精品解析：安徽省宿州市萧县城东初级中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

城东初级中学第一学期九年级第一次错题整理 数学（试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 将一元二次方程化为一般形式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是，本题中把一元二次方程的各项都移到等号的同一侧，即可得到一元二次方程的一般形式． 【详解】解：把一元二次方程移项， 可得：． 故选：A． 2. 若关于x的方程是一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， ． 故答案为：B． 3. 关于的方程根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有1个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式．根据题意比较和0的大小关系即可得到本题答案． 【详解】解：， ， ∴， ∵， ∴方程没有实数根， 故选：C． 4. 下列说法错误的是（ ） A. 菱形是轴对称图形 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 有一个角是直角的菱形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定定理，矩形的性质，正方形的判定等知识，掌握以上知识是解题的关键． 根据菱形的性质，平行四边形的判定定理，矩形的性质，正方形的判定等逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 菱形是轴对称图形，故该选项正确，不符合题意； B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项正确，不符合题意； C. 矩形的对角线不一定垂直，故该选项错误，符合题意； D. 有一个角是直角的菱形是正方形，故该选项正确，不符合题意； 故选C 5. 如图，四边形是矩形，对角线和相交于点，若，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质．根据矩形的性质，即可得的长． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线和相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 关于x的方程，下列解法完全正确的是（ ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得 整理得 ∵，，， ∴， ∴， ∴， 整理得， 配方得， ∴， ∴， ∴， 移项得， ∴， ∴或， ∴， A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，需要判断每种解法的正确性；甲解法漏解，乙解法计算判别式时c值错误，丙解法配方错误，丁解法正确使用因式分解法. 【详解】解：∵ 方程 可移项得 ， ∴ 因式分解得 ， ∴ 或 ， ∴ , ； 甲解法两边除以 可能漏解 ，错误； 乙解法整理后方程应为 （即 )，但误认为 ，导致判别式的值错误； 丙解法配方应为 即 ，但误写为 ，导致根错误； 丁解法正确. 故选：D 7. 对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数（　　） A. 10 B. 4 C. 4或 D. 4或或10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查新定义，一元一次方程的解法，一元二次方程的解法．分两种情况讨论：当时，当时，再分别根据新定义列出方程，再解方程即可． 【详解】解：∵当时，则，当时，， ∴当时， 解得，不符合题意，舍去； 当时，则， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， 综上，， 故选：B． 8. 如图，四边形和四边形都是矩形，点在边上，若矩形和矩形的面积分别为和，若，则是（ ） A. 6 B. C. 12 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质及面积的计算．由于矩形的面积与矩形的面积都等于2个的面积，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：A． 9. “蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示的蓝丝带，若．重叠部分图形的面积是，则丝带的宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，勾股定理．先证明四边形是平行四边形，则，作于，于，设，利用面积法证明，得到四边形是菱形，再由勾股定理求得，然后根据重合部分四边形的面积为，列式求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 如图，作于，于，连接，则， 设， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 则， ∴重合部分四边形的面积为： ， 解得（负值已舍去）， ∴丝带的宽为， 故选：A． 10. 用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接，，与交于点．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠得：，垂直平分，，故，那么为等边三角形，即可判断①②；由四边形是正方形得到，那么，由三角形内角和定理可得，故③正确；对于和，通过勾股定理计算说明不相等即可． 【详解】解：由折叠得：，垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 故①②正确， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵为等边三角形，，， ∴，， 设，则， 由勾股定理得：， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴ 故④正确， 综上所述正确的有：①②③④； 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握它们的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是_____．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定方法，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形解答即可． 【详解】解：添加条件，那么为菱形．理由： ∵四边形是平行四边形，， ∴根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可知为菱形． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 设方程的两个根为，那么_______． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程（）的两根，则，是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再将所求式子通分变形，代入计算． 【详解】解：∵方程的两个根为，， ∴， ∴ 故答案为： 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标是，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形、矩形的性质、勾股定理等知识点，合理利用勾股定理求长度是解题的关键．根据勾股定理求出，根据矩形的性质得出即可解答． 【详解】解：连接如图所示， 点坐标是， ， 四边形是矩形， ． 故答案为：． 14. 对于两个互不相等的实数，我们规定符号表示两个数中最大的数．按照这个规定解决下列问题： （1）方程的解为_______； （2）方程的解为_______． 【答案】 ①. ②. 或1 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据因式分解法可进行求解方程； （2）由题意可分为当时，当时和当时，然后进行分类求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ， ， 解得：； （2）当时，即， ∴， 解得：（均不符合题意，舍去）； 当时，即， 此时可有，方程成立， 所以是方程的解； 当时，即， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述：方程的解为或1． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程： （1）（公式法）； （2）（因式分解法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的公式法和因式分解法求解，熟练掌握一元二次方程的求根公式以及因式分解的方法是解题的关键． （1）先确定一元二次方程中各项系数，再计算判别式的值，最后代入求根公式求解． （2）先将方程化为一般形式，再通过因式分解将方程左边化为两个一次因式乘积的形式，进而求解． 【小问1详解】 解：， 则，，． ∴． ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：， ∴， 即． ∴， ∴或， 解得：，． 16. 等腰三角形的两条边长分别是方程的根，求这个等腰三角形的周长． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的定义，解题的关键是掌握三角形的三边关系，等腰三角形的定义，要注意分情况讨论求解． 利用因式分解法解一元二次方程求出的值，再根据等腰三角形的定义分情况讨论，利用三角形三边关系判断求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， 当1是腰时，三角形的三边分别为1、1、5，，不能组成三角形， 当5是腰时，三角形的三边分别为1、5、5，，能组成三角形， ∴这个等腰三角形的周长为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知：关于的方程． （1）若方程总有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根． 【答案】（1） （2）的值为1时，该方程的另一根为1，的值为5时，该方程的另一根为9 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义及解法等知识． （1）根据题意得到，即可求出； （2）设方程的一个根为3，求出，分和两种情况解出一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵方程总有两个不相等的实数根， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵ 方程的一个根为3， ∴， 解得，， 当时，原方程化为， 解得，， ∴另一根为1； 当时，原方程化为， 解得， ∴另一根为9； ∴的值为1时，该方程的另一根为1，的值为5时，该方程的另一根为9． 18. 如图，点是正方形的对角线上一点，交于点，且．求证：． 【答案】 证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定及性质，正方形的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，证明是解本题的关键．先利用正方形的性质求得，进而得，然后证明即可得解． 【详解】略 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在四边形中，，点O在上，过点O作分别交，于点E和点F，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形的周长是36，，求的值． 【答案】（1） 解：∵，， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是菱形； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，勾股定理，完全平方公式的运用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先证明出四边形是平行四边形，然后结合即可证明出四边形是菱形； （2）首先根据菱形的性质得到，，然后利用勾股定理得到，然后结合完全平方公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵菱形的周长是36， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程” （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）已知关于的一元二次方程．（是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】（1） 解：∵， ∴， ∴， ∵符合“邻根方程”定义， ∴是“邻根方程”； （2）或 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，公式法解一元二次方程． （1）先利用因式分解法解一元二次方程，再根据题意即可得到答案； （2）根据题意利用公式法解一元二次方程，再列出两根相减等于1的式子，解出即可得到本题答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵关于的二次方程．（是常数）是“邻根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴或， ①当时，即， 方程根为或， ∵， ∴， ∴，解得：； ②当时，即， 方程根为或， ∵， ∴， ∴，解得：； ③当时，即， 方程根为， 不符合题意，不存在的值使得其中一个根比另一个根大1， ∴综上所述：或． 六、（本题满分12分） 21. 如图，小明设计如下的正方形图案，外一层是空心圆，内部全是实心圆，归纳图案中的规律，完成下列任务． （1）图案中实心圆有 个，空心圆有 个； （2）此类图案中是否存在实心圆比空心圆多41个，请你作出判断并说明理由． 【答案】（1）， （2） 解： 存在，理由如下： 根据题意，得：， 整理，得， 解得（舍去）或． 故第9个图案中实心圆比空心圆多41个． 【解析】 【分析】此题考查了图形类规律探究，一元二次方程的应用，正确理解图形的变化规律得到计算规律，以及掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）分别计算各图案中空心圆和实心圆的数量，归纳出规律：图案n中实心圆有个，空心圆有个，即可； （2）根据题意列方程解答． 【小问1详解】 解：图案1中实心圆有1个，空心圆有个， 图案2中实心圆有个，空心圆有个， 图案3中实心圆有个，空心圆有个， ……， ∴图案n中实心圆有个，空心圆有个． 故答案为：，． 【小问2详解】 略 七、（本题满分12分） 22. 如图，在中，，是斜边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并证明你的结论． （3）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 证明：四边形是菱形， 理由如下：∵D是的中点， ∴， ∵由（1）得， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，是斜边上的中线， ∴， ∴四边形是菱形； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，平行四边形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形以及特殊的平行四边形的判定与性质． （1）证明即可得到； （2）先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边中线的性质得到，即可证明为菱形； （3）连接，证明四边形是平行四边形，则，再由菱形面积公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵由（2）得四边形是菱形 ∴． 八、（本题满分14分） 23. 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【概念理解】 我们已经学习了①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形，在这四种图形中一定是垂美四边形的是_____（填序号）； （2）【性质探究】 如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边，与，之间的数量关系，并说明理由； （3）【问题解决】 如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求． 【答案】（1）②④ （2） 解：，理由： 四边形是垂美四边形， ， ． 由勾股定理，得， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论； （2）利用勾股定理即可得出结论； （3）如答图，连接，设交于点．先证明，得出四边形是垂美四边形，借助（2）的结论即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵菱形，正方形的对角线互相垂直 ∴菱形，正方形是垂美四边形； 故答案为：②④ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如答图，连接，设交于点． ， ， 即． 在和中， ， ． ， ． ， ， ， 四边形是垂美四边形． 由（2）可知． ， 由勾股定理，得， ． ∴ 【点睛】此题考查了正方形和菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 城东初级中学第一学期九年级第一次错题整理 数学（试题卷） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 将一元二次方程化为一般形式为（　　） A. B. C. D. 2. 若关于x的方程是一元二次方程，则（ ） A. B. C. D. 3. 关于的方程根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有1个实数根 4. 下列说法错误的是（ ） A. 菱形是轴对称图形 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 有一个角是直角的菱形是正方形 5. 如图，四边形是矩形，对角线和相交于点，若，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 2 6. 关于x的方程，下列解法完全正确的是（ ） 甲 乙 丙 丁 两边同时除以得 整理得 ∵，，， ∴， ∴， ∴， 整理得， 配方得， ∴， ∴， ∴， 移项得， ∴， ∴或， ∴， A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 对于实数，定义一种新运算“”：当时，；当时，．若，则实数（　　） A. 10 B. 4 C. 4或 D. 4或或10 8. 如图，四边形和四边形都是矩形，点在边上，若矩形和矩形的面积分别为和，若，则是（ ） A. 6 B. C. 12 D. 无法确定 9. “蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示的蓝丝带，若．重叠部分图形的面积是，则丝带的宽为（ ） A. B. C. D. 10. 用一张正方形的纸片按如下方式折叠：如图，先将纸片对折得到折痕，再沿过点的直线翻折纸片，得到折痕，使点落在上的点处，连接，，与交于点．有下列结论：①；②为等边三角形；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图，的对角线与交于点，要使得为菱形，可添加的一个条件是_____．（写一个即可） 12. 设方程的两个根为，那么_______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标是，则的长为________． 14. 对于两个互不相等的实数，我们规定符号表示两个数中最大的数．按照这个规定解决下列问题： （1）方程的解为_______； （2）方程的解为_______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程： （1）（公式法）； （2）（因式分解法）． 16. 等腰三角形的两条边长分别是方程的根，求这个等腰三角形的周长． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知：关于的方程． （1）若方程总有两个不相等的实数根，求的取值范围； （2）若该方程的一个根为3，求的值及该方程的另一根． 18. 如图，点是正方形的对角线上一点，交于点，且．求证：． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在四边形中，，点O在上，过点O作分别交，于点E和点F，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形的周长是36，，求的值． 20. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程” （1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； （2）已知关于的一元二次方程．（是常数）是“邻根方程”，求的值． 六、（本题满分12分） 21. 如图，小明设计如下的正方形图案，外一层是空心圆，内部全是实心圆，归纳图案中的规律，完成下列任务． （1）图案中实心圆有 个，空心圆有 个； （2）此类图案中是否存在实心圆比空心圆多41个，请你作出判断并说明理由． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在中，，是斜边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并证明你的结论． （3）若，，求四边形的面积． 八、（本题满分14分） 23. 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）【概念理解】 我们已经学习了①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形，在这四种图形中一定是垂美四边形的是_____（填序号）； （2）【性质探究】 如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边，与，之间的数量关系，并说明理由； （3）【问题解决】 如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $