （﹣3﹣1）n﹣1＝（﹣1）n﹣1•4n﹣1， ∴（x﹣1）2025的计算结果为（﹣3﹣1）2026﹣1＝（﹣1）2026﹣1•42026﹣1＝﹣42025＝﹣24050，说法正确，符合题意； ④当x＝2025时， 计算第3行除以2025，，余数为1， 计算第4行除以2025，，余数为2024， 计算第5行除以2025，，余数为1， 因此得出规律，奇数行除以2025，余数为1，偶数行除以2025，余数为2024， （x﹣1）2025系数所在行为2026行，为偶数行， ∴（x﹣1）2025除以2025余数为2024，说法错误，不符合题意． 综上所述符合题意有3个． 故选：C． 【点评】本题考查了代数式，掌握代数式的计算方法是关键． 【变式题9-2】．（2024-2025•科左后旗期末）观察下面的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）：　（1）＝3　 ． 【答案】（1）＝3． 【分析】根据规律写出第n个等式并证明即可． 【解答】解：根据规律，第n个等式为（1）＝3． 证明：（1） ＝3． 故答案为：（1）＝3． 【点评】本题考查列代数式、有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． 【变式题9-3】．（2024-2025•德宏州模拟）观察下列一组数：，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别从各数字的符号、分子、分母三方面进行猜想、归纳． 【解答】解：∵第1个数为：（﹣1）1， 第2个数为：（﹣1）2， 第3个数为：（﹣1）3， ……， ∴第n个数为：（﹣1）n， 故选：C． 【点评】此题考查了数字变化规律问题的解决能力，关键是能根据题意对这组数字的符号、分子、分母三方面进行猜想、归纳． 【题型10】图形规律探索(培优) 1.核心知识点总结 聚焦图形数量与序数的关联，常见规律：等差（后图比前图多固定个数，如每次多3个）、固定叠加（如每增加1层多2个小图形）； 需结合图形结构（分层、分区域）拆解数量关系。 2.高频考点梳理 小图形组成的规律（如第1个图形有3个正方形，第2个有6个，第3个有9个…求第个图形的个数）； 组合图形规律（如“火炬模型”“菱形拼图案”，分析每增加1个图形时小棒/小图形的增量）。 3.易错点警示 漏算初始数量（如第1个图形有4个圆，误从“0”开始推导规律，导致代数式多减1）； 忽略图形结构细节（如分层图形漏算“中间固定部分”，仅算外层增量）。 4.解题技巧拆解 第一步：列“序数-图形数量”对应表（如时数量，时)； 第二步：算相邻数量差，若差为定值(如)，则规律为； 第三步：代入验证，确定代数式(如）。 【例题10】．（2024-2025•安徽模拟）观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律． ①•→4×0+1＝4×1﹣3； ②→4×1+1＝4×2﹣3； ③→4×2+1＝4×3﹣3； ④→　4×3+1＝4×4﹣3　 ； ⑤→　4×4+1＝4×5﹣3　 ． （1）请在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式； （2）猜想第n（n是正整数）个图形相对应的等式为 　4（n﹣1）+1＝4n﹣3　 ． 【答案】（1）4×3+1＝4×4﹣3，4×4+1＝4×5﹣3； （2）4（n﹣1）+1＝4n﹣3． 【分析】（1）根据从同一顶点向外作出的四条线上的点的个数解答； （2）根据变化的连续自然数和相应的图形的序数解答． 【解答】解：∵①4×0+1＝4×1﹣3； ②4×1+1＝4×2﹣3； ③4×2+1＝4×3﹣3； ∴④4×3+1＝4×4﹣3， ⑤4×4+1＝4×5﹣3； 故答案为：4×3+1＝4×4﹣3，4×4+1＝4×5﹣3； （2）由（1）可得：第n个图形对应的等式为：4（n﹣1）+1＝4n﹣3． 故答案为：4（n﹣1）+1＝4n﹣3． 【点评】本题是对图形变化规律的考查，仔细观察图形，从每一条线上的点的个数考虑求解是解题的关键． 【变式题10-1】．（2024-2025•常宁市期末）如图形是由大小相等的小正方形按照一定的规律拼成的，第1个图中有9个小正方形，第2个图中有14个小正方形，第3个图中有19个小正方形，…，则第n个图中小正方形的个数是 　5n+4　 ． 【答案】5n+4． 【分析】不难看出，后一个图比前一个图多了5个小正方形，据此可求解． 【解答】解：∵第1个图中小正方形的个数为：9， 第2个图中小正方形的个数为：14＝9+5＝9+5×1， 第3个图中小正方形的个数为：19＝9+5+5＝9+5×2， …， ∴第n个图中小正方形的个数为：9+5（n﹣1）＝5n+4． 故答案为：5n+4． 【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形分析出存在的规律． 【变式题10-2】．（2024-2025•中山市校级模拟）如图，点P从数0的位置出发，每次运动一个单位长度，运动一次到达数1的位置，运动二次到达数2的位置，运动三次到达数3的位置……依此规律运动下去，点P从0运动6次到达P1的位置，点P从0运动21次到达P2的位置……点P1、P2、P3……Pn在同一条直线上，则点P从0运动 　1830　 次到达P20的位置． 【答案】1830． 【分析】由题意得：从点P从0跳动1+2+3＝6个单位长度，到达P1，跳动1+2+3+4+5+6＝21个单位长度，到达P2，可以得出，跳动次数为从1开始连续正整数的和，且最后一个加数为n×3，进而得到答案即可． 【解答】解：由题意得：从点P从0跳动1+2+3＝6个单位长度，到达P1， 跳动1+2+3+4+5+6＝21个单位长度，到达P2， 由此可得：跳动次数为从1开始连续的正整数的和，最后一个加数为n×3， ∵20×3＝60， ∴点P从跳到P20跳动了：1+2+3+4+⋯+60＝1830， 故答案为：1830． 【点评】本题考查图形中的规律探究．根据图形，抽象概括出相应的数字规律，是解题的关键． 【变式题10-3】．（2024-2025•青羊区期末）用长度相同的火柴棒按如图所示的方式摆图形，其中第（1）个图形用了6根火柴棒，第（2）个图形用了11根火柴棒，第（3）个图形用了16根火柴棒，按照这样的规律继续摆下去，第10个图形需要 　51　 根火柴棒． 【答案】51． 【分析】观察图形的变化，找到图形的变化规律，利用规律求解即可． 【解答】解：第（1）个图形需要 6 根火柴棒． 第（2）个图形需要 6+5 ＝ 11 根火柴棒． 第（3）个图形需要 6+5×2 ＝ 16 根火柴棒． 因此，第n个图形需要 6+5×（n﹣1）＝（5n+1）根火柴棒． 根据计算，第10个图形需要51根火柴棒． 故答案为：51． 【点评】本题主要考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形的变化规律，难度不大． 【题型11】几何图形中代数式的应用(培优) 1.核心知识点总结 几何关联：结合图形的面积、周长、体积公式，用代数式表示未知量(如长方形面积)； 2.高频考点梳理 用代数式表示图形的面积/周长(如“长方形空地长米，宽米，四角剪去半径米的扇形，剩余面积”：)； 已知图形规律(如第1个图形有4个圆，第2个有7个，第3个有10个…)，求第个图形的圆的个数。 3.易错点警示 图形公式记错(如将圆的面积公式记为，混淆面积与周长)； 4.解题技巧拆解 代数表示图形量：①确定图形类型，回忆公式；②找出公式中未知量与已知字母的关系；③写出代数式(如扇形面积之和为圆的面积，因四角扇形圆心角和为)； 【例题11】．（2024-2025•银川期末）如图，在一个底为a，高为h的三角形铁皮上剪去一个半径为r的半圆． （1）用含有a，h，r的代数式表示剩下铁皮（阴影部分铁皮）的面积S； （2）请求出当a＝8，h＝6，r＝2时，S的值（结果保留π）． 【答案】（1）；（2）24﹣2π． 【分析】（1）根据S＝S三角形﹣S半圆列式即可； （2）将a＝8、h＝6、r＝2代入由（1）所得的代数式求解即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，剩下铁皮（阴影部分铁皮）的面积为：． 答：剩下铁皮（阴影部分铁皮）的面积S为； （2）当a＝8，h＝6，r＝2时， ＝24﹣2π． 【点评】本题考查了列代数式，代数式求值，掌握相应的运算法则是关键． 【变式题11-1】．（2024-2025•五莲县期末）如图是一个户外休闲区，其宽是4a米，长是6a米．其中半圆形休息区和长方形游泳池以外的地方都是绿地．已知半圆形休息区的直径和长方形游泳池的宽是2a米，游泳池的长是3a米． （1）请计算绿地的面积．（用含有a的代数式表示，保留π） （2）若a＝20，绿化草地每平方米需要费用30元，请计算这个休闲区中绿化草地的费用．（π取3） 【答案】（1）（18）a2（平方米）；（2）198000元． 【分析】（1）利用大长方形的面积减去游泳区长方形的面积，再减去休息区半圆的面积即可； （2）将a值代入（1）中的代数式计算出绿地的面积，再用绿地的面积乘30即可． 【解答】解：（1）6a•4a﹣3a•2aπ•a2 ＝24a2﹣6a2 ＝（18）a2（平方米）． ∴绿地的面积为（18）a2（平方米）． （2）当a＝20，π取3时， 绿地的面积为：（183）×202≈6600（平方米）， ∵绿化草地每平方米需要费用30元， ∴这个休闲区中绿化草地的费用＝6600×30＝198000（元）． 答：这个休闲区中绿化草地的费用198000元． 【点评】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，熟练掌握长方形的面积公式与圆的面积公式是解题的关键． 【变式题11-2】．（2024-2025•沈北新区期末）如图是某校田径运动场的平面图，运动场跑道由直跑道和半环形跑道组成，最中间长方形的长为am，环形跑道内侧半圆的半径为rm，跑道宽为cm． （1）用含有a，r的代数式表示跑道内侧的周长为　（2a+2πr）　 m； （2）用含有a，r，c的代数式表示跑道外侧的周长为　（2a+2πr+2πc）　 m； （3）用含有a，r，c的代数式表示跑道的面积为　（2ac+πc2+2πrc）　 m2． 【答案】（1）（2a+2πr）； （2）（2a+2πr+2πc）； （3）（2ac+πc2+2πrc）． 【分析】（1）根据周长的意义，直道长度加上弯道长度，用a，r表示出跑道内侧的周长， （2）根据周长的意义，直道长度加上弯道长度，用a，r，c表示出跑道外侧的周长即可． （3）根据圆的面积公式和长方形面积公式进行求解即可． 【解答】解：（1）由条件可知直道总长度为2am， ∵内侧半圆形弯道的半径为rm， ∴内侧半圆形弯道的总长度为2πrm， ∴内侧跑道的周长为（2a+2πr）m， 故答案为：（2a+2πr）； （2）由条件可知直道总长度为2am， ∵外侧半圆形弯道的半径为（r+c）m， ∴外侧半圆形弯道的总长度为2π（r+c）m， ∴外侧跑道的周长为2a+2π（r+c）＝（2a+2πr+2πc）m． 故答案为：（2a+2πr+2πc）； （3）跑道的面积为：2×a×c+π×（r+c）2﹣π×r2＝（2ac+πc2+2πrc）m2． 故答案为：（2ac+πc2+2πrc）． 【点评】本题主要考查列代数式，解题关键是用代数式表示数量关系． 【变式题11-3】．（2024-2025•工业园区校级期中）如图1，在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究．图2是货车盲区的部分分布图，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个梯形，盲区4是一个正方形． （1）用含a，b的代数式表示图中盲区的总面积（结果需化简）． （2）若a+b＝3，ab＝2，求图中盲区的总面积． 【答案】（1）10a2+10b2； （2）50． 【分析】（1）盲区面积等于梯形面积加上正方形面积加上两个直角三角形的面积，据此列式计算即可； （2）由a+b＝3，ab＝2，可得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝5，再整体代入法求解即可． 【解答】解：（1）由图可得， 盲区的总面积为：2+（2b）•（2b）•2a ＝4ab+6b2+4b2+10a2﹣4ab ＝10a2+10b2； （2）∵a+b＝3，ab＝2， ∴a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝32﹣2×2 ＝9﹣2×2 ＝9﹣4 ＝5， ∴10a2+10b2＝10（a2+b2）＝10×5＝50， 即图中盲区的总面积为50． 【点评】本题考查的是整式的乘法运算与图形面积，利用完全平方公式的变形求解图形面积，熟记完全平方公式的变形是解本题的关键． 【题型12】代数式与实际问题结合(培优) 1.核心知识点总结 实际场景：涵盖购物、行程、工程、利润等，用代数式表示费用、路程、工作量、利润等； 关键：将实际问题中的数量关系转化为代数语言(如“利润=售价-成本”)。 2.高频考点梳理 购物问题：如“买个足球(单价元)和个篮球(单价元)，总费用”：； 行程问题：如“速度千米/小时，时间小时，路程”：； 利润问题：如“进价元，售价元，卖出件的利润”：。 3.易错点警示 忽略“单位统一”（如速度为千米/小时，时间为分钟，未转化为小时）； 数量关系混淆（如“折扣问题”：售价=原价×折扣，误将“打8折”算为原价×0.2）。 4.解题技巧拆解 第一步：通读题目，圈出已知量（单价、数量、速度等）和未知量（总费用、路程等）； 第二步：确定实际问题中的核心公式（如利润公式、路程公式）； 第三步：将已知量代入公式，用字母表示未知量，写出代数式； 第四步：验证（代入具体值，看代数式是否符合实际意义，如费用不能为负）。 【例题12】．（2024-2025•河口区期末）某公园出售的一次性使用门票，每张10元，为了吸引更多游客，新近推出购买“个人年票”的售票活动（从购买日起，可供持票者使用一年）．年票分A、B两类： A类年票每张100元，持票者每次进入公园无需再购买门票； B类年票每张50元，持票者进入公园时需再购买每次2元的门票． （1）某游客一年进入公园共有a次， 如果不购买年票，则一年的费用为　10a　 元， 如果购买A类年票，则一年的费用为　100　 元， 如果购买B类年票，则一年的费用为　50+2a　 元，（用含a的代数式表示） （2）假如某游客一年进入公园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请通过计算说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据每张10元，一年进入公园共有a次，即可求出不购买年票一年的费用；根据A类年票每张100元，持票者每次进入公园无需再购买门票可直接得出一年的费用；根据B类年票每张50元，持票者进入公园时需再购买每次2元的门票，可得出一年的费用为（50+2a）元． （2）分别计算出一年进入公园共有12次时，每种购买方式的费用，即可得出最优惠的购买方式． 【解答】解：（1）如果不购买年票，则一年的费用为10a元； 如果购买A类年票，则一年的费用为100元； 如果购买B类年票，则一年的费用为（50+2a）元； 故答案为：10a，100，50+2a； （2）假如某游客一年进入公园共有12次， 则不购买年票的费用为：10×12＝120（元）， 购买A类年票的费用为：100元， 购买B类年票的费用为：50+2×12＝74（元）； 则购买B类年票比较优惠． 【点评】此题考查了列代数式，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，根据数量关系列出代数式． 【变式题12-1】．（2024-2025•雁江区期末）某单位在2020年春节准备组织部分员工到某地旅游，现在联系了甲乙两家旅行社，两家旅行社报价均为2000元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社对每位员工七五折优惠；而乙旅行社是免去一位带队员工的费用，其余员工八折优惠． （1）若设参加旅游的员工共有m（m＞10）人，则甲旅行社的费用为 　1500m　 元，乙旅行社的费用为 　（1600m﹣1600）　 元；（用含m的代数式表示并化简） （2）假如这个单位组织包括带队员工在内的共20名员工到某地旅游，该单位选择哪一家旅行社比较优惠？说明理由． （3）如果这个单位计划在2月份外出旅游七天，设最中间一天的日期为n，则这七天的日期之和为 　7n　 （用含有n的代数式表示并化简）．假如这七天的日期之和为63的倍数，则他们可能于2月几号出发？（写出所有符合条件的可能性，并写出简单的计算过程） 【答案】（1）1500m（元），（1600m﹣1600）（元）； （2）甲旅行社的费用比较优惠；理由见解答； （3）7n，他们可能于2月6号或15号出发． 【分析】（1）按照两种优惠方式列代数式，化简代数式； （2）由（1）得到代数式，代入数据求值，比较即可； （3）根据题意列代数式，分情况讨论2月份出发的日期． 【解答】解：（1）甲旅行社的费用为：2000m×75%＝1500m（元）， 乙旅行社的费用为：2000（m﹣1）×80%＝（1600m﹣1600）（元）； 故答案为：1500m（元），（1600m﹣1600）（元）； （2）当m＝20人时， 甲旅行社的费用为：1500m＝1500×20＝30000（元）， 乙旅行社的费用为：1600m﹣1600＝1600×20﹣1600＝30400（元）； ∵30000＜30400， ∴甲旅行社的费用比较优惠； （3）这七天的日期之和为：n﹣3+n﹣2+n﹣1+n+n+1+n+2+n+3＝7n， 故答案为：7n； 假设7n＝63a， ∴n， ∴当a＝1时，n＝9，9﹣3＝6， 当a＝2时，n＝18，18﹣3＝15， 当a＝3时，n＝27，27﹣3＝24，27+3＝30（不符合题意，舍去）， ∴他们可能于2月6号或15号出发． 【点评】本题考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是读懂题意，列出正确的代数式． 【变式题12-2】（2024-2025•镇平县期末）某大商场购进一批西服，进价为每套260元，原定每套以300元的价格销售，这样每天可销售200套．如果每套比原销售价降低10元销售，则每天可多销售100套．该商场为了确定销售价格，作了如下测算，请你参加测算，并由此归纳得出结论．（每套西服的利润＝每套西服的销售价﹣每套西服的进价） （1）按原销售价销售，每天可获利润　8000　 元；若每套降低10元销售，每天可获利润　9000　 元； （2）如果每套销售价降低10元，每天就多销售100套，每套销售价降低20元，每天就多销售200套，按这种方式，若每套降低10a元（a为小于5的非负整数）． ①用含字母a的代数式表示： 降价后每套西服的利润为　（40﹣10a）　 元； 降价后每天可销售　（200+100a）　 套西服； 降价后每天共可以获利润　（200+100a）（40﹣10a）　 元（此结果不用化简）． ②请你测算，如果你是该商场的经理，你会如何确定商场的销售方案（如何定价，可使每天销售利润最多）？请通过计算说明原因． 【答案】（1）8000；9000； （2）①（40﹣10a）；（200+100a）； （200+100a）（40﹣10a）；②每套按290元的价格销售，每天可销售300套，可获最大利润为9000元． 【分析】（1）根据利润＝每件的获利×件数，利用（300﹣260）×200算出即可；根据利润＝每件的获利×件数，利用（300﹣10﹣260）×（200+100）算出即可； （2）①根据每套降低10a元，每套的销售价格为：（300﹣10a）元，再减去进价即可求出每套西服的利润；降价后每天可销售（200+100a）套西服；再根据每套西服的利润×销售量即可得利润； ②根据a为小于5的非负整数，分别代值计算即可解决问题． 【解答】解：（1）按原销售价销售，每天可获利润（300﹣260）×200＝8000元； 若每套降低10元销售，每天可获利润（300﹣10﹣260）×（200+100）＝9000元； 故答案为：8000，9000． （2）①降价后每套西服的利润为300﹣260﹣10a＝（40﹣10a）元； 降价后每天可销售（200+100a）套西服；降价后每天共可以获利润（200+100a）（40﹣10a）元， 故答案为：（40﹣10a）；（200+100a）； （200+100a）（40﹣10a）． ②∵a为小于5的非负整数， 当a＝0时，每天可获利40×200＝8000元； 当a＝1时，每天可获利30×300＝9000元； 当a＝2时，每天可获利20×400＝8000元； 当a＝3时，每天可获利10×500＝5000元； 当a＝4时，每天获利0元； ∵9000＞8000＞5000＞0． 答：销售方案为：每套按290元的价格销售，每天可销售300套，可获最大利润为9000元． 【点评】本题考查了列代数式，正确表示出每件商品的利润和销量是解题的关键． 【变式题12-3】．（2024-2025•汉南区校级开学）现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营，某城市的新型网约车的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 1元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收1元．） （1）若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ （2）若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当0＜a≤15和当a≥15时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） 【答案】（1）需付车费55元； （2）当0＜a≤15时，小明付费（2a+0.5b）元；当a≥15时，小明付费（3a+0.5b﹣15）元． 【分析】（1）根据表中新型网约车的计价规则计算即可解答； （2）根据0＜a≤15或a≥15分情况讨论，分别用代数式表示出小明应付车费即可； 【解答】解：（1）依题意：20×2+20×0.5+（20﹣15）×1＝55（元）， 答：需付车费55元； （2）根据计费规则，当0＜a≤15时，应付车费为2a+0.5b（元）； 当a≥15时，应付车费为2a+0.5b+（a﹣15）×1＝3a+0.5b﹣15（元）． 【点评】本题主要考查了整式的加减，列代数式，代数式求值，理解题意、列出代数式是解题的关键． 同步练习 选择题答案快对 题号 1 2 3 4 5 答案 B C A B． B 一．选择题（共5小题） 1．用代数式表示“x的2倍与3的差”为（　　） A．3﹣2x B．2x﹣3 C．2（x﹣3） D．2（3﹣x） 【答案】B 【分析】先表示x的2倍为2x，然后再减去3即可． 【解答】解：由题意得，x的2倍与3的差表示为：2x﹣3． 故选：B． 【点评】本题考查了列代数式，关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“差”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式． 2．某商店去年12月份利润为a元，今年1月份利润预计比去年12月份增加50%还多1000元，则今年1月份利润预计为（　　） A．50%（a+1000）元 B．（50%a+1000）元 C．（150%a+1000）元 D．150%（a+1000）元 【答案】C 【分析】根据题意和题目中的数据，可以用a的代数式表示出今年1月份利润． 【解答】解：由题意可得， 今年的利润为：a（1+50%）+1000＝（150%a+1000）元， 故选：C． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 3．曹老师有一包糖果，若分给m个学生，则每个学生分a颗，还剩b颗（b＜a）；若分给（m+10）个学生，则每个学生分3颗，还剩（b+1）颗，则a的值可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据分给m个学生，则每个学生分a颗，还剩b颗可得共有（ma+b）颗糖，根据分给（m+10）个学生，则每个学生分3颗，还剩（b+1）颗，可得共有[3（m+10）+（b+1）]颗糖，根据糖果数量相等列出等式即可解答． 【解答】解：∵根据分给m个学生，则每个学生分a颗，还剩b颗可得共有（ma+b）颗糖， 根据分给（m+10）个学生，则每个学生分3颗，还剩（b+1）颗，可得共有[3（m+10）+（b+1）]颗糖， ∴ma+b＝3（m+10）+（b+1）， ∴a＝3， ∵a，m为正整数， ∴m＝31或1， 当m＝31时， ∴a＝4， 当m＝1时，a＝34，没有这个选项，舍弃． 故选：A． 【点评】本题考查了列代数式的应用，关键是能根据题意表示出糖果的数量． 4．若a＝﹣2，则（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1 【答案】B． 【分析】利用代入法，代入所求的式子即可． 【解答】解：当a＝﹣2时，原式1． 故选：B． 【点评】本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 5．代数式（a﹣b）2的意义是（　　） A．a，b两数的平方差 B．a与b的差的平方 C．a与b的平方的差 D．b，a两数的平方差 【答案】B 【分析】将代数式用语言叙述出来即可． 【解答】解：代数式（a﹣b）2的意义是a与b的差的平方． 故选：B． 【点评】本题考查代数式，掌握用语言叙述代数式的方法是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 6．已知|a+2|+（b﹣1）2＝0，则（a+b）2024＝　1　 ． 【答案】1． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a+2|+（b﹣1）2＝0， ∴a+2＝0，b﹣1＝0， ∴a＝﹣2，b＝1， ∴（a+b）2024＝（﹣2+1）2024＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 7．为了丰富班级的课余活动，赵老师预购置10副羽毛球拍和30个羽毛球，已知买一副羽毛球拍要x元，买一个羽毛球要y元．赵老师一共要花　（10x+30y）　 元（用含x、y的式子表示）． 【答案】（10x+30y）． 【分析】根据费用＝一副羽毛球拍的单价×数量+一个羽毛球的单价×数量，即可用含x、y的式子表示出赵老师要花的费用． 【解答】解：赵老师预购置10副羽毛球拍和30个羽毛球，赵老师一共要花（10x+30y）元． 故答案为：（10x+30y）． 【点评】本题考查列代数式，正确理解各数量之间的关系是解题的关键． 8．若m﹣2n+4＝0，则代数式3m﹣6n﹣2的值为 　﹣14　 ． 【答案】﹣14． 【分析】根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【解答】解：∵m﹣2n+4＝0， ∴m﹣2n＝﹣4， ∴当m﹣2n＝﹣4时，原式＝3（m﹣2n）﹣2＝3×（﹣4）﹣2＝﹣14． 故答案为：﹣14． 【点评】本题考查代数式求值，把代数式中的字母用具体的数代替，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 9．按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为﹣2，则最后输出的结果是 　64　 ． 【答案】64． 【分析】将x＝﹣2输入，按照运算程序，计算结果，根据结果的大小，确定再次输入还是输出． 【解答】解：因为x＝﹣2＜0，x+10＝8≤50， 所以把x＝8＞0，再次代入得，， 因此输出的结果为64， 故答案为：64． 【点评】本题考查代数式求值和有理数的混合运算，掌握计算法则是正确计算的前提． 10．下表中，若x和y成正比例，则※代表的数是　7.5　 ，若x和y成反比例，则※代表的数是　　 ． x 2 3 y 5 ※ 【答案】7.5； ． 【分析】根据商一定成正比例，积一定成反比例列出算式计算即可求解． 【解答】解：①由条件可知2：5＝3：※， ∴2※＝5×3， ∴※＝7.5， ②由条件可知2×5＝3※， ∴， 故答案为：7.5，． 【点评】本题考查了成正比例与成反比例，理解定义是解题的关键． 11．将图1中周长为24的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为36的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 　30　 ． 【答案】30． 【分析】首先根据题意设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，用x，y表示图中线段长度，根据题意求出x+y的值，即可求出结果． 【解答】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y﹣x，“图1中长方形的周长为24， ∵y+2 （x+y）+（2x+y）＝12， 解得：x+y＝3， 如图，没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长， ∵图2中长方形的周长为36， ∴AB+2 （x+y）+（2x+y）+y﹣x＝18， .4B＝18﹣3x﹣4y， ∴没有覆盖的阴影部分的周长为 2（AB+AD）＝2（18﹣3x﹣4y+x+y+2x+y+y﹣x） ＝2（18﹣x﹣y） ＝36﹣2（x+y） ＝36﹣2×3 ＝30． 故答案为：30． 【点评】本题主要考查了整式加减的混合运算，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 三．解答题（共11小题） 12．如果（x，y都是不为0的数），那么x和y成　反　 比例关系，如果，那么x＝　14　 ． 【答案】反，14． 【分析】根据得到xy＝7，故x和y成反比例关系；再代入计算即可． 【解答】解：∵， ∴xy＝7， ∴x和y成反比例关系， 当时，x＝7， ∴x＝14． 故答案为：反，14． 【点评】本题考查的是反比例，掌握成正、反比例的意义是解题的关键． 13．如图，某中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形喷泉，喷泉的周围修建等宽的小路，路宽为a米． （1）喷泉的长和宽各为多少米？（用含a的代数式表示） （2）用含a的代数式表示喷泉的周长，并求出当a＝2.3米时，喷泉的周长． 【答案】（1）喷泉的长为（15﹣2a）米，宽为（12﹣2a）米； （2）喷泉的周长为（54﹣8a）米，当a＝2.3时，周长为35.6米． 【分析】（1）列出长为：15﹣a﹣a，宽为：12﹣a﹣a，即可求解； （2）可求周长为2（15﹣2a）+2（12﹣2a），化简代值计算，即可求解． 【解答】解：（1）长为：15﹣a﹣a＝（15﹣2a）（米）， 宽为：12﹣a﹣a＝（12﹣2a）（米）， （2）由题意得： 喷泉的周长为：2（15﹣2a）+2（12﹣2a） ＝30﹣4a+24﹣4a ＝54﹣8a， 当a＝2.3时，原式＝54﹣8×2.3＝35.6． 故当a＝2.3米时，喷泉的周长为35.6米． 【点评】本题主要考查了根据题意列代数式并求值，整式加减运算，列出代数式是解题的关键． 14．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.45元/分钟 0.4元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元． （1）若小东乘坐滴滴快车，行车里程为20公里，行车时间为30分钟，则需付车费　53.5　 元． （2）若小明乘坐滴滴快车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，则小明应付车费多少元（用含a、b的代数式表示，并化简．） （3）小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9.5公里与14.5公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差多少分钟？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据滴滴快车计算得到得到所求即可； （2）根据a的值在10公里以内还是超过10公里，分别写出小明应付费即可； （3）根据题意计算出相差的时间即可． 【解答】解：（1）1.8×20+0.45×30+0.4×（20﹣10）＝53.5（元）， 故答案为：53.5； （2）当a≤10时，小明应付费（1.8a+0.45b）元； 当a＞10时，小明应付费1.8a+0.45b+0.4（a﹣10）＝（2.2a+0.45b﹣4）元； （3）小王与小张乘坐滴滴快车分别为a分钟、b分钟， 1.8×9.5+0.45a＝1.8×14.5+0.45b+0.4×（14.5﹣10） 整理，得 0.45a﹣0.45b＝10.8， ∴a﹣b＝24 因此，这两辆滴滴快车的行车时间相差24分钟． 【点评】此题考查了代数式求值，以及列代数式，弄清题意是解本题的关键． 15．某小型工厂生产酸枣面和黄小米，每日这两种产品共生产1500袋，两种产品的成本和售价如表，设该工厂每天生产酸枣面x袋． 成本/（元/袋） 售价/（元/袋） 酸枣面 40 46 黄小米 13 15 （1）每天生产x袋酸枣面的成本为 　40x　 元，黄小米的成本为 　（19500﹣13x）　 元．（用含x的代数式表示，结果需化为最简形式） （2）用含x的代数式表示每天获得的利润，并进行化简． （3）当x＝500时，（2）间中的利润为 　5000　 元． 【答案】（1）（40x）；（19500﹣13x）； （2）（3000+4x）元； （3）5000． 【分析】（1）酸枣面的成本为每袋成本乘以数量，两种产品共生产1500袋减去生产x袋酸枣面则为黄小米的数量，再乘以每袋成本即可表示黄小米的成本； （2）用生产的酸枣面、黄小米的袋数分别乘以每袋酸枣面、黄小米的利润即可得到每天生产的酸枣面、黄小米的利润，然后把两者相加即可得到每天获得的利润； （3）x＝500代入（2）中的代数式即可求解． 【解答】解：（1）生产x袋酸枣面的成本为40x元， 成本为13×（1500﹣x）＝（19500﹣13x）元， 故答案为：40x，（19500﹣13x）； （2）每天获得的利润为： （46﹣40）x+（15﹣13）（1500﹣x） ＝6x+3000﹣2x ＝（3000+4x）元； （3）由条件得：3000+4×500＝5000元， 故答案为：5000． 【点评】本题考查了列代数式及整式加减运算的知识，掌握题干数量关系并用代数式表示出来是解题关键． 16．某养殖场计划用360米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，三个养殖区组成一个大长方形，其中区域①是正方形，区域②和③是长方形，且AG＝2BG．设BG的长为2x米．（公共边共用一条篱笆）． （1）用含x的代数式表示AF的长为　4x　 米； （2）用含x的代数式表示DF的长．（结果需化为最简形式） 【答案】（1）4x； （2）180﹣15x（米）． 【分析】（1）根据题意可得AF＝AG＝4x； （2）将DF、EC以外的线段用x表示出来，再用360减去所有线段的长再除以2可得DF的长度． 【解答】解；（1）设BG的长为2x米．则AG＝4x， ∵区域①是正方形， ∴AF＝AG＝4x， 故答案为：4x． （2）∵区域①是正方形， ∴AF＝AG＝GH＝FH＝4x米， ∴EH＝BG＝2x米，BE＝GH＝4x米， 则EF＝FH+EH＝6x米． ∵区域③是长方形， ∴DF＝CE，CD＝EF＝6x米， 则（米）． 【点评】本题考查了列代数式和整式的加减；熟练掌握以上知识点是关键． 17．国产游戏《黑神话：悟空》的宏大世界中，有一处令火叹为观止的取景地；它不仅是游戏内天宫楼阁的佛国世界原型，更是现实中真实存在的古建筑瑰学——山西隰县小西天．某单位在2月份准备组织部分员工到小西天旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为200元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社对每位员工8.5折优惠；而乙旅行社是免去一位领队员工的费用，其余员工9折优惠． （1）若设参加旅游的员工共有a（a＞10）人，则选择甲旅行社的费用为　170　 元；选择乙旅行社的费用为 　180（a﹣1）　 元．（用含a的代数式表示） （2）①这个单位现组织包括领队在内的共16名员工到小西天旅游，选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由． ②若包括领队在内的共20名员工到小西天旅游，选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由． （3）通过（2）中的解答，你有什么建议或感想．（写出一条即可） 【答案】（1）170a，180（a﹣1）； （2）①选择乙旅行社，理由详见解答；②选择甲旅行社，理由详见解答． （3）建议：当人数大于10人小于18人时，选择乙旅行社，当人数超过18人时，选择甲旅行社． 【分析】（1）根据“费用＝旅行社报价×优惠×参加旅游的人数”列出代数式； （2）把人数16、20代入（1）计算，比较得结论； （3）根据（2）写出建议即可． 【解答】解：（1）甲旅行社的费用为：200×8.5a＝170a（元）； 乙旅行社的费用为：200×0.9×（a﹣1）＝180（a﹣1）元． 故答案为：170a，180（a﹣1）． （2）①选择乙旅行社，理由： 当a＝16时，甲旅行社的费用为170×16＝2720（元）， 乙旅行社的费用为180×（16﹣1）＝180×15＝2700（元）， ∵2720＞2700， ∴选择乙旅行社． ②选择甲旅行社，理由： 当a＝20时，甲旅行社的费用为170×20＝3400（元）， 乙旅行社的费用为180×（20﹣1）＝180×19＝3420（元）， ∵3400＜3420， ∴选择甲旅行社． （3）当170a＜180（a﹣1）时，得a＞18，此时选择甲旅行社； 当170a＞180（a﹣1）时，得a＜18，此时选择乙旅行社； 建议：当人数大于10人小于18人时，选择乙旅行社，当人数超过18人时，选择甲旅行社． 【点评】本题考查了代数式，根据题意列出代数式并求值是解决本题的关键． 18．若代数式x2+x+3的值为9，求代数式2x2+2x﹣3的值，小源同学的解题过程如下： 解：因为x2+x+3＝9， 所以x2+x＝6， 所以2x2+2x﹣3＝2（x2+x）﹣3＝2×6﹣3＝9， 故代数式2x2+2x﹣3的值为9． 根据小源的解题思路，解答下列问题： （1）若m2﹣3m﹣18＝0，求代数式﹣3m2+9m+27的值； （2）若x2+2xy＝﹣2，xy﹣y2＝﹣4，求代数式4x2+7xy+y2的值． 【答案】（1）﹣27； （2）﹣4． 【分析】（1）把m2﹣3m﹣18＝0得m2﹣3m＝18，整体代入计算即可； （2）先由x2+x+1＝15可得x2+x＝14，由﹣2x2﹣2x+3可得﹣2（x2+x）+3，然后整体代入计算即可； （3）先由x2+2xy＝﹣2，xy﹣y2＝﹣4可得4x2+8xy＝﹣8，y2﹣xy＝4，然后把4x2+7xy+y2化成4x2+8xy+y2﹣xy，然后整体代入计算即可． 【解答】解：（1）∵m2﹣3m﹣18＝0， ∴m2﹣3m＝18， ∴﹣3m2+9m+27＝﹣3（m2﹣3m）+27＝﹣54+27＝﹣27； （2）∵xy﹣y2＝﹣4，x2+2xy＝﹣2， ∴4x2+8xy＝﹣8，y2﹣xy＝4， 则4x2+7xy+y2＝（4x2+8xy）+（y2﹣xy）＝﹣8+4＝﹣4． 【点评】本题考查了代数式求值，整体代入是正确解决本题的关键． 19．某工厂要加工一批卡皮巴拉玩具，每小时加工的件数与加工的时间如表： 每小时加工件数（件） 60 50 40 30 … 加工时间（小时） 10 12 15 20 … （1）这批毛绒玩具共多少件？ （2）加工时间是怎样随着每小时加工件数的变化而变化的？ （3）用x表示每小时加工毛绒玩具的件数，用y表示加工时间，用式子表示x与y之间的关系．x与y成什么比例关系？ 【答案】（1）这批毛绒玩具共600件；（2）加工时间随着每小时加工件数的增大而减小（或减小而增大）；（3）x与y成反比例关系． 【分析】（1）这批毛绒玩具共600件； （2）加工时间随着每小时加工件数的增大而减小； （3）xy＝600，x与y成反比例关系． 【解答】解：（1）∵60×10＝600， ∴这批毛绒玩具共600件； （2）结合表格，得出加工时间随着每小时加工件数的增大而减小（或减小而增大）； （3）∵工作总量不变，都是600件， ∴加工时间与每小时加工件数乘积都是600，即乘积不变， ∴xy＝600， 故x与y成反比例关系． 【点评】本题考查了反比例，解题的关键是根据反比例的意义来解答． 20．如图，某小纸盒的展开图如下，根据图中的数据解答如下问题． （1）请用含a和x的式子表示这个小纸盒的展开图的面积； （2）当a＝6厘米时，面积为72平方厘米，求x的值． 【答案】（1）这个纸盒展开图的面积为（4x+2ax+4a）cm2； （2）x＝3． 【分析】（1）先用代数式表示六个面的面积，然后再求和即可； （2）把a＝6代入4x+2ax+4a＝72，然后解方程求解即可． 【解答】解：（1）用含a和x的式子表示这个小纸盒的展开图的面积为： 2×2x+2•ax+2×2a＝（4x+2ax+4a）cm2． 答：面积为（4x+2ax+4a）cm2． （2）把a＝6代入4x+2ax+4a＝72得： 4x+12x+24＝72， 解得：x＝3． 【点评】本题主要考查了列代数式、几何体的表面积、一元一次方程的应用等知识点，根据图形正确列出代数式是解答本题的关键． 21．某商场正在热销两种苹果，精品苹果每千克定价20元，普通苹果每千克定价5元，店庆期间商场决定开展促销活动，活动方案如下： 方案一 方案二 顾客购买1千克精品苹果送0.5千克普通苹果 顾客购买精品苹果和普通苹果都按定价的90%付款 现某公司为回馈员工，要到该商场购买精品苹果200千克，普通苹果x千克（x＞100，且只能选择一种方案购买）． （1）用含x的代数式分别表示该公司选择方案一和方案二购买时所需的钱数；（结果化成最简形式） （2）若该公司选择方案一和方案二购买时的付款相同，求该公司购买了多少千克普通苹果？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据数量乘以单价等于总价列出代数式即可； （2）根据题意列出关于x的方程，解之即可得出答案． 【解答】解：（1）方案一需付款：200×20+5（x﹣100）＝（5x+3500）元； 方案二需付款：（200×20+5x）×90%＝（4.5x+3600）元． （2）由题意知5x+3500＝4.5x+3600， 解得x＝200， 答：该公司购买了200千克普通苹果． 【点评】本题考查了列代数式及一元一次方程的应用，正确列出代数式是解题的关键． 22．某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现需要调往A县10辆，调往B县8辆．已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为100元和200元，从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为80元和120元．设从甲仓库调往A县农用车x辆． （1）甲仓库调往B县农用车 　（12﹣x）　 辆，乙仓库调往A县农用车 　（10﹣x）　 辆，乙仓库调往B县农用车 　（x﹣4）　 辆；（用含x的代数式表示） （2）写出该公司从甲、乙两座仓库调农用车到A、B两县所需要的总运费（用含x的代数式表示）； （3）在（2）的基础上，求当从甲仓库调往A县农用车5辆时，总运费是多少元？ 【答案】（1）（12﹣x），（10﹣x），（x﹣4）； （2）（﹣60x+2720）元； （3）2420元． 【分析】（1）根据题意列出代数式， （2）分别求出甲到A县和乙到A县的费用相加即为到A县的总费用，同理可求到B县的总费用，再求出总和即可； （3）由（2）可得到A、B两县的总运费，把x＝5代入即可． 【解答】解：（1）设从甲仓库调往A县农用车x辆，故甲仓库调往B县农用车（12﹣x）辆， A县共需10辆，故乙仓库调往A县农用车（10﹣x）辆，乙仓库共6辆，乙仓库调往B县农用车6﹣（10﹣x）＝（x﹣4）辆， 故答案为：（12﹣x），（10﹣x），（x﹣4）； （2）到A县的总运费：100x+80（10﹣x）＝（20x+800）元， 到B县的总运费：200（12﹣x）+120（x﹣4）＝（﹣80x+1920）元； 总运费为＝20x+800﹣80x+1920＝（﹣60x+2720）元； （3）该公司从甲、乙两座仓库调农用车到A、B两县所需要的总运费为﹣60x+2720， 当x＝5时，原式＝﹣60×5+2720＝2420， ∴到A、B两县所需要的总运费为2420元． 【点评】本题考查列代数式的应用，通过具体情境考查数学知识，提高解决问题的能力，本题正确理解题意列出代数式是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 有理数全章复习 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 1、核心知识点梳理 1.代数式的定义与构成 用运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式，单独的一个数或字母也是代数式（如、）。 不含“”“”“”“”“”“”等关系符号。 2.代数式的书写规范 乘号：字母与字母、数与字母相乘，乘号可省略或写为“”（如写作或)；数与数相乘必须用“”。 数字位置：数与字母相乘，数字写在字母前面(如写作)。 带分数：带分数与字母相乘，化为假分数(如写作)。 除法：除法运算写成分数形式(如写作)。 单位：代数式为和/差形式且带单位时，整体加括号(如)。 3.代数式的意义与列代数式 意义：解读代数式表示的数量关系(如可表示“的3倍与2的和”)。 列代数式：抓住关键词(和、差、积、商、倍、分)，理清运算顺序(如“与差的平方”写作)。 4.反比例关系 定义：两个相关联的量，一个量变化，另一个量随之变化，且乘积一定(，为定值且)。 变化规律：一个量随另一个量的增大而减小(如路程一定时，速度与时间成反比例)。 5.代数式的值与求值方法 定义：用数值代替代数式中的字母，按运算顺序计算的结果。 求值方法：①直接代入(已知字母具体值时)；②整体代入(已知含字母的式子的值时，如已知，求)。 2、重难点突破 1.重点 代数式的书写规范与列代数式(准确反映实际数量关系)。 代数式求值(尤其是整体代入法的应用)。 反比例关系的判断与表示(模型的应用)。 2.难点 整体代入求值：通过变形待求式，将已知式子作为整体代入(如由，求，需将化为)。 规律探索：数、式、图形规律的提炼(如数列、、…，需分别找分子、分母与序数的关系)。 3、高频易错点警示 1.书写规范错误 漏改带分数(如未写作)； 数与字母相乘时数字在后(如)； 除法用“”而非分数(如未写作)。 2.整体代入失误 忽略符号或系数(如已知，求，误算为，正确为)； 未对代数式变形(如已知，求，未将化为)。 3.规律探索漏验证 仅通过前2-3项提炼规律，未用后续项验证(如数列规律需至少验证4项)。 4.程序流程图逻辑混淆 看错分支条件(如“时执行，否则执行”，误将条件颠倒)； 漏算循环步骤(如循环规律从第3次开始，误从第1次计算周期)。 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【题型1】代数式的识别 1.核心知识点总结 代数式不含“”“”“”等关系符号； 单独的数或字母(如、)也是代数式。 2.高频考点梳理 判断给出的式子是否为代数式(如区分(是)与(否))； 统计代数式的个数。 3.易错点警示 混淆代数式与等式、不等式(如误将归为代数式)； 忽略“单独的数/字母是代数式”(如漏算、)。 4.解题技巧拆解 第一步：检查式子是否含关系符号(“”“”等)，含则不是代数式； 第二步：单独的数或字母直接判定为代数式。 【例题1】．（2024-2025•普陀区校级期末）下列各式中，不是代数式的是（　　） A．x＝1 B．5 C．2a2+1 D．x﹣2y+3 【变式题1-1】．（2024-2025•隆阳区期末）下列式子是代数式的是（　　） ①x+1＝7；②5t；③x+1≠0；④x﹣5≥0． A．① B．② C．③ D．④ 【变式题1-2】．（2024-2025•澧县期末）下列各式中，是代数式的是 　 　 ．（填序号） ①2x﹣1；②a＝1；③S＝πR2；④π；⑤m；⑥． 【变式题1-3】．（2024-2025•内乡县期末）在式子n﹣3、a、1、80%t、S＝ab中，代数式的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型2】代数式书写规范判断 1.核心知识点总结 遵循乘号、数字位置、带分数、除法、单位的书写规则； 不符合任一条规则即书写不规范。 2.高频考点梳理 判断单个代数式的书写正误(如、是否规范)； 选出符合规范的代数式(多选或单选)。 3.易错点警示 带分数未化假分数(如认为规范)； 数与字母相乘数字在后(如认为规范)。 4.解题技巧拆解 对照书写规则逐一检查：先看乘号/除法，再看数字位置，最后看带分数和单位； 排除法：找出明显违反规则的选项，缩小范围。 【例题2】．（2024-2025•秀峰区校级期末）下列各式中，符合代数式书写规则的是（　　） A．x×5 B． C．mn2 D．m÷n 【变式题2-1】．（2024-2025•瑞金市期末）下列代数式符合书写要求的是（　　） A． B．m×3 C．m÷2n D．3mn 【变式题2-2】．（2024-2025•湛江校级期末）下列各式中，符合代数式书写规范的是（　　） A．a÷﹣b B．2a3 C．4×m D． 【变式题2-3】．（2024-2025•宝山区校级期末）下列各式最符合书写规范的是（　　） A． B．3x2ym C．n÷3 D． 【题型3】代数式的意义解读 1.核心知识点总结 按运算顺序解读(先运算的先描述，后运算的后描述)； 同一代数式可对应不同实际意义(如可表示“2个元物品的总价”或“边长为的正方形的周长的一半”)。 2.高频考点梳理 用文字描述代数式的意义(如：“的5倍与3的差”)； 判断代数式意义的表述是否正确(如是否表示“与差的平方”)。 3.易错点警示 混淆运算顺序(如将解读为“的平方与的平方的和”)； 忽略“平方”“立方”的表述(如将解读为“的3倍”)。 4.解题技巧拆解 先确定核心运算(如“差的平方”先算差，再算平方)； 结合实际场景验证(如用“价格、长度”等场景辅助理解)。 【例题3】．（2024-2025•复兴区期末）代数式2（a﹣2）的意义是（　　） A．a的2倍与2的差 B．a与2的差的2倍 C．2与a的差的2倍 D．2的2倍与a的差 【变式题3-1】．（2024-2025•襄城区期末）下列选项用文字叙述代数式的意义，表述正确的是（　　） A．x的倒数与1的和 B．1除以x的商与1的和 C．比x的倒数小1的数 D．比x的倒数大1的数 【变式题3-2】．（2024-2025•榆次区期末）对代数式“4a”可以赋予实际意义：如果一支铅笔的价格是a元，那么4a表示4支铅笔的总价．请你再对“4a”赋予一个实际意义：　 　 ． 【变式题3-3】．（2024-2025•惠农区期末）对代数式“3a”可以赋予实际意义：如果一天读书a页，那么3a表示3天读书的总页数．请你再对代式“3a”赋予一个实际意义：　 　 ． 【题型4】列代数式 1.核心知识点总结 抓住关键词(和、差、积、商、倍、分、大、小)； 理清运算顺序(先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内)。 2.高频考点梳理 结合文字描述列代数式(如“的与的2倍的和”：)； 结合实际场景列代数式(如“购买个单价为元的笔记本的总价”：)。 3.易错点警示 漏加括号(如“与的和的2倍”误写为，正确为)； 混淆“倍”与“多/少”(如“比多3的数”误写为，正确为)。 4.解题技巧拆解 第一步：圈出关键词，确定运算类型(加、减、乘、除)； 第二步：用“先…再…”描述运算顺序，转化为代数式； 第三步：验证(代入具体值，看是否符合文字意义)。 【例题4】．（2024-2025•临澧县期末）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过20立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+2）元．该地区某家庭上月用水量为25立方米，则应缴水费（　　） A．25a元 B．（25a+10）元 C．（25a+50）元 D．（20a+10）元 【变式题4-1】．（2024-2025•新邵县期末）一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数可表示为（　　） A．ab B．a+b C．10a+b D．10b+a 【变式题4-2】．（2024-2025•日照期末）如图，下列四个式子中，不能表示阴影部分面积的是（　　） A．x2+5 B．x（x+3）+6 C．3（x+2）+x2 D．（x+3）（x+2）﹣2x 【变式题4-3】．（2024-2025•松原二模）小红妈妈去市场买了a斤苹果和y斤香蕉，苹果每斤8元，香蕉每斤5元，则共花费 　 　 元（用含a，y的代数式表示）． 【题型5】反比例关系的判断与表示 1.核心知识点总结 反比例关系的核心：两个量的乘积一定(，)； 区分反比例与正比例(正比例：比值一定，)。 2.高频考点梳理 判断两个量是否成反比例(如“路程一定，速度与时间”成反比例)； 用代数式表示反比例关系(如已知与成反比例，且时，则)。 3.易错点警示 混淆反比例与正比例(如认为“圆的面积与半径”成反比例，实际面积与半径的平方成正比例)； 忽略“乘积一定”的条件(如“被减数一定，减数与差”，乘积不确定，不成反比例)。 4.解题技巧拆解 第一步：确定两个量是否相关联(一个量变化，另一个量是否随之变化)； 第二步：计算两个量的乘积，若乘积为定值，则成反比例；否则不成。 【例题5】．（2024-2025•汕头期末）如表所示，x和y两个量成反比例关系，则“△”处应填（　　） x 7 △ y 5 14 A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5 【变式题5-1】．（2024-2025•海门区期末）下列各对相关联的量中，不成反比例关系的是（　　） A．车间计划加工800个零件，加工时间与每天加工的零件个数 B．社团共有500名学生，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数 C．圆柱的体积为6m3，圆柱的底面积与高 D．计划用100元购买苹果和香蕉两种水果，购买苹果的金额与购买香蕉的金额 【变式题5-2】．（2024-2025•马边县校级开学）下列说法正确的是（　　） A．圆的周长一定，圆的直径与圆周率成反比例 B．长方形的面积一定，它的长和宽成正比例 C．圆柱的底面积一定时，圆柱的体积与其高度成反比例 D．正方体的一个面的面积与它的表面积成正比例 【变式题5-3】．（2024-2025•郧阳区校级开学）如果，那么x和y成　 　 比例关系；如果那么x和y成　 　 比例关系．（x、y均大于0） 【题型6】直接代入求代数式的值 1.核心知识点总结 步骤：①代(用数值代替代数式中的字母，负数加括号)；②算(按运算顺序计算)；③验(检查运算过程)； 注意：字母取值需使代数式有意义(如分母不能为0)。 2.高频考点梳理 已知字母具体值(如)，求代数式的值(如)； 结合绝对值、相反数、倒数求字母值后再代入(如，是的相反数，求)。 3.易错点警示 负数代入未加括号(如时，误算为，正确为)； 运算顺序错误(如先算再平方，正确为先算再乘2)。 4.解题技巧拆解 代入时：负数、分数加括号，避免符号/指数错误； 计算时：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内； 验证：重新代入计算，核对结果。 【例题6】．（2024-2025•桓台县期末）若x＝﹣1，则5x3﹣2x＝（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣7 D．7 【变式题6-1】．（2024-2025•海南模拟）当x＝﹣2时，代数式3x﹣2的值是（　　） A．﹣4 B．4 C．8 D．﹣8 【变式题6-2】．（2024-2025•东坡区期末）已知x＝7时，代数式ax3+bx+2的值为14，则x＝﹣7时，代数式ax3+bx﹣5的值为（　　） A．﹣17 B．﹣15 C．12 D．7 【变式题6-3】4．（2024-2025•大洼区校级期末）如图是某种杆秤，在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点，当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动列点C，秤杆处于平衡，当秤盘中放入x克物品后移动秤砣．秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡，测得x与y的几组对应数据如表，由表中数据的规律可知，当x＝24克时，y的长度是（　　） x/克 0 2 4 6 10 y/毫米 10 14 18 22 30 A．50毫米 B．52毫米 C．58毫米 D．60毫米 【题型7】整体代入求代数式的值(提升) 1.核心知识点总结 适用场景：已知含字母的式子的值(如)，求与之相关的代数式的值(如)； 关键：将待求式变形为含已知式子的形式(如)。 2.高频考点梳理 单次整体代入(如已知，求)； 多次整体代入(如已知，求)。 3.易错点警示 漏乘系数(如已知，求，误将算为，正确为)； 符号错误(如已知，求，误算为，正确为)。 4.解题技巧拆解 第一步：观察待求式与已知式子的系数关系(如系数成倍数)； 第二步：对於求式进行因式分解或合并同类项，构造已知式子； 第三步：代入已知式子的值，计算结果。 【例题7】．（2024-2025•费县期末）已知整式x2﹣2x的值为3，则2x2﹣4x+6的值为（　　） A．7 B．9 C．12 D．18 【变式题7-1】．（2024-2025•临邑县期末）已知x＝2y+3，则代数式4x﹣8y+9的值是（　　） A．19 B．﹣20 C．21 D．﹣23 【变式题7-2】．（2024-2025•德阳期末）如果m﹣2n的值为6，那么4+2m﹣4n的值为（　　） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式题7-3】．（2024-2025•郯城县期末）若a2﹣b＝﹣3，则代数式6+2a2﹣2b的值为　 　 ． 【题型8】程序流程图中代数式求值(提升) 1.核心知识点总结 程序流程图：按条件分支执行运算，常涉及“循环规律”(如从第次开始循环)； 关键：明确每一步的运算规则(如“为偶数时执行，奇数时执行”)。 2.高频考点梳理 单次求值：输入具体值，按流程输出结果(如输入，按流程计算)； 循环求值：输入值后，输出结果循环出现，求第次输出结果(如第2024次输出)。 3.易错点警示 看错分支条件(如“执行，否则执行”，误将归为“”分支)； 漏算循环周期(如循环从第3次开始，周期为2，误从第1次计算周期)。 4.解题技巧拆解 第一步：梳理流程图逻辑，用文字描述每一步规则(如“输入→判断是否为1→是则输出，否则输出”)； 第二步：计算前5-6次输出结果，寻找循环规律(如第3次开始，结果为)； 第三步：计算与循环周期的关系(如，周期为2，，，无余数则为周期最后一个数)。 【例题8】．（2024-2025•淄博期末）如图所示是计算机程序流程图，若开始输入x＝1，则最后输出的结果是（　　） A．11 B．﹣11 C．13 D．﹣13 【变式题8-1】．（2024-2025•日照期末）根据如图所示的计算程序，若输出的值为y＝﹣1，则输入的值x为（　　） A．﹣5或1 B．﹣5或﹣1 C．1或﹣1 D．﹣5或1或﹣1 【变式题8-2】．（2024-2025•峄城区期末）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是（　　） A．﹣2 B．﹣9 C．﹣7 D．﹣27 【变式题8-3】．（2024-2025•武城县期末）如图1，规定A•B＝C，按此规定图2中M处的代数式是（　　） A．a﹣b B．ab C． D． 【题型9】数列规律探索(培优) 1.核心知识点总结 数列规律：从分子、分母、符号、序数四个维度分析； 常见规律：等差(后项-前项为定值)、等比(后项÷前项为定值)、平方/立方关系(如分子为)。 2.高频考点梳理 已知数列(如、、、…)，求第项或第项(如第20项)； 已知数列前几项，验证某数是否为数列中的项。 3.易错点警示 仅分析分子或分母，忽略整体关系(如数列、、…，分子为，分母为，漏看分母规律)； 符号规律遗漏(如数列、、、…，符号为，误忽略符号)。 4.解题技巧拆解 第一步：列出数列的序数(1,2,3,4…)与对应项，表格对比； 第二步：分别分析分子、分母、符号与的关系(如分子：，，，则分子为)； 第三步：写出第项的代数式，代入验证； 第四步：求第项时，将代入代数式计算。 【例题9】．（2024-2025•邵东市期末）我国南宋数学家杨辉发现了如图所示的三角形数表，我们称之为“杨辉三角”，图中两线之间的一列数：1，3，6，10，15，⋯，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，⋯，第n个数记为an，则a9﹣a7+a4值是（　　） A．17 B．45 C．27 D．﹣55 【变式题9-1】．（2024-2025•钟楼区月考）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一、用“杨辉三角”可以解释（a+b）n（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如（a+b）2＝a2+2ab+b2的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数．．．．．．，小明经过仔细观察，还发现（a+b）n（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①（x﹣1）2025的计算结果中x2024项的系数为﹣2025； ②（x﹣1）2025的计算结果中各项系数的绝对值之和为22025； ③当x＝﹣3时，（x﹣1）2025的计算结果为﹣24050； ④当x＝2025，（x﹣1）2025除以2025，余数为2023． 上述结论中，正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题9-2】．（2024-2025•科左后旗期末）观察下面的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）：　 　 ． 【变式题9-3】．（2024-2025•德宏州模拟）观察下列一组数：，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是（　　） A． B． C． D． 【题型10】图形规律探索(培优) 1.核心知识点总结 聚焦图形数量与序数的关联，常见规律：等差（后图比前图多固定个数，如每次多3个）、固定叠加（如每增加1层多2个小图形）； 需结合图形结构（分层、分区域）拆解数量关系。 2.高频考点梳理 小图形组成的规律（如第1个图形有3个正方形，第2个有6个，第3个有9个…求第个图形的个数）； 组合图形规律（如“火炬模型”“菱形拼图案”，分析每增加1个图形时小棒/小图形的增量）。 3.易错点警示 漏算初始数量（如第1个图形有4个圆，误从“0”开始推导规律，导致代数式多减1）； 忽略图形结构细节（如分层图形漏算“中间固定部分”，仅算外层增量）。 4.解题技巧拆解 第一步：列“序数-图形数量”对应表（如时数量，时)； 第二步：算相邻数量差，若差为定值(如)，则规律为； 第三步：代入验证，确定代数式(如）。 【例题10】．（2024-2025•安徽模拟）观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律． ①•→4×0+1＝4×1﹣3； ②→4×1+1＝4×2﹣3； ③→4×2+1＝4×3﹣3； ④→　 　 ； ⑤→　 　 ． （1）请在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式； （2）猜想第n（n是正整数）个图形相对应的等式为 　 　 ． 【变式题10-1】．（2024-2025•常宁市期末）如图形是由大小相等的小正方形按照一定的规律拼成的，第1个图中有9个小正方形，第2个图中有14个小正方形，第3个图中有19个小正方形，…，则第n个图中小正方形的个数是 　 　 ． 【变式题10-2】．（2024-2025•中山市校级模拟）如图，点P从数0的位置出发，每次运动一个单位长度，运动一次到达数1的位置，运动二次到达数2的位置，运动三次到达数3的位置……依此规律运动下去，点P从0运动6次到达P1的位置，点P从0运动21次到达P2的位置……点P1、P2、P3……Pn在同一条直线上，则点P从0运动 　 　 次到达P20的位置． 【变式题10-3】．（2024-2025•青羊区期末）用长度相同的火柴棒按如图所示的方式摆图形，其中第（1）个图形用了6根火柴棒，第（2）个图形用了11根火柴棒，第（3）个图形用了16根火柴棒，按照这样的规律继续摆下去，第10个图形需要 　 　 根火柴棒． 【题型11】几何图形中代数式的应用(培优) 1.核心知识点总结 几何关联：结合图形的面积、周长、体积公式，用代数式表示未知量(如长方形面积)； 2.高频考点梳理 用代数式表示图形的面积/周长(如“长方形空地长米，宽米，四角剪去半径米的扇形，剩余面积”：)； 已知图形规律(如第1个图形有4个圆，第2个有7个，第3个有10个…)，求第个图形的圆的个数。 3.易错点警示 图形公式记错(如将圆的面积公式记为，混淆面积与周长)； 4.解题技巧拆解 代数表示图形量：①确定图形类型，回忆公式；②找出公式中未知量与已知字母的关系；③写出代数式(如扇形面积之和为圆的面积，因四角扇形圆心角和为)； 【例题11】．（2024-2025•银川期末）如图，在一个底为a，高为h的三角形铁皮上剪去一个半径为r的半圆． （1）用含有a，h，r的代数式表示剩下铁皮（阴影部分铁皮）的面积S； （2）请求出当a＝8，h＝6，r＝2时，S的值（结果保留π）． 【变式题11-1】．（2024-2025•五莲县期末）如图是一个户外休闲区，其宽是4a米，长是6a米．其中半圆形休息区和长方形游泳池以外的地方都是绿地．已知半圆形休息区的直径和长方形游泳池的宽是2a米，游泳池的长是3a米． （1）请计算绿地的面积．（用含有a的代数式表示，保留π） （2）若a＝20，绿化草地每平方米需要费用30元，请计算这个休闲区中绿化草地的费用．（π取3） 【变式题11-2】．（2024-2025•沈北新区期末）如图是某校田径运动场的平面图，运动场跑道由直跑道和半环形跑道组成，最中间长方形的长为am，环形跑道内侧半圆的半径为rm，跑道宽为cm． （1）用含有a，r的代数式表示跑道内侧的周长为　 　 m； （2）用含有a，r，c的代数式表示跑道外侧的周长为　 　 m； （3）用含有a，r，c的代数式表示跑道的面积为　 　 m2． 【变式题11-3】．（2024-2025•工业园区校级期中）如图1，在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究．图2是货车盲区的部分分布图，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个梯形，盲区4是一个正方形． （1）用含a，b的代数式表示图中盲区的总面积（结果需化简）． （2）若a+b＝3，ab＝2，求图中盲区的总面积． 【题型12】代数式与实际问题结合(培优) 1.核心知识点总结 实际场景：涵盖购物、行程、工程、利润等，用代数式表示费用、路程、工作量、利润等； 关键：将实际问题中的数量关系转化为代数语言(如“利润=售价-成本”)。 2.高频考点梳理 购物问题：如“买个足球(单价元)和个篮球(单价元)，总费用”：； 行程问题：如“速度千米/小时，时间小时，路程”：； 利润问题：如“进价元，售价元，卖出件的利润”：。 3.易错点警示 忽略“单位统一”（如速度为千米/小时，时间为分钟，未转化为小时）； 数量关系混淆（如“折扣问题”：售价=原价×折扣，误将“打8折”算为原价×0.2）。 4.解题技巧拆解 第一步：通读题目，圈出已知量（单价、数量、速度等）和未知量（总费用、路程等）； 第二步：确定实际问题中的核心公式（如利润公式、路程公式）； 第三步：将已知量代入公式，用字母表示未知量，写出代数式； 第四步：验证（代入具体值，看代数式是否符合实际意义，如费用不能为负）。 【例题12】．（2024-2025•河口区期末）某公园出售的一次性使用门票，每张10元，为了吸引更多游客，新近推出购买“个人年票”的售票活动（从购买日起，可供持票者使用一年）．年票分A、B两类： A类年票每张100元，持票者每次进入公园无需再购买门票； B类年票每张50元，持票者进入公园时需再购买每次2元的门票． （1）某游客一年进入公园共有a次， 如果不购买年票，则一年的费用为　 　 元， 如果购买A类年票，则一年的费用为　 　 元， 如果购买B类年票，则一年的费用为　 　 元，（用含a的代数式表示） （2）假如某游客一年进入公园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请通过计算说明理由． 【变式题12-1】．（2024-2025•雁江区期末）某单位在2020年春节准备组织部分员工到某地旅游，现在联系了甲乙两家旅行社，两家旅行社报价均为2000元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社对每位员工七五折优惠；而乙旅行社是免去一位带队员工的费用，其余员工八折优惠． （1）若设参加旅游的员工共有m（m＞10）人，则甲旅行社的费用为 　 　 元，乙旅行社的费用为 　 　 元；（用含m的代数式表示并化简） （2）假如这个单位组织包括带队员工在内的共20名员工到某地旅游，该单位选择哪一家旅行社比较优惠？说明理由． （3）如果这个单位计划在2月份外出旅游七天，设最中间一天的日期为n，则这七天的日期之和为 　 　 （用含有n的代数式表示并化简）．假如这七天的日期之和为63的倍数，则他们可能于2月几号出发？（写出所有符合条件的可能性，并写出简单的计算过程） 【变式题12-2】．（2024-2025•镇平县期末）某大商场购进一批西服，进价为每套260元，原定每套以300元的价格销售，这样每天可销售200套．如果每套比原销售价降低10元销售，则每天可多销售100套．该商场为了确定销售价格，作了如下测算，请你参加测算，并由此归纳得出结论．（每套西服的利润＝每套西服的销售价﹣每套西服的进价） （1）按原销售价销售，每天可获利润　 　 元；若每套降低10元销售，每天可获利润　 　 元； （2）如果每套销售价降低10元，每天就多销售100套，每套销售价降低20元，每天就多销售200套，按这种方式，若每套降低10a元（a为小于5的非负整数）． ①用含字母a的代数式表示： 降价后每套西服的利润为　 　 元； 降价后每天可销售　 　 套西服； 降价后每天共可以获利润　 　 元（此结果不用化简）． ②请你测算，如果你是该商场的经理，你会如何确定商场的销售方案（如何定价，可使每天销售利润最多）？请通过计算说明原因． 【变式题12-3】．（2024-2025•汉南区校级开学）现有一种新型网约车是一种全无人自动驾驶的网约车，已经在全国多个城市开放运营，某城市的新型网约车的计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 2元/公里 0.5元/分钟 1元/公里 （注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算，时长费按行车的实际时间计算，远途费的收取方式为：行车里程15公里以内（含15公里）不收远途费，超过15公里的，超出部分每公里加收1元．） （1）若小东乘坐新型网约车，行车里程为20公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元？ （2）若小明乘坐新型网约车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟（a，b为整数），请分别计算当0＜a≤15和当a≥15时，小明应付车费多少元？（用含a，b的式子表示，并化简） 同步练习 一．选择题（共5小题） 1．用代数式表示“x的2倍与3的差”为（　　） A．3﹣2x B．2x﹣3 C．2（x﹣3） D．2（3﹣x） 2．某商店去年12月份利润为a元，今年1月份利润预计比去年12月份增加50%还多1000元，则今年1月份利润预计为（　　） A．50%（a+1000）元 B．（50%a+1000）元 C．（150%a+1000）元 D．150%（a+1000）元 3．曹老师有一包糖果，若分给m个学生，则每个学生分a颗，还剩b颗（b＜a）；若分给（m+10）个学生，则每个学生分3颗，还剩（b+1）颗，则a的值可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．若a＝﹣2，则（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1 5．代数式（a﹣b）2的意义是（　　） A．a，b两数的平方差 B．a与b的差的平方 C．a与b的平方的差 D．b，a两数的平方差 二．填空题（共6小题） 6．已知|a+2|+（b﹣1）2＝0，则（a+b）2024＝　 　 ． 7．为了丰富班级的课余活动，赵老师预购置10副羽毛球拍和30个羽毛球，已知买一副羽毛球拍要x元，买一个羽毛球要y元．赵老师一共要花　 　 元（用含x、y的式子表示）． 8．若m﹣2n+4＝0，则代数式3m﹣6n﹣2的值为 　 　 ． 9．按如图所示的程序计算，若开始输入x的值为﹣2，则最后输出的结果是 　 　 ． 10．下表中，若x和y成正比例，则※代表的数是　 　 ，若x和y成反比例，则※代表的数是　 　 ． x 2 3 y 5 ※ 11．将图1中周长为24的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号四个正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为36的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 　 　 ． 三．解答题（共11小题） 12．如果（x，y都是不为0的数），那么x和y成　 　 比例关系，如果，那么x＝　 　 ． 13．如图，某中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形喷泉，喷泉的周围修建等宽的小路，路宽为a米． （1）喷泉的长和宽各为多少米？（用含a的代数式表示） （2）用含a的代数式表示喷泉的周长，并求出当a＝2.3米时，喷泉的周长． 14．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/公里 0.45元/分钟 0.4元/公里 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收远途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.4元． （1）若小东乘坐滴滴快车，行车里程为20公里，行车时间为30分钟，则需付车费　 　 元． （2）若小明乘坐滴滴快车，行车里程为a公里，行车时间为b分钟，则小明应付车费多少元（用含a、b的代数式表示，并化简．） （3）小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为9.5公里与14.5公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差多少分钟？ 15．某小型工厂生产酸枣面和黄小米，每日这两种产品共生产1500袋，两种产品的成本和售价如表，设该工厂每天生产酸枣面x袋． 成本/（元/袋） 售价/（元/袋） 酸枣面 40 46 黄小米 13 15 （1）每天生产x袋酸枣面的成本为 　 　 元，黄小米的成本为 　 　 元．（用含x的代数式表示，结果需化为最简形式） （2）用含x的代数式表示每天获得的利润，并进行化简． （3）当x＝500时，（2）间中的利润为 　 　 元． 16．某养殖场计划用360米的竹篱笆围成如图所示的①、②、③三个养殖区域，三个养殖区组成一个大长方形，其中区域①是正方形，区域②和③是长方形，且AG＝2BG．设BG的长为2x米．（公共边共用一条篱笆）． （1）用含x的代数式表示AF的长为　 　 米； （2）用含x的代数式表示DF的长．（结果需化为最简形式） 17．国产游戏《黑神话：悟空》的宏大世界中，有一处令火叹为观止的取景地；它不仅是游戏内天宫楼阁的佛国世界原型，更是现实中真实存在的古建筑瑰学——山西隰县小西天．某单位在2月份准备组织部分员工到小西天旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为200元/人，两家旅行社同时都对10人以上的团体推出了优惠措施：甲旅行社对每位员工8.5折优惠；而乙旅行社是免去一位领队员工的费用，其余员工9折优惠． （1）若设参加旅游的员工共有a（a＞10）人，则选择甲旅行社的费用为　 　 元；选择乙旅行社的费用为 　 　 元．（用含a的代数式表示） （2）①这个单位现组织包括领队在内的共16名员工到小西天旅游，选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由． ②若包括领队在内的共20名员工到小西天旅游，选择哪一家旅行社比较优惠？请说明理由． （3）通过（2）中的解答，你有什么建议或感想．（写出一条即可） 18．若代数式x2+x+3的值为9，求代数式2x2+2x﹣3的值，小源同学的解题过程如下： 解：因为x2+x+3＝9， 所以x2+x＝6， 所以2x2+2x﹣3＝2（x2+x）﹣3＝2×6﹣3＝9， 故代数式2x2+2x﹣3的值为9． 根据小源的解题思路，解答下列问题： （1）若m2﹣3m﹣18＝0，求代数式﹣3m2+9m+27的值； （2）若x2+2xy＝﹣2，xy﹣y2＝﹣4，求代数式4x2+7xy+y2的值． 19．某工厂要加工一批卡皮巴拉玩具，每小时加工的件数与加工的时间如表： 每小时加工件数（件） 60 50 40 30 … 加工时间（小时） 10 12 15 20 … （1）这批毛绒玩具共多少件？ （2）加工时间是怎样随着每小时加工件数的变化而变化的？ （3）用x表示每小时加工毛绒玩具的件数，用y表示加工时间，用式子表示x与y之间的关系．x与y成什么比例关系？ 20．如图，某小纸盒的展开图如下，根据图中的数据解答如下问题． （1）请用含a和x的式子表示这个小纸盒的展开图的面积； （2）当a＝6厘米时，面积为72平方厘米，求x的值． 21．某商场正在热销两种苹果，精品苹果每千克定价20元，普通苹果每千克定价5元，店庆期间商场决定开展促销活动，活动方案如下： 方案一 方案二 顾客购买1千克精品苹果送0.5千克普通苹果 顾客购买精品苹果和普通苹果都按定价的90%付款 现某公司为回馈员工，要到该商场购买精品苹果200千克，普通苹果x千克（x＞100，且只能选择一种方案购买）． （1）用含x的代数式分别表示该公司选择方案一和方案二购买时所需的钱数；（结果化成最简形式） （2）若该公司选择方案一和方案二购买时的付款相同，求该公司购买了多少千克普通苹果？ 22．某公司在甲、乙两座仓库分别有农用车12辆和6辆，现需要调往A县10辆，调往B县8辆．已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为100元和200元，从乙仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为80元和120元．设从甲仓库调往A县农用车x辆． （1）甲仓库调往B县农用车 　 　 辆，乙仓库调往A县农用车 　 　 辆，乙仓库调往B县农用车 　 　 辆；（用含x的代数式表示） （2）写出该公司从甲、乙两座仓库调农用车到A、B两县所需要的总运费（用含x的代数式表示）； （3）在（2）的基础上，求当从甲仓库调往A县农用车5辆时，总运费是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $