第25章锐角的三角比章节复习提升（9大题型+能力提升） 【精英班课程】 2025-2026学年沪教版（五四制）九年级数学上册同步培优讲义

2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第25章锐角的三角比 考点一、锐角三角比的意义 【例1】在中，，那么锐角的正弦等于（ ） A． B． C． D．． 【例2】在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值、余弦值的变化情况是（    ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍 C．都没有变化 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确锐角三角函数的定义，知道变化前后的两个三角形相似．根据一个锐角的三边的长都扩大为原来的2倍，可知扩大后的度数没有发生变化，可以判断是否变化． 【详解】解：一个的三边的长都扩大为原来的2倍， 的度数没有发生变化， 锐角的正弦值、余弦值没有变化， 故选：C 【例3】在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角函数的知识，熟记正弦、余弦和正切的定义是解题的关键．正弦是对边比斜边，余弦是邻边比斜边，正切是对边比邻边，据此可判断． 【详解】解：如下图， A. ，故该选项不成立，不符合题意； B. ，故该选项不成立，不符合题意； C. ，故该选项不成立，不符合题意； D. ，故该选项成立，符合题意． 故选：D． 【例4】在中，分别为所对的边则下列等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数的定义判断即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c， 则sin，即，故A正确，不符合题意； ，即，故B不正确，符合题意； ，即，故C正确，不符合题意； ，即，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦；锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦；锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切． 考点二、求锐角三角比的值 【例5】如图，，，，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作交于点D，先根据三角函数求出，再根据勾股定理求出，进而可得出答案． 【详解】解：过点A作交于点D，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查三角函数及勾股定理，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【例6】公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形面积是4，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，如图所示，大正方形的边长，小正方形的边长，得到，从而，即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 大正方形的面积是25，小正方形面积是4， 大正方形的边长，小正方形的边长， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查历史背景问题求解，数形结合，灵活运用三角函数定义求解是解决问题的关键． 【例7】如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过B作于点D，根据勾股定理得出的值，再利用面积公式求出的值，由可得角的正弦值． 【详解】解：如图，过B作于点D 根据勾股定理得： ∴ ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了正弦值，勾股定理与网格,三角形的面积等知识点，解题的关键在于构造直角三角形． 【例8】如图，已知的终边，直线的方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角函数的定义，一次函数的图象和性质等知识．根据一次函数的性质，求出、的坐标，得到、、的长度，根据三角函数的定义即可求出的值,再证明即可得到答案． 【详解】解：根据题意：直线的方程为， 令，则，令，则， ∴点坐标为，点坐标为， 故，； ∴，， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 【例9】在中，，，，将其如图折叠使点A与点B重合，折痕为，连接，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形翻折变换性质得到，设，则，再根据勾股定理求出的值，再由锐角三角函数的定义得到答案． 【详解】解：由翻折而成， ． 设，则， 在中，，即，解得， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查翻折变换，锐角三角函数的定义，熟知图形翻折不变性是解题的关键． 【例10】如图，中，，点D在上，连接，将沿翻折，使得点C落在边上的点E处，则 ．    【答案】/0.5 【分析】根据折叠的性质可得，，，设，用勾股定理解，再利用正切函数的定义求解． 【详解】解：中，， ， 由折叠的性质可得，，， ． 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查正切函数，折叠的性质，勾股定理等，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等，对应角相等． 考点三：特殊角的锐角三角比 【例11】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值；根据特殊角的三角函数值进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【例12】式子的值是 ． 【答案】/ 【分析】直接将特殊角的三角函数值代入计算即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角函数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值成为解答本题的关键． 【例13】下列计算错误的个数是（    ） ①；；③； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值进行运算，即可一一判定． 【详解】解：，， ，故①错误； ，故②正确； ，故③错误； ，， ，故④正确； 综上分析可知，错误的有2个，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的相关运算，熟记特殊角的三角函数值是解决本题的关 【例14】计算： 【答案】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而计算得出答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角三角函数值． 【例15】计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案． 【详解】解：原式 ． 【例16】计算：． 【答案】0 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的混合运算．先将特殊角锐角三角锐角三角函数值代入，再合并，即可求解． 【详解】解： 【例17】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算，原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值，熟练掌握运算法则和特殊角的三角函数值是解本题的关键． 【详解】 考点四：比较大小与判定三角形状 【例18】在中，若，则的度数是 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出和的度数，然后求出的度数． 【详解】解：由题意得， 则， ∴ 则． 故答案为：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值． 【例19】在中，、都是锐角，且，，则是（     ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值求出，然后利用三角形内角和定理求出的度数，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【例20】中，、都是锐角，且，，则的形状是（    ）． A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据特殊角度三角函数的性质，结合题意，分别得，；再根据三角形内角和性质计算得，即可得到答案． 【详解】∵、都是锐角，且， ∴， ∴ ∴的形状是锐角三角形 故选：C． 【点睛】本题考查了三角函数、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握特殊角度三角函数、三角形内角和的性质，从而完成求解． 【例21】角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角，满足，确定锐角三角函数的增减性，随的增大而增大，随的增大而减小，随的增大而增大，利用45°函数值的分点即可确定答案． 【详解】解：角，满足，随的增大而增大，随的增大而减小， 随的增大而增大， A.∵,∴0<<,选项A正确，不合题意； B．∵,∴,选项B正确，不合题意； C．，，，，选项C不正确，符合题意； D．，，，，选项D正确，不符合题意． 故选择：C． 【点睛】本题考查锐角三角函数值的大小比较问题，掌握函数的增减性质利用45°函数值的特殊关系是解题关键． 【例22】已知∠A为锐角，且tanA＝，则∠A的取值范围是（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 【答案】C 【分析】通过tan30°、tan45°、tan60°这些特殊角度的正切值来判断随角度变化正切值的变化规律，再通过具体数值确定其大致范围. 【详解】解：tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝，则可知正切值随角增大而增大， 由1＜＜可得，45°＜∠A＜60°． 故选择C． 【点睛】熟悉特殊角的正切值以及由此判断正切函数随角度变化的变化规律是解题关键. 【例23】角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由角，满足，确定锐角三角函数的增减性，随的增大而增大，随的增大而减小，随的增大而增大，利用45°函数值的分点即可确定答案． 【详解】解：角，满足，随的增大而增大，随的增大而减小， 随的增大而增大， A.∵,∴0<<,选项A正确，不合题意； B．∵,∴,选项B正确，不合题意； C．，，，，选项C不正确，符合题意； D．，，，，选项D正确，不符合题意． 故选择：C． 【点睛】本题考查锐角三角函数值的大小比较问题，掌握函数的增减性质利用45°函数值的特殊关系是解题关键． 【例24】当A为锐角，且＜cosA＜时，∠A的范围是(     ) A．30°＜∠A＜45° B．60°＜∠A＜90° C．30°＜∠A＜60° D．0°＜∠A＜30° 【答案】C 【分析】根据锐角的余弦值随着角度的增大而减小进行解答． 【详解】∵cos60°=，cos30°=， ∴30°＜∠A＜60°． 故选C． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角的余弦值随着角度的增大而减小是解题的关键，是基础题，比较简单． 【例25】若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在间变化，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． 根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），判定即可． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 考点五：解直角三角形 【例26】在中，，，，则的长等于（    ） A．45 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，再利用计算即可． 【详解】∵，，， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了三角函数，勾股定理，熟练掌握三角函数，灵活运用勾股定理是解题的关键． 【例27】在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出的值． 【详解】解：由，可设，则，根据得． 所以． 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数定义的应用，利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值． 考点六：解非直角三角形 【例28】在中，，点D是直线上一点，若，，的值为 【答案】或 【分析】分两种情况：点D在线段上，点D在线段的反向延长线上，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】解：如图1，点D在线段上，过点A作于点E，过点B作于点F， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2，点D在线段的反向延长线上，过点A作于点E，过点B作于点F， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上可知，的值为或． 故答案为：或 【点睛】此题考查了求锐角三角函数、勾股定理、含角的直角三角形等知识，分类讨论是解题的关键． 【例29】在中，，，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】过作交于，再依次求出、、即可． 【详解】过作交于，    ∵，， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查解非直角三角形，解题的关键是通过作垂直构造直角三角形． 【例30】如图，在矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长为（   ）      A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，交于点G，，根据对称的性质，可得垂直平分，，，根据E为中点，可证，通过等边对等角可证明，利用勾股定理求出，再利用三角函数求出，则根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接，交于点G，如图所示，     由翻折性质可得：垂直平分， ∴，， ∵E为的中点，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠对称的性质、解直角三角形，熟练运用对称性质证明相关线段相等是解题的关键． 【例31】如图，点在正方形的边上，的平分线交边于点，连接，如果正方形的面积为12，且，那么的值为 ． 【答案】 【分析】过点E作交于点G，证明，根据正方形的面积求出，然后求出结果即可． 【详解】解：过点E作交于点G，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵正方形的面积为12， ∴， ∵， ∴． 答案：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行线的性质，三角函数的计算，解题的关键是作出辅助线，求出． 【例32】如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则 ．    【答案】5 【分析】利用矩形的性质及折叠的性质可得，，可得，，设，则，利用勾股定理可得，进而可得结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 根据折叠可知，可知，， 则，在中，，则， ∴，则， 设，则， 在中，，即：， 解得：， 即：， 故答案为：5． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，灵活运用折叠的性质得到相等线段是解决问题的关键． 【例33】如图，在中，，，点D是中点，E是边上一点，且，则的长等于 ．    【答案】 【分析】如图，延长到，使，过作交于，连接，证明，则，，，由，，可得，则，由三角形外角的性质可得，则，由分别为的中点，则是的中位线，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，延长到，使，过作交于，连接，    ∴， 又∵，， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等边对等角，余弦，中位线等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 考点七：仰角俯角、方位角、坡度坡比问题 【例34】如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，根据题意得，，，再解直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点，    由题意得，，， 在中，， 在中，， ，即这栋楼的高度为， 故选：A． 【点睛】本题考查了仰角俯角问题，用辅助线构建直角三角形是解题的关键． 【例35】如图，在距某居民楼楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡的坡度（或坡比），山坡坡底C点到坡顶D点的距离m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼与山坡的剖面在同一平面内，则居民楼的高度约为 （参考数据：）    【答案】82.1m 【分析】构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出、，进而求出． 【详解】如图，由题意得，， 在中， ∵山坡的坡度，     ∴， 设则，由勾股定理可得， 又，即， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查解直角三角形、坡比；添加辅助线构建直角三角形是解题的关键． 【例36】如图，岛位于岛的正西方，两岛间的距离为海里，由岛分别测得船位于南偏东和南偏西方向上，则船到岛的距离为（　　）    A．40海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】A 【分析】要求的长，需要构造直角三角形，作辅助线，然后根据题目中的条件利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：如图，作于点，    海里,，，， ，，， ， 解得：海里， 海里， 故选：A． 【例37】如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏东方向，则A，C两港之间的距离为 ．    【答案】 【分析】根据题意得，，，，过B作于E，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，，，，过B作于E，    ∴， 在中， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴A，C两港之间的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 【例38】如图，某商场开业，要为一段楼梯铺上红地毯，已知楼梯高，坡面的坡度，则至少需要红地毯 m．    【答案】14 【分析】根据坡面的坡度，求出的长度，从而利用平移的知识可得红地毯的长度为，进而得出答案． 【详解】解：∵，坡面的坡度， ∴， ∴红地毯的长度为， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，利用坡度求出的长度是解答本题的关键，另外要掌握平移性质的运用． 考点八：解直角三角形的应用 【例39】每年的3月5日是“学雷锋纪念日”，为弘扬雷锋精神，某校九年级（1）班数学兴趣小组的同学们来到学校附近的雷锋像（图1）下敬献鲜花和花篮，集体朗诵《雷锋日记》部分章节，高唱歌曲《学习雷锋好榜样》，如图2，该兴趣小组的同学们利用所学的数学知识测量雷锋像的长度，表示底座高度，表示雷锋像人身的高度，在点D处测得点B的仰角，点C的仰角，后退2米到达点E处后测得点C的仰角，点A、D、E在同一直线上，．（参考数据：，，，，，，） (1)求的度数； (2)①求的长； ②求的长． 【答案】(1) (2)①的长约为米；②的长约为米． 【分析】本题考查了平行线的性质，解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键． （1）连接，过点作，由题意可知，，，，进而得到，再根据平行线的性质，得出，即可求解； （2）①由题意可知，是等腰直角三角形，则令米，利用锐角三角函数列方程，求出，即可求解； ②由①可知，米，再利用锐角三角函数求出米，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作， 由题意可知，，，， ， ， ，， ， ； （2）解：①由题意可知，，，，，米， 是等腰直角三角形， ， 令米，则米， 在中，， ， ， 即的长约为米； ②由①可知，米， 在中，， 米， 米， 即的长约为米． 【例40】如图，某渔船向正东方向以10海里/时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向上，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向上，已知该岛周围9海里内有暗礁．    (1)B处离岛C有多远？ (2)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？ (3)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险（参考数据：、、） 【答案】(1)10海里 (2)有危险 (3)没有危险 【分析】（1）过C作垂直，通过证明，即可求出的长； （2）求出点C到的距离是否大于9，如果大于9则无触礁危险，反之则有； （3）过点C作，首先求出，然后根据三角函数求出的长，进而比较求解即可． 【详解】（1）过C作垂直，    为渔船向东航行到C道最短距离 ∵在A处测得岛C在北偏东的 ∴ 又∵B处测得岛C在北偏东， ∴，， ∴， ∴（海里）； （2）∵， ∴ ∴（海里） ∴（海里） ∵ ∴如果渔船继续向东航行，有触礁危险； （3）如图所示，过点C作，    根据题意可得， ∴，即 解得（海里） ∵ ∴没有危险． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是根据角度得到，再通过三角函数计算出相关距离． 【例41】如图1所示是斜坡处修建的一处水坝，对防御洪水灾害起到一定作用，同时可以储存水资源．已知为水平地面，斜坡的坡角为于点A．在斜坡的正中央修建水坝，已知，点E与点C在同一条水平线上．经测量． (1)求水坝的高度； (2)夏季，汛期来临．如图2，为了更好的预防洪水，相关部门在水坝的下方又修建了临时防护栏．已知C、E、G三点共线，．已知洪水越过了大坝后每分钟上涨，这一阶段持续时间为6分钟，则在此阶段洪水是否能越过防护栏？（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)在此阶段洪水能越过防护栏，理由见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． （1）首先得到，然后利用三角函数求出，得到，进而利用三角函数求解即可； （2）首先求出，过点F作，设，表示出，，然后根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， 在中，， ∴， 在中，； （2）解：根据题意得，， ∴ ∴ 如图所示，过点F作 ∵， ∴ ∵， ∴ ∵，， ∴， 设， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵洪水越过了大坝后每分钟上涨，这一阶段持续时间为6分钟， ∴洪水共上涨了 ∵ ∴在此阶段洪水能越过防护栏． 【例42】九年级物理第十一章《简单机械和功》章节中有这样一个问题：“如图1示意图所示，均匀杆长为，杆可以绕转轴点在竖直平面内自由转动，在点正上方距离为处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端相连，并将杆从水平位置缓慢向上拉起．当杆与水平面夹角为时，求动力臂．”从数学角度看是这样一个问题：如图2，已知于点且，连接，求点到的距离．请写出解答过程求出点到的距离．（结果保留根号） 【答案】 【分析】过点作于点，过点作于点，解，根据等面积法即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 即点到的距离为 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键． 【例43】从2014年至今，“图说我们的价值观”公益广告通过绘画、书法、雕塑、剪纸、刺绣、动画等形式来传播社会主义核心价值观，产生了良好的传播效果．在某校校园内有一块“社会主义核心价值观”宣传牌，同学们用所学知识对宣传牌的有关数据进行了测量，并尝试提出问题、解决问题． 数学抽象 将宣传牌抽象成如右图所示的图形，其中点A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，B，C两点在水平地面，点A，F所在直线与平行． 测量工具 老师教学用的量角器（可测角度与线段长，长度的最大量程为50） 测量数据 ，，，，，点C到宣传牌右侧立柱的距离的长为． 提出问题 … 小华想根据上述方案与测量数据，求点A到地面的距离，请你帮他完成．（结果精确到1cm．参考数据：，，，，，） 【答案】点A到地面的距离为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长交于点，过点作于点，证明四边形是矩形，在和中，分别求得和的长，据此计算即可求解． 【详解】解：延长交于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴，， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 答：点A到地面的距离为． 考点九：综合探究 【例44】我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可． 【详解】解：∵，， ∴ 即， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉是解题的关键． 【例46】定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据代入进行计算即可． 【详解】解： = = = =． 故答案为：． 【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键． 【例47】同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，；，． 例：． (1)试仿照例题，求出的值； (2)若已知锐角α满足条件，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把化为直接代入三角函数公式计算即可； （2）把化为直接代入三角函数公式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，，α为锐角， 解得， ∴ ． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解答本题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解． 【例48】如图，在中，， ，分别是角，，的的对边，探索与的关系：∵ ，，∴．    (1)根据以上三角函数知识的探索，在图锐角三角形中，探索，，之间的关系，并写出探索过程； (2)钝角三角形形中，上面结论是否仍然成立？简单说明 【答案】(1)，理由见解析 (2)==，理由见解析 【分析】（1）过作，，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义表示出，两者相等即可得证． （2），过作交的延长线于点，过点作于点，同（1）的方法分别表示出，即可求解． 【详解】（1），理由如下， 如图，过作，， 在中，，即， 在中，，即， ∴=，即=， 同理可得=， 则==．    （2）==． 解：如图所示，过作交的延长线于点，过点作于点，    ∵， ∴ ∵ 即， ∴ ∴==． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 【例49】在学习《锐角的三角比》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究． (1)初步尝试：我们知道：tan60°＝ ，tan30°＝ ，发现结论：tanA 2______tan∠A（填“＝”或“≠”）； (2)实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC＝1，求tan∠A； 小明想构造包含∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，所以得到∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值． 请按小明的思路进行余下的求解： (3)拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝．求tan2A的值． 【答案】(1)，，≠ (2) (3) 【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值得结论； （2）根据题意，利用勾股定理求AC，得结论； （3）作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，则∠BEC=2∠A，在Rt△EBC中，利用勾股定理求出EC，求tan∠BEC得结果． 【详解】（1）解：tan60°＝，tan30°＝， 发现结论：tanA≠2tan∠A 故答案为：，，≠； （2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1， ∴AB==， 如图1，延长CA至D，使得DA=AB， ∴AD=AB=， ∴∠D=∠ABD， ∴∠BAC=2∠D，CD=AD+AC=2+， ∴tan∠A=tan∠D=； （3）如图2，作AB的垂直平分线交AC于E，连接BE． 则∠BEC=2∠A，AE=BE，∠A=∠ABE ∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，tanA= ∴BC=1，AB=，设AE=x，则EC=3-x， 在Rt△EBC中，x2=(3-x)2+1，解得x=， 即AE=BE=，EC=， ∴tan2A=tan∠BEC=． 【点睛】本题考查锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，难度较大，在直角三角形中添加辅助线构造2∠A是解题的关键． 【例50】在学习完锐角的三角比后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，，，求（用含，的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点O，连接，过点C作于点D，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，，在中表示出，则可以求出 ．    阅读以上内容，回答下列问题：在中，，． (1)如图3，，，若，则______，______； (2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含，的式子表示）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据勾股定理求得，再根据三角函数的定义即可求得和，再根据求解即可； （2）取的中点，连接，过点作于点，则，，在中表示出，勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）解：由勾股定理可得：， 由三角函数的定义可得，， 由材料可得：， 故答案为：， （2）解：取的中点，连接，过点作于点，如下图：    则，，，， 在中，，， ， ， 在中，， ， ， ． 【点睛】此题考查了三角函数定义的应用，解题的关键是是熟练掌握三角函数的定义，作辅助线构造直角三角形． 【例51】如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题． (1) ； ； ． (2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ； (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； (4)若，且，求的值． 【答案】(1)1，1，1 (2)1 (3)证明见解析 (4) 【分析】（1）根据三角函数定义，数形结合，分别得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得到答案； （2）由（1）中运算结果即可得到答案； （3）根据题意，由勾股定理及三角函数定义，得到正弦函数值与余弦函数值，代入式子求解即可得证； （4）由上述归纳及证明的结论知，结合，根据完全平方和公式恒等变形，由确定，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：1，1，1； （2）解：由（1）中运算结果即可猜想在中，，都有， 故答案为：1； （3）证明：在中，，，，的对边分别是，，， 由勾股定理即可得到， ， ； （4）解：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角函数计算综合，涉及三角函数定义、同角三角函数关系、勾股定理及三角函数恒等变形求值，数形结合，灵活运用三角函数定义是解决问题的关键． 【例52】我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题（第（1）（2）不必写出过程） (1)的值为（     ）． A． B．1 C． D．2 (2)对于，的正对值的取值范围是 ． (3)如果，，其中为锐角，试求的值． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，勾股定理以及三角形的三边关系等知识． （1）先判断为等边三角形，得到，最后根据新定义求解即可； （2）先根据三角形的三边关系和等腰三角形的性质得到，最后根据新定义求解即可； （3）过点作于点，则，设，，然后用勾股定理求出、，最后根据新定义求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， 为等边三角形， ， ， 故选：B； （2）在中，根据三角形的三边关系得：， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）如图，过点作于点，则， ， 设，， 在中，， 是等腰三角形， ， ， 在中，， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第25章锐角的三角比 考点一、锐角三角比的意义 【例1】在中，，那么锐角的正弦等于（ ） A． B． C． D．． 【例2】在中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值、余弦值的变化情况是（    ） A．都缩小为原来的 B．都扩大为原来的2倍 C．都没有变化 D．不能确定 【例3】在中，，、、分别为、、的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【例4】在中，分别为所对的边则下列等式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 考点二、求锐角三角比的值 【例5】如图，，，，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【例6】公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是25，小正方形面积是4，则 ． 【例7】如图，的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则的值为（　　） A． B． C． D． 【例8】如图，已知的终边，直线的方程为，则（    ） A． B． C． D． 【例9】在中，，，，将其如图折叠使点A与点B重合，折痕为，连接，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【例10】如图，中，，点D在上，连接，将沿翻折，使得点C落在边上的点E处，则 ．    考点三：特殊角的锐角三角比 【例11】计算： ． 【例12】式子的值是 ． 【例13】下列计算错误的个数是（    ） ①；；③； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例14】计算： 【例15】计算：． 【例16】计算：． 【例17】计算：． 考点四：比较大小与判定三角形状 【例18】在中，若，则的度数是 【例19】在中，、都是锐角，且，，则是（     ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【例20】中，、都是锐角，且，，则的形状是（    ）． A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【例21】角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（      ） A． B． C． D． 【例22】已知∠A为锐角，且tanA＝，则∠A的取值范围是（　　） A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90° 【例23】角，满足，下列是关于角，的命题，其中错误的是（      ） A． B． C． D． 【例24】当A为锐角，且＜cosA＜时，∠A的范围是(     ) A．30°＜∠A＜45° B．60°＜∠A＜90° C．30°＜∠A＜60° D．0°＜∠A＜30° 【例25】若，则锐角满足（　　） A． B． C． D． 考点五：解直角三角形 【例26】在中，，，，则的长等于（    ） A．45 B． C． D． 【例27】在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点六：解非直角三角形 【例28】在中，，点D是直线上一点，若，，的值为 【例29】在中，，，，则的面积是 ． 【例30】如图，在矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长为（   ）      A．3 B． C． D． 【例31】如图，点在正方形的边上，的平分线交边于点，连接，如果正方形的面积为12，且，那么的值为 ． 【例32】如图，点E在矩形的边上，将沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，若．，则 ．    【例33】如图，在中，，，点D是中点，E是边上一点，且，则的长等于 ．    考点七：仰角俯角、方位角、坡度坡比问题 【例34】如图，热气球的探测器显示，从热气球处看一栋楼顶部处的仰角为，看这栋楼底部处的俯角为，热气球处与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（    ） A． B． C． D． 【例35】如图，在距某居民楼楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡的坡度（或坡比），山坡坡底C点到坡顶D点的距离m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼与山坡的剖面在同一平面内，则居民楼的高度约为 （参考数据：）    【例36】如图，岛位于岛的正西方，两岛间的距离为海里，由岛分别测得船位于南偏东和南偏西方向上，则船到岛的距离为（　　）    A．40海里 B．海里 C．海里 D．海里 【例37】如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏东方向，则A，C两港之间的距离为 ．    【例38】如图，某商场开业，要为一段楼梯铺上红地毯，已知楼梯高，坡面的坡度，则至少需要红地毯 m．    考点八：解直角三角形的应用 【例39】每年的3月5日是“学雷锋纪念日”，为弘扬雷锋精神，某校九年级（1）班数学兴趣小组的同学们来到学校附近的雷锋像（图1）下敬献鲜花和花篮，集体朗诵《雷锋日记》部分章节，高唱歌曲《学习雷锋好榜样》，如图2，该兴趣小组的同学们利用所学的数学知识测量雷锋像的长度，表示底座高度，表示雷锋像人身的高度，在点D处测得点B的仰角，点C的仰角，后退2米到达点E处后测得点C的仰角，点A、D、E在同一直线上，．（参考数据：，，，，，，） (1)求的度数； (2)①求的长； ②求的长． 【例40】如图，某渔船向正东方向以10海里/时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向上，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向上，已知该岛周围9海里内有暗礁．    (1)B处离岛C有多远？ (2)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？ (3)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险（参考数据：、、） 【例41】如图1所示是斜坡处修建的一处水坝，对防御洪水灾害起到一定作用，同时可以储存水资源．已知为水平地面，斜坡的坡角为于点A．在斜坡的正中央修建水坝，已知，点E与点C在同一条水平线上．经测量． (1)求水坝的高度； (2)夏季，汛期来临．如图2，为了更好的预防洪水，相关部门在水坝的下方又修建了临时防护栏．已知C、E、G三点共线，．已知洪水越过了大坝后每分钟上涨，这一阶段持续时间为6分钟，则在此阶段洪水是否能越过防护栏？（参考数据：，，，） 【例42】九年级物理第十一章《简单机械和功》章节中有这样一个问题：“如图1示意图所示，均匀杆长为，杆可以绕转轴点在竖直平面内自由转动，在点正上方距离为处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端相连，并将杆从水平位置缓慢向上拉起．当杆与水平面夹角为时，求动力臂．”从数学角度看是这样一个问题：如图2，已知于点且，连接，求点到的距离．请写出解答过程求出点到的距离．（结果保留根号） 【例43】从2014年至今，“图说我们的价值观”公益广告通过绘画、书法、雕塑、剪纸、刺绣、动画等形式来传播社会主义核心价值观，产生了良好的传播效果．在某校校园内有一块“社会主义核心价值观”宣传牌，同学们用所学知识对宣传牌的有关数据进行了测量，并尝试提出问题、解决问题． 数学抽象 将宣传牌抽象成如右图所示的图形，其中点A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，B，C两点在水平地面，点A，F所在直线与平行． 测量工具 老师教学用的量角器（可测角度与线段长，长度的最大量程为50） 测量数据 ，，，，，点C到宣传牌右侧立柱的距离的长为． 提出问题 … 小华想根据上述方案与测量数据，求点A到地面的距离，请你帮他完成．（结果精确到1cm．参考数据：，，，，，） 考点九：综合探究 【例44】我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的的面积为．的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则．下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【例46】定义一种运算；，．例如：当，时，，则的值为 ． 【例47】同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：，；，． 例：． (1)试仿照例题，求出的值； (2)若已知锐角α满足条件，求的值． 【例48】如图，在中，， ，分别是角，，的的对边，探索与的关系：∵ ，，∴．    (1)根据以上三角函数知识的探索，在图锐角三角形中，探索，，之间的关系，并写出探索过程； (2)钝角三角形形中，上面结论是否仍然成立？简单说明 【例49】在学习《锐角的三角比》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究． (1)初步尝试：我们知道：tan60°＝ ，tan30°＝ ，发现结论：tanA 2______tan∠A（填“＝”或“≠”）； (2)实践探究：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC＝1，求tan∠A； 小明想构造包含∠A的直角三角形：延长CA至D，使得DA＝AB，所以得到∠D＝∠A，即转化为求∠D的正切值． 请按小明的思路进行余下的求解： (3)拓展延伸：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝．求tan2A的值． 【例50】在学习完锐角的三角比后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，，，求（用含，的式子表示）．聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点O，连接，过点C作于点D，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，，在中表示出，则可以求出 ．    阅读以上内容，回答下列问题：在中，，． (1)如图3，，，若，则______，______； (2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式（用含，的式子表示）． 【例51】如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题． (1) ； ； ． (2)观察上述等式，猜想：在中，，都有 ； (3)如图④，在中，，，，的对边分别是，，，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想； (4)若，且，求的值． 【例52】我们定义：等腰三角形中底边与腰的长度的比值叫做顶角的正对．如图，在中，，顶角A的正对记作，这时．仔细阅读上述关于顶角的正对的定义，解决下列问题（第（1）（2）不必写出过程） (1)的值为（     ）． A． B．1 C． D．2 (2)对于，的正对值的取值范围是 ． (3)如果，，其中为锐角，试求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $