专题08 几何中动角问题的三种考法（重难点培优：知识点总结+三大考点题型+能力提升练习）2025-2026学年七年级上册数学人教版

专题08 几何中动角问题的三种考法目录 A · 重难点题型分类 题型1：求值问题……………………………………………………………… 1 题型2：定值问题……………………………………………………………… 5 题型3：角度之间数量关系问题……………………………………………… 8 题型4：存在性问题…………………………………………………………… 11 B · 能力提升 ……………………………………………………………………… 14 知识梳理 1. 角的平分线 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.类似地，还有角的三等分线等，如图. 重难点题型分类 【题型1：求值问题】 【例1】如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．（注：本题旋转角度最多．） 　 　 （1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，则______秒（直接写结果）． （2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？ （3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接写结果） 【变式1-1】如图（1），和都是锐角，射线在内部，，．（本题所涉及的角都是小于180°的角） (1)如图（2），平分平分，填空： ①当，时，______，______，______； ②______（用含有或的代数式表示）． (2)如图（3），P为内任意一点，直线过点O，点Q在外部： ①当平分平分的度数为______； ②当平分平分的度数为______； （∠MON的度数用含有或的代数式表示） (3)如图（4），当，时，射线从处以5°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同时射线从处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，平分平分，那么多少分钟时，的度数是40°？ 【变式1-2】已知OC是∠AOB内部的一条射线，M、N分别为OA、OC上的点，线段OM、ON分别以30°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转． （1）如图①，若∠AOB=140°，当OM、ON逆时针旋转2s时，分别到OM′、ON′处，求∠BON’+∠COM’的值； （2）如图②，若OM、ON分别在∠AOC、∠COB内部旋转时，总有∠COM=3∠BON，求的值. （3）知识迁移，如图③，C是线段AB上的一点，点M从点A出发在线段AC上向C点运动，点N从点C出发在线段CB上向B点运动,点M、N的速度比是2:1，在运动过程中始终有CM=2BN，求 . 【变式1-3】已知：如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒秒） （1）用含t的代数式表示的度数． （2）在运动过程中，当第二次达到时，求t的值． （3）如果让射线改变方向，绕点O逆时针方向旋转，在用时不超过30秒的情况下，用时多少秒，能使得，请直接写出t的值． 【题型2：定值问题】 【例1】已知，如图1，，分别为定角（大小不会发生改变）内部的两条动射线，，． （1）求的度数； （2）如图2，射线分别为的平分线，当绕着点O旋转时，的位置也会变化但大小保持不变，请求出的度数； （3）如图3，是外部的两条射线，且，平分，平分．当绕着点O旋转时，的大小是否会发生变化？若不变，求出其度数；若变化，说明理由． 【变式1-1】已知将一副三角尺（直角三角尺和）的两个顶点重合于点，， （1）如图1，将三角尺绕点逆时针方向转动，当恰好平分时，求的度数； （2）如图2，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果三角尺在内绕点任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． 【变式1-2】如图，两条直线，相交于点，且，射线从开始绕点逆时针方向旋转，速度为，射线同时从开始绕点顺时针方向旋转，速度为．两条射线，同时运动，运动时间为秒．（本题出现的角均小于平角） （1）当时，　　　，　　　　　； （2）当时，若．试求出的值； （3）当时，探究的值，问：满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定值？ 【变式1-3】已知将一副三角板（）如图1摆放，点O、A、C在一条直线上．将直角三角板绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图位置． （1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，_______度；如图2，若要恰好平分，则_______度； （2）如图3，当三角板摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果三角板在内绕点O任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． （3）当三角板从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转一周，保持射线平分、射线平分（），在旋转过程中，（2）中的结论是否保持不变？如果保持不变，请说明理由；如果变化，请说明变化的情况和结果（即旋转角度a在什么范围内时的度数是多少）． 【题型3：角度之间数量关系问题】 【例1】如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． （1）若∠DCE=35°，∠ACB= °； （2）猜想：①∠ACE与∠BCD的大小有何关系？②∠ACB与∠DCE的大小有何关系？并分别说明理由； （3）若保持三角尺BCE不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD绕点C按逆时针方向任意转动一个角度∠BCD．设∠BCD=（0°＜＜90°）， ①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出的值；若不能说明理由， ②三角尺ACD转动中，∠BCD每秒转动3°，当∠DCE=21°时，转动了多少秒？ 【变式1-1】已知是直线上的一点，平分． (1)如图1，射线在直线的同侧． ①若______；若______度； ②猜想与之间的数量关系； ③若的内部有一射线，射线将分为1∶4两部分，求的度数； (2)如图2，射线在直线的异侧，判断与之间的数量关系与②中的是否相同，并说明理由． 【变式1-2】已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOC． (1)如图，若∠AOC＝30°，则∠DOE的度数是______；（直接写出答案） (2)将（1）中的条件“∠AOC＝30°”改为“∠AOC是锐角”，猜想∠DOE与∠AOC的关系，并说明理由； (3)若∠AOC是钝角，请先画出图形，再探索∠DOE与∠AOC之间的数量关系．（不用写探索过程，将结论直接写在你画的图的下面） 【变式1-3】如图，已知，将一个直角三角形纸片()的一个顶点放在点处，现将三角形纸片绕点任意转动，平分斜边与的夹角，平分. （1）将三角形纸片绕点转动(三角形纸片始终保持在的内部)，若，则_______； （2）将三角形纸片绕点转动(三角形纸片始终保持在的内部)，若射线恰好平分，若，求的度数; （3）将三角形纸片绕点从与重合位置逆时针转到与重合的位置，猜想在转动过程中和的数量关系？并说明理由. 【题型4：存在性问题】 【例1】已知：如图1，点、、依次在度线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿进时针方向以每秒的速度前转，如图2，设旋转时间为（0秒≤≤60秒）． （1）用含的代数式表示下列各角的度数：______，______． （2）在运动过程中，当0秒秒时，达到，求的值． （3）在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线．射线、射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由． 【变式1-1】如图：已知∠MON=90°，射线OA绕点O从射线OM位置开始按顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O从射线ON位置开始按逆时针方向以每秒6°的速度旋转，设旋转时间为t秒（0≤t≤30）． （1）用含t的代数式表示∠MOA的度数； （2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值； （3）射线OA，OB在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM，射线OA，射线ON中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 【变式1-2】如图1，点A，O，B依次在直线MN上，将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒15°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿顺时针方向以每秒5°的速度旋转（如图2），设旋转时间为t（0⩽t⩽48，单位秒）． (1)当t=12时，∠AOB= °． (2)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OM是由射线OB、射线OA组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，当∠AOB=60°时，求t的值． 【变式1-3】如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为（的值在0到之间，单位：秒）． (1)当时，求的度数； (2)在运动过程中，当首次达到时，求的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线垂直射线？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【变式1-4】如图，是平角，射线从开始，先顺时针绕点向射线旋转，到达后再绕点逆时针向射线旋转，速度为6度/秒．射线从开始，以3度/秒的速度绕点向旋转，到当到达时，射线与都停止运动．设旋转时间为秒． (1)当秒时，判断射线是否是的角平分线，并请说明理由． (2)若射线与射线垂直，求的度数． (3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使得是的2倍？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 能力提升 一、解答题 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图1，点O是直线上一点，射线从开始以每秒的速度绕点O顺时针转动，射线从开始以每秒的速度绕点O逆时针转动，当、相遇时，停止运动；将、分别沿、翻折，得到、，设运动的时间为t（单位：秒）． (1)如图2，当、重合时， ； (2)当时，，当时，； (3)如图3，射线在直线的上方，且，在运动过程中，当射线、、其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出t的值． 2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，已知，射线在的内部，且． (1)的度数为______； (2)射线是平面上绕点旋转的一条动射线，平分． ①若射线在的内部，且，求的度数； ②若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，直角边放置在直线上，现在三角形绕直角顶点O作逆时针匀速转动，每秒钟转，运动时间为． (1)当运动时间t为5秒时， ； (2)当时，求t的值； (3)在运动过程中若射线平分，射线平分，当在直线上面时 ，当在直线下面时 ． 4．（24-25七年级上·江苏·期末）如图1，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图，设旋转时间为的值在到之间，单位：秒． (1)当时，求的度数； (2)在运动过程中，当第二次达到时，求的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线与射线的夹角为？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由． 5．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）已知：如图1，分别为锐角内部的两条动射线，当、运动到如图1的位置时，． (1)求的度数； (2)如图2，射线、分别为、的平分线，求的度数． (3)如图3，若、是外部的两条射线，且平分平分，当绕着点旋转时，的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数；若变化，说明理由． 6．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）如图1，点是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒． (1)若，，秒时，________； (2)若，，当射线与三角板重合时，所经历的时间是多少秒？ (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分．若，，当射线中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，求出此时的值． 7．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知是内部的一条射线，、分别为、上的点，线段、分别以、的速度绕点逆时针旋转． (1)如图①，若，当、逆时针旋转时，分别到、处，求的值； (2)如图②，若、分别在、内部旋转时，总有，求的值． (3)知识迁移，如图③，是线段上的一点，点从点出发在线段上向点运动，点从点出发在线段上向点运动，点、的速度比是，在运动过程中始终有，求___________． 8．（23-24七年级上·江西宜春·期末）如图1，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒8°的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为（，单位：秒） (1)当时，求的度数； (2)在运动过程中，当第二次达到60°时，求的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线与射线围成的角是90°（指大于0°而小于等于180°的角）？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 9．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和美美想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转． (1)如图2，A、O、B三点在同一条直线上，点C、D重合，，则 ． (2)如图3，A、O、B三点在同一条直线上，且，，平分，求的大小． (3)第四节体侧运动中，如图4，美美发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，绕点O顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线） ①运动停止时， ； ②请帮助美美写出在运动过程中与的数量关系为 ． 10．（23-24七年级上·天津·期末）已知：如图，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图，设旋转时间为秒． (1)用含t的代数式表示，其结果是：______度． (2)在运动过程中，当时，求的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线、射线所组成的角指大于而不超过的角的平分线？如果存在，请计算出的值；如果不存在，请说明理由． 11．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题背景】 如果一个角的内部有一条射线将这个角分成两个角，并且分成的两个角的度数之比为时，那么我们称这条射线是这个角的动轴分线．例如，如图1，射线将分成和两个角，且，则为的动轴分线；射线将分成和两个角，且，则为的动轴分线． 【概念理解】 （1）若，为的动轴分线，则________°； 【推广探索】 （2）如图2，过直线上一点O作射线．再作和的动轴分线，（，），若，则的度数是否随着的变化而变化？请说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，射线与射线重合，射线与射线重合，现将射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转；同时射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转．当射线与射线首次重合时，射线，同时停止运动，设旋转时间为．求t为何值时，为的动轴分线． 12．（24-25七年级上·重庆渝北·期末）若，对于绕点O旋转的动射线，将的值定义为射线关于的特征值，其中：，且，． (1)如图1，射线旋转至的内部，且时， ； (2)若． ①如图2，将绕点O旋转，若旋转过程中始终在内部，是否存在某一段时刻．若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由． ②为角平分线，在绕点O旋转的过程中，若，请直接写出的值（其中，）． 13．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图1，数轴上的点表示的数为，点表示的数为，且．点是线段的中点． (1)点表示的数是____________． (2)若动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点同时出发，当点到达点时，两动点的运动同时停止，设运动时间为秒，则： ①点、表示的数分别是____________、____________（用含的代数式表示）； ②若在运动过程中，存在，请求出的值． (3)我们发现角的很多运算方法和线段一样，如题图2，，平分．射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，射线同时出发，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍，请求出所有符合题意的的值． 14．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处（），一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分．求的度数． (2)将图1中三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，同时射线从开始绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当三角板停止运动时，射线也停止运动．设旋转时间为t秒． ①在运动过程中，当时，求t的值； ②当时，在旋转的过程中与始终满足关系（m，n为常数），求的值． 15．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）【阅读材料】 如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“和谐角”，其中一个角叫做另一个角的“和谐角”，例如：，，，则和互为“和谐角”，即是的“和谐角”，也是的“和谐角”． 【初步感知】 （1）如图，，，则下列各角：①，②，③，④，⑤中，是的“和谐角”的有______(填入正确的序号)． 【拓展探究】 （2）在（1）的条件下，若射线绕点以每秒逆时针旋转，射线绕点以每秒顺时针旋转，射线绕点每秒顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动． ①当运秒后，，；(用含t的代数式表示) ②在三条射线的运动过程中，与的关系为：______； ③在运动过程中，当为何值时，和互为“和谐角”？ 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 几何中动角问题的三种考法目录 A · 重难点题型分类 题型1：求值问题……………………………………………………………… 1 题型2：定值问题……………………………………………………………… 11 题型3：角度之间数量关系问题……………………………………………… 20 题型4：存在性问题…………………………………………………………… 30 B · 能力提升 ……………………………………………………………………… 41 知识梳理 1. 角的平分线 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.类似地，还有角的三等分线等，如图. 重难点题型分类 【题型1：求值问题】 【例1】如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板（）的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．（注：本题旋转角度最多．） 　 　 （1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转．如图2，经过秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，则______秒（直接写结果）． （2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，如图3，经过秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求为多少秒？ （3）若（2）问的条件不变，那么经过秒平分？（直接写结果） 【答案】（1），5；（2），；（3）经过秒平分 【分析】（1）根据图形和题意得出，再除以每秒速度，即可得出； （2）根据图形和题意得出，再根据转动速度从而得出答案； （3）分别根据转动速度关系和平分画图即可． 【详解】（1） ∵ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴ 解得：秒 （2）度 ∵，平分 ∴ ∴ ∴解得：秒 （3）如图： ∵， 由题可设为，为 ∴ ∵ 解得：秒 答：经过秒平分． 【点睛】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键． 【变式1-1】如图（1），和都是锐角，射线在内部，，．（本题所涉及的角都是小于180°的角） (1)如图（2），平分平分，填空： ①当，时，______，______，______； ②______（用含有或的代数式表示）． (2)如图（3），P为内任意一点，直线过点O，点Q在外部： ①当平分平分的度数为______； ②当平分平分的度数为______； （∠MON的度数用含有或的代数式表示） (3)如图（4），当，时，射线从处以5°/分的速度绕点O开始逆时针旋转一周，同时射线从处以相同的速度绕点O逆时针也旋转一周，平分平分，那么多少分钟时，的度数是40°？ 【答案】(1) (2)， (3)8分钟或48分钟时， 【分析】（1）根据角平分线的定义判断即可； （2）①根据求解即可，②根据求解即可； （3）分在的外部和内部两种情况讨论，在外部时根据旋转的时间乘以速度等于，在内部时可以判断， ． 【详解】（1）解：① 平分平分， 当，时， ， ， ② 故答案为： （2）解：①平分平分， ② 平分平分， 故答案为：， （3）解：根据题意 平分， 如图1所示，当在的外部时， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得； 如图2所示，当在的外部时， ∵的度数是40°， ∵平分， 则旋转了 分 即分钟时，的度数是40°； 如图3，当在的内部时， 即 此情况不存在； 如图4所示，当在的外部时， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，8分钟或48分钟时，． 【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的意义，掌握角平分线的意义是解题的关键． 【变式1-2】已知OC是∠AOB内部的一条射线，M、N分别为OA、OC上的点，线段OM、ON分别以30°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转． （1）如图①，若∠AOB=140°，当OM、ON逆时针旋转2s时，分别到OM′、ON′处，求∠BON’+∠COM’的值； （2）如图②，若OM、ON分别在∠AOC、∠COB内部旋转时，总有∠COM=3∠BON，求的值. （3）知识迁移，如图③，C是线段AB上的一点，点M从点A出发在线段AC上向C点运动，点N从点C出发在线段CB上向B点运动,点M、N的速度比是2:1，在运动过程中始终有CM=2BN，求 . 【答案】（1）600；（2）；（3）. 【详解】试题分析：（1）先求出∠AOM′、CON′，再表示出∠BON′、∠COM′，然后相加并根据∠AOB=140°计算即可得解； （2）设旋转时间为t，表示出∠BON、∠COM，然后列方程求解得到∠AOC、∠BOC的关系，再整理即可得解； （3）设运动时间为t，点M、N的速度分别为2v、v，然后表示出CM、BN，再列出方程求解即可． 试题解析：解：（1）∵线段OM、ON分别以30°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转2s， ∴∠AOM′=2×30°=60°，∠CON′=2×10°=20°， ∴∠BON′=∠BOC-20°，∠COM′=∠AOC-60°， ∴∠BON′+∠COM′=∠BOC-20°+∠AOC-60°=∠AOB-80°， ∵∠AOB=140°， ∴∠BON′+∠COM′=140°-80°=60°； （2）设旋转时间为t，则∠BON=∠BOC-10t°， ∠COM=∠AOC-30t°， ∵∠COM=3∠BON， ∴∠AOC-30t°=3（∠BOC-10t°）， ∴∠AOC=3∠BOC， ∴； （3）设运动时间为t，则CM=AC-2vt，BN=BC-vt， ∵CM=2BN， ∴AC-2vt=2（BC-vt）， ∴AC=2BC， ∴. 考点：1、角的计算；2、两点间的距离. 【变式1-3】已知：如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转，如图2，设旋转时间为t（0秒秒） （1）用含t的代数式表示的度数． （2）在运动过程中，当第二次达到时，求t的值． （3）如果让射线改变方向，绕点O逆时针方向旋转，在用时不超过30秒的情况下，用时多少秒，能使得，请直接写出t的值． 【答案】（1）当0≤t≤9时，∠MOA＝20t，当9＜t≤18时，∠MOA＝360°-20t，当18＜t≤27时，∠MOA＝20t-360°，当27＜t≤30时，∠MOA＝；（2）5；（3）7.5或10.5或25.5或28.5 【分析】（1）分四种情况，分别求出∠MOA的度数，即可； （2）当∠AOB第二次达到120°时，射线OB在OA的左侧，∠AOM与∠BON重叠部分为∠AOB，故有等量关系∠MOA＋∠NOB−∠AOB＝180°，列方程求解可得t． （3）OA、OB都是逆时针旋转，可理解为初始路程差为180°的追及问题：当∠AOB第一次达到30°时，即OB差30°追上OA，路程差为（180−30）°，即40t−20t＝180−30；第二次达到30°时，即OB追上OA且超过30°，路程差为（180＋30）°；第三次达到30°时，OB再走一圈差30°追上OA，路程差为（180＋360−30）°；第四次达到30°时，OB再次追上且超过30°，路程差为（180＋360＋30）°，此时求出的t已接近30，故不需再求第五次． 【详解】解：（1）当0≤t≤9时，∠MOA＝20t， 当9＜t≤18时，∠MOA＝360°-20t， 当18＜t≤27时，∠MOA＝20t-360°， 当27＜t≤30时，∠MOA＝， （2）当∠AOB第二次达到120°时，如图1，得： ∠MOA＋∠NOB−∠AOB＝180° ∴20t＋40t−120＝180，解得t＝5； （3）如图2，当∠AOB第一次达到30°时，OB比OA多转了（180−30）°，得： 40t−20t＝180−30 解得：t＝7.5 如图3，当∠AOB第二次达到30°时，OB比OA多转了（180＋30）°，得： 40t−20t＝180＋30 解得：t＝10.5 当∠AOB第三次达到30°时，OB比OA多转了（180＋360−30）°，得： 40t−20t＝180＋360−30 解得：t＝25.5 当∠AOB第四次达到30°时，OB比OA多转了（180＋360＋30）°，得： 40t−20t＝180＋360＋30 解得：t＝28.5 综上所述，t＝7.5或10.5或25.5或28.5时，∠AOB＝30°． 【点睛】本题考查了角度计算，一元一次方程的应用．第（3）题转化为追及问题来思考，可把每次∠AOB达到30°的分类计算方法更统一且好理解． 【题型2：定值问题】 【例1】已知，如图1，，分别为定角（大小不会发生改变）内部的两条动射线，，． （1）求的度数； （2）如图2，射线分别为的平分线，当绕着点O旋转时，的位置也会变化但大小保持不变，请求出的度数； （3）如图3，是外部的两条射线，且，平分，平分．当绕着点O旋转时，的大小是否会发生变化？若不变，求出其度数；若变化，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）的大小不变为． 【分析】（1）由，可得，从而可求解 从而可得的大小； （2）由射线，分别为，的平分线，求解，从而可得的度数为； （3）先求解，再证明，结合角平分线的性质求解，从而可得． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∵， ∴ ∴ （2）∵射线，分别为，的平分线， ∴， ∴ ∴ ∴的度数为． （3）的大小不变为．理由如下： ∵，， ∴， ， ∵ ∴ ∵平分，平分 ∴ ∴ 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，角的和差运算，掌握以上知识是解题的关键． 【变式1-1】已知将一副三角尺（直角三角尺和）的两个顶点重合于点，， （1）如图1，将三角尺绕点逆时针方向转动，当恰好平分时，求的度数； （2）如图2，当三角尺摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果三角尺在内绕点任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． 【答案】（1）；（2）不变． 【分析】（1）根据平分，求出∠BOC，再用角的和差求∠AOC即可； （2）根据角平分线的性质，求出∠DON和∠COM的和是∠BOD和∠AOC和的一半即可． 【详解】解：（1）平分 ， ；              图1                                        图2 （2）不变． 平分，平分 ， 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练运用角平分线的性质，结合角的和差进行计算是解题关键． 【变式1-2】如图，两条直线，相交于点，且，射线从开始绕点逆时针方向旋转，速度为，射线同时从开始绕点顺时针方向旋转，速度为．两条射线，同时运动，运动时间为秒．（本题出现的角均小于平角） （1）当时，　　　，　　　　　； （2）当时，若．试求出的值； （3）当时，探究的值，问：满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定值？ 【答案】（1）144°，66°；（2）秒或10秒；（3）当0＜t＜时，的值是1；当＜t＜6时，的值不是定值． 【分析】（1）根据时间和速度分别计算∠BOM和∠DON的度数，再根据角的和与差可得结论； （2）分两种情况：①如图所示，当0＜t≤7.5时，②如图所示，当7.5＜t＜12时，分别根据已知条件列等式可得t的值； （3）分两种情况，分别计算∠BON、∠COM和∠MON的度数，代入可得结论． 【详解】解：（1）由题意得： 当时， ∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=2×15°+90°+2×12°=144°， ∠AON=∠AOD-∠DON=90°-24°=66°， 故答案为：144°，66°； （2）当ON与OA重合时，t=90÷12=7.5（s） 当OM与OA重合时，t=180°÷15=12（s） 如图所示，①当0＜t≤7.5时，∠AON=90°-12t°，∠AOM=180°-15t° 由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（90-12t）-60，解得t=， ②当7.5＜t＜12时，∠AON=12t°-90°，∠AOM=180°-15t°， 由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（12t-90）-60，解得t=10， 综上，t的值为秒或10秒； （3）当∠MON=180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°， ∴15t+90+12t=180，解得t=， 如图所示，①当0＜t＜时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°， ∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°， ∴（定值）， ②当＜t＜6时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°， ∠MON=360°-（∠BOM+∠BOD+∠DON）=360°-（15t°+90°+12t°）=270°-27t°， ∴（不是定值）． 综上所述，当0＜t＜时，的值是1；当＜t＜6时，的值不是定值． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，角的和差关系的计算，解决问题的关键是将相关的角用含t的代数式表示出来，并根据题意列出方程进行求解，以及进行分类讨论，解题时注意方程思想和分类思想的灵活运用． 【变式1-3】已知将一副三角板（）如图1摆放，点O、A、C在一条直线上．将直角三角板绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图位置． （1）如图1，当点O、A、C在同一条直线上时，_______度；如图2，若要恰好平分，则_______度； （2）如图3，当三角板摆放在内部时，作射线平分，射线平分，如果三角板在内绕点O任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由． （3）当三角板从图1的位置开始，绕点O逆时针方向旋转一周，保持射线平分、射线平分（），在旋转过程中，（2）中的结论是否保持不变？如果保持不变，请说明理由；如果变化，请说明变化的情况和结果（即旋转角度a在什么范围内时的度数是多少）． 【答案】（1）60，75；（2），理由见详解；（3）①当时，；②当时，或120°，③当时，；④当时，或60°；⑤当时， 【分析】（1）由题意易得，然后根据角平分线的定义及角的和差关系可进行求解； （2）由题意易得，，进而可得，然后问题可求解； （3）设旋转角度为，根据题意可得：，①当时，②当时，即为平角，③当时，④当时，则，⑤当时，然后进行分类求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴； 故答案为60，75； （2）的度数不发生变化，理由如下： ∵射线平分，射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）设旋转角度为，根据题意可得：， ∵射线平分，射线平分， ∴， ①当时，如图所示： ∴， ②当时，即为平角，可分为： 当点M在OB上，如图所示： ∴， ∴； 当点M在BO的延长线时，如图所示： ∴； ③当时，如图所示： ∴， ∴， 解得：， ∴； ④当时，则，如图所示： ∴当ON平分在∠BOD的左边时，则，当ON平分在∠BOD的右边时，则； ⑤当时，如图所示： ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义及平角的意义，熟练掌握角平分线的定义及平角的意义是解题的关键． 【题型3：角度之间数量关系问题】 【例1】如图，将一副直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． （1）若∠DCE=35°，∠ACB= °； （2）猜想：①∠ACE与∠BCD的大小有何关系？②∠ACB与∠DCE的大小有何关系？并分别说明理由； （3）若保持三角尺BCE不动，三角尺ACD的CD边与CB边重合，然后将三角尺ACD绕点C按逆时针方向任意转动一个角度∠BCD．设∠BCD=（0°＜＜90°）， ①∠ACB能否是∠DCE的4倍？若能求出的值；若不能说明理由， ②三角尺ACD转动中，∠BCD每秒转动3°，当∠DCE=21°时，转动了多少秒？ 【答案】（1）145；（2）①∠ACE=∠BCD，见解析，②∠ACB+∠DCE=180°，见解析；（3）①能，54°，②23秒 【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，重叠的部分就比∠ACD+∠ECB减少的部分，所以若∠DCE=35°，则∠ACB的度数为180°-35°=145°； （2）①利用同角的余角相等，即可求解； ②由于∠ACD=∠ECB=90°，重叠的度数就是∠ECD的度数，所以∠ACB+∠DCE=180°； （3）①当∠ACB是∠DCE的4倍，设∠ACB=4x，∠DCE=x，利用∠ACB与∠DCE互补得出即可； ②设当∠DCE=21°时，转动了t秒，根据∠BCD+∠DCE=90°，列方程可得结论． 【详解】（1）∵∠ACD=∠ECB=90°，∠DCE=35°， ∴∠ACB=180°-35°=145°， 故答案为：145； （2）①∠ACE=∠BCD， ∵∠ACE+∠ECD=∠BCD+∠ECD=90°， ∴∠ACE=∠BCD； ②∠ACB+∠DCE=180°， 理由：∵∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD=180°． ∠ACE+∠ECD+∠DCB=∠ACB， ∴∠ACB+∠DCE=180°，即∠ACB与∠DCE互补； （3）①当∠ACB是∠DCE的4倍， ∴设∠ACB=4x，∠DCE=x， ∵∠ACB+∠DCE=180°， ∴4x+x=180°， 解得：x=36°， ∴α=90°-36°=54°； ②设当∠DCE=21°时，转动了t秒， ∵∠BCD+∠DCE=90°， ∴3t+21=90°， t=23°， 答：当∠DCE=21°时，转动了23秒． 【点睛】本题主要考查了互补、互余的定义，一元一次方程的应用等知识，解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠． 【变式1-1】已知是直线上的一点，平分． (1)如图1，射线在直线的同侧． ①若______；若______度； ②猜想与之间的数量关系； ③若的内部有一射线，射线将分为1∶4两部分，求的度数； (2)如图2，射线在直线的异侧，判断与之间的数量关系与②中的是否相同，并说明理由． 【答案】(1)①；；②；③或 (2)相同，理由见解析 【分析】（1）①先求出，根据平分得到，即可得到，同理可得当时，； ②猜想，根据，平分即可得到，由，得到，猜想得证． ③分在左侧和在右侧两种情况，分别进行求解即可； （2）根据，平分即可得到，由，得到，结论得证． 本题考查角度的计算，主要涉及角平分线，垂直，邻补角的相关知识，计算过程中注意合理利用已知条件，利用角的和差来求解要求的角． 【详解】（1）解：①∵ ∴， ∵平分． ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， ∵平分． ∴ ∵， ∴， 故答案为：；． ②猜想， 证明：∵，平分． ∴， ∵， ∴， 即． ③如图，当在左侧时，， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，当在右侧时，， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 综上可知，的度数为或； （2）与之间的数量关系与②中的相同，即， 理由如下： ∵，平分． ∴， ∴， 即． 【变式1-2】已知∠AOB＝∠COD＝90°，OE平分∠BOC． (1)如图，若∠AOC＝30°，则∠DOE的度数是______；（直接写出答案） (2)将（1）中的条件“∠AOC＝30°”改为“∠AOC是锐角”，猜想∠DOE与∠AOC的关系，并说明理由； (3)若∠AOC是钝角，请先画出图形，再探索∠DOE与∠AOC之间的数量关系．（不用写探索过程，将结论直接写在你画的图的下面） 【答案】(1)60° (2)，理由见解析 (3)∠AOC+2∠DOE=270°或2∠DOE-∠AOC=90°或∠AOC+2∠DOE=450°或∠AOC-2∠DOE=90° 【分析】（1）先求出∠BOC的度数，即可利用角平分线的定义求出∠COE的度数，由此即可得到答案； （2）同（1）求解即可； （3）分当OD在∠AOB内部和当OD在∠AOB外部两种情况画出图形求解即可． 【详解】（1）解：∵∠AOB=90°，∠AOC=30°， ∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE=∠BOE=30°， ∵∠COD=90°， ∴∠DOE=∠COD-∠COE=60°， 故答案为：60° （2）解： ，理由如下： ∵∠AOB=90°， ∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-∠AOC ∵OE平分∠BOC， ∴ ∵∠COD=90°， ∴ （3）解：如图3-1所示，当OD在∠AOB内部时， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOC=2∠BOE=2∠COE， ∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+2∠COE，∠DOE=∠COD-∠COE=90°-∠COE， ∴∠AOC+2∠DOE=90°+2∠COE+180°-2∠COE=270°； 如图3-2所示，当OD在∠AOB外部时， 同理可以求出∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+2∠COE，∠DOE=∠COD+∠COE=90°+∠COE， ∴2∠DOE-∠AOC= 180°+2∠COE-90°-2∠COE =90°； 如图3-3所示，当OD在∠AOB外部时， 同理可以求出∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=270°-2∠COE，∠DOE=90°+∠COE， ∴∠AOC+2∠DOE=270°-2∠COE+180°+2∠COE=450°； 如图3-4所示，当OD在△AOB外部时， 同理可以求出∠AOC=270°-2∠COE，∠DOE=90°-∠COE， ∴∠AOC-2∠DOE=90°； 综上所述，∠AOC+2∠DOE=270°或2∠DOE-∠AOC=90°或∠AOC+2∠DOE=450°或∠AOC-2∠DOE=90°． 【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意利用数形结合和分类讨论的思想求解是解题的关键． 【变式1-3】如图，已知，将一个直角三角形纸片()的一个顶点放在点处，现将三角形纸片绕点任意转动，平分斜边与的夹角，平分. （1）将三角形纸片绕点转动(三角形纸片始终保持在的内部)，若，则_______； （2）将三角形纸片绕点转动(三角形纸片始终保持在的内部)，若射线恰好平分，若，求的度数; （3）将三角形纸片绕点从与重合位置逆时针转到与重合的位置，猜想在转动过程中和的数量关系？并说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析 【分析】（1）利用角平分线定义得出，，再利用∠AOB的和差关系进行列方程即可求解； （2）利用，表达出∠AOC、∠BOD，利用∠AOB的和差关系进行列方程即可求解； （3）画出图形后利用角的和差关系进行计算求解即可． 【详解】解：（1）∵平分斜边与的夹角，平分． ∴OM平分∠AOC, ON平分∠BOD ∴设 ∴， ∵ ∴ ∴ 故答案为: （2）∵ ∴设 ∵射线恰好平方 ∴ ∴ ∵平分斜边与的夹角，平分． ∴OM平分∠AOC, ON平分∠BOD ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ (3) ,证明如下： 当OC与OA重合时，设∠COD=x,则 ∵ON平分∠BOD ∴ ∴ ∴ 当OC在OA的左侧时 设∠AOD=a，∠AOC=b，则∠BOD=∠AOB-∠AOD=150°-a，∠COD=∠AOD+∠AOC=a+b ∵ON平分∠BOD ∴ ∵OM平分∠AOC ∴ ∴∠MON=∠MOA+∠AOD+∠DON 当OD与OA重合时 ∵ON平分∠AOB ∴ ∵OM平分∠AOC ∴ ∴ 综上所述 【点睛】本题考查了角平分线的动态问题，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【题型4：存在性问题】 【例1】已知：如图1，点、、依次在度线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿进时针方向以每秒的速度前转，如图2，设旋转时间为（0秒≤≤60秒）． （1）用含的代数式表示下列各角的度数：______，______． （2）在运动过程中，当0秒秒时，达到，求的值． （3）在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线．射线、射线中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）3t，6t或 360-6t；（2）t为15秒或25秒时，∠AOB=45°；（3）存在，t的值分别为12、15、24、45秒． 【分析】（1）∠AOM的度数等于OA旋转速度乘以旋转时间，当旋转度数小于180°时，∠NOB的度数等于OB旋转速度乘以旋转时间，当旋转度数大于180°时，∠NOB的度数等于360°-OB旋转速度乘以旋转时间； （2）分OA，OB相遇前和相遇后两种情况讨论，列方程求解即可； （3）分OB平分∠AOM时，OB平分∠MON时，OB平分∠AON时三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）∠MOA=3t，∠NOB=6t或 360-6t， 故答案为：3t，6t或 360-6t； （2）若OA，OB相遇前，∠AOB=45°， ∴3t+6t+45°=180°， ∴t=15s 若OA，OB相遇后，∠AOB=45°， ∴3t+6t-45°=180°， ∴t=25s ∴t为15秒或25秒时，∠AOB=45°； （3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况： ①OB平分∠AOM时， ∵， ∴， 解得：t=24； ②OB平分∠MON时， ∵，即∠BOM=90°， ∴6t=90，或6t-180=90， 解得：t=15，或t=45； ③OB平分∠AON时， ∵， ∴， 解得：t=12； 综上，当t的值分别为12、15、24、45秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线． 【点睛】本题主要考查角的计算和角平分线性质的运用，一元一次方程的应用．OB为角平分线时分类讨论是解题的关键和难点． 【变式1-1】如图：已知∠MON=90°，射线OA绕点O从射线OM位置开始按顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O从射线ON位置开始按逆时针方向以每秒6°的速度旋转，设旋转时间为t秒（0≤t≤30）． （1）用含t的代数式表示∠MOA的度数； （2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到60°时，求t的值； （3）射线OA，OB在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB是由射线OM，射线OA，射线ON中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）∠MOA=4tt；（2）t=15秒时，∠AOB第二次达到60°；（3）存在，t的值分别为、、秒，理由见解析. 【分析】（1）∠AOM的度数等于OA旋转速度乘以旋转时间，∠NOB的度数等于OB旋转速度乘以旋转时间； （2）当∠AOB第二次达到60°时，射线OB在OA的左侧，根据∠AOM+∠BON-∠MON=60°列方程求解可得； （3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有三种情况：①OB两次平分∠AOM时，根据∠AOM=∠BOM，列方程求解，②OB两次平分∠MON时，根据∠BOM=∠MON，列方程求解，③OB平分∠AON时，根据∠BON=∠AON，列方程求解． 【详解】（1）如图1， ∠MOA=4t，∠NOB=6t或180°-6t； （2）如图， 根据题意知：∠AOM=4t，∠BON=6t， 当∠AOB第二次达到60°时，∠AOM+∠BON-∠MON=60°， 即4t+6t-90°=60°，解得：t=15， 故t=15秒时，∠AOB第二次达到60°； （3）射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线有以下三种情况： ①OB平分∠AOM时，∵∠AOM=∠BOM， ∴×4t=90-6t， 解得：t=； ②OB平分∠MON时，∵∠BOM=∠MON，即∠BOM=45°， ∴6t=45， 解得：t=； ③OB平分∠AON时，∵∠BON=∠AON， ∴6t=（90-4t）， 解得：t=； 综上，当t的值分别为、、秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，角的计算和角平分线性质的运用，OB为角平分线时分类讨论是解题的关键和难点． 【变式1-2】如图1，点A，O，B依次在直线MN上，将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒15°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿顺时针方向以每秒5°的速度旋转（如图2），设旋转时间为t（0⩽t⩽48，单位秒）． (1)当t=12时，∠AOB= °． (2)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OM是由射线OB、射线OA组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，当∠AOB=60°时，求t的值． 【答案】(1)60° (2)27或45 (3)12或24或48 【分析】（1）t=12时，∠AOM=15°×12=180°，即OA与ON重合，故∠AOB=∠BON=5°×12=60°． （2）①求OA追上OB的大致时刻，得到OM平分∠AOB时的图形，用t表示此时∠AOM与∠BOM的度数，列方程即可求t；②当OA超过OB将要旋转到第二圈，OB旋转过OM时，此时OM可以是∠AOB的角平分线，列第二个方程求t。 （3）OA、OB都是顺时针旋转，可理解为初始路程差为180°的追及问题：当∠AOB第一次达到60°时，即OA差60°追上OB，路程差为（180-60）°，即15t-5t=180-60；第二次达到60°时，即OA追上OB且超过60°，路程差为（180+60）°；第三次达到60°时，OA再走一圈差60°追上OB，路程差为（180+360-60）°，此时求出的t． 【详解】（1）解：当t=12时,∠AOM=15°×12=180°,∠BON=5°×12=60°， ∴∠AOB=180°−∠AOM+∠BON=60°， 故答案为：60°． （2）存在满足条件的t值。 ①∵OA旋转一周所需时间为：360°÷15°=24(秒)， 此时,∠BON=5°×24=120°，即OA已经旋转过OB的位置， 若OM平分∠AOB且0°<∠AOB<180°，位置如图1， ∴∠AOM=(15t−360)°,∠BOM=(180−5t)°， ∴15t−360=180−5t，解得：t=27， ②若OM平分∠BOA且0°<∠BOA<180°，位置如下图2， ∴∠AOM=(720-15t)°,∠BOM=(5t-180)°， ∴720-15t=5t-180，解得：t=45， （3）(3)①如图3,当∠AOB第一次达到60°时,OA比OB多转了(180−60)°，得： 15t−5t=180°−60°，解得：t=12， ②如图3,当∠AOB第二次达到60°时,OA比OB多转了(180+60)°，得： 15t−5t=180°+60°，解得：t=24， ③如图5，当∠AOB第三次达到60°时,OA比OB多转了(180+360−60)°， 得：15t−5t=180°+360°−60°， 解得：t=48，符合题意， 综上所述,当∠AOB=60°时,t=12或24或48． 【点睛】本题考查一元一次方程在角度计算中的应用，解题的关键是根据射线的旋转，分情况进行讨论． 【变式1-3】如图1，点A、O、B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为（的值在0到之间，单位：秒）． (1)当时，求的度数； (2)在运动过程中，当首次达到时，求的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线垂直射线？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，的值为15秒或45秒． 【分析】（1）利用旋转角等于速度乘以时间得出时间与角度关系，再进行共顶点角度计算即可； （2）用时间结合速度求出时间与角度的关系，再利用列方程求出的值； （3）根据时间范围，大致推算的可能位置情况，再进行计算和验证即可． 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：首次到达故得 ， （秒）； （3）解：首次到达时，， （秒）； 第二次到达时，如图： ， （秒）； 秒，故不再有其他垂直的情况， 综上所述的值为15秒或45秒． 【点睛】本题考查共顶点角度的计算，结合旋转速度，明确位置关系和用时间表示角度是解题的关键． 【变式1-4】如图，是平角，射线从开始，先顺时针绕点向射线旋转，到达后再绕点逆时针向射线旋转，速度为6度/秒．射线从开始，以3度/秒的速度绕点向旋转，到当到达时，射线与都停止运动．设旋转时间为秒． (1)当秒时，判断射线是否是的角平分线，并请说明理由． (2)若射线与射线垂直，求的度数． (3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使得是的2倍？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是的角平分线，理由见解析 (2)30°或90° (3)或24或40 【分析】（1）证明，即可证明是的角平分线； （2）分两种情况讨论，从而求出的度数； （3）分三种情况讨论使得是的2倍时，t的值． 【详解】（1）解：是的角平分线，理由如下： ∵当秒时 ∴，， ∴ ∴， ∴射线是的角平分线； （2）解：∵射线与射线垂直， ∴， ∴， 设旋转时间为秒时，度，度， 第一种情况：如图， 则， 解得：； ∴， 第二种情况：如图， 则， 解得：， ∴， 综上所述的度数为或； （3）解：第一种情况：当在左边时，如图， 设旋转时间为秒时，是的2倍， 则度，度， ∴， 解得：； 第二种情况：当在右边时，如图， 设旋转时间为秒时，是的2倍， 则度，度， ∴， 解得：； 第三种情况：当运动到，又返回时，如图， 设旋转时间为秒时，是的2倍， 则度，度 ∴， 解得：， 综上所述：或24或40. 【点睛】本题考查动点问题、一元一次方程的应用、角的运算，解题的关键是能够根据运动时间，进行分类讨论． 能力提升 一、解答题 1．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图1，点O是直线上一点，射线从开始以每秒的速度绕点O顺时针转动，射线从开始以每秒的速度绕点O逆时针转动，当、相遇时，停止运动；将、分别沿、翻折，得到、，设运动的时间为t（单位：秒）． (1)如图2，当、重合时， ； (2)当时，，当时，； (3)如图3，射线在直线的上方，且，在运动过程中，当射线、、其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出t的值． 【答案】(1)90 (2)20，12 (3)t的值为10或或． 【分析】（1）利用折叠性质得，，再利用邻补角即可求解； （2）利用折叠性质得求出、、、的度数，即可得解； （3）根据角平分线的不同，分是的角平分线、是的角平分线、是的角平分线三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵将、分别沿、翻折，得到、， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：90； （2）解：当时， ，， ∴， 当时，如下图，，， ∴， 故答案为：20，12； （3）解：当是的角平分线时，则，如图， 由折叠可知，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得； 当是的角平分线时，则，如下图， 由折叠可知，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得； 当是的角平分线时，则，如下图， 由折叠可知，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得； 综上，的值为或或． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，邻补角的性质，折叠的性质，一元一次方程的应用，根据题意正确分类讨论是解题的关键． 2．（24-25七年级上·河南郑州·期末）如图，已知，射线在的内部，且． (1)的度数为______； (2)射线是平面上绕点旋转的一条动射线，平分． ①若射线在的内部，且，求的度数； ②若，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①；②的度数为或 【分析】本题考查了角的和差，角平分线的定义，解题的关键是掌握各角间的和差关系． （1）根据题意，结合，即可求解； （2）①根据角平分线的定义可得：，由，即可求解；②由，可得，分两种情况讨论：当射线在的内部时，当射线在的外部时，根据角平分线的定义和角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解： ，， ， ， 故答案为：； （2）① 平分， ， ， ； ② ， ， 当射线在的内部时， ， ， 平分， ， ； 当射线在的外部时， ， ， 平分， ， ； 综上所述，的度数为或． 3．（24-25七年级上·全国·期末）如图，直角边放置在直线上，现在三角形绕直角顶点O作逆时针匀速转动，每秒钟转，运动时间为． (1)当运动时间t为5秒时， ； (2)当时，求t的值； (3)在运动过程中若射线平分，射线平分，当在直线上面时 ，当在直线下面时 ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查几何图形中角度的计算，正确进行分类讨论是解答本题的关键． （1）先求出转动的角度，再用减去转动的角度即可得出答案； （2）分两种情况：当在的上方和在的下方分别求出的度数再除以即可得出的值； （3）分两种情况：当在的上方和在的下方，运用角平分线定义可以得解． 【详解】（1）解：转动后的度数为：， 故答案为：； （2）解：当在的上方时，如图， ∵， ∴ ∴； 当在的下方时，如图， 则转动的角度为： ∴； 综上，的值为或； （3）解：当在的上方时， ∵平分，平分， ∴ ∴, 又 ∴， ∴； 当在的下方时， ∵ ， ∴ ， 故答案为：， 4．（24-25七年级上·江苏·期末）如图1，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图，设旋转时间为的值在到之间，单位：秒． (1)当时，求的度数； (2)在运动过程中，当第二次达到时，求的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线与射线的夹角为？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)的度数是 (2)的值是秒 (3)存在，的值是秒或秒 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）当时，，，即得； （2）根据题意，当第二次达到时，可得，即可解得答案； （3）分两种情况：当射线与射线第一次夹角为时，可得，当射线与射线第二次夹角为时，可得，即可解得答案． 【详解】（1）解：当时，，， ， 答：的度数是； （2）根据题意，当第二次达到时， ， 解得， 答：当第二次达到时，的值是秒； （3）存在这样的，使得射线与射线的夹角为，理由如下： 当射线与射线第一次夹角为时，两条射线共旋转， ， 解得； 当射线与射线第二次夹角为时，两条射线共旋转， ， 解得， 综上所述，的值是秒或秒． 5．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）已知：如图1，分别为锐角内部的两条动射线，当、运动到如图1的位置时，． (1)求的度数； (2)如图2，射线、分别为、的平分线，求的度数． (3)如图3，若、是外部的两条射线，且平分平分，当绕着点旋转时，的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数；若变化，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不会发生变化， 【分析】本题考查角平分线的定义、余角和补角的意义． （1）根据角的和差关系，由，可得出答案； （2）由角平分线的定义可得，进而求出的度数； （3）由，，可以得出，再根据平分，平分，进而求出答案． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ， 答：的度数为； （2）解：是的平分线， ， 又是的平分线， ， ， ， 答：的度数为； （3）解：的大小不会发生变化． ，， ， ， ， 又平分，平分， ， ， ． 6．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）如图1，点是直线上一点，三角板（其中）的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒． (1)若，，秒时，________； (2)若，，当射线与三角板重合时，所经历的时间是多少秒？ (3)如图2，在运动过程中，射线始终平分．若，，当射线中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，求出此时的值． 【答案】(1)60 (2)6秒 (3)12或30或48 【分析】（1）根据题意，当，，秒时，由代值求解即可得到答案； （2）根据题意，当，时，分两种情况：当与边重合时为秒；当与边重合时为秒；分别由平角定义列方程求解即可得到重合时间，从而得到当射线与三角板重合时，所经历的时间； （3）根据题意，分三种情况：当是的角平分线时；当是的角平分线时；当是的角平分线时；作出图形，数形结合由角度之间的关系列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，，秒时， ， ， ； 故答案为：60； （2）解：当，时，射线与三角板重合分两种情况： 当与边重合时为秒时， ， ， ； 当与边重合时为秒时， ， ； ， 当射线与三角板重合时经历6秒； （3）解：根据题意，分三种情况： 当是的角平分线时，如图所示： ， ， 又始终平分， ， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ， 此时射线与重合， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ， ， 又， ，解得； 故答案为：12或30或48． 【点睛】本题考查旋转性质、角平分线定义、平角定义、角的和差倍分关系及一元一次方程的应用等知识，根据题意，由旋转性质及角平分线、平角定义列出方程求解是解决问题的关键． 7．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知是内部的一条射线，、分别为、上的点，线段、分别以、的速度绕点逆时针旋转． (1)如图①，若，当、逆时针旋转时，分别到、处，求的值； (2)如图②，若、分别在、内部旋转时，总有，求的值． (3)知识迁移，如图③，是线段上的一点，点从点出发在线段上向点运动，点从点出发在线段上向点运动，点、的速度比是，在运动过程中始终有，求___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角的计算，两点间的距离，解方程等知识点， （1）先求出、，再表示出、，然后相加并根据，计算即可得解； （2）设旋转时间为t，表示出，然后列方程求解得到，再整理即可得解； （3）设运动时间为t，表示出，再列出方程求解得，进而即可得解； 熟练掌握其性质并能正确读懂题目信息，准确识图并表示出相关的角度与线段的长度，然后列出方程是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵线段、分别以、的速度绕点逆时针旋转， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：设旋转时间为，则，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：设运动时间为，点M、N速度分别为，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·江西宜春·期末）如图1，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒2°的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒8°的速度旋转，直线保持不动，如图2，设旋转时间为（，单位：秒） (1)当时，求的度数； (2)在运动过程中，当第二次达到60°时，求的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线与射线围成的角是90°（指大于0°而小于等于180°的角）？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)秒时，第二次达到60° (3)当或27秒时， 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，读懂题意，利用数形结合，分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． （1）求出时，的度数，再根据平角的定义，求解即可； （2）根据第二次达到60度时，在的左侧，画出图形，根据，列出方程进行求解即可； （3）分和，两种情况进行讨论，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：当时，，， 所以； （2）如图， 根据题意知：，， 当第二次达到60°时，， 即，解得：． 故秒时，第二次达到60°． （3）分两种情况讨论：当时，由 ， ． 当时，由     ， 综上所述，当或27秒时，． 9．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和美美想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为A、B两点，两脚脚跟位置分别为C、D两点，定义A、B、C、D平面内O为定点，将手脚运动看作绕点O进行旋转． (1)如图2，A、O、B三点在同一条直线上，点C、D重合，，则 ． (2)如图3，A、O、B三点在同一条直线上，且，，平分，求的大小． (3)第四节体侧运动中，如图4，美美发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前A、O、B三点在同一水平线上，绕点O顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线） ①运动停止时， ； ②请帮助美美写出在运动过程中与的数量关系为 ． 【答案】(1) (2) (3) ； ，理由见解析 【分析】本题考查了角的和差，角平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由A、O、B三点在同一条直线上，得出，再根据，即可求解； （2）由角平分线的性质得到，再根据角的和差即可求解； （3）算出运动停止时间，求出运动的角度，即可求出的度数； 由的运动过程可知，当时，，，即可得出与的数量关系． 【详解】（1）解：∵A、O、B三点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵，平分， ∴， ∴， 设运动时间为，当旋转到与重合时运动停止， ∴， ∴， 运动停止时，即时，旋转的角度为， ∴； 当三点共线时， ， ∴当时，，， ∴， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·天津·期末）已知：如图，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，如图，设旋转时间为秒． (1)用含t的代数式表示，其结果是：______度． (2)在运动过程中，当时，求的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线是由射线、射线所组成的角指大于而不超过的角的平分线？如果存在，请计算出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)20或40或80 (3)存在，t的值为36或60 【分析】本题考查角的和差关系，一元一次方程的应用，注意分情况讨论是解题的关键． （1）的度数等于旋转速度乘以旋转时间； （2）当时，分三种情况：射线在左侧；射线在右侧；射线在下方，根据角的和差关系列一元一次方程，即可求解； （3）分两种情况：射线在上方，射线在下方，根据角的和差关系列一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得： 度， 故答案为：； （2）解：当时，分三种情况： 当射线在左侧时，如图： ，， ， 即， 解得：； 当射线在右侧时，如图： ， 即， 解得：； 当射线在下方时，如图： ， 解得：； 综上可知，的值为20或40或80． （3）解：由题意得平分， 所以， 当射线在上方时，， 解得； 当射线在下方时， 解得， 综上可知，存在，t的值为36或60． 11．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期末）【问题背景】 如果一个角的内部有一条射线将这个角分成两个角，并且分成的两个角的度数之比为时，那么我们称这条射线是这个角的动轴分线．例如，如图1，射线将分成和两个角，且，则为的动轴分线；射线将分成和两个角，且，则为的动轴分线． 【概念理解】 （1）若，为的动轴分线，则________°； 【推广探索】 （2）如图2，过直线上一点O作射线．再作和的动轴分线，（，），若，则的度数是否随着的变化而变化？请说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，射线与射线重合，射线与射线重合，现将射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转；同时射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转．当射线与射线首次重合时，射线，同时停止运动，设旋转时间为．求t为何值时，为的动轴分线． 【答案】（1）或；（2）的度数不会随的变化而变化，理由见解析；（3）或 【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用等知识点，正确理解新定义的内容是解题的关键． （1）根据动轴分线的定义求解即可； （2）根据是平角，以及动轴分线定义，得出，从而得出，即可求解． （3）根据为的动轴分线，分为①当时和②当时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，为的动轴分线， 则或， 则，或， 故答案为：或； （2）解：的度数不会随的变化而变化． 理由如下：∵是平角， ， ∵分别是和的动轴分线，且， ， ， ， ， ∴的度数不会随的变化而变化． （3）解：为的动轴分线， ①当时，． 即， 解得：符合题意； ②当时，． 即， 解得：，符合题意； 综上所述，当或时，为的动轴分线． 12．（24-25七年级上·重庆渝北·期末）若，对于绕点O旋转的动射线，将的值定义为射线关于的特征值，其中：，且，． (1)如图1，射线旋转至的内部，且时， ； (2)若． ①如图2，将绕点O旋转，若旋转过程中始终在内部，是否存在某一段时刻．若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由． ②为角平分线，在绕点O旋转的过程中，若，请直接写出的值（其中，）． 【答案】(1) (2)①存在；时，；②或或或 【分析】（1）根据题干提供的信息，列式计算即可； （2）①分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别列式进行计算即可； ②分三种情况讨论：当在内部时，当在外部，且靠近时，当在外部，且靠近时，分别列式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：①存在； ∵将绕点O旋转，若旋转过程中始终在内部， ∴，， 当时，， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴此时不符合题意； 当时，， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当时，， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； ∴此时不符合题意； 综上分析可知：时，． ②当在内部时，， ∴， 即， ∴， 解得：或； 当在外部，且靠近时，如图所示： ， ∴， ∴， 解得：； 当在外部，且靠近时，如图所示： ， ∴， ∴， 解得：； 综上分析可知：或或或． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 13．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）如图1，数轴上的点表示的数为，点表示的数为，且．点是线段的中点． (1)点表示的数是____________． (2)若动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点同时出发，当点到达点时，两动点的运动同时停止，设运动时间为秒，则： ①点、表示的数分别是____________、____________（用含的代数式表示）； ②若在运动过程中，存在，请求出的值． (3)我们发现角的很多运算方法和线段一样，如题图2，，平分．射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，射线同时出发，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍，请求出所有符合题意的的值． 【答案】(1) (2)当或时，． (3)16或或32 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性、数轴上的动点问题、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先根据绝对值的非负性确定a、b的值，进而确定点A、B表示代数，然后根据中点的定义即可解答； （2）①结合数轴用t表示出M、N表示的数即可；②先根据题意表示出，再说明，然后根据列绝对值方程求解即可； （3）先根据角平分线的定义求得，再表示出,再说明，然后再分或两种情况解绝对值方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴点A表示的数为，B表示的数为8， ∵点C是线段的中点， ∴点C表示的数是． （2）解：①设运动时间为t秒， 则：点M表示的数为：；点N表示的数为：； ②∵点M表示的数为：；点N表示的数为：； ∴， ∵， ∴，即， ∵当点N到达点A时，两动点的运动同时停止． ∴； 当时，有，解得：； 当时，有，解得：． 综上，当或时，． （3）解：∵，平分． ∴， 由题意可得：， ∴， ∵当到达时，运动同时停止． ∴； ①当时，， 当时，有，解得：； 当时，有，解得：； ②当时，， 当时，有，解得：，不符合题意； 当时，有，解得：． 综上，当t的值为16或或32时，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍． 14．（23-24七年级上·广东广州·期末）如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处（），一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分．求的度数． (2)将图1中三角板绕点O以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，同时射线从开始绕点O以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当三角板停止运动时，射线也停止运动．设旋转时间为t秒． ①在运动过程中，当时，求t的值； ②当时，在旋转的过程中与始终满足关系（m，n为常数），求的值． 【答案】(1)； (2)①t的值为10秒或秒或秒；②． 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的应用，角的计算、角平分线的定义的运用． （1）根据角平分线的定义以及直角的定义，即可求得的度数； （2）①分四种情况，作出相应图形列方程求解即可； ②先求出当时，在内部，得出，，代入式子计算确定，求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：①秒， 分四种情况： 如图， 由题意得， 解得（秒）； 如图， 由题意得， 解得（秒）； 如图， 由题意得， 解得（秒）； 如图， 由题意得， 解得（舍去）； 综上所述，t的值为10秒或秒或秒； ②当时，旋转了，此时与重合， 当时，旋转了，此时与重合， 当时，在内部， ∵， ∴， ∵， ∵ ∴， 整理得：， ∵等式与的大小无关， ∴， ∴， ∴． 15．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）【阅读材料】 如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“和谐角”，其中一个角叫做另一个角的“和谐角”，例如：，，，则和互为“和谐角”，即是的“和谐角”，也是的“和谐角”． 【初步感知】 （1）如图，，，则下列各角：①，②，③，④，⑤中，是的“和谐角”的有______(填入正确的序号)． 【拓展探究】 （2）在（1）的条件下，若射线绕点以每秒逆时针旋转，射线绕点以每秒顺时针旋转，射线绕点每秒顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动． ①当运秒后，，；(用含t的代数式表示) ②在三条射线的运动过程中，与的关系为：______； ③在运动过程中，当为何值时，和互为“和谐角”？ 【答案】（1）③⑤；（）①，，；②， ；， ③或． 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程式及绝对值的相关知识点； （）根据和谐角的定义，的和谐角为或，选择符合这一条件的角填入填空； （）①根据题目中给出的射线、、旋转方向及速度即可求出它们与直线的夹角度数； ②由①可得，期间射线和射线会重合，对射线与射线重合前后进行分类讨论； ③对射线与射线及射线与射线重合前后进行分类讨论并根据和谐角定义用含的代数式表示，即可求出的值． 【详解】解：（）由题干可得相差的角互为和谐角， ， 它的和谐角为或， 又， ， ， ， 和符合， 故答案为：③⑤； （）①逆时针旋转，和顺时针旋转， 增大，和减小，结合题目中射线、、每秒旋转的速度， ，，； ②当射线与直线重合时，， 当时，，则， 当时，，， 则， 当时，，， 则， 综上所述，， ；，； ③当时，，， 当时，，， 当时，， ， ， 解得，不符合，故， 当时，，， ， 解得不符合，不符合，故不存在， 当时，， ， ， 解得，不符合，故， 综上所述，当或时，和互为“和谐角”． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $