江苏省南通市海门区多校联考2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年度第一学期第一次限时作业 九年级 数学 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D A A D D D C 二．填空题（共8小题） 11．在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于原点对称的点的坐标是 　（﹣2，1）　 ． 12．抛物线y＝﹣2x2+6x﹣1的对称轴为　直线x　 ． 13．一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是 　　 ． 14．抛物线y＝x2﹣2x与x轴两交点间的距离为 　2　 ． 15．如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转得到△COD，若∠AOB＝40°，∠BOC＝10°，则旋转角度是 　50°　 ． 16．已知三点都在二次函数的图像上，则的大小关系是 　 　 （用“<”号连接）. 17．如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；则当水面的宽度为米时，水位上升 　　 米． 18．若实数x，y，m满足x+y+m＝6，3x﹣y+m＝4，则代数式﹣2xy+1的最大值是 　 ． 三．解答题（共8小题） 19．(6分+6分)用适当的方法解下列方程： （1）x2+2x﹣3＝0； （2）（x﹣1）2＝3（x﹣1）． 【解答】解：（1）x2+2x﹣3＝0， （x+3）（x﹣1）＝0， x+3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝1； （2）（x﹣1）2＝3（x﹣1）， （x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0， （x﹣1）（x﹣1﹣3）＝0， x﹣1＝0或x﹣4＝0， x1＝1或x2＝4． 20． （5分+5分） 【解答】（1）∠E=60° （2）∠DAC=40° 21．南通体育中考选考项目共有9项，每个考生需要任选3项．甜甜和冰冰已经选择了篮球运球投篮和跳绳，他们决定从“实心球，200米，立定三级蛙跳”三项中选一项参加考试，若这三项被选中的机会均等． （1）（3分）甜甜从三个项目中选中“实心球”的概率是 　　 ． （2）（7分）请用列表或画树状图的方法说明他们恰好都选中“实心球”的概率． 【解答】解：（2）将“实心球，200米，立定三级蛙跳”三项分别记为A，B，C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中他们恰好都选中“实心球”的结果有1种， ∴他们恰好都选中“实心球”的概率为． 22．（4分+4分）已知二次函数y＝x2+mx+m﹣2， (1)求证：无论m为任何实数，此函数图象与x轴总有两个交点． (2)已知图像与x轴的两个交点分别为,满足，求m的值。 【解答】（1）证明：∵二次函数y＝x2+mx+m﹣2， ∴当y＝0时，0＝x2+mx+m﹣2， 此时Δ＝m2﹣4×1×（m﹣2）＝（m﹣2）2+4＞0， ∴方程0＝x2+mx+m﹣2有两个不相等的实数根， ∴无论m为任何实数，此函数图象与x轴总有两个交点． （2）m=3 23．（4分+4分+4分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0）． （1）求此二次函数的解析式； （2）将（1）中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标； （3）在抛物线y＝x2+bx+c上是否存在点P，使△ABP的面积为4，若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由． 【解答】解：（1）将点A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c 得，， 解得，， ∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3； （2）y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， 由平移规律得平移后的解析式为y＝（x+2）2﹣1， ∴顶点为（﹣2，﹣1）； （3） 24．（3分+5分+5分）某网红利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 （1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？ （3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 【解答】解：（1）设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝kx+b， 将点（30，100）、（40，80）代入一次函数关系式得： ， 解得：， ∴函数关系式为y＝﹣2x+160； （2）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＝800， 整理得：x2﹣110x+2800＝0， 解得：x1＝40，x2＝70． ∵单价不低于成本价，且不高于50元销售， ∴x2＝70不符合题意，舍去． ∴销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元； （3）由题意得： w＝（x﹣30）（﹣2x+160） ＝﹣2（x﹣55）2+1250， ∵﹣2＜0，故当x＜55时，w随x的增大而增大，而30≤x≤50， ∴当x＝50时，w有最大值，此时，w＝1200， 故销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润1200元． 25．（3分+5分+5分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求此抛物线的表达式． （2）Q是位于第一象限内抛物线上的一个动点，当△QBC的面积最大时，求此时点Q的坐标及△QBC的面积． （3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PBC是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c， 得：， 解得， ∴此抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）过点Q作MQ∥y轴交BC于点M， 设直线BC的解析式为y＝mx+n， 将B（3，0），C（0，3）代入， 得， ∴， ∴y＝﹣x+3， 设Q（t，﹣t2+2t+3），则M（t，﹣t+3） ∴MQ＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t， ∴S△BCQ＝S△BMQ+S△CMQ（﹣t2+3t）×3（t）2， ∴当t时，S△BCQ取最大值，最大值为， ∴△BCQ的面积最大时，点Q坐标为（，）； （3）存在，∵y＝﹣x2+2x+3， ∴对称轴为直线x1， 设点P（1，a）， ∵B（3，0）、C（0，3）， ∴BP2＝4+a2，CP2＝1+（a﹣3）2，BC2＝18， ①BP＝CP， ∴4+a2＝1+（a﹣3）2， ∴a＝1， ∴P（1，1）； ②BP＝BC， ∴4+a2＝18， ∴a＝±， ∴P（1，）或P（1，）； ③CP＝BC， ∴1+（a﹣3）2＝18， ∴a＝3或a＝3， ∴P（1，2）或（1，4）； 综上所述，P（1，1）或（1，）或（1，）或P（1，3）或（1，3）． 26．（3分+5分+4分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t． （1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； （2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t． ①若y1的最小值是﹣2，求y2的值； ②若对于x1，x2，都有y1＜y2，求t的取值范围． 【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t， ∴抛物线的顶点坐标为（t，﹣t）； （2）①∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t， ∴抛物线的对称轴为x＝t， ∵1＞0， ∴抛物线开口向上， ∵t﹣2≤x1≤t+1， ∴当x＝t时，y1的最小值为﹣t， ∵y1的最小值是﹣2， ∴t＝2， ∴x2＝1﹣t＝﹣1，抛物线表达式为y＝x2﹣4x+2， ∴y2＝12﹣4×（﹣1）+2＝7； ②∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线y＝（x﹣t）2﹣t上， ∴y1＝（x1﹣t）2﹣t，y2＝（x2﹣t）2﹣t， ∵对于x1，x2，都有y1＜y2， ∴y2﹣y1＝（x2﹣t）2﹣t﹣（x1﹣t）2+t＝（x2﹣t）2﹣（x1﹣t）2＝（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0， ∴或， Ⅰ、当时， ∵x2﹣x1＞0， ∴x2＞x1， ∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t， ∴1﹣t≥t+1， ∴t≤0， ∵x2+x2t＞0， ∴x2+x1＞2t， ∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t， ∴﹣1＜x2+x1＜2， ∴2t≤﹣1， ∴t， 即t； Ⅱ、当时， 由x2﹣x1＜0得：x2＜x1， ∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t， ∴1﹣t≤t﹣2， ∴t， 由x2+x1﹣2t＜0知，x2+x1＜2t， ∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t， ∴﹣1＜x2+x1＜2， ∴2t≥2， ∴t≥1， 即t； 即满足条件的t的取值范围为t或t． 学科网（北京）股份有限公司 $2025~2026学年度第一学期第一次限时作业 九年级数学 一，选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是() A B D 2.若x=m是方程2+2x-1=0的一个根，则2m2+4m-3=（ ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 3.用配方法解方程x2-8x=-1,变形后的结果正确的是（) A.(x+4)2=15 B.(x+4)2=17 C.(x-4)2=15D.(x-4)2=17 4.已知抛物线y=?-2x-1,则当0s≤3时，函数的最大值为（) A.-2 B.-1 C.0 D.2 5.下列事件中，是必然事件的是（) A.从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球 B.射击运动员射击一次，命中10环 C,掷一次骰子，向上一面的点数是4 D.方程ax2+2+1=0是一元二次方程 (第6题) 6,如上图，在平面直角坐标系中，将点P(4,3)绕原点O逆时针旋转90°得到点P',则P的坐标为() A.（-3,4) B.(3,-4) C.(4,-3) D.（-3,-4) 7.对于二次函数y=·(x-1)2+4的图象，下列说法正确的是（) A.开口向上 B,顶点坐标是（-1,4) C.图象与y轴交点的坐标是(0,4) D.图象在x轴上截得的线段长度是4 8.已知抛物线y=ax+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：以下结论正确的是( ) -1 0 2 3 … y … 3 0 m 3 A. 当x<2时，y随x增大而增大 B.抛物线y=ax2+b.r+c的开口向下 C.m=2 D.当y<0时，.x的取值范围是0<x<2 9.如图，取一张长与宽之比为2：1的矩形纸板，在四个角各剪去四个边长为20cm的小正方形，并用它 九年级数学第1页共4页 扫描全能王创建 做一个无盖的长方体形状的包装盒，若要使包装盒的容积为12000cm3(纸板的厚度忽略不计)，若设矩 形纸板的长为xcm,则可列方程为() 20(x-20)(喧-20)=12000 A. B.20(2x-20)(x-20)=12000 C.20（2x-40)(x-40)=12000 (第9题) 20(x-40)(⑦-40)=12000 D. 10.己知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0)图象的对称轴为直线x=-1, 其图象如图所示，则下列结论： ①abc<0: ②b2-4ac>0: ③若t为任意实数，则有at2+b≥a-bt: 1 ④当图象经过点22时，方程ar2+bx+c-2=0的 两根为<).则+2号 尤=】 （第10题) 其中正确结论的个数是() A,1个 B.2个 C.3个 D.4个 二.填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分） 11.在平面直角坐标系中，点(2，-1)关于原点对称的点的坐标是 12.抛物线y=-2x2+6x-1的对称轴为】 13.一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到红球 的概率是 14.抛物线y=2-2x与x轴两交点间的距离为 15.如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转得到△COD,若∠AOB=40°，∠BOC=10°，则旋转角度 是 (第15题) (第17题) 九年级数学第2页共4页 器 扫描全能王创建 16,已知机-分0C4为)三点都在=次面数y=-(-2+无的医像上，则为，为的大小 关系是 (用“<”号连接) 17.如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米，则当水面的宽度为2W 米 时，水位上升 米 18.若实数x,y,m满足x+y叶m=6,3x-y汁m=4,则代数式-2叶1的最大值是 ,三.解答题（本大题共8小题，共90分） 19,(6分+6分)用适当的方法解下列方程： （1)x2+2x-3=0 (2)(x-1)2=3(x-1). 20.(5分+5分)如上图，△ABC绕着顶点A逆时针旋转到△ADE,∠B=40°，∠BAC=80° (1)求∠E的度数. (2)当AB∥DE时，求∠DAC的度数， 21.(3分+7分)南通体育中考选考项目共有9项，每个考生需要任选3项，甜甜和冰冰已经选择了篮球 运球投篮和跳绳，他们决定从“实心球，200米，立定三级蛙跳”三项中选一项参加考试，若这三项被选中 的机会均等 （1)甜甜从三个项目中选中“实心球”的概率是 (2)请用列表或画树状图的方法说明他们恰好都选中“实心球”的概率。 22.（4分+4分)已知二次函数y=x2+mx+m-2, (1)求证：无论m为任何实数，此函数图象与x轴总有两个交点， (2)已知图像与x轴的两个交点分别为A(x,0),B(x2,0),满足xx2一x1-x2=4，求m的值。 23.（4分+4分+4分)如图，已知二次函数y=X2+bx+c过点A（1,0),B（-3,0). (1)求此二次函数的解析式； (2)将（1)中的函数图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位， 直接写出平移后函数的解析式和顶点坐标： （3)在抛物线y=2+bx+c上是否存在点P,使△ABP的面积为4， 若存在，求出点P的坐标，若不存在说明理由， 九年级数学，第3页共4页 扫描全能王创建 24.(3分+5分+5分)某网红利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不 低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x（元)之间 满足一次函数关系，部分数据如表所示， 销售单价x(元) 30 40 45 销售数量y(件) 100 80 70 (1)求该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式； (2)销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？ (3)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润W(元)最大？最大利润是多少元？ 25.（3分+5分+5分)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C. (1)求此抛物线的表达式. (2)2是位于第一象限内抛物线上的一个动点，当△QBC的面积最大时，求此时点2的坐标及△QBC 的面积. (3)抛物线的对称轴上是否存在一点P,·使得△PBC是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标： 若不存在，请说明理由， B 备用图 26.(3分+5分+4分)在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=X-2+2-t. (1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示)： (2)点P（x1,y1),2(x2,2)在抛物线上，其中t-2<x1<+1,2=1~t. ①若y1的最小值是-2，求2的值； ②若对于1，x2,都有y1<y2,求t的取值范围. 九年级数学第4页共4页 器 扫描全能王创建