专题04 勾股定理常考几何模型专训（含将军饮马问题）（8大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题04 勾股定理常考几何模型专训（含将军饮马问题）（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 圆柱中的最短路径模型 题型二 长方体中的最短路径模型 题型三 将军饮马型最短路径问题 题型四 勾股定理中的翻折模型（三角形） 题型五 勾股定理中的翻折模型（长方形） 题型六 勾股定理中的线段的平方和模型 题型七 勾股定理中的旋转模型 题型八 勾股定理中的模型综合 【经典例题一 圆柱中的最短路径模型】 圆柱中的最短路径模型 条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 【例1】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图a，圆柱的底面半径为，圆柱高为，是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线： 路线1：高线＋底面直径，如图a所示，设长度为． 路线2：侧面展开图中的线段，如图b所示，设长度为． (1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由； (2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算．（结果保留） ①此时，路线1的长度 ，路线2的长度 ； ②所以选择哪条路线较短？试说明理由． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．    (1)定理证明： 图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理； (2)问题解决： 如图2，圆柱的底面半径为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米？（结果保留π） 3．（2025八年级上·江苏·专题练习）动手操作： 如图①，把长为l、宽为h的矩形卷成以为高的圆柱形，则点与点 ___________重合，点与点 ___________重合； 探究发现： 如图②，圆柱的底面周长是40，高是30，若在圆柱体的侧面绕一圈丝线作装饰，从下底面A出发，沿圆柱侧面绕一周到上底面B，则这条丝线最短的长度是 ___________； 实践与应用： 如图③，圆锥的母线长为4，底面半径为，若在圆锥体的侧面绕一圈彩带做装饰，从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面绕一周回到点A．求这条彩带最短的长度是多少？ 拓展联想： 如图④，一棵古树上下粗细相差不大，可以看成圆柱体．测得树干的周长为3米，高为18米，有一根紫藤自树底部均匀的盘绕在树干上，恰好绕8周到达树干的顶部，你能求出这条紫藤至少有多少米吗？ 4．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图1，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程． （一）理解问题、拟定计划 小林根据题意将圆柱展开，设计了两条路线． 路线1：如图2，路线1的路程即为线段的长度； 路线2：如图3，路线2的路程即为线段的长度． （二）实施计划 （1）小林说：“由图可知，，所以蚂蚁沿路线1爬行时，路程最短．”小亮却不同意小林的说法，并举两个例子： ①当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短； ②当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短． （2）请你帮小亮和小林算一算，当圆柱的高和底面半径满足什么关系时？ （三）回顾反思 （3）直接写出当圆柱的高和底面半径满足什么关系时，选择路线1（或路线2）路程最短？ 【经典例题二 长方体中的最短路径模型】 长方体中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，； 则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。 【例2】（24-25八年级上·江苏宿迁·单元测试）如图，是一块长、宽、高分别是，和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径是多少？ 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）（1）如图，长方体的长为，宽为，高为，，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是 ； （2）如图，小明家住楼，一天他与爸爸去买了一根长的钢管，如果电梯的长、宽、高分别是，，，在不损坏钢管的前提下请你帮小明计算一下这根钢管能否放进电梯内？ 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，一个无盖长方体的小杯子放置在桌面上，，； (1)一只蚂蚁从点出发，沿小杯子外表面爬到点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？ (2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？ 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图①，长方体长AB为8 cm，宽BC为6 cm，高BF为4 cm．在该长体的表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？ (1)蚂蚁从点A爬行到点G，且经过棱EF上一点，画出其最短路径的平面图，并标出它的长． (2)设该长方体上底面对角线EG、FH相交于点O（如图②），则OE＝OF＝OG＝OH＝5 cm． ①蚂蚁从点B爬行到点O的最短路径的长为 cm； ②当点P在BC边上，设BP长为a cm，求蚂蚁从点P爬行到点O的最短路的长（用含a的代数式表示）． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）（1）如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为_______m的木棒； （2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短需要______m； （3）如图3，长方体的棱长分别为AB=BC=6cm，假设昆虫甲从盒内顶点以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲? 【经典例题三 将军饮马型最短路径问题】 将军饮马与空间最短路径模型        条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 【例3】（2025八年级上·江苏·专题练习）为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路上修建一个火车站E，以方便铁路同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路的距离，D城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求、各是多少． 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处． （1）求小明家离小红家的距离； （2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在笔直的河边的一侧是一片空旷的草地，牧马人从草地上的A处出发到河边饮马，然后前往草地上的B处．若测得A处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为D）为12米，B处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为E）为28米，且两处相距30米． (1)在图中画出从A到再到B的最短路径，并计算最短路径的长度（保留作图痕迹）； (2)C是河边上D，E两地之间的一个地点，且与D处相距16米，如果从A先到C处饮水，再回到B处，行走路程比（1）中的最短路径长多少？ 4．（2025·江苏泰州·模拟预测）参照例题解决问题 例题：求的最小值 求解：如图所示在中可看成是直角边分别为x和3的直角三角形斜边的长度，延长到D，使得，则为，以点D为直角构造，使得，可得，过点E作交的延长线于点F，此时为直角三角形，四边形为矩形，连结交于点，当x等于时，最小，此时最小值 拓展应用 (1)直接写出的最小值为______． (2)请求出的值最小时x的值． 【经典例题四 勾股定理中的翻折模型（三角形）】 三角形折叠模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 【例4】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，求线段的长． 1．（25-26八年级上·江苏苏州·开学考试）某数学小组用三角形纸片对折叠进行了探究．如图，在三角形纸中，，，，是的中线，P是上的动点不与点B，C重合，将沿折叠，点B落在点E处，交线段于点 【初步感知】 （1）求证：； 【深入探究】 （2）在折叠过程中，试探究是否能成为直角三角形．若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）在折叠过程中，当的边恰好过的中点时，直接写出的长． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，即如果一个直角三角形的内条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么． (1)直接填空：如图①，若，则__________； (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明． (3)如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知，利用上面的结论求EF的长？ 3．（2025·江苏镇江·模拟预测）在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点． ①求的度数． ②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的面积． (3)深度探究 如图3，折叠（，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：． 4．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图1，将三角形纸片（）进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点C与点A重合，得到折痕，然后展开铺平；第二步：将绕点D顺时针方向旋转得到，点E、C的对应点分别是点F、G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N． (1)已知． ①在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系，并证明你的结论； ②如图2，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时，求的长； (2)如图3，若直角三角形纸片的两直角边，在点G从点C开始顺时针旋转的过程中，设与的重叠部分的面积为S，则S的最小值为________． 【经典例题五 勾股定理中的翻折模型（长方形）】 长方形折叠模型 矩形翻折之折痕过对角线模型 矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DAC。 ∴∠B’AC=∠DAC，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过一个顶点模型 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 【例5】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，折叠长方形纸片，使点D落在边上的点F处，折痕为．已知该纸片宽，长，求的长．    1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）八年级开展了手工制作模拟预测，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 2．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在长方形中，，，，，．N是边上一点，．若M为边上一个动点，将四边形沿折叠，点B、C的对应点分别为点、，若线段与边交于点E． (1)如图1，证明：为等腰三角形； (2)如图2，当点M与点A重合时，求线段的长； (3)点M从点A向点B运动的过程中， ①线段的最大值为 ； ②请直接写出点E运动的路径长为 ． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图①所示，四边形是长方形，将长方形折叠，点恰好落在边上的点处，折痕为，如图②所示： (1)图②中，证明：： (2)将图②折叠，点与点重合，折痕为，如图③所示，当时： ①当时，求长方形的面积； ②将图③中的绕着点旋转，使点与点重合，点与点重合．如图④，求证：． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）【背景阅读】 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或的三角形就是型三角形，用长方形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 【实践操作】 如图1，在长方形纸片中，． 第一步：如图2，将图1中的长方形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，我们就得到了正方形，再沿折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的长方形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的长方形纸片沿折叠，得到，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点，然后展平． 【问题解决】 (1)三边长为12，15，20 (填“是”或“不是”) 型三角形：三边长为9，40，41 (填“是”或“不是”) 型三角形； (2)若一个型三角形的一边长为a，求最长边； (3)请在图4中判断与的数量关系，并加以证明； (4)请在图4中判断是否是型三角形，并给出证明过程． 【经典例题六 勾股定理中的线段的平方和模型】 【例6】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在四边形中，，求的长． 1．（24-25八年级上·泰州·阶段练习）定义：如图，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．    (1)已知把线段分割成，若，，，则点是线段的勾股分割点吗？请说明理由． (2)已知点是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）爱知中学体育组为方便学生使用体育器材，丰富课余生活，增强身体素质，计划要在道路上建立一个体育器材放置点，同时向，两栋教学楼提供器材．已知：到道路的距离，到道路的距离，，两地距离．现要求放置点到、两栋教学楼距离相等． (1)请利用圆规与直尺在直线上作出点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)计算器材放置点到处的距离． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，要建造一个直角梯形的花圃．要求AD边靠墙，另外三边的和为20米，， AB：CD=5：4．设AB的长为5米． （1）请求出AD的长(用含字母的式子表示)；     （2）若该花圃的面积为40m2，且周长不大于30米，求AB的长． 4．（25-26八年级上·江苏常州·课后作业）在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． (2)证明你猜想的结论是否正确． 【经典例题七 勾股定理中的旋转模型】 【例7】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点C旋转后的对应点为点，连接，求的长． 1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图所示，正方形网格中，为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． (1)把沿方向平移后，点移到点，在网格上画出平移后得到的； (2)把绕点按逆时针方向旋转，在网格中画出旋转后的； (3)连接，直接写出的长度． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）【问题背景】 同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： 【操作探究】 （1）如图1，为等边三角形，将绕点逆时针旋转得到，连接，是的中点，连接，求证：； 【迁移探究】 （2）如图2，将（1）中的等边绕点逆时针旋转，得到，连接，是的中点，连接，求出此时的度数及与的数量关系． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）【课前引入】 【问题背景】如图1 ，在和中，，且，连接，易证明；小刚同学尝试改变条件，继续探究．如图2，在中，，将旋转一定的角度，如图3 ，连接和，求证： ； 【尝试运用】 如图4，，且，点D在上， ① 的值为 ； ②若 ，求的值； ③若在②的基础上，与的交点为M，直接写出的值 4．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）综合与探究：如图，在中，，，． (1)问题发现：如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与的位置关系是______，与的数量关系是______； (2)类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的位置关系、数量关系与（1）中结论是否一致？若与交于点，与交于点，请结合图说明理由； (3)拓展延伸：如图，将绕点旋转一定角度得到，当点 落到边上时，连接，求线段的长． 【经典例题八 勾股定理中的模型综合】 【例8】（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）项目式学习：利用勾股定理求不规则三角形的面积 课题 利用勾股定理求不规则三角形的面积 人员 八（2）班学习小组2025年xxx月xxx日 题干 在中，，，求的面积． 思路 作于，设，用含的代数式表示根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程模型求出利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积． 解答 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）综合与实践：小明同学进行了综合与实践活动，请根据下列信息回答问题． 【课题】在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 【模型抽象】 （说明：点A，B，E，D在同一平面内） 【测绘数据】步骤1：测得水平距离的长为15米； 步骤2：根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米； 步骤3：牵线放风筝的手到地面的距离的长为米． (1)求线段的长； (2)若想风筝沿方向再上升12米，则在、长度不变的前提下，小明应该再放出多长的风筝线？ 2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们应用它解决了很多生活中的实际问题． 【小试牛刀】 （1）如图，铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距24千米，C，D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为多少千米； （2）在（1）的背景下，要在上建造一个供应站P，使得，求的长． 【知识迁移】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值 ． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）小明学习小组在活动课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 利用旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度 模型抽象 测绘数据 ①绳子紧贴着旗杆垂直向下，再把多余的绳子拉直，测得多余的绳子长度为． ②拉直绳子，使绳子末端C刚好与地面上的点D重合，测量旗杆底部点B到绳子终点D的距离，即． 说明 点A，B，D在同一平面上． 请根据表格信息，解答下列问题．（，） (1)求旗杆的高度的长． (2)由于实际需要，现在要把旗杆增高，如果绳子还能拉到点D处，则绳子至少要加长多少米？（结果保留一位小数）． 4．（2025·江苏镇江·模拟预测）数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．    (1)2002年世界数学家大会（ICM2002）在北京召开，这届大会会标（如图1）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图2），它由4个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”直接写出满足的等量关系为______． (2)某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题： 已知线段，点在线段上，，求的最小值． 他们解决问题的思路是：如图3，在线段的同侧构造了两个和，，令，利用勾股定理，得出，从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答．请你写出解答过程； (3)如图4，在中，，点分别为上的动点，且，求的最小值． 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，点是上的一点，且，，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（   ） A．13 B．15 C．16 D．17 2．（25-26八年级上·江苏常州·阶段练习）如图所示，在矩形中，，点分别在边上．连接，将四边形沿翻折，点分别落在点处．则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，长方体的底面是边长为6的正方形，侧面都是长为12的长方形，点D是的中点，在长方体下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点D处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程为（    ） A． B． C．15 D．21 4．（24-25八年级上·江苏苏州·开学考试）综合与实践课上，“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小宁同学准备了一张长方形纸片，，，他在边上取中点，又在边上任取一点，再将沿折叠得到，连结，小宁同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在边上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动； ②的最大值为24； ③的最小值为16； ④达到最小值时，．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图1，在中，，，E、F分别是、的中点，连接．如图2，将绕点C按逆时针方向旋转得到，连接．若平分，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，一个圆柱形食品盒，它的高等于，底面周长为，在盒外下底面的点处有一只蚂蚁，想沿盒壁爬行吃到正对面中部点处的食物，那么它至少需要爬行 ．（蚂蚁的大小忽略不计） 7．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，长方体的长，宽，高为6，点B处有一只蚂蚁，点N处有一滴蜂蜜，如果蚂蚁要沿着长方体的表面从点B爬到点N，需要爬行的最短距离是 ． 8．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，    （1）当折痕的另一端在边上，且时，则为 ． （2）当折痕的另一端在边上，且时，则为 ． 9．（24-25八年级上·江苏盐城·开学考试）如图所示，中，，是斜边的中点，将绕点按顺时针方向旋转得到，点在的延长线上，若，，则与的面积比为 ． 10．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）疫情防控期间，某校门口安装了红外线体温自动侦测感应系统，感应系统的工作原理是：当人体进入体温感应系统的感应范围时感应器启动，体温在正常控制范围时，感应门自动打开，体温超过正常范围，感应器报警，感应门关闭。如图，自动感应门的正上方A处装着一个红外线体温感应器，离地AB=2.5米，一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC=1.2米），感应器启动，则AD= 米． 11．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理． (1)定理证明：图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理； (2)问题解决：如图2，圆柱的高为，底面半径为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路径是多少厘米？（结果可保留） 12．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果． (1)如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求： (2)如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长； (3)如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长． 13．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图1，在中，，，．点P从点B出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为秒，连接． (1)当秒时，求的长． (2)如图2，将沿直线折叠，使得点C的对应点M恰好落在边上，求此时的值． 14．（25-26八年级上·江苏连云港·开学考试）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 15．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）古希腊有一个著名的“将军饮马”问题，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营．他总是先去营，再到河边饮马，之后再巡查营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，，___________，___________， ___________， 当三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题补全证明过程； (2)模型应用 如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，两村到河岸的距离分别为千米，千米，且两村之间的距离千米，现要在河岸上建一水厂，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水． ①请在河岸上选择水厂的位置，使铺设管道的费用最少： ②若铺设水管的工程费用为每千米20000元，求出铺设水管时最节省的总费用； (3)模型迁移几何问题代数化是数学中解决问题的一种重要方法．请利用将军饮马模型直接写出当时，代数式的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 勾股定理常考几何模型专训（含将军饮马问题）（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 圆柱中的最短路径模型 题型二 长方体中的最短路径模型 题型三 将军饮马型最短路径问题 题型四 勾股定理中的翻折模型（三角形） 题型五 勾股定理中的翻折模型（长方形） 题型六 勾股定理中的线段的平方和模型 题型七 勾股定理中的旋转模型 题型八 勾股定理中的模型综合 【经典例题一 圆柱中的最短路径模型】 圆柱中的最短路径模型 条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 【例1】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【答案】蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是 【分析】本题主要考查利用勾股定理求最短路径，熟练掌握利用勾股定理求最短路径是解题的关键．把圆柱体展开，连接，然后可知和，进而可由两点之间，线段最短可知即为所求 【详解】解：如解图，圆柱体的展开图为长方形， 所以， 由题意可知，， 所以在 中， 由勾股定理得，， 所以 ， 则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图a，圆柱的底面半径为，圆柱高为，是底面直径，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线： 路线1：高线＋底面直径，如图a所示，设长度为． 路线2：侧面展开图中的线段，如图b所示，设长度为． (1)你认为小明设计的哪条路线较短？请说明理由； (2)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算．（结果保留） ①此时，路线1的长度 ，路线2的长度 ； ②所以选择哪条路线较短？试说明理由． 【答案】(1)选择路线1较短，理由见解析 (2)①8，；②选择路线2较短，理由见解析 【分析】（1）利用勾股定理计算后，比较大小即可； （2）把条件改成：“圆柱底面半径为，高为”继续按前面的路线进行计算即可． 【详解】（1）解：剪开前，，， ∴， 剪开后，，， ∴； ∵ ∴即所以选择路线1较短； （2）解：①， ． ②， ∴即所以选择路线2较短． 【点睛】此题主要考查了平面展开最短路径问题，比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便，比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．注意运用类比的方法做类型题． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．    (1)定理证明： 图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理； (2)问题解决： 如图2，圆柱的底面半径为，高为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是多少厘米？（结果保留π） 【答案】(1)见解析 (2)从点A爬到点B的最短路程是厘米 【分析】（1）利用阴影部分的面积大正方形面积直角三角形面积额即可得答案； （2）画出圆柱侧面展开图矩形，利用勾股定理即可得答案． 【详解】（1）阴影部分的面积大正方形面积直角三角形面积， ， ， ； （2）画出圆柱侧面展开图：   根据圆柱底面半径为，得出， 高为， ， 从点爬到点的最短路程是厘米． 【点睛】本题考查勾股定理证明，掌握面积法是解题关键． 3．（2025八年级上·江苏·专题练习）动手操作： 如图①，把长为l、宽为h的矩形卷成以为高的圆柱形，则点与点 ___________重合，点与点 ___________重合； 探究发现： 如图②，圆柱的底面周长是40，高是30，若在圆柱体的侧面绕一圈丝线作装饰，从下底面A出发，沿圆柱侧面绕一周到上底面B，则这条丝线最短的长度是 ___________； 实践与应用： 如图③，圆锥的母线长为4，底面半径为，若在圆锥体的侧面绕一圈彩带做装饰，从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面绕一周回到点A．求这条彩带最短的长度是多少？ 拓展联想： 如图④，一棵古树上下粗细相差不大，可以看成圆柱体．测得树干的周长为3米，高为18米，有一根紫藤自树底部均匀的盘绕在树干上，恰好绕8周到达树干的顶部，你能求出这条紫藤至少有多少米吗？ 【答案】动手操作：A，B；探究发现：50；实践与应用：；拓展联想：30米 【分析】[动手操作]根据圆柱的侧面展开图是矩形即可得到答案； [探究发现] 连接，根据矩形的性质及勾股定理求出即可得到答案； [实践应用]将圆锥展开得到展开图，连接，根据弧长公式求出∠的度数，过点O作于点D，根据等腰三角形的性质及直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出即可得到答案； [拓展联想]将树干的高度分成相等的8段，利用树干的周长建立勾股定理的等式求出一圈紫藤的长，由此得到答案． 【详解】解：[动手操作]：易得点A与点，B与重合； [探究发现]：由题意知该圆柱的侧面展开图即是矩形，则，， 连接， ∵， ∴， ∴这条丝线最短的长度是50； [实践应用] 圆锥的侧面展开图，如图所示： 连接， 则为最短路径． 弧的长为：， 由弧长公式得的度数为：， 过点O作于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴这条彩带最短的长度是； [拓展联想] ∵树干的高是18米，缠绕8圈紫藤， ∴每相邻两圈紫藤的距离是（米）， ∵树干的周长是3米， ∴一圈紫藤的长度是（米）， ∴8圈紫藤的长度最少是（米）． 【点睛】此题考查圆柱的侧面展开图，勾股定理的实际运用，弧长公式，矩形的性质，解题中注意同类思想的运用，正确理解题意是解题的关键． 4．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图1，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程． （一）理解问题、拟定计划 小林根据题意将圆柱展开，设计了两条路线． 路线1：如图2，路线1的路程即为线段的长度； 路线2：如图3，路线2的路程即为线段的长度． （二）实施计划 （1）小林说：“由图可知，，所以蚂蚁沿路线1爬行时，路程最短．”小亮却不同意小林的说法，并举两个例子： ①当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短； ②当圆柱的高，底面半径时， ， ，所以选择路线 路程最短． （2）请你帮小亮和小林算一算，当圆柱的高和底面半径满足什么关系时？ （三）回顾反思 （3）直接写出当圆柱的高和底面半径满足什么关系时，选择路线1（或路线2）路程最短？ 【答案】（1）①，，1；②，，2；（2）当时，；（3）当时，此时选择路线1路程最短；当时，此时选择路线2路程最短 【分析】本题考查的是勾股定理的应用、圆柱的侧面展开图及实数的大小比较，熟练掌握勾股定理是解题关键， （1）①根据勾股定理分别求出及实数的大小比较即可得出答案；②根据勾股定理分别求出及实数的大小比较即可得出答案； （2）根据勾股定理分别求出，根据即可得出答案； （3）结合（1）（2）结论得出答案即可； 【详解】解：（1）①当圆柱的高，底面半径时，，， ， 所以选择路线1路程最短； ②当圆柱的高，底面半径时，，， ， 所以选择路线2路程最短； （2）由题意得：，，， 当时，， 解得：， 当时，； （3）由题意得：当时，； 此时选择路线1路程最短； 当时，； 此时选择路线2路程最短． 【经典例题二 长方体中的最短路径模型】 长方体中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，； 则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。 【例2】（24-25八年级上·江苏宿迁·单元测试）如图，是一块长、宽、高分别是，和的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径是多少？ 【答案】 【分析】将长方体展开成平面图形，分三种情况，利用勾股定理进行求解，确定最短路径即可． 【详解】解：如图1，当爬的长方体的长是，宽是3时，． 如图2，当爬的长方体的长是，宽是4时，． 如图3，爬的长方体的长是，宽是6时，． ， 它需要爬行的最短路径是． 【点睛】本题考查勾股定理的应用．解题的关键是将长方体展开成平面图形，利用勾股定理求出最短路径． 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）（1）如图，长方体的长为，宽为，高为，，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是 ； （2）如图，小明家住楼，一天他与爸爸去买了一根长的钢管，如果电梯的长、宽、高分别是，，，在不损坏钢管的前提下请你帮小明计算一下这根钢管能否放进电梯内？ 【答案】（）20；（）能，理由见解析． 【分析】（）将长方体按不同方式展开，构造直角三角形，分三种情况利用勾股定理求出长，再比较即可得到答案； （）利用两点之间线段最短及勾股定理的运用即可； 此题考查了平面展开——最短路径问题，解题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解：（）如图，展开后连接，则就是在表面上到的最短距离，    在中，由勾股定理得：； 如图，展开后连接，则就是在表面上到的最短距离，    在中，由勾股定理得：； 如图，展开后连接，则就是在表面上到的最短距离，    在中，由勾股定理得： ， ∵， ∴蚂蚁爬行的最短路程是， 故答案为：； 2）如图所示：    由勾股定理得：， ∴（米）＞， ∴钢管能放进电梯． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，一个无盖长方体的小杯子放置在桌面上，，； (1)一只蚂蚁从点出发，沿小杯子外表面爬到点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？ (2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？ 【答案】(1)如方法一的路线最短，最短路线为 (2)筷子的最大长度是 【分析】（1）分别讨论将面和面展开，将面和上底面展开两种情况，再利用勾股定理计算，进而比较即可求解； （2）当筷子沿倾斜放的时候，能够放的最长，利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）方法一：将面和面展开，如图， ∵，， ∴， 由勾股定理得； 方法二：将面和上底面展开，如图， ∵，， ∴， 由勾股定理得； 所以，如方法一的路线最短，最短路线为； （2）如图，当筷子沿倾斜放的时候，能够放的最长， ∵，， ∴由勾股定理得， ∴， 所以，筷子的最大长度是． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，准确理解题意，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图①，长方体长AB为8 cm，宽BC为6 cm，高BF为4 cm．在该长体的表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？ (1)蚂蚁从点A爬行到点G，且经过棱EF上一点，画出其最短路径的平面图，并标出它的长． (2)设该长方体上底面对角线EG、FH相交于点O（如图②），则OE＝OF＝OG＝OH＝5 cm． ①蚂蚁从点B爬行到点O的最短路径的长为 cm； ②当点P在BC边上，设BP长为a cm，求蚂蚁从点P爬行到点O的最短路的长（用含a的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①；②（cm）． 【分析】（1）根据题意画出图形，利用勾股定理求出AG即可； （2）①画出平面图形，过点O作OK⊥BG于K，根据等腰三角形的性质可得KG＝KF＝cm，然后利用勾股定理求出OK和BO即可； ②画出平面图形，过点O作OM⊥BC于M，则OM⊥FG，垂足为N，利用勾股定理求出ON，可得OM＝4＋4＝8cm，根据BP＝a cm可得PM＝cm或P′M＝cm，分别求出OP和OP′可得答案． 【详解】（1）解：最短路径为AG，如图， ∵AB＝8cm，BF＝4cm，FG＝BC＝6cm， ∴BG＝10cm， ∴其最短路径AG＝cm； （2）①平面图如图，过点O作OK⊥BG于K， ∵OE＝OF＝OG＝OH＝5cm， ∴KG＝KF＝cm， ∴OK＝cm，BK＝BF＋FK＝7cm， ∴点B爬行到点O的最短路径BO＝cm， 故答案为：； ②平面图如图，过点O作OM⊥BC于M，则OM⊥FG，垂足为N， ∵OE＝OF＝OG＝OH＝5cm，FG＝BC＝6cm， ∴FN＝GN＝cm，且BM＝CM＝3cm， ∴ON＝cm， ∵FG∥BC，BF＝4cm，NM⊥BC， 由平行线间的距离处处相等可得NM＝4cm， ∴OM＝4＋4＝8cm， ∵BP＝a cm， ∴PM＝cm或P′M＝cm， ∴OP＝（cm）， OP′＝（cm）， ∴蚂蚁从点P爬行到点O的最短路的长为（cm）． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，能够根据题意画出平面图形是解答本题的关键． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）（1）如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为_______m的木棒； （2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短需要______m； （3）如图3，长方体的棱长分别为AB=BC=6cm，假设昆虫甲从盒内顶点以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲? 【答案】（1）；（2）；（3）昆虫乙至少需要秒钟才能捕捉到昆虫甲 【分析】（1）利用勾股定理求出斜对角线的长即可； （2）利用勾股定理求解即可； （3）由题意的最短路径相等，设昆虫甲从顶点 沿棱 向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F，爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，列出方程求解即可． 【详解】（1）最长的为斜对角线：=； （2）这根细线的长为：=； （3）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F，爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，如图1在Rt△ACF中， ∵x>0，解得： 答：昆虫乙至少需要秒钟才能捕捉到昆虫甲． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，把立体图形转化为平面图形是解题的关键． 【经典例题三 将军饮马型最短路径问题】 将军饮马与空间最短路径模型        条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 【例3】（2025八年级上·江苏·专题练习）为了加快我市经济社会发展，实现十九大报告提出的到2020年全面建成小康社会的目标，我市准备在铁路上修建一个火车站E，以方便铁路同旁的C、D两城的居民出行，如图，C城到铁路的距离，D城到铁路的距离，，经市政府与铁路部门协商最后确定在与C、D两城距离相等的E处修建火车站．求、各是多少． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列方程是解题的关键． 设，则，根据，由勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设，则， 根据题意得， ∴ ， 解得 ∴，． 1．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处． （1）求小明家离小红家的距离； （2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值． 【答案】（1）米；（2）见解析，米 【分析】（1）如图，连接AB，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）如图，连接AB， 由题意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°， 在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°， ∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000， ∵AB＞0 ∴AB=1300米； （2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P． 驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B， 由题意知AD=200米，A'C⊥MN， ∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米， 在Rt△A'BC中， ∵∠ACB=90°， ∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000， ∵A'B＞0， ∴A'B=1500米， 即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题，勾股定理，题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 2．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）综合与实践 （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为___________千米（直接填空）； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式（）的最小值为___________． 【答案】（1）；（2）千米；（3）20 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． （1）连接，过点作于点，由题意根据勾股定理求出的长即可； （2）在 中，，在 中，得出方程求解即可； （3）先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则的长就是代数式的最小值，再结合勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （2）解：由题意可知，点在的垂直平分线上，如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：，即：千米； （3）解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 故答案为:20 3．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，在笔直的河边的一侧是一片空旷的草地，牧马人从草地上的A处出发到河边饮马，然后前往草地上的B处．若测得A处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为D）为12米，B处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为E）为28米，且两处相距30米． (1)在图中画出从A到再到B的最短路径，并计算最短路径的长度（保留作图痕迹）； (2)C是河边上D，E两地之间的一个地点，且与D处相距16米，如果从A先到C处饮水，再回到B处，行走路程比（1）中的最短路径长多少？ 【答案】(1)见解析，最短路径的长度米 (2)米 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理的应用，轴对称最短问题，解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． （1）作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求，利用勾股定理求出可得结论； （2）利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】（1）解：（1）如图，最短路径为A→P→B． 过点作交的延长线于点T， ∵米，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴最短路径的长（米）； （2）∵（米）， （米）， ∴行走路程比（1）中的最短路径长：米． 4．（2025·江苏泰州·模拟预测）参照例题解决问题 例题：求的最小值 求解：如图所示在中可看成是直角边分别为x和3的直角三角形斜边的长度，延长到D，使得，则为，以点D为直角构造，使得，可得，过点E作交的延长线于点F，此时为直角三角形，四边形为矩形，连结交于点，当x等于时，最小，此时最小值 拓展应用 (1)直接写出的最小值为______． (2)请求出的值最小时x的值． 【答案】(1)10 (2)的值最小时x的值为 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）通过构造几何图形，利用勾股定理将代数式中的根式转化为直角三角形的斜边，再依据两点之间线段最短的性质来求解最小值． （2）证明，根据相似三角形性质求出结论． 【详解】（1）解：如下图所示， 在中，可看成是直角边分别为x和2的直角三角形的斜边的长度， 延长到D，使得，则为， 以点D为直角构造，使得，可得， 过点E作交的延长线的垂线交于点F， 此时为直角三角形，四边形为矩形， 连结交于点， ∵， ∴当点A、C、E三点共线时，最小，最小值为的长， 即当x等于时，最小， 此时最小值， 故答案为：10； （2）由（1）知，当x等于时，最小， ， ， ， ， ， 解得：，经检验是原方程的解， 的值最小时x的值为． 【经典例题四 勾股定理中的翻折模型（三角形）】 三角形折叠模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 【例4】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，中，，，，将折叠，使A点与的中点D重合，折痕为，求线段的长． 【答案】4 【分析】本题考查勾股定理和图形的折叠，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键，设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设，则由折叠的性质可得， ∵是的中点， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴线段的长为4． 1．（25-26八年级上·江苏苏州·开学考试）某数学小组用三角形纸片对折叠进行了探究．如图，在三角形纸中，，，，是的中线，P是上的动点不与点B，C重合，将沿折叠，点B落在点E处，交线段于点 【初步感知】 （1）求证：； 【深入探究】 （2）在折叠过程中，试探究是否能成为直角三角形．若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）在折叠过程中，当的边恰好过的中点时，直接写出的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）能成为直角三角形，的长为或理由见解析； （3）当的边恰好过的中点时，的长为3或 【分析】（1）利用勾股定理，直角三角形的斜边上的中线的性质和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当时，利用等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理得到设，则，则，，，，利用勾股定理求得x值，则结论可求；②当时，过点D作于点H，利用三角形的中位线定理和等腰直角三角形的性质解答即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当边经过的中点G时，连接，利用三角形的中位线定理，平行线的性质和等腰三角形的判定与性质解答即可得出结论；②当边经过的中点G时，利用三角形的中位线定理，平行线的性质和等腰三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【详解】（1）证明：，，， ， 是的中线， ， 由折叠的性质得：， ， ∽， ， ； （2）解：能成为直角三角形．的长为或理由： ①当时，如图， 由题意得：，， 由（1）得：，， 在中，， 设，则， ， ，，， ， ， 或不合题意，舍去， ； ②当时，过点D作于点H，如图， 由题意得：， ， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ∴， 为的中点， ∴， 为的中位线， ，， ， 综上，能成为直角三角形．PC的长为或 （3）解：当的边恰好过的中点时，的长为3或理由： ①当边经过的中点G时，连接，如图， 为的中点，D为的中点， 为中位线， ∴，，， ， 由题意得：， ， ， ； ②当边经过的中点G时，如图， 为的中点，D为的中点， 为中位线， ∴， ， 由题意得：，， ， ， ， 综上，当的边恰好过的中点时，的长为3或 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的斜边上的中线的性质，折叠的性质，三角形的中位线，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用分类讨论的思想方法是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏常州·期中）我们知道，有一个内角是直角的三角形是直角三角形，其中直角所在的两条边叫直角边，直角所对的边叫斜边（（如图①所示）．数学家还发现：在一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方，即如果一个直角三角形的内条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么． (1)直接填空：如图①，若，则__________； (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边AE、EB在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明． (3)如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知，利用上面的结论求EF的长？ 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）直接根据直角三角形三条边的关系进行计算即可； （2）根据梯形面积等于三个三角形的面积和推导即可； （3）根据折叠的性质得出,,然后根据直角三角形三边关系得出，进而得出，设，则，在中，，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）根据题意得：， 则， ∴， ∴， ∴； （3）∵折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处， ∴,, ∴, ∴, 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形的三边关系－勾股定理，以及勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 3．（2025·江苏镇江·模拟预测）在数学综合实践课上，李老师以三角形折叠为主题开展数学活动． (1)特例感知 如图1，折叠等边三角形纸片，使点与边中点重合，折痕为，分别交边、边于点、点． ①求的度数． ②求证：为等边三角形． (2)性质梳理 如图2，等腰三角形纸片，，折叠该纸片，使点落在边上的点处，折痕为，分别交边、边于点、点．若，，求的面积． (3)深度探究 如图3，折叠（，为锐角）纸片，使点落在的下方点处，折痕分别交边、边于点、点，线段、与分别交于点、点，若，点、点到的距离相等，求证：． 【答案】(1)①；②见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）①根据等边三角形的性质即可解答； ②根据等边三角形的判定即可得证； （2）根据等腰三角形的性质、折叠的性质及角的等量代换，得到，设，则，利用勾股定理列方程求解即可； （3）先证明，得到，同理可得，即可解答． 【详解】（1）解：①等边三角形，点为的中点， ， ， ； ， ②证明：， 同理①得， 为等边三角形； （2）， ， 折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的点处， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， ，， ． （3）如图，作，，，分别交于，，． ， ，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，同理可得：， ． 【点睛】本题考查了几何变换的综合应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，折叠的性质是解题的关键． 4．（2025·江苏淮安·模拟预测）如图1，将三角形纸片（）进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点C与点A重合，得到折痕，然后展开铺平；第二步：将绕点D顺时针方向旋转得到，点E、C的对应点分别是点F、G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点N． (1)已知． ①在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系，并证明你的结论； ②如图2，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时，求的长； (2)如图3，若直角三角形纸片的两直角边，在点G从点C开始顺时针旋转的过程中，设与的重叠部分的面积为S，则S的最小值为________． 【答案】(1)①，见解析；② (2) 【分析】（1）①连接DM，根据HL证，即可得出结论；②根据，得，可得，，设，则，在中，，即可得到答案； （2）设DG交AC边于R，根据旋转过程中△GMR的面积逐渐变大，故当旋转角为30°时△GMR的面积最大，此时S有最小值，求出此时的S值即可． 【详解】（1）①， ∵折叠三角形纸片使点C与点A重合，得到折痕， ∴． ∴． 如图连接， 根据旋转性质可知： ． 又∵， ∴， ∴． ②如图： ∵翻折，旋转， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴DG=DB， ∴． ∴， ∴， 设，则，在中， 解得，即； （2）． 理由如下： 当△DEC绕点D顺时针旋转30°时，所得的△DFG与△ABC的重叠部分的面积S最小,理由如下， 若△DEC绕点D顺时针旋转后，所得的三角形为△DF’G’. 设FG、F’G’、DG、DG’交AC分别于点M、M’、P、P’ 由题意可知，MF=ME，M’F’=M’E. 由于S=(MF+ME+EP)×DE=2ME+EP. 同理，S’=2M’E+EP’ ①如图1，若旋转的角度等于（30°+）， 则S’-S =(2M’E+EP’)-(2ME+EP)=2MM’-PP’. 由题意知，△DMP是等腰三角形，且直线DE是其对称轴， 于是，作MM’关于直线DE的对称线段PR.连接DR，作∠EDP的平分线，交AC于点Q， 由题意知，∠PDP’=∠FDF’=，∠EDF’=60°+， 因而∠EDM’=30°+，∠MDM’=.所以∠RDP=∠PDQ=∠P’DQ=， 在DP、DR上分别取点P''、Q'，使得DP''=DP',DQ'=DQ，连接QP'',PQ'， 则QP''=QP'，PQ'=QP， 因为∠QP''P=∠QP'G'=∠DPP'+∠PDP'＞DPP'所以QP＞QP''， 同理PR>QP， 因而2MM’=2PR>QP+QP'=PP'，从而S'>S， ②如图2，若旋转的角度等于（30°-）， 则S'-S=（2M'E+EP')-（2ME+EP)=PP'-2MM'， 在DQ、DP'上分别取点R'、P''， 使DR'=DR.DP''=DP， 连接PR'、QP''， 则PR'=PR，QP''=QP， 因为∠QP''P'=∠QPG=∠DP'P+∠PDP'>∠DP'P.所以QP'＞QP''， 同理QP>PR， S'>S， 因而2MM'=2PR<QP+QP'=PP'.从而S'>S， 综上所述，当∠CDG=30°时，四边形DFMP的面帜最小， 如下图所示： ∵AB=AC=4， ∴DE=DF=2， 延长DF交AC于T，则∠TDE=30°，∠DTM=60°， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查几何变换的综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识是解题的关键． 【经典例题五 勾股定理中的翻折模型（长方形）】 长方形折叠模型 矩形翻折之折痕过对角线模型 矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DAC。 ∴∠B’AC=∠DAC，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过一个顶点模型 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 【例5】（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，折叠长方形纸片，使点D落在边上的点F处，折痕为．已知该纸片宽，长，求的长．    【答案】 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据长方形的性质，折叠的性质，勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解∶∵四边形是长方形， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的长是． 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）八年级开展了手工制作模拟预测，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第①②步骤是： ①先裁下了一张长，宽的长方形纸片； ②将纸片沿着直线折叠，点D恰好落在边上的点F处． 请你根据①②步骤解答下列问题：求，的长． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质可知，， ，由勾股定理得，则，设，由勾股定理得，即，计算求解然后作答即可． 【详解】解：∵长方形， ∴，， 由折叠的性质可知，， ， 由勾股定理得，， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，在长方形中，，，，，．N是边上一点，．若M为边上一个动点，将四边形沿折叠，点B、C的对应点分别为点、，若线段与边交于点E． (1)如图1，证明：为等腰三角形； (2)如图2，当点M与点A重合时，求线段的长； (3)点M从点A向点B运动的过程中， ①线段的最大值为 ； ②请直接写出点E运动的路径长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】本题考查勾股定理与折叠，完全平方式的应用． （1）由折叠的性质得，又，有，故，，知为等腰三角形； （2）设，在中，可得，即可解得即； （3）①过作于，设，则，设，在中，，有，故，根据线段与边相交，即可得，从而最大为4； ②由（2）和（3）①可知，当从开始，运动到最大时，的路径长为；当落在上时，与重合，求出，故由最大运动到落在时，的运动路径为，即可得到答案． 【详解】（1）证明：由折叠的性质得， ∵， ， ， ， 为等腰三角形； （2）解：设， ，，， ， 由（1）知， 在中，， ， ， 即； （3）解：①过作于，如图： 设，则， 设， ， 四边形是长方形， ，， ， 在中，， ， 化简整理得， 线段与边相交， ， ， ，， ， ， ， 最大为4； 故答案为：4； ②由（2）和（3）①可知，当从开始，运动到最大时，的路径长为； 当落在上时，与重合，如图： 此时，，， ， ， 由最大运动到落在时，的运动路径为， 点从点向点运动的过程中，点运动的路径长为． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图①所示，四边形是长方形，将长方形折叠，点恰好落在边上的点处，折痕为，如图②所示： (1)图②中，证明：： (2)将图②折叠，点与点重合，折痕为，如图③所示，当时： ①当时，求长方形的面积； ②将图③中的绕着点旋转，使点与点重合，点与点重合．如图④，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质、三角形全等的性质和判定． （1）由折叠得：，再由平行线的性质可得：，所以； （2）①先求的长，再作的高线，并利用面积法求，根据面积公式求长方形的面积； ②由（1）得：，同理，再根据旋转得：，再证明，根据可证明两三角形全等． 【详解】（1）证明：如图②， 由翻折知，， 又， ， ， ； （2）解：①过点作于点，如图③ ， ， ， ， ， 长方形的面积， ②由旋转的特征知， ， 又， 点三点共线， 与（1）同理，可得，且， ， 由（1）得， 由图③，知， 故， ， ， ， ， ， ． ． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）【背景阅读】 早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或的三角形就是型三角形，用长方形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 【实践操作】 如图1，在长方形纸片中，． 第一步：如图2，将图1中的长方形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，我们就得到了正方形，再沿折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的长方形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的长方形纸片沿折叠，得到，再沿折叠，折痕为，与折痕交于点，然后展平． 【问题解决】 (1)三边长为12，15，20 (填“是”或“不是”) 型三角形：三边长为9，40，41 (填“是”或“不是”) 型三角形； (2)若一个型三角形的一边长为a，求最长边； (3)请在图4中判断与的数量关系，并加以证明； (4)请在图4中判断是否是型三角形，并给出证明过程． 【答案】(1)不是，不是 (2)或或 (3)，证明见解析 (4)是，理由见解析 【分析】（1）直接判断三边比是否为即可； （2）分类讨论，根据比的性质进行求解； （3）根据长方形的性质结合折叠的性质证明即可证明； （4）由折叠知，，设，则，，则在中，由勾股定理得，，解得：，则，即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴三边长为的三角形不是型三角形，三边长为的三角形不是型三角形， 故答案为：不是，不是； （2）解：①是最短边，则设最长边为， 由题意得：， 解得：； ②是中等长度边，则设最长边为， 由题意得， 解得：； ③最长边为， ∴综上所述：最长边为或或． （3）解：数量关系：． 证明：∵四边形是长方形， ∴，， 连接，由折叠性质得到：，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （4）解：是型三角形，理由如下： 如图：由折叠知，， 设，则 ∵， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∴是型三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识点，正确利用折叠的性质是解题的关键． 【经典例题六 勾股定理中的线段的平方和模型】 【例6】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在四边形中，，求的长． 【答案】． 【分析】延长相交于点，中，解得，继而根据含30°角直角三角形的性质解得，，在中，由勾股定理解得的长即可． 【详解】解：延长相交于点， 中， 中， 设 在中，由勾股定理得， ． 【点睛】本题考查含30°角的直角三角形、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 1．（24-25八年级上·泰州·阶段练习）定义：如图，点把线段分割成，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．    (1)已知把线段分割成，若，，，则点是线段的勾股分割点吗？请说明理由． (2)已知点是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)或 【分析】（1）是线段的勾股分割点，结合勾股分割点，由已知条件得到，，，从而根据，即可得证； （2）点是线段的勾股分割点，且为直角边，分两种情况，利用勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是线段的勾股分割点， 理由如下： ∵，，， ，，， ∴， ∴以为边的三角形是一个直角三角形， ∴根据勾股分割点定义，是线段的勾股分割点； （2）解：∵点是线段的勾股分割点，且为直角边，有两种情况： ①为斜边时，有， 设，则， ∴； ②为斜边时，有， 设，则， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查新定义问题，读懂题意，按照勾股分割点定义，结合勾股定理求解是解决问题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）爱知中学体育组为方便学生使用体育器材，丰富课余生活，增强身体素质，计划要在道路上建立一个体育器材放置点，同时向，两栋教学楼提供器材．已知：到道路的距离，到道路的距离，，两地距离．现要求放置点到、两栋教学楼距离相等． (1)请利用圆规与直尺在直线上作出点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)计算器材放置点到处的距离． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）连接，作线段的垂直平分线交于点连接，点E即为所求； （2）设,根据，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求． （2）设， ， ， ， ， ， 点到处的距离． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，要建造一个直角梯形的花圃．要求AD边靠墙，另外三边的和为20米，， AB：CD=5：4．设AB的长为5米． （1）请求出AD的长(用含字母的式子表示)；     （2）若该花圃的面积为40m2，且周长不大于30米，求AB的长． 【答案】（1）；（2）米． 【分析】（1）作于点，可以得出，在中由勾股定理解出的长，由可以推出AD的长； （2）由（1）中的结论结合梯形的面积公式求出x的值，建立不等式求出x的取值范围即可解题． 【详解】解：（1）作于点， 四边形BCDE是矩形， 中，由勾股定理解得 ； （2）， 答：AB的长为10米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用、梯形面积、梯形的周长、一元一次不等式、一元二次方程的解法等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 4．（25-26八年级上·江苏常州·课后作业）在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． (2)证明你猜想的结论是否正确． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握题干中给定的方法，是解题的关键： （1）类比题干，猜想，即可； （2）过点作，交的延长线为点，设，得到，再根据勾股定理，得到，进行证明即可． 【详解】（1）解：猜想； （2）证明：过点作，交的延长线于点，设， 则： 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故猜想正确． 【经典例题七 勾股定理中的旋转模型】 【例7】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点C旋转后的对应点为点，连接，求的长． 【答案】的长是 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，由旋转的性质可得出，，再利用勾股定理即可得出的长． 【详解】解：由旋转得，， ， 的长是 1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图所示，正方形网格中，为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）． (1)把沿方向平移后，点移到点，在网格上画出平移后得到的； (2)把绕点按逆时针方向旋转，在网格中画出旋转后的； (3)连接，直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题主要考查了旋转变换以及平移变换和勾股定理． （1）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用旋转的性质进而得出旋转后对应点位置进而得出答案； （3）利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）解：把沿方向平移后，点移到点，即向右平移2个单位，再向上平移2个单位， 如图所示：，即为所求； （2）解：如图所示：，即为所求； （3）解：． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）【问题背景】 同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： 【操作探究】 （1）如图1，为等边三角形，将绕点逆时针旋转得到，连接，是的中点，连接，求证：； 【迁移探究】 （2）如图2，将（1）中的等边绕点逆时针旋转，得到，连接，是的中点，连接，求出此时的度数及与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）， 【分析】（1）将等边绕点逆时针旋转得到，得到，，再根据等腰三角形的性质证明，即可证明平行； （2）由旋转得，，则，确定是等腰直角三角形，则，再由即可求解；证明出是等腰直角三角形，由勾股定理得，即可得到与的数量关系． 【详解】（1）证明：将等边绕点逆时针旋转得到， ，，共线，，，共线，，， ， ， ， ． ，是的中点， ， ， ∴， ． （2）解：等边三角形绕点逆时针旋转，得到， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ． ，是的中点， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ，与的数量关系为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握知识点，把握旋转的不变性是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）【课前引入】 【问题背景】如图1 ，在和中，，且，连接，易证明；小刚同学尝试改变条件，继续探究．如图2，在中，，将旋转一定的角度，如图3 ，连接和，求证： ； 【尝试运用】 如图4，，且，点D在上， ① 的值为 ； ②若 ，求的值； ③若在②的基础上，与的交点为M，直接写出的值 【答案】问题背景：证明见解析；尝试运用：①1；②；③ 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质及勾股定理的应用， 问题背景：先证明，得出，再根据得出结论； 尝试运用：①证明即可证明结论； ②先证明，设，则，根据勾股定理求出，进而求出结论； ③证明，根据相似三角形性质求出结论． 【详解】解：问题背景：如图2，在中，， ， ， ， 将旋转一定的角度，如图3 ， ， ； 尝试运用：①， ， ， ， ， ， ， 故答案为：1； ②，且， ， ， ， ， 设， ， ， 在中，， 在中，， 则， ， ； ③如下图： ， ， ， 由②知：，， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）综合与探究：如图，在中，，，． (1)问题发现：如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与的位置关系是______，与的数量关系是______； (2)类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的位置关系、数量关系与（1）中结论是否一致？若与交于点，与交于点，请结合图说明理由； (3)拓展延伸：如图，将绕点旋转一定角度得到，当点 落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】(1)； (2)线段与的数量关系，位置关系与（1）中结论一致，理由见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，继而得到，，，，可得出与的夹角； （2）证明得，，即可得证； （3）利用勾股定理求出的长，证明，求出，由等腰三角形的性质可求出的长． 【详解】（1）解：如图，延长交于， ∵将绕点按顺时针方向旋转得到，，，， ∴，，， ∴，， ，， ∴，， ∴，， ∴线段与的位置关系是，与的数量关系是， 故答案为：；； （2）线段与的数量关系，位置关系与（1）中结论一致． 理由：如图， ∵将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴； （3）如图，过点作于， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵将绕点旋转一定角度得到，点 落到边上，， ∴， ∴， 由（2）可知：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握旋转的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【经典例题八 勾股定理中的模型综合】 【例8】（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）项目式学习：利用勾股定理求不规则三角形的面积 课题 利用勾股定理求不规则三角形的面积 人员 八（2）班学习小组2025年xxx月xxx日 题干 在中，，，求的面积． 思路 作于，设，用含的代数式表示根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程模型求出利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积． 解答 【答案】 【分析】题目主要考查勾股定理解三角形及三角形面积计算，理解题意，熟练掌握勾股定理是解题关键． 作于，在中，，，设，则，根据勾股定理得出再次使用勾股定理确定，结合图形求面积即可． 【详解】解：如图， 作于，在中，，， 设，则， 由勾股定理得：， 解得： 在中， ． 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）综合与实践：小明同学进行了综合与实践活动，请根据下列信息回答问题． 【课题】在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 【模型抽象】 （说明：点A，B，E，D在同一平面内） 【测绘数据】步骤1：测得水平距离的长为15米； 步骤2：根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米； 步骤3：牵线放风筝的手到地面的距离的长为米． (1)求线段的长； (2)若想风筝沿方向再上升12米，则在、长度不变的前提下，小明应该再放出多长的风筝线？ 【答案】(1)米； (2)他应该再放出8米线． 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理． （1）过点B作于H，则四边形是矩形，可知米，米，由勾股定理可知米，进而可知的长； （2）根据勾股定理求出此时风筝线的长，即可求出再放出的风筝线长． 【详解】（1）解：过点B作于H，则四边形是矩形，    ∴米，米， 在中，，米，米， 由勾股定理，得（米）， 则（米） （2）如图，此时风筝到达处， ∵风筝沿方向再上升12米， ∴米， 则此时风筝线的长为（米）， （米）， 答：他应该再放出8米线． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们应用它解决了很多生活中的实际问题． 【小试牛刀】 （1）如图，铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距24千米，C，D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为多少千米； （2）在（1）的背景下，要在上建造一个供应站P，使得，求的长． 【知识迁移】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值 ． 【答案】（1）两个村庄之间的距离为25千米（2）的长为6.3125千米（3）20 【分析】（1）如图所示，连接，作于点E，可得的长，在中，运用勾股定理即可求解； （2）如图所示，连接，作的垂直平分线交于P点，则点P即为所求；利用勾股定理得，进而得，再根据千米，千米千米得千米，即可解答； （3）根据轴对称-最短路线的求法即可求出． 【详解】解：（1）如图所示，连接，过点C作于点E， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴千米，千米， ∵千米， ∴（千米）， 由勾股定理得：（千米）， 则两个村庄之间的距离为25千米． （2）如图所示，连接，作的垂直平分线交于P点，则点P即为所求； 连接， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵千米，千米，千米， ∴千米， ∴， ∴千米． 即的长为6.3125千米； （3）如图，先作出点C关于的对称点F，连接，过点F作与E，即：就是代数式的最小值． 代数式的几何意义是线段上一点到点D，C的距离之和， 而它的最小值就是点C的对称点F和点D的连线与线段的交点就是它取最小值时的点， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是最小的值， ∴代数式的最小值为． 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题以及线段的垂直平分线等，构造出直角三角形是解本题的难点． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）小明学习小组在活动课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 利用旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度 模型抽象 测绘数据 ①绳子紧贴着旗杆垂直向下，再把多余的绳子拉直，测得多余的绳子长度为． ②拉直绳子，使绳子末端C刚好与地面上的点D重合，测量旗杆底部点B到绳子终点D的距离，即． 说明 点A，B，D在同一平面上． 请根据表格信息，解答下列问题．（，） (1)求旗杆的高度的长． (2)由于实际需要，现在要把旗杆增高，如果绳子还能拉到点D处，则绳子至少要加长多少米？（结果保留一位小数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）设，则，根据勾股定理建立方程求解即可； （2）由（1）得，延长至点，使，连接，可得，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 设，则， 又， 在中，， ∴， 解得，          答：旗杆的长为． （2）解：由（1）得，延长至点，使，连接 则 在中，， 则绳子至少要加长：， 答：绳子至少要加长． 4．（2025·江苏镇江·模拟预测）数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．    (1)2002年世界数学家大会（ICM2002）在北京召开，这届大会会标（如图1）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图2），它由4个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”直接写出满足的等量关系为______． (2)某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题： 已知线段，点在线段上，，求的最小值． 他们解决问题的思路是：如图3，在线段的同侧构造了两个和，，令，利用勾股定理，得出，从而将问题转化成求“最小值”问题，再利用“将军饮马”模型，就完成了解答．请你写出解答过程； (3)如图4，在中，，点分别为上的动点，且，求的最小值． 【答案】(1)； (2)的最小值为； (3)的最小值为． 【分析】（）根据正方形面积公式求出面积即可； （）延长 到点 ，使，连接 交于点，作，交延长线于点，当三点共线时； （）过点作，并截取，连接，过点作，交的延长线于点，得，从而证明，当三点共线时，； 本题主要考查勾股定理的应用，矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练应用数形结合思想是解题的关键． 【详解】（1）由图得，正方形的面积为或， ∴， 故答案为：； （2）延长 到点 ，使，连接 交于点，作，交延长线于点，    ∵，， ∴， ∴（当三点共线时，取“=”号） ∵， ∴四边形是矩形， ∴，； ∴， ∴， ∴最小值为，即最小值为； （3）过点作，并截取，连接，过点作，交的延长线于点，    ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴（当三点共线时，取“=”号） ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，点是上的一点，且，，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（   ） A．13 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图是解答此题的关键．先画出圆柱的侧面展开图，再根据勾股定理求解即可． 【详解】如图所示， ∵圆柱的底面周长为， ， ，， ， 在中， ∴． 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏常州·阶段练习）如图所示，在矩形中，，点分别在边上．连接，将四边形沿翻折，点分别落在点处．则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数等，连接交于点，设，则，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，垂直平分，，，，再利用勾股定理求出即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：连接交于点， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵将四边形沿翻折，点分别落在点处， ∴点与点关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，长方体的底面是边长为6的正方形，侧面都是长为12的长方形，点D是的中点，在长方体下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点D处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程为（    ） A． B． C．15 D．21 【答案】C 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是把立体图形转化为平面图形解决，将棱柱展开，根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：棱柱展开如图所示， ∵棱柱的底面是边长为6的正方形，侧面都是长为12的长方形，点D是的中点， ∴， ∴， ∴沿着表面需要爬行的最短路程为15， 故选：C． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·开学考试）综合与实践课上，“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小宁同学准备了一张长方形纸片，，，他在边上取中点，又在边上任取一点，再将沿折叠得到，连结，小宁同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在边上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动； ②的最大值为24； ③的最小值为16； ④达到最小值时，．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题），勾股定理．根据折叠的性质得到，根据圆的定义得到点在以N为圆心，为半径的圆上，故①正确；连接，根据勾股定理得到，根据三角形的三边关系得到，，结合点M在上，判断②③正确；根据勾股定理即可判断④正确． 【详解】解：如图1，连接， ∵将沿折叠得到， ∴， ∵点N为的中点，， ． ∴当点M在边上运动时，点在以N为圆心的圆弧上运动， 故①正确； 在中，， ∵， ∴， ∴的最小值为16， 故③正确； ∵，且M在上， ∴， ∴的最大值为24， 故②正确； 如图2， 当共线时，的值最小，最小为； ∴， 设，则，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即， 故④正确， 综上，结论中正确的个数4个， 故选：D． 5．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图1，在中，，，E、F分别是、的中点，连接．如图2，将绕点C按逆时针方向旋转得到，连接．若平分，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作辅助线构造全等三角形是解题关键．连接，延长交于点，由中点可得，由旋转性质可知，，，，进而证明，得到，再利用等腰三角形三线合一的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，延长交于点， 在中，，，E、F分别是、的中点， ， 由旋转性质可知，，，， ，， 又， ， ， ，平分， ，， ， ， ， ， 故选：B． 6．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，一个圆柱形食品盒，它的高等于，底面周长为，在盒外下底面的点处有一只蚂蚁，想沿盒壁爬行吃到正对面中部点处的食物，那么它至少需要爬行 ．（蚂蚁的大小忽略不计） 【答案】26 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，解答此题的关键是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，作出B关于边的对称点D，然后利用勾股定理求出的长，再算出时间． 【详解】解：如图所示： 作B关于边的对称点D，连接，蚂蚁走的最短路径是， ∵底面周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：26． 7．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，长方体的长，宽，高为6，点B处有一只蚂蚁，点N处有一滴蜂蜜，如果蚂蚁要沿着长方体的表面从点B爬到点N，需要爬行的最短距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开最短路径问题，勾股定理等知识点，蚁从B到N有三种爬法，要计算每一种爬法的最短路程必须把长方体盒子展开成平面图形如图，再利用勾股定理计算线段的长，进行比较即可，熟练掌握蚂蚁爬长方形的对角线长时，路径最短是解决此题的关键． 【详解】如图：，宽，高为6， 由已知，的长度即为所求， ∵中，，， ∴， 如图： ， 如图： ． ∵， ∴需要爬行的最短距离是， 故答案为：． 8．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处，    （1）当折痕的另一端在边上，且时，则为 ． （2）当折痕的另一端在边上，且时，则为 ． 【答案】 【分析】（1）设，，根据折叠，可知，然后在中，利用勾股定理求解即可； （2）连接，先证明，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）设， ， ， 长方形纸片中，，将纸片折叠，使顶点落在边上的点处， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）连接，如图所示：   折叠， ，， 四边形是长方形，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，二次根式的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 9．（24-25八年级上·江苏盐城·开学考试）如图所示，中，，是斜边的中点，将绕点按顺时针方向旋转得到，点在的延长线上，若，，则与的面积比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，利用面积法求的长是解决本题的关键． 过点作于点，根据勾股定理可得的长，根据直角三角形的性质可得的长，根据，可得的长，根据勾股定理可得的长，根据旋转的性质进一步可得的长，即可判断出面积比． 【详解】过点作于点，如图所示： ，，， ∴， ∵是斜边的中点， ∴，， ， 即 解得 在中 根据勾股定理，， 根据旋转的性质，可得， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵与的高为， ∴与的面积比为． 故答案为． 10．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）疫情防控期间，某校门口安装了红外线体温自动侦测感应系统，感应系统的工作原理是：当人体进入体温感应系统的感应范围时感应器启动，体温在正常控制范围时，感应门自动打开，体温超过正常范围，感应器报警，感应门关闭。如图，自动感应门的正上方A处装着一个红外线体温感应器，离地AB=2.5米，一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC=1.2米），感应器启动，则AD= 米． 【答案】 【分析】添加辅助线，利用矩形的性质求出各边长，然后在构造的直角三角形中应用勾股定理解答. 【详解】过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ， ， ∵在中，， ∴ 故填：1.5. 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的性质、勾股定理，熟练掌握矩形、直角三角形的性质是关键. 11．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）勾股定理是初等几何中最重要的定理之一，它的证明方法很多，如图1是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，通过对图形的切割、拼接，巧妙的利用面积关系证明了勾股定理． (1)定理证明：图1是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（阴影）．如果直角三角形较小的直角边长为a，较大的直角边长为b，斜边长为c，请你根据图1证明勾股定理； (2)问题解决：如图2，圆柱的高为，底面半径为，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路径是多少厘米？（结果可保留） 【答案】(1)见解析 (2)从点A爬到点B的最短路径是厘米 【分析】（1）利用阴影部分的面积=大正方形面积-4直角三角形面积额即可得答案； （2）画出圆柱侧面展开图矩形，利用勾股定理即可得答案． 本题考查勾股定理证明和求最短路径； 【详解】（1）∵阴影部分的面积=大正方形面积－4个直角三角形面积， ∴ ∴ ∴ （2）画出圆柱侧面展开图： 根据底面半径为，得出 ∵圆柱的高为， ∴ ∴从点A爬到点B的最短路径是厘米 12．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）已知在长方形中，，．按下列要求折叠，试求出所要求的结果． (1)如图（1）所示，把长方形沿对角线折叠得，交于点F，求： (2)如图（2）所示，折叠长方形，使落在对角线上，求折痕的长； (3)如图（3）所示，折叠长方形，使点D与点B重合，求折痕的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了折叠求值，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是运用勾股定理列方程． （1）可推出，设，则，在中，根据勾股定理得出，求得x的值，进一步得出结果； （2）可求得，的值，设，则，在中，根据勾股定理列出，求得x的值，进一步得出结果； （3）由（1）的结论可知：，，从而，，利用勾股定理即可求得的值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴， 设，则， 在中， 由得，， ∴， ∴； ∴； （2）解：∵，，， ∴， 由折叠得：，，， ∴， 设，则， 在中，由得， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：作于点， 则， ∴四边形是矩形， ∵点D与点B重合， ∴垂直平分， ∴， 由（1）知：，又点O是长方形中心， ∴， 同（1）， ∴，， ∴． 13．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图1，在中，，，．点P从点B出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为秒，连接． (1)当秒时，求的长． (2)如图2，将沿直线折叠，使得点C的对应点M恰好落在边上，求此时的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及二次根式的性质，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形． （1）根据条件求出，在中，用勾股定理即可求出； （2）折叠性质可知：，进而求出，然后根据列方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∵， 在中，， ∴的长度为； （2）解：在中，，， ∴， 由折叠性质可知：， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即 解得：； ∴将沿直线折叠，使得点C的对应点M恰好落在边上，此时t的值； 14．（25-26八年级上·江苏连云港·开学考试）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意运用数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点G，连接，则， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为13； 故答案为：13 （2）解：设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点H，连接，则，， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， ∴代数式的最小值为的长， ∵， 即代数式的最小值为． 15．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）古希腊有一个著名的“将军饮马”问题，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营．他总是先去营，再到河边饮马，之后再巡查营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？ 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，点就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，，___________，___________， ___________， 当三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． (1)解决问题补全证明过程； (2)模型应用 如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，两村到河岸的距离分别为千米，千米，且两村之间的距离千米，现要在河岸上建一水厂，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水． ①请在河岸上选择水厂的位置，使铺设管道的费用最少： ②若铺设水管的工程费用为每千米20000元，求出铺设水管时最节省的总费用； (3)模型迁移几何问题代数化是数学中解决问题的一种重要方法．请利用将军饮马模型直接写出当时，代数式的最小值． 【答案】(1) (2)①见解析，②100000元 (3)17 【分析】本题考查轴对称的最短路径问题中的应用，两点之间，线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意补全即可； （2）①根据轴对称的最短路径问题，作图即可； ②把求最少费用转化为求最短长度，根据作对称的方法，结合勾股定理求解即可． (3)的几何意义分别是以x，3为直角边和以，5为直角边的直角三角形的斜边长，进而通过构造图形，再利用几何图形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，， ，， ， 当三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． 故答案为：； （2）①如图所示，作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置； ②如解图①，过点B作交的延长线于点E，连接 ， 四边形是矩形， 千米，千米． 千米， （千米）． 在中，由勾股定理得 （千米）． 点A与点关于对称， ， ∴千米， ∴铺设水管的最省总费用是（元）； （3）如解图②，作出点C关于的对称点，连接交于点P，使作交延长线于点E， ∴ ∴， ∴代数式的最小值为17． 学科网（北京）股份有限公司 $