精品解析：浙江省台州市2025-2026学年上学期10月份月考九年级数学试卷

2025年（下）九年级10月份数学“独立作业” 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2．全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题卡上作答．卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡的相应位置上． 3．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上先填写姓名和准考证号． 4．本次考试不得使用计算器． 卷Ⅰ 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若是方程的一个根，则方程的另一个根为（ ） A. B. 3 C. D. 9 2. 抛物线y=(x-2) 2 +1的对称轴是（ ） A. x=2 B. x=-2 C. x=1 D. x=-1 3. 用配方法解方程，配方后方程变形为（ ） A. B. C. D. 4. 关于方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个互为倒数的实数根 B. 有两个互为相反数的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 5. 已知点在函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图为一次函数的图象，则二次函数在平面直角坐标系中的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小红想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的面积为时，的长为多少米？设矩形的边，根据题意所列的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线与坐标轴有3个交点，则（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图象与直线有4个交点，则b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 卷Ⅱ 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若方程的一根为，则______． 12. 抛物线的顶点坐标是______． 13. 我们学过用因式分解法解一元二次方程，请你根据经验写出方程的根：______． 14. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来共用了_________． 15. 写出两根的和与两根的积相等的一元二次方程：______．（写一个方程即可） 16. 已知关于x的不等式的解集为，则的解集为______． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 关于x的一元二次方程有两个不等实根． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程的一个根是，求另一个根及k的值． 19. 如图，抛物线经过点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式及点坐标； （2）是抛物线上一点，且当时，的最大值为，求的值． 20. 某商品原售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经市场调研发现，每涨价1元，每周少卖10件，已知商品的进价为每件40元，设每件商品涨价元． （1）涨价后，每件商品的售价和销售量分别是多少？（用含的式子表示） （2）每周销售该商品获得的利润能等于6210元吗？如果能，求出商品的售价；如果不能，说明理由． 21. 我们可以用因式分解法解一些一元二次方程，同样我们也可以用因式分解法解一些一元二次不等式． 如：解一元二次不等式， 解：， 由两数相乘，同号得正，有或．解得或， 所以原不等式的解集为或． 请你阅读以上内容，解下列不等式： （1）； （2）． 22. 某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个15元；经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的销售量（个）与每个的售价（元）之间的函数关系如图所示． （1）求关于的函数表达式，并求出当某天的销售量为78个时，该玩具的销售利润； （2）每天的销售量不低于18个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？最大利润是多少？ 23. 二次函数的图象与x轴交于点，，且．若，就有． （1）求的值； （2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值． 24. 【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”，函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：已知点在函数的图象上，点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，因此，函数（）的“最优纵横值”为8． 【问题】根据定义，解决下列问题： （1）①点的“纵横值”为______； ②求出函数（）的“最优纵横值”； 【应用】（2）已知二次函数的对称轴为直线，且“最优纵横值”为3，求，的值； （3）求二次函数（）的“最优纵横值”是多少？（用的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年（下）九年级10月份数学“独立作业” 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2．全卷分为卷Ⅰ（选择题）和卷Ⅱ（非选择题）两部分，全部在答题卡上作答．卷Ⅰ的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡的相应位置上． 3．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上先填写姓名和准考证号． 4．本次考试不得使用计算器． 卷Ⅰ 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若是方程的一个根，则方程的另一个根为（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元二次方程--直接开平方法．根据一元二次方程的解的定义，将代入方程，求得c的值；然后利用直接开平方法求得方程的另一根． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴ 解得，； 故方程的另一根是； 故选：A． 2. 抛物线y=(x-2) 2 +1的对称轴是（ ） A. x=2 B. x=-2 C. x=1 D. x=-1 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点式即可解题． 【详解】解：∵是顶点式, ∴对称轴为直线， 故选A． 【点睛】本题考查了抛物线的性质,属于简单题,熟悉抛物线顶点式是解题关键． 3. 用配方法解方程，配方后方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，根据配方法解一元二次方程的步骤解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4. 关于方程根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个互为倒数的实数根 B. 有两个互为相反数的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出的值，进而即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴方程没有实数根， 故选：． 5. 已知点在函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据解析式求得对称轴为直线，开口向上，可知离对称轴越近，函数值越小，离对称轴越远，函数值越大，即可求解． 【详解】∵函数的对称轴为，且二次项系数， ∴抛物线开口向上，在对称轴右侧，随的增大而增大． ∵点在对称轴上，点、在对称轴右侧，且， 综上，， 故选：A． 6. 如图为一次函数的图象，则二次函数在平面直角坐标系中的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像以及一次函数图像与系数的关系．根据一次函数通过的象限确定a、b的正负是解题的关键． 根据一次函数的位置确定出，再结合二次函数的图像与系数的关系逐选项去分析即可． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象经过一、二、三象限，可得， A． 由二次函数图象可知，，不符合题意； B． 由二次函数图象可知，，符合题意； C． 由二次函数图象可知，，不符合题意； D． 由二次函数图象可知，，不符合题意； 故答案为：B． 7. 如图，小红想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的面积为时，的长为多少米？设矩形的边，根据题意所列的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，矩形面积公式．根据题意用含x的代数式表示出长度，再利用矩形面积公式即可得到本题答案． 【详解】解∶ 设矩形的边，则， 根据题意，得， 故选∶A． 8. 抛物线与坐标轴有3个交点，则（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与x轴的交点情况，由已知条件可知抛物线与x轴有两个交点，只需即可． 【详解】解：∵抛物线的图象与坐标轴有3个交点，且抛物线与y轴必有一个交点， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴，即， 解得：， ∵当时，抛物线过原点，此时抛物线与坐标轴只有两个交点， ∴， ∴k的取值范围为：且， 故选：B． 9. 若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，由题意可得，即得，进而即可求解，掌握配方法的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故选：． 10. 已知函数的图象与直线有4个交点，则b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的性质，根据题意得函数的图象过，直线与函数的图象有3个交点，此时，当直线与函数的图象相切时，有3个交点，根据判别式可求出，从而可得出函数的图象与直线有4个交点时b的取值范围． 【详解】解：如图， 根据题意得函数的图象过， 所以，直线与函数的图象有3个交点，此时； 当直线与函数的图象相切时，有3个交点， ∴， 整理得，， ∴， 解得：， 所以，函数的图象与直线有4个交点时，b的取值范围为， 故选：A． 卷Ⅱ 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若方程的一根为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入方程解答即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程的一根为， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，将函数解析式化为顶点式，根据抛物线的顶点式直接求得顶点坐标． 【详解】解：∵ ∴抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 13. 我们学过用因式分解法解一元二次方程，请你根据经验写出方程的根：______． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元三次方程，根据因因式分解法解答即可，理解因式分解法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或或， ∴，，， 故答案为：，，． 14. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）关于行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来共用了_________． 【答案】3秒## 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的最值与刹车距离的关系，正确理解题意是解题的关键． 【详解】， 当时，是最大时间， 故答案为：． 15. 写出两根的和与两根的积相等的一元二次方程：______．（写一个方程即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由题意可得，取的一个值代入求出的值进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 当时，， 解得， ∴方程可以为， 故答案为：． 16. 已知关于x的不等式的解集为，则的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与不等式，将 整理为，再把整理为，由的解集为，可得，从而可得的解集． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， ∵关于x的不等式的解集为， ∴关于x的不等式的解集为， ∴关于x的不等式的解集为， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． （１）方程运用因式分解法求解即可； （２）方程运用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ∴， ∴． 18. 关于x的一元二次方程有两个不等实根． （1）求实数k的取值范围； （2）若方程的一个根是，求另一个根及k的值． 【答案】（1） （2）的值为，另一根为 【解析】 【分析】本题主要考查的是一元二次方程中根的判别式、方程的解，熟练掌握根的判别式是解题的关键； （1）根据方程根的情况确定，求出的取值范围； （2）方程的根代入求出的值，代入求出另一根． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个不等实根， ∴，即， 解得：， 【小问2详解】 解：把代入方程得， 解得：， 当时，方程为， 解得，． ∴的值为，另一根为． 19. 如图，抛物线经过点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式及点坐标； （2）是抛物线上一点，且当时，的最大值为，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求出函数解析式，再根据解析式求出点坐标即可； （）把代入函数解析式求出的所有值，进而根据二次函数的图象和性质得出符合题意的值即可； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：把代入得，， 解得，， ∴或， ∵， ∴二次函数的顶点坐标为，函数的最大值为， ∵当时，的最大值为， ∴． 20. 某商品原售价为每件60元，每周可卖出300件，为提高利润，商家决定涨价销售，经市场调研发现，每涨价1元，每周少卖10件，已知商品的进价为每件40元，设每件商品涨价元． （1）涨价后，每件商品的售价和销售量分别是多少？（用含的式子表示） （2）每周销售该商品获得的利润能等于6210元吗？如果能，求出商品的售价；如果不能，说明理由． 【答案】（1）每件商品的售价是元，销售量是件； （2）当售价定为元或元时，利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系正确列出方程是解题的关键． （1）设每件涨价元，每周可获利元，所售件数是件， （2）每件的利润是元，根据利润每件的利润所售的件数，即可列出方程求解． 【小问1详解】 解：设每件涨价元，依题意得： 每件商品的售价是元，所售件数是件， 【小问2详解】 根据题意得：， 解得：， 此时售价为：元，或元 答：商品的售价为或元时，每周销售该商品获得的利润等于元． 21. 我们可以用因式分解法解一些一元二次方程，同样我们也可以用因式分解法解一些一元二次不等式． 如：解一元二次不等式， 解：， 由两数相乘，同号得正，有或．解得或， 所以原不等式的解集为或． 请你阅读以上内容，解下列不等式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）且 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，因式分解的应用，看懂题意是解题的关键． （）根据题例解答即可； （）根据题例解答即可； 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∴不等式的解集为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解第一个不等式组得且，解第二个不等式组无解， ∴不等式的解集为且． 22. 某商场经销一种儿童玩具，该种玩具的进价是每个15元；经过一段时间的销售发现，该种玩具每天的销售量（个）与每个的售价（元）之间的函数关系如图所示． （1）求关于的函数表达式，并求出当某天的销售量为78个时，该玩具的销售利润； （2）每天的销售量不低于18个的情况下，若要每天获得的销售利润最大，求该玩具每个的售价是多少？最大利润是多少？ 【答案】（1），当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润元 （2）要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是元，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用． （1）设，由题意知，图象过，两点，待定系数法求得解析式为，当时，，解得，根据利润为：，计算求解即可； （2）由题意得，，即，设每天的销售利润为W（元），依题意得， ，然后根据二次函数的图象与性质求解作答即可． 【小问1详解】 解：设， 由题意知，图象过，两点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得， 利润为：（元）， ∴当某天的销售量为个时，该玩具的销售利润元； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得， 设每天的销售利润为W（元）， 依题意得， ， ∵， ∴当时，W取最大值，最大值为， ∴要每天获得的销售利润最大，该玩具每个的售价是元，最大利润为元． 23. 二次函数的图象与x轴交于点，，且．若，就有． （1）求的值； （2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值． 【答案】（1）b、c的值分别为2、 （2）1 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式，，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）由待定系数法求出函数表达式即可求解； （2）当时，y随x的增大而减小，当时，，当时，，则，即可求解；当时，同理可解； 【小问1详解】 解：当，则抛物线经过点，且， 则， 解得： 即b、c的值分别为2、； 【小问2详解】 解：， 当时，y随x的增大而减小， 当时，，当时，， 则，方程无解； 当时，y的最小值为，最大值为， 则， 解得：（舍去）或1， 综上，的值为1． 24. 【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横值”，函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”．例如：已知点在函数的图象上，点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，因此，函数（）的“最优纵横值”为8． 【问题】根据定义，解决下列问题： （1）①点的“纵横值”为______； ②求出函数（）的“最优纵横值”； 【应用】（2）已知二次函数的对称轴为直线，且“最优纵横值”为3，求，的值； （3）求二次函数（）的“最优纵横值”是多少？（用的代数式表示） 【答案】（1）①3；②81 （2）， （3）最优纵横值为 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，二次函数的图象和性质． （1）根据题干中的“纵横值”的值定义和“最优纵横值”的定义计算即可； （2）先求出二次函数，再根据“最优纵横值”的定义可知，求出c的值即可； （3）根据“最优纵横值”的定义可知，分类讨论：当时，当时，逐一求解即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴点的“纵横值”为3； 故答案为：3． ② 当时，随的增大而减小 当时，取得最大值81 函数（）的“最优纵横值”是81； （2）二次函数的对称轴为直线 ，解得 “最优纵横值”为3， ， （3） 当时，随时取最大值，即最大值为 “最优纵横值”是 当时，随时取最大值， 即最大值为 “最优纵横值”是 综上所述，最优纵横值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $