精品解析：河南省新乡市牧野区河南师范大学附属中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷

2025—2026学年第一学期九年级第一次月考 《数学》试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 4，6，1 B. 4，6， C. 4，，1 D. 4，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，①一元二次方程的一般形式是 （为常数），②找项的系数时带着前面的符号． 根据一元二次方程的一般形式得出答案即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是4，6，， 故选：B． 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程移项得：x2-8x=-9，配方得：x2-8x+16=7，即（x-4）2=7， 故选A． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3. 抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象的平移规则“上加下减，左加右减”，求解即可． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线的解析式为 故选：C 【点睛】此题考查了函数图象的平移，解题的关键是掌握函数图象的平移规则． 4. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，以及一元二次方程解的定义，掌握一元二次方程的相关知识点是解题关键．根据一元二次方程的根可以使方程两边相等，求出，再根据一元二次方程的二次项系数不为0，求出，即可得解． 【详解】解：的一元二次方程的一个根是0， ， ， ， ， ， 故选：A． 5. 对于抛物线，下列结论正确的是（ ） A. 顶点坐标是 B. 开口向下 C. 当时，随的增大而增大 D. 与轴没有交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题，掌握二次函数的图象和性质是解题关键．根据二次函数解析式，可得图象的开口方向，对称轴，以及顶点坐标，可判断A、B选项结论；根据二次函数的增减性可判断C选项；令，利用根的判别式，可判断D选项． 【详解】解：， 图象开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，A、B选项结论错误； 当时，随的增大而增大，C选项结论错误； 令，则， 此时， 图象与轴没有交点，D选项结论正确， 故选：D． 6. 已知抛物线的对称轴为直线，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数对称轴的公式可求出抛物线的对称轴为直线，求出的值即可． 【详解】解：， 对称轴为直线， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，熟记公式是解题关键． 7. 已知，则的值是（ ） A. 4 B. 2 C. 4或 D. 或2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，令，则，整理得：，解出该方程再根据进行取舍即可； 【详解】解：令，则， 整理得：，解得：； ∵， ∴； 故选：A 8. 已知在二次函数的图象上，则的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数函数值的计算与比较，解题的关键是根据二次函数解析式，通过直接代入点的横坐标求出对应函数值来比较大小． 直接将三点的横坐标、、分别代入二次函数的解析式，计算出、、的具体数值，再对数值进行大小比较，即可得出三者关系；也可先求对称轴判断增减性，但本题代入求值更直接高效． 【详解】解：分别将、、代入二次函数： 当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴ 故选：B． 9. 如图，抛物线交轴于点、，顶点为，若方程有实数根，则应满足的条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数图像确定相应方程根的情况，当抛物线与直线有交点时，方程有实数根；据此即可求解； 【详解】解：当抛物线与直线有交点时，方程有实数根； ∵抛物线顶点为， ∴当时，方程有实数根； 故选：A． 10. 如图，二次函数的图象与轴交于点，，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤，其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数的图象判断式子符号，由函数图像开口向上推出；由二次函数的图象与轴交于点，，推出抛物线的对称轴为直线：；由函数图像与轴的交点在轴的负半轴，推出；据此即可判断； 【详解】解：∵函数图像开口向上， ∴； ∵二次函数的图象与轴交于点，， ∴抛物线的对称轴为直线：； ∴，即； ∵函数图像与轴的交点在轴的负半轴， ∴； ∴，故①错误； ∵二次函数的图象与轴有两个交点， ∴，故②正确； 由图像可知：当时，；故③错误； ∵， ∴，故④错误； ∵抛物线的对称轴为直线：，与轴的一个交点为， ∴　由图像可知，当时，，故⑤正确； 故选：B 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间仅比赛一场，赛程计划安排5天，每天安排3场比赛，则应邀请 _____队参赛． 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意可得共场比赛，设比赛组织者应邀请x队参赛，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：∵赛程计划安排5天，每天安排3场比赛， ∴共场比赛， 设比赛组织者应邀请x队参赛，根据题意得： ． 解得：（舍去）， 答：应邀请6队参赛． 故答案为：6 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 12. 已知菱形的两边、的长是关于的方程的两个实数根，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查菱形的性质，已知一元二次方程的解的情况求参数，先根据菱形的性质得到，由此判断一元二次方程有两个相等的实数根，根据判别式求出m的值． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵、的长是关于的方程的两个实数根， ∴关于的方程的有两个相等的实数根， ∴，即， 解得， 故答案为：1． 13. 若m，n是方程的两个根，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程，可得的值，根据根与系数的关系可得，再代入代数式求解即可． 【详解】∵m，n是方程的两根， ∴ ，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根的定义及特点，根与系数的关系，整体代入法求代数式的值． 14. 定义新运算：例如：，．若，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 15. 飞机着陆后滑行的距离（米）与滑行时间（秒）的关系满足．当滑行时间为秒时，滑行距离为米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是______秒． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质；先求出二次函数的解析式，利用二次函数的性质即可得解． 【详解】解：把，代入得， ， 解得 ∴， ∴时，最大，即飞机从着陆到停止，滑行的时间是秒， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 用适当的方法解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的知识点是因式分解法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ，． 17. 已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． （1）填空：________，________； （2）求，； （3）已知，求的值． 【答案】（1），； （2），； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． （）利用根和系数的关系即可求解； （）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得； （）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解． 【小问1详解】 解：由根与系数的关系得，，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由根与系数的关系得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴一元二次方程为或， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴． 18. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A和点D，与y轴交于点B，且经过第一象限内的点C，已知点A的坐标为，点C的坐标为． （1）求出二次函数的解析式，并求出点B和点D的坐标； （2）在图中描出点A、点B、点C和点D，画出这个二次函数的图象； （3）直接在图中画出直线，根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1），， （2） 如图： （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式，分别令，求出相对应的值，即可得出答案； （2）先确定点的坐标，再描点画函数图象即可； （3）根据图象，找到直线在二次函数上面的范围即可得出答案． 【小问1详解】 把和分别代入二次函数解析式，得 解得 ∴二次函数解析式为． 当时，； 当时，， 解得， ∴， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由图象可知，当时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，描点法画函数图象，二次函数与一次函数的交点等知识，熟练掌握各个知识点是解答关键． 19. 掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 【答案】（1）y关于x的函数表达式为； （2） 该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶ ∵对于二次函数，当y=0时，有 ∴， 解得∶， (舍去)， ∵>6.70， ∴该女生在此项考试中是得满分． 【解析】 【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解． 【小问1详解】 解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处， ∴设， ∵经过点(0， )， ∴ 解得∶ ∴， ∴y关于x的函数表达式为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题的关键． 20. 阅读下面的材料并完成解答． 《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法： （1）将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 步； （2）中间小正方形的面积为 平方步； （3）若设矩形田地的宽为x步，则小正方形的面积可用含x的代数式表示为 ； （4）你依据（2）（3）列出关于x的方程，并求矩形田地的宽． 【答案】（1）60 （2）144 （3） （4）；矩形田地的宽为24步 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用： （1）根据图形可得，大正方形的边长是由一个矩形的宽和长组成即可求解； （2）先求得大正方形的面积，再减去四个矩形的面积即可求解； （3）设矩形田地的宽为x步，则长为步，，从而可得小正方形的边长，再利用正方形的面积公式即可求解； （4）由②③求得小正方形的面积相等即可得出方程． 【小问1详解】 解：∵矩形田地的面积为864平方步，它的长与宽之和为60步， ∴大正方形的边长为 60步； 故答案为：60 【小问2详解】 解：中间小正方形的面积为平方步； 故答案为：144 【小问3详解】 解：设矩形田地的宽为x步，则长为步， ∴小正方形的边长为步， ∴小正方形的面积为平方步； 【小问4详解】 解：由②③可得关于x的方程：． ∴(舍去) ， ∴ 答：矩形田地的宽为24步． 21. 如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为12米，设的长为米，矩形菜园的面积为平方米． （1）用含的代数式表示______． （2）若，求的值； （3）如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆），当为何值时，取最大值，最大值为多少？ 【答案】（1） （2）9 （3）；96平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的代数式，方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据矩形的性质列式求出； （2）根据题意得到方程，进而解方程并检验即可得到答案； （3）先求出，再求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解： 故答案为：. 【小问2详解】 由题意： 解得：， （也可以代入法舍去） 【小问3详解】 由题意： 当时，取最大值为96平方米. 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计安阳麦秆画的销售方案 素材1 麦秆画是中国独有的特色工艺品之一，是河南安阳市民间剪贴画的一种，被称为“中华一绝”“中国手工艺术精品”，具有极高的收藏价值．某手工艺品店在网上和实体店同时销售一种麦秆画，成本价为30元/幅． 素材2 据调查，这种麦秆画的网上销售价为50元/幅时，平均每天销售量是100幅，而销售价每降低x元（），平均每天就可以多售出幅． 素材3 这种麦秆画在实体店的销售价为60元/幅．据调查，该实体店的销售受网上销售的影响，平均每天的销售量为幅． 问题解决 任务1 确定模型 求网上每天销售这种麦秆画的毛利润y（元）关于x（元）的函数表达式；［毛利润日销量（销售单价成本单价）］ 任务2 拟定最优方案 当这种麦秆画的网上销售价是每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）？最大总毛利润是多少？ 【答案】任务1：；任务2：当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元． 【解析】 【分析】本题主要考查实际问题与二次函数； 任务1：明确日销量和销售单价随降价的变化关系，根据毛利润日销量（销售单价成本单价）列出函数表达式即可； 任务2：根据网上和实体店的毛利润，构建总毛利润函数，将两个独立的利润表达式合并，再转化为二次函数求最大值即可． 【详解】解：任务1：． 任务2：设总毛利润为元． ， ， 当时，最大，最大值为4440，此时网上销售价为（元）． 当这种麦秆画的网上销售价是每幅48元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大，最大总毛利润是4440元． 23. 如图，抛物线与轴交，两点，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为2． （1）求抛物线的解析式和点的坐标； （2）是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，设点的横坐标为，线段的长度为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值和此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，当线段取得最大值时，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）； （2）；； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得抛物线的解析式为：；即可求解　； （2）求出直线的解析式为：；由题意得，，推出； （3）根据即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交，， ∴抛物线的解析式为； 当时，； ∴； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：； 由题意得：，， ∴； ∵， ∴当时，； 此时，，即； 【小问3详解】 解： ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数与线段和面积的综合问题，掌握二次函数的相关性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期九年级第一次月考 《数学》试卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 4，6，1 B. 4，6， C. 4，，1 D. 4，， 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的解析式为（　　） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 对于抛物线，下列结论正确的是（ ） A. 顶点坐标是 B. 开口向下 C. 当时，随的增大而增大 D. 与轴没有交点 6. 已知抛物线的对称轴为直线，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值是（ ） A. 4 B. 2 C. 4或 D. 或2 8. 已知在二次函数的图象上，则的大小关系是( ) A. B. C. D. 9. 如图，抛物线交轴于点、，顶点为，若方程有实数根，则应满足的条件为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与轴交于点，，小红同学得出了以下结论：①；②；③当时，；④；⑤，其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间仅比赛一场，赛程计划安排5天，每天安排3场比赛，则应邀请 _____队参赛． 12. 已知菱形的两边、的长是关于的方程的两个实数根，则_______． 13. 若m，n是方程的两个根，则的值是__________． 14. 定义新运算：例如：，．若，则的值为______． 15. 飞机着陆后滑行的距离（米）与滑行时间（秒）的关系满足．当滑行时间为秒时，滑行距离为米，则飞机从着陆到停止，滑行的时间是______秒． 三、解答题（共75分） 16. 用适当的方法解方程： （1） （2） 17. 已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和． （1）填空：________，________； （2）求，； （3）已知，求的值． 18. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A和点D，与y轴交于点B，且经过第一象限内的点C，已知点A的坐标为，点C的坐标为． （1）求出二次函数的解析式，并求出点B和点D的坐标； （2）在图中描出点A、点B、点C和点D，画出这个二次函数的图象； （3）直接在图中画出直线，根据图象直接写出不等式的解集． 19. 掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处． （1）求y关于x的函数表达式； （2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由． 20. 阅读下面的材料并完成解答． 《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法： （1）将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 步； （2）中间小正方形的面积为 平方步； （3）若设矩形田地的宽为x步，则小正方形的面积可用含x的代数式表示为 ； （4）你依据（2）（3）列出关于x的方程，并求矩形田地的宽． 21. 如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为12米，设的长为米，矩形菜园的面积为平方米． （1）用含的代数式表示______． （2）若，求的值； （3）如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆），当为何值时，取最大值，最大值为多少？ 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计安阳麦秆画的销售方案 素材1 麦秆画是中国独有的特色工艺品之一，是河南安阳市民间剪贴画的一种，被称为“中华一绝”“中国手工艺术精品”，具有极高的收藏价值．某手工艺品店在网上和实体店同时销售一种麦秆画，成本价为30元/幅． 素材2 据调查，这种麦秆画的网上销售价为50元/幅时，平均每天销售量是100幅，而销售价每降低x元（），平均每天就可以多售出幅． 素材3 这种麦秆画在实体店的销售价为60元/幅．据调查，该实体店的销售受网上销售的影响，平均每天的销售量为幅． 问题解决 任务1 确定模型 求网上每天销售这种麦秆画的毛利润y（元）关于x（元）的函数表达式；［毛利润日销量（销售单价成本单价）］ 任务2 拟定最优方案 当这种麦秆画的网上销售价是每幅多少元时，该手工艺品店每天销售这种麦秆画的总毛利润最大（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）？最大总毛利润是多少？ 23. 如图，抛物线与轴交，两点，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为2． （1）求抛物线的解析式和点的坐标； （2）是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，设点的横坐标为，线段的长度为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值和此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，当线段取得最大值时，请直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $