专题25.4 解直角三角形的应用（12大题型+能力提升） 【精英班课程】 2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义（沪教版五

2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题25.4 解直角三角形的应用 知识点一、仰角和俯角 在测量中,我们把在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角. 视线在水平线下方的叫俯角. 如图所示，PQ 为水平线,视线为PA时，则∠APQ为仰角;视线为PB时,则∠BPQ为俯角. 知识点二、方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角,叫. 如图所示，目标方向线OA，OB，OC形成的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西30°，其中南偏东45°习惯上又叫做东南方向,北偏东 45°习惯上又叫做东北方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向,南偏西45习惯上又叫做西南方向. 注意：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解. 知识点三、坡度与坡角 （1）坡角:坡面与水平面所成的夹角.如图中的 （2）坡度:我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度.坡度也可写成的形式,在实际应用中常表示成的形式 （3）坡度与坡角的关系：.坡度是坡角的正切值,坡角越大，坡度也就越大 知识点四、解直角三角形在实际问题中的应用 1、利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤 (1)将实际问题抽象为数学问题; (2)根据问题中的条件选用合适的锐角三角函数解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案. 2、实际问题中，常见的基本图形及相应的关系式 图形 关系式 图形 关系式 【注意】 (1)根据问题找到要求解的直角三角形，当没有现成的直角三角形时,适当添加辅助线构造(或分割)直角三角形 (2)有些问题中有两个(或两个以上)直角三角形,当其中一个直角三角形不能求解时,可考虑在其他直角三角形中找出含有相同的未 考点一 仰角、俯角问题 题型01：用仰、俯角的三角比表示长度或计算长度 1．（2025·上海杨浦·一模）小海在距离地面高60米的热气球中测得地面上的着落点的俯角为，那么此时热气球离着落点的距离约是（   ）（参考数据：，，） A．75米 B．80米 C．100米 D．米 【答案】C 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意画出图形，根据平行线的性质得出，根据正弦函数定义得出（米）即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 在中，米， ∴（米）， 此时热气球离着落点的距离约是100米， 故选：C． 2．（2025·上海徐汇·一模）如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 米（精确到0.1米）．（参考数据：，） 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题、锐角三角函数，解答此类问题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 过点作于点， 则米， 在中和中， 根据锐角三角函数中的正切可以分别求得和的长，从而可以求得的长，本题得以解决． 【详解】解：过点作于点，由题意可得， 米， ， 在中， ， ∴(米)， 在中， ， (米)， 即这栋楼的高度是米. 故答案为： ． 3．（2022秋•徐汇区期末）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后楼梯AC长为　　米． 【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可． 【解答】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD＝， ∴AD＝4sin60°＝2（m）， 在Rt△ACD中，∵sin∠ACD＝， ∴AC＝＝2（m）． 故答案是：2． 【点评】本题考查了解直角三角形的实际应用中的坡度坡角问题，难度不大，注意细心运算即可． 题型02：仰俯角的实际综合应用 4．（2022秋•金山区校级期末）无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）． （1）填空：∠APD＝　　度，∠ADC＝　　度； （2）求楼CD的高度（结果保留根号）； （3）求此时无人机距离地面BC的高度． 【分析】（1）由平角的性质可得∠APD；过点A作AE⊥CD于点E．则∠DAE＝30°，根据三角形内角和定理可得∠ADC． （2）由题意可得AE＝BC＝100米，EC＝AB＝10米，在Rt△AED中，tan30°＝，解得DE＝，结合CD＝DE+EC可得出答案． （3）过点P作PG⊥BC于点G，交AE于点F，证明△APF≌△DAE，可得PF＝AE＝100米，再根据PG＝PF+FG可得出答案． 【解答】解：（1）∵∠MPA＝60°，∠NPD＝45°， ∴∠APD＝180°﹣∠MPA﹣∠NPD＝75°． 过点A作AE⊥CD于点E． 则∠DAE＝30°， ∴∠ADC＝180°﹣90°﹣30°＝60°． 故答案为：75；60． （2）由题意可得AE＝BC＝100米，EC＝AB＝10米， 在Rt△AED中，∠DAE＝30°， tan30°＝， 解得DE＝， ∴CD＝DE+EC＝（+10）米． ∴楼CD的高度为（+10）米． （3）过点P作PG⊥BC于点G，交AE于点F， 则∠PFA＝∠AED＝90°，FG＝AB＝10米， ∵MN∥AE， ∴∠PAF＝∠MPA＝60°， ∵∠ADE＝60°， ∴∠PAF＝∠ADE， ∵∠DAE＝∠30°， ∴∠PAD＝30°， ∵∠APD＝75°， ∴∠ADP＝75°， ∴∠ADP＝∠APD， 则AP＝AD， ∴△APF≌△DAE（AAS）， ∴PF＝AE＝100米， ∴PG＝PF+FG＝100+10＝110（米）． ∴此时无人机距离地面BC的高度为110米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 5．（2024秋•闵行区期末）2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度BD＝10.6米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A处测得飞船底部D处的仰角45°，顶部B处的仰角为53°，求此时观测点A到发射塔CD的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） 【分析】根据题意可得：∠ACD＝90°，然后在Rt△ACD和Rt△ABC中，分别利用锐角三角函数的定义求出BC，CD的长，最后根据BD＝10.6米，列出关于AC的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：∠ACD＝90°， 在Rt△ACD中，∠DAC＝45°， ∴DC＝AC•tan45°＝AC， 在Rt△ABC中，∠BAC＝53°， ∴BC＝AC•tan53°≈1.33AC， ∵BD＝10.6米， ∴BC﹣CD＝10.6， ∴1.33AC﹣AC＝10.6， ∴AC≈32.1米， ∴此时观测点A到发射塔CD的水平距离约为32.1米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 6．（2023秋•徐汇区期末）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝26米，坡度i＝1：2.4，小明在斜坡下端C处测得楼顶点B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为30°，DE与地面垂直，垂足为E，其中点A、C、E在同一直线上． （1）求DE的值； （2）求大楼AB的高度（结果保留根号）． 【分析】（1）设DE＝5x米，则CE＝12x米，根据勾股定理得到结论； （2）根据勾股定理得到CE＝＝4，过点D作DF⊥AB于点F．根据矩形的性质得到DE＝AF＝2米，DF＝AE，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：（1）∵斜坡CD的坡度为i＝1：2.4， ∴＝， 设DE＝5x米，则CE＝12x米， 在Rt△CDE中，CD＝26米， 由勾股定理得（5x）2+（12x）2＝（13x）2＝262， 解得x＝2． ∴斜坡CD的高度DE为10米； （2）在Rt△CDE中， ∵CD＝26米，DE＝10米， ∴CE＝＝24米， 过点D作DF⊥AB于点F． 则DE＝AF＝10米，DF＝AE， 在Rt△BDF中，∠BDF＝30°， ∴BF＝DF， 设BF＝a米，则DF＝a米， 则AB＝BF+AF＝（10+a）米， 在Rt△ABC中，∠ACB＝60°， tan60°＝＝＝， 解得AC＝（10+a）， ∴AE＝AC+CE＝（10+a）+24＝a， 解得a＝5+12． ∴AB＝10+5+12＝（15+12）米． ∴大楼AB的高度为（15+12）米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 考点二 方位角问题 题型03：已知方位角、方向角求距离 7．（2025·上海杨浦·一模）如图，小岛在港口的西南方向，一艘船从港口沿正南方向航行12海里后到达处，在处测得小岛在它的南偏西方向，那么小岛离港口有 海里．（结果保留根号） 【答案】/ 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．作于D，设海里，，则，根据可得，列出方程，求出x的值，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：过点A作于点D， 根据题意得：（海里）， ， 设海里，则海里， ∴, 解得：， ∴， ∵， ∴， 解得，． 8．（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（   ）    A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先求得的度数，求得，则，设，则，根据，计算求解的值即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 过B作，垂足为P，    ∴， ∴，， ∴，， 设，则， ∴， 解得， ∴观测站到的距离是1． 故选：B． 9．（2025·上海徐汇·一模）如图，货船在灯塔的北偏西方向，客船在灯塔的东北方向，客船在货船的正东方向，如果货船与客船相距50千米，那么客船与灯塔的距离约是 千米（结果保留根号）． 【答案】 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，过点P作于点C，则，由题意得，，在和中解直角三角形即可解答． 【详解】解：过点P作于点C， 则， 由题意得， ∴， ∴， 设千米，则千米， 在中，， 即， 解得， ∴千米． 故答案为：． 10．（2025·上海长宁·一模）如图，点A位于点的北偏西方向，点位于点的东北方向，线段为一条东西向的公路的一部分，如果点到公路的距离是米，那么公路的长为 ． 【答案】米 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，从实际问题中抽象出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解是解题的关键． 如图：过点C作于点D，由题意得，，在和中解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图：过点C作于点D， 由题意得：米，， 在中，米， 在中，米， ∴，即公路的长为米． 故答案为：米． 11．（2022秋•黄浦区校级期末）已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（　　） A．10海里 B．5海里 C．5海里 D．海里 【分析】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°﹣30°＝60°，BC＝5海里， ∴AC＝BC•tan60°＝5（海里）， 即海监船C与货轮A的距离是5海里， 故选：B． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形并求解． 12．（2022秋•徐汇区期末）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东50°方向，距离灯塔2海里的点A处．若海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B处，则海轮航行的距离AB的长是（　　） A．2sin50°海里 B．2cos50°海里 C．2tan40°海里 D．2tan50°海里 【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出∠NPA＝50°，PA＝2海里，∠ABP＝90°，再由AB∥NP，根据平行线的性质得出∠A＝∠NPA＝50°．然后解Rt△ABP，得出AB＝AP•cos∠A＝2cos50°海里． 【解答】解：由题意可知∠NPA＝50°，PA＝6海里，∠ABP＝90°． ∵AB∥NP， ∴∠A＝∠NPA＝50°． 在Rt△ABP中，∵∠ABP＝90°，∠A＝50°，PA＝2海里， ∴AB＝AP•cos∠A＝2cos50°海里． 故选：B． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，正确理解方向角的定义是解题的关键． 13．一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（　　） A．(30-50，30) B．(30， 30-50) C．(30，30) D．(30，30) 【答案】A 【详解】解：OA=15×4=60海里， ∵∠AOC=60°，∴∠CAO=30°， ∵sin30°==， ∴CO=30海里， ∴AC=30海里， ∴BC=（30－50）海里， ∴B（30－50，30）. 故选A 【点睛】本题考查掌握锐角三角函数的应用． 题型04：触礁问题 14．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）一船自西向东航行，在得到消息，在其北偏东53°方向，距离30海里的点处，测得有一暗礁群在以点为圆心，海里为半径的圆内，问如果轮船继续沿正东方向航行有无触礁的危险?说明理由．（参考数据：，，，） 【答案】无触礁的危险，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，关键是如何构造直角三角形并知道求哪一条线段的长．作于点，在中，由，变形得，再求解即可． 【详解】无危险． 作于点， 在中，， ， ， 轮船继续沿正东方向航行无触礁的危险． 15．（2024·安徽亳州·一模）如图，一渔轮在海上A处测得灯塔C在它的北偏东 方向，渔轮向正东方向航行10海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东方向，若灯塔C四周14海里范围内有暗礁，则渔轮继续向正东方向航行，是否有触礁的危险？（，） 【答案】有触礁的危险 【分析】 本题考查了解直角三角形的实际应用，正确添加辅助线，合理运用三角函数是解决问题的关键． 过点C作于H，分别在，中解直角三角形即可． 【详解】解：过点C作于H，设，在中， ，， 在中， ，， ，，（海里）（海里）， 渔轮继续向正东方向航行，有触礁的危险． 16．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东方向上，且A，P之间的距离为32海里．    (1)若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？ (2)如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东度方向航行确保安全通过这一海域，求的取值范围． 【答案】(1)有危险 (2)时，轮船能安全通过这一区域 【分析】（1）过P作于B，则的长是A沿方向距离P点的最短距离，求出最短距离，再比较比较即可； （2）设轮船沿南偏东航向是射线，过点P作于D，利用特殊角的三角函数值确定答案． 【详解】（1）解：过点P作轮船航线于B，则的长是A沿方向距离P点的最短距离， 由题意得，， ∴在中，， ∴， ∴， ∵， 答：若轮船继续向正东方向航行有触礁危险． （2）解：设轮船沿南偏东航向是射线，过点P作于D， 当时，角的度数最大， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴沿南偏东最大角度为方向航行确保安全通过这一海域， 即时，轮船能安全通过这一区域． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是如何构造直角三角形并知道求哪一条线段的长． 题型05：搜救、航海追及问题 17．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在港口A的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B，A、B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？ （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈） 【分析】由已知可得△ABC中∠C＝67°，∠B＝37°且AB＝20海里．要求BC的长，可以过A作AD⊥BC于D，先求出CD和BD的长，就可转化为运用三角函数解直角三角形． 【解答】解：过点A作AH⊥BC，垂足为点H． 由题意，得∠ACH＝67°，∠B＝37°，AB＝20． 在Rt△ABH中， ∵sinB＝，∴AH＝AB•sin∠B＝20×sin37°≈12， ∵cosB＝，∴BH＝AB•cos∠B＝20×cos37°≈16， 在Rt△ACH中， ∵tan∠ACH＝， ∴CH＝≈5， ∵BC＝BH+CH，∴BC≈16+5＝21． ∵21÷25＜1， 所以，巡逻艇能在1小时内到达渔船C处． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是将一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 18．（2024·重庆江津·模拟预测）我国一艘巡逻船在某海域B处进行巡逻时，发现在东北方向海里的A处有一外国舰艇正在侦查我国海域，我方巡逻船立刻与其交涉文明劝返，当巡逻船沿着正东方向航行一段距离到达C处时，发现外国舰艇在位于北偏东方向A处原地不动． (1)求此时巡逻船航行的距离的长；（保留整数，参考数据：，，） (2)我方巡逻船立刻对其喊话驱离，外国舰艇立即以30海里/小时的速度沿着南偏东方向逃窜，此刻我方巡逻船同时从C处立即沿着正东方向在D处将其截获，求巡逻船的航行速度（结果保留根号） 【答案】(1)29 (2)巡逻船的航行速度海里/小时． 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，方位角的问题，相似三角形的判定与性质． （1）分别过点B，C作点A所在水平线的垂线，垂足分别为，根据题意得：，证明四边形是矩形，解直角三角形求出，即可解答； （2）过点作，垂足为，证明，求，，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，分别过点B，C作点A所在水平线的垂线，垂足分别为， 根据题意得：， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 在中，（海里）， （海里）， 在中，（海里）， （海里）， （海里）； （2）解：过点作，垂足为， 根据题意得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 则（海里/小时） 答：巡逻船的航行速度海里/小时． 18．（2022秋•杨浦区校级期末）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且在C的正南方向1000米处． （1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：） （2）救援船的平均速度为180米/分，快艇的平均速度为320米/分，在接到通知后，快艇能否在6分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计） 【分析】（1）延长CB到点D，使CD⊥AD于D，设BD＝x，则AB＝2x，，CD＝900+x，在Rt△ACD中，，即可求出x＝450，根据Rt△ACD中，即可求出湖岸A与码头C的距离； （2）设快艇将游客送上救援船时间为t分钟，根据等量关系式：救援船行驶的路程+快艇行驶的路程＝BC+AC，列出方程，求出时间t，再和5分钟进行比较即可求解． 【解答】解：（1）延长CB到点D，使CD⊥AD于D， 由题易知：，CD＝AD，，BD＝AD， ∴（米）， ∴AD＝500， ∴AC＝2AD＝1000≈1732（米）， 则1800t+320•（t﹣）＝1732， 500t＝2732， 解得：， ∴6min内可以将该游客送上救援船． 【点评】本题主要考查了解直角三角形及其应用，一元一次方程应用中的行程问题、含30°角的直角三角形的三边关系等知识点，找到等量关系式，构建直角三角形是解答本题的关键． 考点三 坡度坡比问题 题型06： 已知坡度（比）求长（高）度 19．（2022秋•青浦区校级期末）如果小明沿着坡度为1：2.4的山坡向上走了26米，那么他的高度上升了 　　米． 【分析】设高度上升了h米，则水平前进了2.4h米，然后根据勾股定理解答即可． 【解答】解：设高度上升了h米，则水平前进了2.4h米， 由勾股定理得：， 解得h＝10（负值舍去）． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了坡度比与勾股定理得应用，根据坡度比和勾股定理列出关于h的方程成为解答本题的关键． 20．（2023秋•杨浦区期末）小杰沿坡比为1：2.4的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了　　米． 【分析】设他沿着垂直方向升高了x米，根据坡度的概念用x表示出他行走的水平宽度，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：设他沿着垂直方向升高了x米， ∵坡比为1：2.4， ∴他行走的水平宽度为2.4x米， 由勾股定理得，x2+（2.4x）2＝1302， 解得，x＝50，即他沿着垂直方向升高了50米， 故答案为：50． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 21（2023秋•黄浦区校级期末）一辆汽车沿着坡度i＝1：的斜坡向下行驶50米，那么它距离地面的垂直高度下降了　　米． 【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：∵坡度i＝1：， ∴设垂直高度下降了x米，则水平前进了x米． 根据勾股定理可得：x2+（x）2＝502． 解得x＝25（负值舍去）， 即它距离地面的垂直高度下降了25米． 故答案为：25． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义． 22．（24-25九年级上·上海·期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（   ）    A．4米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，解决问题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 【详解】解：过点B作于点C， ∵传送带和地面所成斜坡的坡度为，米 ∴ ， ∴米， 在中，， 由勾股定理得米 ， 故选：D．    23．如图，某大楼DE楼顶挂着“众志成城，抗击疫情”的大型宣传牌，为了测量宣传牌的高度CD，小江从楼底点E向前行走30米到达点A，在A处测得宣传牌下端D的仰角为60°．小江再沿斜坡AB行走26米到达点B，在点B测得宣传牌的上端C的仰角为43°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4，点A、B、C、D、E在同一平面内，CD⊥AE，宣传牌CD的高度约为（　　）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，≈1.73） A．8.3米 B．8.5米 C．8.7米 D．8.9米 【答案】A 【分析】过B分别作AE、DE的垂线，设垂足为F、G．分别在Rt△ABF和Rt△ADE中，通过解直角三角形求出BF、AF、DE的长，再求出EF即BG的长；在Rt△CBG中求出CG的长，根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度． 【详解】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G． Rt△ABF中，i=tan∠BAF=＝，AB=26米， ∴BF=10（米），AF=24（米）， ∴BG=AF+AE=54（米）， Rt△BGC中，∠CBG=43°， ∴CG=BG•tan43°≈54×0.93=50.22（米）， Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=30米， ∴DE=AE=30（米）， ∴CD=CG+GE-DE=50.22+10-30≈8.3（米）． 故选：A． 【点睛】此题考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． 题型07：用三角比表示长（高）度 24．（2024广西贺州·二模）如图，一个供轮椅行走的斜坡通道的长为6米，斜坡角，则斜坡的垂直高度的长可以表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在中，利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴． 故选：A． 25．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（     ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题．根据正弦的定义进行解答即可． 【详解】解：， 米， 故选：A． 26．如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（    ） A．5米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】作BE⊥AC，解直角三角形即可． 【详解】解：作BE⊥AC，垂足为E， ∵BE平行于地面， ∴∠ABE＝∠α， ∵BE＝5米， ∴AB＝＝． 故选B． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用：坡角坡度问题．解题的关键是：添加合适的辅助线，构造直角三角形． 27．如图所示，某村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为（m），那么这两棵树在坡面上的距离AB为（      ） A．mcos（m） B．（m） C．msin（m） D．（m） 【答案】B 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案． 【详解】由题意可得：， 则AB=． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键． 28．（2024·上海徐汇·三模）一斜坡的坡角为，坡长比坡高多100米，那么斜坡的高为 （用的锐角三角比表示）． 【答案】 【分析】本题考查了正弦函数的应用．利用所给角的正弦函数求解． 【详解】解：如图所示．由题意得， ∵，， ∴， 整理得， ∴斜坡的高为米． 故答案为：． 题型08：根据线段长度或坡比求坡角 29．（2025·上海崇明·一模）如果斜坡的坡度，那么斜坡的坡角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】此题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的定义及求解方法是解题的关键．根据坡角的正切值为坡度求解即可． 【详解】解：设坡角为，则， ∴， 故选：B． 30．（2025·上海静安·一模）已知一坡面的坡度，那么这个坡角等于 ． 【答案】30 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了坡度的计算，特殊角的三角函数值的计算，理解坡度的含义，掌握特殊角的三角函数的计算是解题的关键． 根据坡度坡面的垂直高度和水平宽度的比值，即坡角的正切值，其中是斜坡与水平面之间的夹角，由此即可求解． 【详解】解：设坡角为， ∴， ∴, 故答案为： ． 31．（2023秋•静安区期末）一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC、AD，且迎水坡AB的坡度为1：2.5，背水坡CD的坡度为1：3，则迎水坡AB的坡角 　　背水坡CD的坡角．（填“大于”或“小于”） 【分析】根据坡度坡角的定义和三角函数的增减性即可得到结论． 【解答】解：∵迎水坡AB的坡度为1：2.5，背水坡CD的坡度为1：3， ∴tanA＝，tanD＝， ∵＞， ∴∠A＞∠D， 即迎水坡AB的坡角大于背水坡CD的坡角， 故答案为：大于． 【点评】本题考查了直角三角形的应用﹣坡度坡角，熟练掌握三角函数的增减性是解题的关键． 32．（2025·上海奉贤·一模）已知一个斜坡的坡角为，坡度为，那么 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的余弦值、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度、坡角问题，由题意可设斜坡的垂直高度为，则水平宽度为，由勾股定理可得斜坡长度，再由余弦的定义求解即可． 【详解】解：∵坡度， ∴设斜坡的垂直高度为，则水平宽度为， ∴由勾股定理可得斜坡长度为， ∴， 故答案为：． 33．（2024秋•徐汇区期末）已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为α，那么sinα＝　　． 【分析】坡比＝坡角的正切值，设竖直直角边为x，水平直角边为2x，由勾股定理求出斜边，进而可求出α的正弦值． 【解答】解：如图所示： 由题意，得：tanα＝i＝， 设竖直直角边为x，水平直角边为2x， 则斜边＝＝x， 则sinα＝＝． 故答案为． 【点评】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键． 题型09：根据线段长度求坡度（比） 34．（2022秋•杨浦区校级期末）如果一段斜坡的铅垂高度为2米，水平宽度为3米，那么这段斜坡的坡比i＝　　． 【分析】坡比＝斜坡的垂直高度与水平宽度的比，把相关数值代入整理为1：n的形式即可． 【解答】解：∵一段斜坡的铅垂高度为2米，水平宽度为3米， ∴坡比i＝2：3＝1：1.5． 故答案为1：1.5． 【点评】本题考查了坡比的求法；坡比＝斜坡的垂直高度与水平宽度的比，熟练掌握坡比的公式并最终化成1：n的形式是解题关键． 35．（2022秋•徐汇区校级期末）某人在斜坡走了10m，垂直高度上升8m，则坡比i＝　． 【分析】根据勾股定理求出行走的水平距离，再根据坡比的概念计算即可． 【解答】解：∵在斜坡走了10m，垂直高度上升8m， ∴行走的水平距离为：＝6（m）， 则坡比i＝8：6＝4：3， 故答案为：4：3． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比是解题的关键． 36．（2022秋•黄浦区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为　　． 【分析】根据坡度的概念计算，得到答案． 【解答】解：斜面AB的坡度为20：30＝1：1.5， 故答案为：1：1.5． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 37．（2025·上海闵行·一模）如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高为2米，平台的长为1米，用7米长的地毯从点到点正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡的坡比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 过点作于，根据矩形的性质求出，根据题意求出，再根据坡比的概念计算即可． 【详解】解：如图，过点作于，则四边形为矩形， 米， 由题意得： (米)， ∴斜坡的坡比是： 故选： B． 题型10：求水平距离、铅锤高度的综合应用 38．（2022秋•黄浦区校级期末）如图，某地下车库的入口处有斜坡AB，它的坡度为i＝1：2，斜坡AB的长为6米，车库的高度为AH（AH⊥BC），为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14°（图中的∠ACB＝14°）． （1）求车库的高度AH； （2）求点B与点C之间的距离（结果精确到1米）． （参考数据：sin14°＝0.24，cos14°＝0.97，tan14°＝0.25，cot14＝4.01） 【分析】（1）利用坡度为i＝1：2，得出AH：BH＝1：2，进而利用勾股定理求出AH的长； （2）利用tan14°＝，求出BC的长即可． 【解答】解：（1）由题意可得：AH：BH＝1：2， 设AH＝x，则BH＝2x， 故x2+（2x）2＝（6）2， 解得：x＝6， 答：车库的高度AH为6m； （2）∵AH＝6，∴BH＝2AH＝12， ∴CH＝BC+BH＝BC+12， 在Rt△AHC中，∠AHC＝90°， 故tan∠ACB＝， 又∵∠ACB＝14°， ∴tan14°＝， ∴0.25＝， 解得：BC＝12， 答：点B与点C之间的距离是12m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，坡度坡角问题，注意：坡度等于坡角的正切值． 39．（2025·上海宝山·一模）为了方便居民出入小区，小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形（如图1），米，米，斜坡的坡角为．计划将斜坡改造成坡比为的斜坡（如图2所示），坡面的宽度不变． (1)求改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度； (2)改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？ 【答案】(1)改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度为米 (2)改建这条斜坡需要立方米的混凝土材料 【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，数形结合，正确地作出辅助线利用三角函数定义求解是解题的关键． （1）过作交的延长线于，根据直角三角形的性质得到（米），（米），由，得到（米），于是得到米； （2）根据三角形的面积公式得到平方米，于是得到结论． 【详解】（1）解：过作交的延长线于，如图所示： ∵米， ∴（米），（米）， 在中，， ∴（米）， ∴米， 答：改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度为米； （2）解：∵平方米， ∴立方米， 答：改建这条斜坡需要立方米的混凝土材料． 40．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)高楼的高度为米 (2)点离地面的距离为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）在中，解直角三角形即可得出答案； （2）作于，于，则四边形是矩形，得出，，设米，则米，米，在中，解直角三角形即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：在中，米，， ∴（米）， ∴高楼的高度为米； （2）解：如图，作于，于， ， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 设米， ∴米， ∵斜坡的坡比是， ∴米， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴点离地面的距离为米． 41．（2023·上海崇明·一模）如图，一根灯杆上有一盏路灯，路灯离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方点15.5米处有一坡度为的斜坡，如果高为3米的标尺竖立地面上，垂足为，它的影子的长度为4米． (1)当影子全在水平地面上（图1），求标尺与路灯间的距离； (2)当影子一部分在水平地面上，一部分在斜坡上（图2），求此时标尺与路灯间的距离为多少米？ 【答案】(1)标尺与路灯间的距离为8米； (2)此时标尺与路灯间的距离为米． 【分析】（1）由题意可知，得到，则，把数值代入即可得到答案； （2）连接交于点M，过点M作交延长线于点N，过点M作于点G，交于点H，设米，则米，可证明，得到，求出米，米，米，，代入比例式得到关于x的一元二次方程，解方程求得x的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图， 由题意可知，, ∴， ∴， ∴ 由题意可知，， ∴， 解得, 即标尺与路灯间的距离为8米； （2）如图，连接交于点M，过点M作交延长线于点N，过点M作于点G，交于点H， ∵影子长为4米， ∴米， 设米， ∴米， ∵米， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵米，， ∴米，， ∴米， ∴米，米，米，， ∴， ∴，   ∴， 解得（不合题意，舍去），， 经检验是方程的解且符合题意， ∴米， ∴米， ∴此时标尺与路灯间的距离为米． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解分式方程、解直角三角形的坡度问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 42．地震会导致房间内吊灯剧烈摇晃而掉落．在一间高3米（点A至地面）的房间内有一盏吊灯，吊绳长厘米，当吊绳摆动与铅垂方向夹角处于至范围时，灯可能会垂直掉落．    (1)灯垂直掉落至地面的危险区域长度为多少厘米？（精确到0.1） (2)机智的你正在房间内愉快地玩耍，忽然收到温馨提示将发生地震，你冷静地仰望静止的灯（点B），测得仰角为，请计算并说明你是否站在灯掉落的危险区域？（参考数据：，，，，） 【答案】(1) (2)未站在灯掉落的危险区域 【分析】（1）作由，，即可求解； （2）延长交于点M处，假设此时“我”在点N处，，由即可求解； 【解析】（1）如图，作 由题可知， ∵， ， ∴， ， ∴． （2）如图，延长交于点M处，假设此时“我”在点N处，， ∵， ∴， ∵， ∴未站在灯掉落的危险区域．      【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，正确画出辅助线是解本题的关键． 考点四、其他综合 题型11：临界值题 43．（2025·上海松江·一模）图1是一款高清视频设备．图2是该设备放置在水平桌面上的示意图，垂直于水平桌面，垂足为点，点处有一个摄像头．经测量，厘米，厘米，． 图1             图2 (1)求摄像头到桌面的距离； (2)如果摄像头可拍摄的视角，且，求桌面上可拍摄区域的宽度（的长）． （参考数据：，．） 【答案】(1)摄像头到桌面的距离是 (2)桌面上可拍摄区域的宽度为 【分析】本题主要考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识，构造直角三角形，正确运用锐角三角函数的计算及相似三角形的判定的方法及性质是解题的关键． （1）过点作，过点作，垂足分别为点、，可得，由可算出，由即可求解； （2）过点作，垂足为，则有，设，，则，，，再证，由相似三角形的性质可得，由即可求解． 【详解】（1）解：过点作，过点作，垂足分别为点、， ，， ， ，， ， ， ． 答：摄像头到桌面的距离是． （2）解：过点作，垂足为， ，， 设，，则，，， ，， ， ， 解得：， ， 答：桌面上可拍摄区域的宽度为． 44．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上． （1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE． （2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD＝150°时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？    【答案】（1）（20+5）cm；（2）比原来降低了（10﹣10）厘米． 【分析】（1）作BO⊥DE于O，根据矩形的判定，可得四边形ABOE是矩形，先求出∠DBO，然后根据锐角三角函数即可求出OD，从而求出DE； （2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE，根据锐角三角函数，即可求出CG，从而求出KH，再求出∠DCK，利用锐角三角函数即可求出DK，从而求出此时连杆端点D离桌面l的高度，即可求出结论. 【解析】解：（1）如图2中，作BO⊥DE于O．   ∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°， ∴四边形ABOE是矩形， ∴∠OBA＝90°， ∴∠DBO＝150°﹣90°＝60°， ∴OD＝BD•sin60°＝20（cm）， ∴DE＝OD+OE＝OD+AB＝（20+5）cm； （2）过C作CG⊥BH，CK⊥DE， 由题意得，BC＝CD＝20m，CG＝KH， ∴在Rt△CGB中，sin∠CBH＝， ∴CG＝10cm， ∴KH＝10cm， ∵∠BCG＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DCK＝150°﹣90°﹣30°＝30°， 在Rt△DCK中，sin∠DCK＝＝＝， ∴DK＝10cm， ∴此时连杆端点D离桌面l的高度为10+10+5=（15+10）cm ∴比原来降低了（20+5）﹣（15+10）＝10﹣10， 答：比原来降低了（10﹣10）厘米．    【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握构造直角三角形的方法和用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键. 题型12：其他问题 45．图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD的上底BC表示主跨桥，两腰AB，CD表示桥两侧的斜梯，A，D两点在地面上，已知AD＝40m，设计桥高为4m，设计斜梯的坡度为1：2.4．点A左侧25m点P处有一棵古树，有关部门划定了以P为圆心，半径为3m的圆形保护区． (1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和； (2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN作为轮椅坡道，坡道终点N在左侧的新斜梯上，并在点N处安装无障碍电梯，坡道起点M在AP上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点N距离地面的高度为0.9m，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行． 表：轮椅坡道的最大高度和水平长度 坡度 1：20 1：16 1：12 1：10 1：8 最大高度（m） 1.20 0.90 0.75 0.60 0.30 水平长度（m） 24.00 14.40 9.00 6.00 2.40 【答案】(1)主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m (2)轮椅坡道的设计不可行，理由见解析 【分析】（1）根据斜坡AB的坡度以及天桥的高度可求出AE，由勾股定理求出AB，进而求出EF＝BC的长，再计算主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和； （2）根据坡度的定义求出新方案斜坡 的水平距离进而求出点M到点G的最大距离，再由表格中轮椅坡道的最大高度和水平长度的对应值进行判断即可． 【解析】（1）解：如图，作直线AD，则AD过点 和点，过点B、C分别作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足为E、F，延长EB，延长FC，则射线EB过点，射线FC过点，由题意得，BE＝CF＝4m，AP＝25m，E＝5m， ∵斜坡AB的坡度为1：2.4，即＝1：2.4， ∴AE＝4×2.4＝9.6（m）， 又∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AE＝DF＝9.6m， ∴BC＝AD﹣AE﹣DF＝5.8（m）， AB＝＝＝10.4（m）＝CD， ∴主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为AB+BC+CD＝10.4+5.8+10.4＝26.6（m）， 答：主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m． （2）解：∵斜坡的坡度为1：4，即＝1：4， ∴E＝5×4＝20（m）， ∴A＝20﹣9.6＝11.4（m）， G＝4NG＝4×0.9＝3.6（m）， ∴AG＝11.4﹣3.6＝7.8（m）， 点M到点G的最多距离MG＝25﹣7.8﹣3＝14.2（m）， ∵14.2＜14.4， ∴轮椅坡道的设计不可行． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据坡度和坡角构造直角三角形，然后分别用解直角三角形的知识坡道的水平距离是解答本题的关键． 46．钓鱼伞设计：户外钓鱼是一项独特的休闲娱乐活动，已经吸引了越来越多的人． 图解：图1是某钓鱼俱乐部设计了一款新型钓伞，伞面可近似看成弧线．图2是其侧面示意图．已知遮阳伞由伞面弧、支架和支架组成，D为两个支架的连接点，其中支架垂直于且可在D处任意旋转，C为中点，支架垂直于地面且可以适当调整长度．传统的钓伞在连接点D处需要手动旋转支架，使弦与光线垂直以达到最大遮阳目的．新型遮阳伞在D处设置了光线传感器，自动旋转支架以保持始终与光线垂直．图3-5为在不同太阳高度下的情况，其中为光线方向，为在地面形成的影子．仅考虑光线由右上到左下的情况． 定义变量：设米，米，米，太阳高度角定义为光线与地面夹角（为锐角）． 问题一：如图4，若，当伞面端点的影子刚好与点重合时，求影子的长度． 问题二：根据图3-图5，为了最大程度利用遮阳伞，假设钓鱼人坐在点，面朝阳光方向，设的距离为米，请利用相关变量表示． 问题三：在图5中，该俱乐部的某场钓鱼比赛定在上午九点，此时太阳光线与地面夹角为，俱乐部选择，型号的钓伞．假设点刚好在岸边，座椅在处，为了满足最大舒适性，选手距离岸边距离（在点左侧）不超过米，且为了满足视野不影响比赛，要求点离地面的垂直距离不小于米，根据此要求，该俱乐部应如何设置的高度以满足比赛，求的取值范围．（精确到0.1米，参考数据：） 【答案】问题一：影长米；问题二：；问题三： 【分析】问题一：过点D作，交于点F，过点N作，交于点H，则可得四边形为矩形，则有；在中，由勾股定理求得，则可求得的值，在在中，利用正弦函数关系则可求得； 问题二：延长交于点，由平行线分线段成比例定理得G点是中点；及中，利用三角函数分别求出，分点N在点E右侧、点N在点E左侧、点N与点E重合三种情况，即可求解； 问题三：过点F作，交于P，过点B作交延长线于Q，交延长线于R，利用解直角三角形知识分别求出，由，即可求得h的范围． 【解析】问题一 解：当点E和点N重合时，过点D作，交于点F，过点N作，交于点H， ， ， 四边形为矩形，米， ， ， 由题可知，米，米， 在中，由勾股定理得米， 则， 在中，， 解得米，即影长为米， 问题二 解： 延长交于点， ， ，即， 中，，则， ， 在中，， ，则， 当点N在点E右侧时，， 则， 当点N在点E左侧时，， 则， 当点N与点E重合时，，即， 综上所述，； 问题三 解：过点F作，交于P，过点B作交延长线于Q，交延长线于R， 当时，都为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 由题可知：， ， 当时，解得： ， 即． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定，构造适当辅助线得到直角三角形是解题的关键． 一、选择题 2、 填空题 三、解答题 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 专题25.4 解直角三角形的应用 知识点一、仰角和俯角 在测量中,我们把在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角. 视线在水平线下方的叫俯角. 如图所示，PQ 为水平线,视线为PA时，则∠APQ为仰角;视线为PB时,则∠BPQ为俯角. 知识点二、方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角,叫. 如图所示，目标方向线OA，OB，OC形成的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西30°，其中南偏东45°习惯上又叫做东南方向,北偏东 45°习惯上又叫做东北方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向,南偏西45习惯上又叫做西南方向. 注意：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解. 知识点三、坡度与坡角 （1）坡角:坡面与水平面所成的夹角.如图中的 （2）坡度:我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度.坡度也可写成的形式,在实际应用中常表示成的形式 （3）坡度与坡角的关系：.坡度是坡角的正切值,坡角越大，坡度也就越大 知识点四、解直角三角形在实际问题中的应用 1、利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤 (1)将实际问题抽象为数学问题; (2)根据问题中的条件选用合适的锐角三角函数解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案. 2、实际问题中，常见的基本图形及相应的关系式 图形 关系式 图形 关系式 【注意】 (1)根据问题找到要求解的直角三角形，当没有现成的直角三角形时,适当添加辅助线构造(或分割)直角三角形 (2)有些问题中有两个(或两个以上)直角三角形,当其中一个直角三角形不能求解时,可考虑在其他直角三角形中找出含有相同的未 考点一 仰角、俯角问题 题型01：用仰、俯角的三角比表示长度或计算长度 1．（2025·上海杨浦·一模）小海在距离地面高60米的热气球中测得地面上的着落点的俯角为，那么此时热气球离着落点的距离约是（   ）（参考数据：，，） A．75米 B．80米 C．100米 D．米 2．（2025·上海徐汇·一模）如图，热气球探测器显示，从热气球处测得一栋楼顶部处的仰角是，测得这栋楼的底部处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是 米（精确到0.1米）．（参考数据：，） 3．（2022秋•徐汇区期末）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后楼梯AC长为　　米． 题型02：仰俯角的实际综合应用 4．（2022秋•金山区校级期末）无人机在实际生活中应用广泛．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）． （1）填空：∠APD＝　　度，∠ADC＝　　度； （2）求楼CD的高度（结果保留根号）； （3）求此时无人机距离地面BC的高度． 5．（2024秋•闵行区期末）2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度BD＝10.6米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面A处测得飞船底部D处的仰角45°，顶部B处的仰角为53°，求此时观测点A到发射塔CD的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） 6．（2023秋•徐汇区期末）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD＝26米，坡度i＝1：2.4，小明在斜坡下端C处测得楼顶点B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为30°，DE与地面垂直，垂足为E，其中点A、C、E在同一直线上． （1）求DE的值； （2）求大楼AB的高度（结果保留根号）． 考点二 方位角问题 题型03：已知方位角、方向角求距离 7．（2025·上海杨浦·一模）如图，小岛在港口的西南方向，一艘船从港口沿正南方向航行12海里后到达处，在处测得小岛在它的南偏西方向，那么小岛离港口有 海里．（结果保留根号） 8．（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）平陆运河连通西江“黄金水道”和北部湾港口，是广西世纪大工程．如图是某港口的平面示意图，码头在观测站的正东方向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里．观测站到的距离是（   ）    A． B．1 C．2 D． 9．（2025·上海徐汇·一模）如图，货船在灯塔的北偏西方向，客船在灯塔的东北方向，客船在货船的正东方向，如果货船与客船相距50千米，那么客船与灯塔的距离约是 千米（结果保留根号）． 10．（2025·上海长宁·一模）如图，点A位于点的北偏西方向，点位于点的东北方向，线段为一条东西向的公路的一部分，如果点到公路的距离是米，那么公路的长为 ． 11．（2022秋•黄浦区校级期末）已知海面上一艘货轮A在灯塔B的北偏东30°方向，海监船C在灯塔B的正东方向5海里处，此时海监船C发现货轮A在它的正北方向，那么海监船C与货轮A的距离是（　　） A．10海里 B．5海里 C．5海里 D．海里 12．（2022秋•徐汇区期末）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东50°方向，距离灯塔2海里的点A处．若海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B处，则海轮航行的距离AB的长是（　　） A．2sin50°海里 B．2cos50°海里 C．2tan40°海里 D．2tan50°海里 13．一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（　　） A．(30-50，30) B．(30， 30-50) C．(30，30) D．(30，30) 题型04：触礁问题 14．（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）一船自西向东航行，在得到消息，在其北偏东53°方向，距离30海里的点处，测得有一暗礁群在以点为圆心，海里为半径的圆内，问如果轮船继续沿正东方向航行有无触礁的危险?说明理由．（参考数据：，，，） 15．（2024·安徽亳州·一模）如图，一渔轮在海上A处测得灯塔C在它的北偏东 方向，渔轮向正东方向航行10海里到达点B处，测得灯塔C在它的北偏东方向，若灯塔C四周14海里范围内有暗礁，则渔轮继续向正东方向航行，是否有触礁的危险？（，） 16．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东方向上，且A，P之间的距离为32海里．    (1)若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？ (2)如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东度方向航行确保安全通过这一海域，求的取值范围． 题型05：搜救、航海追及问题 17．（2022秋•青浦区校级期末）如图，在港口A的南偏东37°方向的海面上，有一巡逻艇B，A、B相距20海里，这时在巡逻艇的正北方向及港口A的北偏东67°方向上，有一渔船C发生故障．得知这一情况后，巡逻艇以25海里/小时的速度前往救援，问巡逻艇能否在1小时内到达渔船C处？ （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈） 18．（2024·重庆江津·模拟预测）我国一艘巡逻船在某海域B处进行巡逻时，发现在东北方向海里的A处有一外国舰艇正在侦查我国海域，我方巡逻船立刻与其交涉文明劝返，当巡逻船沿着正东方向航行一段距离到达C处时，发现外国舰艇在位于北偏东方向A处原地不动． (1)求此时巡逻船航行的距离的长；（保留整数，参考数据：，，） (2)我方巡逻船立刻对其喊话驱离，外国舰艇立即以30海里/小时的速度沿着南偏东方向逃窜，此刻我方巡逻船同时从C处立即沿着正东方向在D处将其截获，求巡逻船的航行速度（结果保留根号） 18．（2022秋•杨浦区校级期末）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且在C的正南方向1000米处． （1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：） （2）救援船的平均速度为180米/分，快艇的平均速度为320米/分，在接到通知后，快艇能否在6分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计） 考点三 坡度坡比问题 题型06： 已知坡度（比）求长（高）度 19．（2022秋•青浦区校级期末）如果小明沿着坡度为1：2.4的山坡向上走了26米，那么他的高度上升了 　　米． 20．（2023秋•杨浦区期末）小杰沿坡比为1：2.4的山坡向上走了130米．那么他沿着垂直方向升高了　　米． 21（2023秋•黄浦区校级期末）一辆汽车沿着坡度i＝1：的斜坡向下行驶50米，那么它距离地面的垂直高度下降了　　米． 22．（24-25九年级上·上海·期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（   ）    A．4米 B．米 C．米 D．米 23．如图，某大楼DE楼顶挂着“众志成城，抗击疫情”的大型宣传牌，为了测量宣传牌的高度CD，小江从楼底点E向前行走30米到达点A，在A处测得宣传牌下端D的仰角为60°．小江再沿斜坡AB行走26米到达点B，在点B测得宣传牌的上端C的仰角为43°，已知斜坡AB的坡度i＝1：2.4，点A、B、C、D、E在同一平面内，CD⊥AE，宣传牌CD的高度约为（　　）（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93，≈1.73） A．8.3米 B．8.5米 C．8.7米 D．8.9米 题型07：用三角比表示长（高）度 24．（2024广西贺州·二模）如图，一个供轮椅行走的斜坡通道的长为6米，斜坡角，则斜坡的垂直高度的长可以表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 25．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（     ）米 A． B． C． D． 26．如图所示，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（    ） A．5米 B．米 C．米 D．米 27．如图所示，某村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为（m），那么这两棵树在坡面上的距离AB为（      ） A．mcos（m） B．（m） C．msin（m） D．（m） 28．（2024·上海徐汇·三模）一斜坡的坡角为，坡长比坡高多100米，那么斜坡的高为 （用的锐角三角比表示）． 题型08：根据线段长度或坡比求坡角 29．（2025·上海崇明·一模）如果斜坡的坡度，那么斜坡的坡角等于（    ） A． B． C． D． 30．（2025·上海静安·一模）已知一坡面的坡度，那么这个坡角等于 ． 31．（2023秋•静安区期末）一水库的大坝横断面是梯形，坝顶、坝底分别记作BC、AD，且迎水坡AB的坡度为1：2.5，背水坡CD的坡度为1：3，则迎水坡AB的坡角 　　背水坡CD的坡角．（填“大于”或“小于”） 32．（2025·上海奉贤·一模）已知一个斜坡的坡角为，坡度为，那么 ． 33．（2024秋•徐汇区期末）已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为α，那么sinα＝　　． 题型09：根据线段长度求坡度（比） 34．（2022秋•杨浦区校级期末）如果一段斜坡的铅垂高度为2米，水平宽度为3米，那么这段斜坡的坡比i＝　　． 35．（2022秋•徐汇区校级期末）某人在斜坡走了10m，垂直高度上升8m，则坡比i＝　． 36．（2022秋•黄浦区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为　　． 37．（2025·上海闵行·一模）如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高为2米，平台的长为1米，用7米长的地毯从点到点正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡的坡比是（    ） A． B． C． D． 题型10：求水平距离、铅锤高度的综合应用 38．（2022秋•黄浦区校级期末）如图，某地下车库的入口处有斜坡AB，它的坡度为i＝1：2，斜坡AB的长为6米，车库的高度为AH（AH⊥BC），为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为14°（图中的∠ACB＝14°）． （1）求车库的高度AH； （2）求点B与点C之间的距离（结果精确到1米）． （参考数据：sin14°＝0.24，cos14°＝0.97，tan14°＝0.25，cot14＝4.01） 39．（2025·上海宝山·一模）为了方便居民出入小区，小区业委会决定对大门口的一段斜坡进行改造．原坡面是矩形（如图1），米，米，斜坡的坡角为．计划将斜坡改造成坡比为的斜坡（如图2所示），坡面的宽度不变． (1)求改造后斜面底部延伸出来的部分（）的长度； (2)改建这条斜坡需要多少立方米的混凝土材料？ 40．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 41．（2023·上海崇明·一模）如图，一根灯杆上有一盏路灯，路灯离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方点15.5米处有一坡度为的斜坡，如果高为3米的标尺竖立地面上，垂足为，它的影子的长度为4米． (1)当影子全在水平地面上（图1），求标尺与路灯间的距离； (2)当影子一部分在水平地面上，一部分在斜坡上（图2），求此时标尺与路灯间的距离为多少米？ 42．地震会导致房间内吊灯剧烈摇晃而掉落．在一间高3米（点A至地面）的房间内有一盏吊灯，吊绳长厘米，当吊绳摆动与铅垂方向夹角处于至范围时，灯可能会垂直掉落．    (1)灯垂直掉落至地面的危险区域长度为多少厘米？（精确到0.1） (2)机智的你正在房间内愉快地玩耍，忽然收到温馨提示将发生地震，你冷静地仰望静止的灯（点B），测得仰角为，请计算并说明你是否站在灯掉落的危险区域？（参考数据：，，，，） 考点四、其他综合 题型11：临界值题 43．（2025·上海松江·一模）图1是一款高清视频设备．图2是该设备放置在水平桌面上的示意图，垂直于水平桌面，垂足为点，点处有一个摄像头．经测量，厘米，厘米，． 图1             图2 (1)求摄像头到桌面的距离； (2)如果摄像头可拍摄的视角，且，求桌面上可拍摄区域的宽度（的长）． （参考数据：，．） 44．如图1为放置在水平桌面l上的台灯，底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上． （1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，如图2，求连杆端点D离桌面l的高度DE． （2）将（1）中的连杆CD再绕点C逆时针旋转，经试验后发现，如图3，当∠BCD＝150°时台灯光线最佳．求此时连杆端点D离桌面l的高度比原来降低了多少厘米？    题型12：其他问题 45．图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD的上底BC表示主跨桥，两腰AB，CD表示桥两侧的斜梯，A，D两点在地面上，已知AD＝40m，设计桥高为4m，设计斜梯的坡度为1：2.4．点A左侧25m点P处有一棵古树，有关部门划定了以P为圆心，半径为3m的圆形保护区． (1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和； (2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN作为轮椅坡道，坡道终点N在左侧的新斜梯上，并在点N处安装无障碍电梯，坡道起点M在AP上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点N距离地面的高度为0.9m，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行． 表：轮椅坡道的最大高度和水平长度 坡度 1：20 1：16 1：12 1：10 1：8 最大高度（m） 1.20 0.90 0.75 0.60 0.30 水平长度（m） 24.00 14.40 9.00 6.00 2.40 46．钓鱼伞设计：户外钓鱼是一项独特的休闲娱乐活动，已经吸引了越来越多的人． 图解：图1是某钓鱼俱乐部设计了一款新型钓伞，伞面可近似看成弧线．图2是其侧面示意图．已知遮阳伞由伞面弧、支架和支架组成，D为两个支架的连接点，其中支架垂直于且可在D处任意旋转，C为中点，支架垂直于地面且可以适当调整长度．传统的钓伞在连接点D处需要手动旋转支架，使弦与光线垂直以达到最大遮阳目的．新型遮阳伞在D处设置了光线传感器，自动旋转支架以保持始终与光线垂直．图3-5为在不同太阳高度下的情况，其中为光线方向，为在地面形成的影子．仅考虑光线由右上到左下的情况． 定义变量：设米，米，米，太阳高度角定义为光线与地面夹角（为锐角）． 问题一：如图4，若，当伞面端点的影子刚好与点重合时，求影子的长度． 问题二：根据图3-图5，为了最大程度利用遮阳伞，假设钓鱼人坐在点，面朝阳光方向，设的距离为米，请利用相关变量表示． 问题三：在图5中，该俱乐部的某场钓鱼比赛定在上午九点，此时太阳光线与地面夹角为，俱乐部选择，型号的钓伞．假设点刚好在岸边，座椅在处，为了满足最大舒适性，选手距离岸边距离（在点左侧）不超过米，且为了满足视野不影响比赛，要求点离地面的垂直距离不小于米，根据此要求，该俱乐部应如何设置的高度以满足比赛，求的取值范围．（精确到0.1米，参考数据：） 1 学科网（北京）股份有限公司 $