精品解析：江苏省南京外国语学校2025～2026学年上学期10月月考九年级数学试题

九年级数学练习 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 1. 已知在抛物线上，则A关于抛物线对称轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，坐标与图形的变化-对称，把点的坐标代入抛物线解析式并整理成非负数的形式是解题的关键．把点A坐标代入二次函数解析式并利用完全平方公式整理，然后根据非负数的性质列式求出a、b，再求出点A的坐标，然后求出抛物线的对称轴，再根据对称性求解即可． 【详解】∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得，， ∴，， ∴点A的坐标为， ∵对称轴为直线， ∴点A关于对称轴的对称点的坐标为． 故选：D． 2. 如图，在中，弦与交于点，，且的度数为的度数的一半．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了弧与圆周角之间的关系，三角形内角和定理和三角形外角的性质，先证明，再证明，据此根据三角形内角和定理求出的度数，再利用三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵的度数为的度数的一半， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3. 如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中1、2、3、5、7是等腰直角三角形，4是正方形，6是平行四边形．一只体型微小的小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在6号板区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何概率的应用，设围成的正方形的边长为a，算出6号板的面积与整体正方形的面积比即可知道答案． 【详解】解：设围成的正方形的边长为a， 则正方形的对角线长为， 五号板的直角边为， ∴六号板的一边为，另一边为：， ∴六号板的面积为， 正方形的面积为：， ∴停在1号板区域的概率是； 故选：B ． 4. 若关于的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，设关于的方程的两个根为，得到，换元法，得到的两个根为，再进行求解即可． 【详解】解：设关于的方程的两个根为，则：， ∴关于y的方程的两根为， ∴； 故选A． 5. 如图，在平面直角坐标系中，经过的一次函数的图象与经过的一次函数的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图象判别，求一次函数解析式，解题的关键是设点，一次函数的解析式为，一次函数的解析式为，求出，，然后再求出，最后进行判断即可． 【详解】解：设点，一次函数的解析式为，一次函数的解析式为， 把分别代入两个函数解析式得： ，， 解得：，， ∴，， ∴， ∵， ∴的图象为开口向下，顶点为的抛物线， 所以C选项符合题意． 故选：C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是（ ） A. 14 B. 15 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的运用规律，掌握点的运动，建立合理的数量关系，数形结合分析是关键． 根据题意，轴对称，旋转的性质得到点关于点的对称点的横坐标为，纵坐标为，即，点在以点为圆心，为半径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上，由此得到的最小值是的值减去的最大值，数形结合分析即可求解． 【详解】解：∵点， ∴点关于点的对称点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， 如图所示，连接， ∵， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴， 将绕点逆时针旋转度得，则， ∴与轴的负半轴的夹角为， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当点在上顺时针运动时，根据轴对称的性质得到点在上逆时针运动，点在上顺时针运用， 连接， ∴， ∵点的运动方向不同， ∴线段与线段的关系是：相交与平行，如图所示， ∴如图3所述，当时，延长交于点，过点作于点， 当时，， ∴最大时，的值最小， ∴当时，的值在四边形是平行四边形时最大， ∴， ∴， 故选： D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 7. 一元二次方程的根是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先整理原方程，再根据公式法解方程即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； 8. 一个圆锥的侧面积是，其侧面展开图是半圆，则这个圆锥底面圆的半径是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积公式和弧长公式，解题关键是掌握圆锥与扇形的联系，利用公式求解． 根据圆锥和扇形的关系，先利用扇形面积公式求出扇形半径，再用弧长公式求出弧长，扇形的弧长就是底面圆周长，再求出底面圆半径． 【详解】解：圆锥的侧面是一个扇形， 根据扇形面积公式， 解得， 根据弧长公式，扇形的弧长就是圆锥的底面圆周长， ，解得． 故答案是：． 9. 为了了解某班七年级男生体能情况，随机抽取7名男生，进行引体向上测试，测试成绩（单位：个，且均为整数）按从小到大排序为：5，5，6，m，8，9，10，若这组数据的平均数小于这组数据的中位数，则这组数据的中位数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数和平均数的概念，熟练掌握中位数的确定方法以及平均数的计算是解题的关键．先确定中位数，再根据平均数小于中位数列不等式求的范围，结合的取值确定中位数． 【详解】解：这组数据有个，按从小到大排列后，中位数是第个数，即 平均数为 因为平均数小于中位数，所以， ， ， ， 又因为数据是按从小到大排列的， 所以， 所以，此时中位数为 故答案为： 10. 设，是关于x的方程的根，且，则k的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 根据条件得出，，原式整理为，从而列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意，知， ∴，即 解得． 故答案为：． 11. 如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心．若，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．连接，由点I是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12. 如图，矩形中，，为上靠近点的三等分点，为上一点，，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，如图所示，过点作于点，过点作于点，延长交于点，连接，则四边形是矩形，，是等腰直角三角形，则，设，则，则，有点四点共圆，点四点共圆，，则，，由，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵为上靠近点的三等分点， ∴， 如图所示，过点作于点，过点作于点，延长交于点，连接，则四边形是矩形，， ∵，， ∴是等腰直角三角形，则， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴点四点共圆，点四点共圆， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形，则， 在中，， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，圆的基础知识，掌握矩形的性质，同弧所对圆周角相等是关键． 13. 已知满足，则的最小值为______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，完全平方公式，设，又，则，所以，整理为，然后根据根的判别式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 解得：， 即， ∴的最小值为， 故答案为：． 14. 如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是_______. 【答案】－2＜k＜． 【解析】 【分析】由图可知，∠AOB=45°，∴直线OA的解析式为y=x， 联立，消掉y得，， 由解得，. ∴当时，抛物线与OA有一个交点，此交点的横坐标为1. ∵点B的坐标为（2，0），∴OA=2，∴点A的坐标为（）. ∴交点在线段AO上. 当抛物线经过点B（2，0）时，，解得k=－2. ∴要使抛物线与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是－2＜k＜. 【详解】请在此输入详解！ 15. 已知二次函数的部分对应值如下表： … … … … … … 对于下列说法：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，对称轴，根据对称性求函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合表格数据，得出和的对称轴为直线，整理得，，再结合表格的数据以及对称性进行列式化简，即可作答． 【详解】解：由题意，根据表格数据可得： 二次函数的对称轴为直线， 二次函数的对称轴为直线， 其顶点式分别为，， ∵当时，，， ∴，， ∴ ∴， 故①符合题意； 二次函数的对称轴为直线 二次函数的对称轴为直线， ∴ ∵ ∴ ∴， 故②符合题意； ∵，， ∴当时，则，， ∴， ∵不一定为0， ∴不一定成立， 故③不符合题意； 当时，，， ∴，， ∴， ∴， 故④符合题意； 故答案为：①②④． 16. 如图，在四边形中，，， ， 点为四边形内部一点，且满足，则点 E在运动过程中所形成的图形的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，勾股定理的逆定理等知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题是解题的关键．将绕点顺时针旋转，得到．首先证明，作和的垂直平分线，这两条垂直平分线相交于点，以长为半径画圆，点是优弧上任意一点，连接和，推出点的运动轨迹是弧，圆心角，利用弧长公式求出的长即可解决问题． 【详解】解：将绕点顺时针旋转，得到 ， 则是等腰直角三角形， ，， ． ， ， 作和的垂直平分线，这两条垂直平分线相交于点，以长为半径画圆，点是优弧上任意一点，连接和，如图所示： ， ， 点的运动轨迹是弧，圆心角． ，， ， 点在运动过程中所形成的图形的长：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先移项，再用配方法解方程即可； （2）先移项，再用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： ， ，． 18. 已知二次函数． （1）若该二次函数的最大值为，求m的值； （2）若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图像与x轴有2个交点，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，二次函数图像的平移问题： （1）把抛物线解析式化为顶点式得到当时，二次函数有最大值，则，解之即可； （2）求出平移后的解析式为，根据题意结合二次函数图像的性质可得平移后的抛物线顶点一定在x轴上方，则． 【小问1详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴当时，二次函数有最大值， ∵该二次函数的最大值为， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：把二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数解析式为， ∵平移后的抛物线解析式与x轴有2个交点，且抛物线开口向下， ∴平移后的抛物线顶点一定在x轴上方， ∴． 19. 《哪吒》自年月日上映以来，便如同一颗重磅炸弹，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号，，，来表示，这张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； （2）将哪吒和敖丙的组合或太乙真人和申公豹的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了求概率． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，小明和小红他们抽到的两张卡片恰好配套的结果有种， 小明和小红他们抽到的两张卡片恰好一套的概率为 20. 如图，是的两条弦，与相交于点，． （1）求证：； （2）连接，作直线，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴； （2） 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴都在的垂直平分线上， ∴． 【解析】 【分析】（）利用弧、弦、圆心角的关系得出，即得，即可求证； （）由得，即得，即得到，得到，进而由得到都在的垂直平分线上，即可求证； 本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，垂直平分线的判定等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年A型汽车年销售总量增加了，年销售单价下降了． （1）设2023年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表： 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2023 a b 2025 _______ ________ ________ （2）该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率． 【答案】（1） 填表如下： 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2023 a b 2025 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据2023到2025这两年A型汽车年销售总量增加了，年销售单价下降了列式求解即可； （2）设该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率为x，再根据2023年和2025年的销售总额建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，2025年销售A型汽车总量为万辆， 2025年销售A型汽车单价为万元， ∴2025年销售A型汽车总额为亿元； 【小问2详解】 解：设该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率为． 22. 如图，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． （1）求证：与该半圆相切； （2）当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由． 【答案】（1） 证明：如图，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． ∵与均为该半圆的切线， ． ． ． ∵为的中点， ． 在与中， ， ． ． ， ． ． ，即平分． 又， ． ∴与该半圆相切． （2） 解：．理由如下：如图，过点作，交于点，连接，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，由勾股定理可得， ， ． ， ∴． 【解析】 【分析】（1）如图，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点．根据与均为该半圆的切线，得出，则，可得．证明，得出．根据，得出．则，可得，即平分．又，得出，即可证明与该半圆相切． （2）如图，过点作，交于点，在中，由勾股定理可得，根据，列等式得出，代入可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】该题考查了圆综合题，涉及圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，勾股定理等知识点，作出合适的辅助线是解题的关键． 23. 随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程为．该汽车租赁公司有A、B、C三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为300元/辆，380元/辆，500元/辆．为了选择合适型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 （1）在A型纯电动汽车满电续航里程扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为 ； 【分析数据】 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） A 400 400 410 B 432 m 440 C 453 450 n （2）由上表填空： ， ； 【判断决策】 （3）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 【答案】（1）；（2）430，450； （3）小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为，故A型号的平均数、中位数和众数均低于420，不符合要求； B、C型号符合要求，但B型号的租金比C型号的租金优惠，所以选择B型号的纯电动汽车较为合适． 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，众数和中位数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．掌握定义是解题的关键． （1）先求出总数，然后用乘续航里程为的占比即可； （2）分别根据中位数和众数的定义解答即可； （3）结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可． 【详解】解：（1）（辆）， 在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为：， 故答案为：； （2）由题意得，． 故答案为：430，450； （3）略 24. 如图所示，在中，，，在上取点O，以O为圆心，以为半径作圆，与相切于点D，并分别与，相交于E，F（异于点B）． （1）求证：平分； （2）若点E恰好是的中点，求扇形的面积． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ∵与⊙O相切于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，以此可得，在平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行得，进而得到，由可得，即可证明； （2）连接、，易得，根据直角三角形中线的性质的，因此为等边三角形，则，根据平行线的性质得，于是可证明为等边三角形，再利用扇形的面积公式计算即可； 本题考查切线的性质、等边三角形的性质、平行线的判定与性质、直角三角形的中线性质、扇形的面积公式根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接、，如图， ∵是的中点， ， 在中，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ． 25. 用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）点P是中边上的一点，在图1中作，使它满足以下条件： ①圆心O在上；②经过点P；③与边相切； （2）如图2，从墙边上引两条不平行的射线（交点在墙的另一侧，画不到），作这两条射线所形成角的平分线． 【答案】（1） 为所求的图形：     （2）直线为所求的图形： 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，复杂作图——线段、垂线、以及角平分线，圆的切线的性质和破安定，等腰三角形的内心等知知识，利用相关知识点正确作图是解题关键． （1）要作一个满足条件的圆，关键在于确定圆心和半径．因为圆心在上且圆经过点 P 并与相切，过圆心作的垂线，垂线段长度即为半径； （2）根据三角形三条角平分线交于同一点作图即可． 【小问1详解】 解：①过点P作的垂线交于点E， ②在上截取， ③作的平分线交于点O； ④以点O为圆心，长为半径作圆； 【小问2详解】 解：①在上任取一点M（除F外），在上任取一点N（除E外），连接； ②作的平分线，作的平分线，两平分线交于点G； ③同样方法，得点H； ④作直线，则直线为所求的图形． 26. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ （3）当时，函数的最大值为，最小值为，m-n=3求的值． 【答案】（1）；（2）函数的最大值为4，最小值为0；（3）或． 【解析】 【分析】（1）把二次函数配成顶点式即可得出结论； （2）利用二次函数的图象和性质确定函数的最大值和最小值． （3）分t＜0；；三种情况，根据二次函数的性质和m-n=3列出关于t的方程，解之即可． 【详解】（1）∵，∴顶点坐标为． （2）∵顶点坐标为，∴当时，， ∵当时，随着的增大而增大，∴当时，． ∵当时，随着的增大而减小，∴当时，． ∴当时，函数的最大值为4，最小值为0． （3）当时，对进行分类讨论． ①当时，即，，随着的增大而增大． 当时，． ∴． ∴，解得（不合题意，舍去）． ②当时，顶点的横坐标在取值范围内，∴． i）当时，在时，， ∴． ∴，解得，（不合题意，舍去）． ii）当时在时，， ∴． ∴，解得，，（不合题意舍去）． ③当时，随着的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴ ∴，解得（不合题意，舍去）． 综上所述，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查抛物线的性质以及最值问题，有难度，并学会利用参数解决问题是解题的关键，属于中考常考题型． 27. 在平面内，将小棒经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？ 已知小棒长度为4，宽度不计． 方案1：将小棒绕中点O旋转180°到，设小棒扫过区域的面积为(即图中灰色区域的面积，下同)； 方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到，再绕C逆时针旋转60°到，最后绕B逆时针旋转60°到，设小棒扫过区域的面积为． （1）①______，______；(结果保留) ②比较与的大小．(参考数据：，．) （2）方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形． ①补全方案3的示意图； ②设方案3中小棒扫过区域的面积为，求． （3）设计方案4，使小棒扫过区域的面积小于，画出示意图并说明理由． 【答案】（1）①，；② （2） ①依题意补全方案3的示意图如下：     ② （3） 设计方案4：如下图，是等边三角形，首先让点B在上运动，点A在的延长线上运动，使得的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此边调转到边，接着两次同样的方式旋转到边和边，最终小棒扫过的区域是如下图所示．     对于第一次旋转，当旋转旋转到时，此时， 又作，则 依题意得：阴影部分比等边三角形多三块全等的图形，记每块面积为， 则有，F为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）①利用圆的面积公式计算，利用方案2扫过区域为三个圆心角为60°且半径为4的扇形面积减去两倍的面积计算； ②利用参考数据计算近似值再比较即可； （2）①依题意补全方案3的示意图即可； ②利用等边三角形的高是4，计算出底边，再利用面积公式计算即可； （3）作等边，首先让点B在上运动，点A在的延长线上，运动，使得的长度保持不变，当点B运动到点C时，由此边调转到边，接着两次同样的方式旋转到边和边，从而得到最终小棒扫过的区域，由于所得区域非常不规则，因此可以利用放缩法证明． 【小问1详解】 解：①由依题意得：， ， ∴ 又依题意得：方案2扫过区域为三个圆心角为60°且半径为4的扇形面积减去两倍的面积．等边三角形的面积公式：，为等边三角形的边长． ∴ 故答案是：，； ②∵，，， ∴； 【小问2详解】 略 ① ②连接，M为切点，则的中点， 设，则， 由勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 1. 已知在抛物线上，则A关于抛物线对称轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，弦与交于点，，且的度数为的度数的一半．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中1、2、3、5、7是等腰直角三角形，4是正方形，6是平行四边形．一只体型微小的小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在6号板区域的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，经过的一次函数的图象与经过的一次函数的图象相交于点C．若点C的纵坐标为3，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是（ ） A. 14 B. 15 C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 7. 一元二次方程的根是________． 8. 一个圆锥的侧面积是，其侧面展开图是半圆，则这个圆锥底面圆的半径是______． 9. 为了了解某班七年级男生体能情况，随机抽取7名男生，进行引体向上测试，测试成绩（单位：个，且均为整数）按从小到大排序为：5，5，6，m，8，9，10，若这组数据的平均数小于这组数据的中位数，则这组数据的中位数为_____． 10. 设，是关于x的方程的根，且，则k的值为_______． 11. 如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心．若，则的度数为________． 12. 如图，矩形中，，为上靠近点的三等分点，为上一点，，，则_________． 13. 已知满足，则的最小值为______． 14. 如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是_______. 15. 已知二次函数的部分对应值如下表： … … … … … … 对于下列说法：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是___________． 16. 如图，在四边形中，，， ， 点为四边形内部一点，且满足，则点 E在运动过程中所形成的图形的长为____． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） （2） 18. 已知二次函数． （1）若该二次函数的最大值为，求m的值； （2）若该二次函数向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度后得新二次函数图像与x轴有2个交点，求m的取值范围． 19. 《哪吒》自年月日上映以来，便如同一颗重磅炸弹，在电影市场掀起了巨大的波澜，电影的出圈也点燃文创消费新热潮．以下是某款盲盒里哪吒、太乙真人、申公豹、敖丙的卡片，四张卡片分别用编号，，，来表示，这张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）从中任意抽取一张卡片，恰好是“哪吒”的概率为_____； （2）将哪吒和敖丙的组合或太乙真人和申公豹的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率． 20. 如图，是的两条弦，与相交于点，． （1）求证：； （2）连接，作直线，求证：． 21. 在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023到2025这两年A型汽车年销售总量增加了，年销售单价下降了． （1）设2023年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表： 年份 年销售A型汽车总量/万辆 年销售A型汽车单价/万元 年销售A型汽车总额/亿元 2023 a b 2025 _______ ________ ________ （2）该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率． 22. 如图，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． （1）求证：与该半圆相切； （2）当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由． 23. 随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程为．该汽车租赁公司有A、B、C三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为300元/辆，380元/辆，500元/辆．为了选择合适型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 （1）在A型纯电动汽车满电续航里程扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为 ； 【分析数据】 型号 平均里程（） 中位数（） 众数（） A 400 400 410 B 432 m 440 C 453 450 n （2）由上表填空： ， ； 【判断决策】 （3）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 24. 如图所示，在中，，，在上取点O，以O为圆心，以为半径作圆，与相切于点D，并分别与，相交于E，F（异于点B）． （1）求证：平分； （2）若点E恰好是的中点，求扇形的面积． 25. 用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）点P是中边上的一点，在图1中作，使它满足以下条件： ①圆心O在上；②经过点P；③与边相切； （2）如图2，从墙边上引两条不平行的射线（交点在墙的另一侧，画不到），作这两条射线所形成角的平分线． 26. 已知二次函数． （1）求二次函数图象的顶点坐标； （2）当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ （3）当时，函数的最大值为，最小值为，m-n=3求的值． 27. 在平面内，将小棒经过适当的运动，使它调转方向(调转前后的小棒不一定在同一条直线上)，那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？ 已知小棒长度为4，宽度不计． 方案1：将小棒绕中点O旋转180°到，设小棒扫过区域的面积为(即图中灰色区域的面积，下同)； 方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到，再绕C逆时针旋转60°到，最后绕B逆时针旋转60°到，设小棒扫过区域的面积为． （1）①______，______；(结果保留) ②比较与的大小．(参考数据：，．) （2）方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形． ①补全方案3的示意图； ②设方案3中小棒扫过区域的面积为，求． （3）设计方案4，使小棒扫过区域的面积小于，画出示意图并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $