专题03 勾股定理的简单应用重难点题型专训（3个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题03 勾股定理的简单应用重难点题型专训 （3个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 梯子滑落高度问题 题型二 旗杆高度问题 题型三 小鸟飞行距离问题 题型四 大树折断前高度问题 题型五 水杯中筷子问题 题型六 航海距离问题 题型七 河宽问题 题型八 台阶上地毯长度问题 题型九 汽车是否超速问题 题型十 是否受台风影响问题 题型十一 选址问题 题型十二 最短路径问题 拓展训练一 受影响问题综合应用 拓展训练二 蚂蚁爬行距离综合 拓展训练三 勾股定理的最值训练 知识点一：勾股定理的应用 1.用勾股定理解决一般问题的步骤 （1）由题意画出符合要求的直角三角形，把实际问题转化为数学问题； （2）将待求的量看成直角三角形的一条边； （3）利用勾股定理求解. 2.求直角三角形边长的方法 若已知两边长，可直接由勾股定理求第三边长，若已知一边及另外两边的关系，可设未知数根据勾股定理求解. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（    ） A．8m B．10m C．16m D．18m 2．（24-25八年级上·江苏无锡·单元测试）你听说过亡羊补牢的故事吗？如图，为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9 m，宽1.2 m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需 m长． 知识点二：利用勾股定理解决最短路线问题 1.求长方体表面上两点间最短路线的方法： 需将长方体相应几个面展开，从而将长方体表面上两点间的距离转化为求平面内两点间的距离，构造直角三角形，通过勾股定理求解； 2.求几何体表面上最短路线长的方法 应用转化思想，将空间问题转化为平面问题，将曲面转化为平面，将曲线转化为直线，连接起点与终点所得到的线段作为三角形的一条边，从而构造直角三角形，然后利用勾股定理求出最短路线长. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（    ）（取3） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，已知圆柱的底面周长为10cm，高为12cm，一只蚂蚁在圆柱表面爬行觅食．先从B点爬到C点，吃到食物后又从另一面爬回B点，则蚂蚁爬行的最短路线为 cm． 知识点三：利用勾股定理解决航海类问题 常见的航海问题有避险、抵御台风等，解决这类问题要先确定方位角，然后由方位角正确作出几何图形，通过添加辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为与勾股定理有关的几何问题. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（　　） A．70m B．80m C．90m D．100m 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1小时后，它们相距 海里． 【经典例题一 梯子滑落高度问题】 【例1】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，一架长的梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端B离墙底C的距离为．求此时梯子的顶端A距地面的高度 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）我国古代数学专著《九章算术》里记载了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐，引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈，将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上，问木杆长多少尺？”（说明：1丈尺），此木杆的长度为（    ） A．49尺 B．49.5尺 C．50尺 D．50.5尺 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，将矩形木板斜靠在与地面垂直的墙上，木板底端点B到墙的距离，木板长，宽． （1）若木板的底端B向里滑行，则木板的顶端A沿墙上滑 m； （2）在木板滑动的过程中，木板的顶端D到O点的最大距离是 m． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·单元测试）如图，在两面墙之间有一个底端在点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在点点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在点，已知，，点到地面的垂直距离，求点到地面的垂直距离． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，一个梯子长25米，顶端A靠在墙上（墙与地面垂直），这时梯子下端B与墙角C距离为7米． (1)求梯子顶端A与地面的距离的长； (2)若梯子的顶端A下滑到E，使，求梯子的下端B滑动的距离的长． 【经典例题二 旗杆高度问题】 【例2】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度． 1．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，小明为了测量校园里旗杆的高度，将测角仪竖直放在距旗杆底部点的位置，在处测得旗杆顶端的仰角为60°若测角仪的高度是，则旗杆的高度约为（    ） （精确到.参考数据：） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·江苏徐州·专题练习）在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离有5米．则旗杆的高度 ． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，一辆臂长，底座高的曲臂高空作业车沿着平行于墙面的直线方向行驶到点处，对离地面高的点处（）进行作业，，，作业后，还要到点正上方高的处（）继续作业，若要保持臂长不变，即，那么作业车水平行驶的距离（即的长）为多少米？（图是这辆车两次作业时的主视图） 4．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）某“项目学习实验”小组开展了测量本校旗杆高度的项目主题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量数据如下表（不完整）： 成员 组长：，组员，， 材料准备 皮尺、纸、笔等 测量示意图 测量步骤 如图，线段表示学校旗杆， 步骤一：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，用皮尺测量多出的这段绳子的长度； 步骤二：用手握绳梢在地面移动，从旗杆底部起，逐步远离，直到绳子拉直，不能再移动时为止，用皮尺测量此时拉绳子的手到地面的距离的长度； 步骤三：用皮尺测量点与旗杆之间的距离的长度． 测量数据 绳子垂到地面，比旗杆多出一段的长度 的长度 的长度 米 米 米 … … 任务一：请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出学校旗杆高度； 任务二：写出你在活动中的收获、反思或困惑（写出一条即可）． 【经典例题三 小鸟飞行距离问题】 【例3】（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇． 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（     ） A．50cm B．40cm C．30cm D．20cm 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C、D的坐标分别为A(9，0)、C(0，4)，D(5，0)，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿O→C→B→A运动，点P的运动时间为t秒．则当t＝ 秒时，△ODP是腰长为5的等腰三角形？ 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）有一块边长为12米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材(BC=5米)，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请问：小明在标牌▇填上的数字是多少？ 4．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩在离水面的的1.3米处，在距离鱼线1.2米处点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？ 【经典例题四 大树折断前高度问题】 【例4】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，有一直立标杆，它的上部被风从B处吹折，杆顶C着地，离杆脚2m，修好后又被风吹折，因新断处D比前一次低0.5m，故杆顶E着地比前次远1m，求原标杆的高度． 1．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，一棵大树在暴风雨中被台风刮倒，在离地面3米处折断，测得树顶端距离树根4米，已知大树垂直地面，则大树高约多少米？（　　） A．5米 B．8米 C．9米 D．25 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，山坡上，树甲从点A处折断，其树顶恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4m，BC＝10m，已知两棵树的水平距离为6m，则树甲原来高 ． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，一次台风过后，一根长24米的旗杆被台风吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部12米处，求这根旗杆吹断处离地面的高度．    4．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图是某集团打造的一款少儿开发智力游戏项目，工作人员告诉小艺，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，，矩形为一木质平台的主视图．小艺经过现场测量得知，米，米，于是小艺大胆猜想段的长为9米，请判断小艺的猜想是否正确．如果正确，请写出理由；如果错误，请求出段的正确长度． 【经典例题五 水杯中筷子问题】 【例5】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，求h的取值范围 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为、、，现有一长为的吸管插入盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面30cm．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为60cm，则水深是 cm． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面的部分为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离为3米，则湖水深为多少？ 4．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为4cm，4cm，6cm (1)一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，请你帮蚂蚁设计一条最短的路线，蚂蚁要爬行的最短路线是多少？ (2)若将一根木棒放进盒子里并能盖上盖子，则能放入该盒子里的木棒的最大长度是多少cm ? (结果可保留根号) 【经典例题六 航海距离问题】 【例6】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）轮船A以16海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，轮船B在同时同地以12海里/时的速度向西北方向航行．试求两船离开港口O一个半小时后的距离． 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距40海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行0.5小时到达B处，那么AB＝（    ）海里． A．40 B．30 C．50 D．60 2．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏东方向，则A，C两港之间的距离为 ． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“惠州”号、“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”号每小时航行10海里，“中山”号每小时航行7.5海里．它们离开港口后相距25海里．如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号沿哪个方向航行吗？ 4．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离． (1)如果这艘轮船不改变航向，经过10小时，轮船与台风中心相距多远？它此时是否受到台风影响？ (2)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？请说明理由； (3)如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？ (4)假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？ 【经典例题七 河宽问题】 【例7】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）为了求出湖两岸A，B两点之间的距离，观测者小林在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形（∠B＝90°），如图所示，通过测量得AC长为160m，BC长为128m，请求出图中A、B两点之间的距离． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·课后作业）为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形．如图，通过测量，得到AC长160 m，BC长128 m，则从点A穿过湖到点B的距离是(    ) A．48 m B．90 m C．96 m D．69 m 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处40m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m．该河的宽度BC为 米． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，，，．线段是一条水渠，且点在边上，已知水渠的造价为130元，问：当水渠的造价最低时，长为多少米？最低造价是多少元？    4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）某隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长为，宽为，该隧道内设双车道（共有2条车道），正中间有宽的双黄线，车辆必须在双黄线两侧行驶，不能压双黄线．现有一辆货运卡车高，宽，则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由． 【经典例题八 台阶上地毯长度问题】 【例8】（24-25八年级上·江苏无锡·课后作业）如图，要修建一个育苗棚，棚高h=5 m，棚宽a=12 m，棚的长d为12m，现要在矩形的棚顶上覆盖塑料薄膜， 试求需要多少平方米塑料薄膜? 1．（24-25八年级·江苏无锡·课后作业）如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（ ） A．5m B．6m C．7m D．8m 2．（24-25八年级上·江苏常州·单元测试）如图所示，一个圆柱体高20 cm，底面半径为5 cm，在圆柱体下底面的A点处有一只蚂蚁，想吃到与A点相对的上底面B处的一只已被粘住的苍蝇，这只蚂蚁从A点出发沿着圆柱形的侧面爬到B点，则最短路程是 cm.(结果用根号表示) 3．（24-25八年级上·江苏南京·课后作业）如图，测得某楼梯的长为5m，高为3m，宽为2m，计划在表面铺地毯，若每平方米地毯50元，你能帮助算出至少需要多少钱吗？ 4．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）如图所示为一棱长为3cm的正方体，把所有的面分成3×3个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至右侧面点B处，最少要花几秒钟？ 【经典例题九 汽车是否超速问题】 【例9】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）根据道路交通管理条例的规定，在某段笔直的公路l上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速点M到测速区间的端点A，B的距离分别为50米、34米，M距公路l的距离（即的长）为30米．现测得一辆汽车从A到B所用的时间为5秒，通过计算判断此车是否超速． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·课后作业）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定，小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h.如图所示，一辆小汽车在一条城市街道沿直道向处行驶.某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处的点，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50m，这辆小汽车 .（填“超速”或“不超速”） 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）国家交通法规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过60km/h，一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶，此时在小汽车正南方向25m处有一个车速检测仪，过了4s后，测得小汽车距离测速仪65m．这辆小汽车超速了吗？通过计算说明理由（1m/s＝3.6km/h） 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米． (1)请求出观测点C到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，） 4．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 【经典例题十 是否受台风影响问题】 【例10】（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，铁路和公路在点O处交汇．公路上距离O点的A处与铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是多少？ 1．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过(    )小时它就会进入台风影响区    A．10 B．7 C．6 D．12 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以36千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为 秒． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点的距离分别为，又，以台风中心周围以内为受影响区域．海港受台风影响吗？若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间是多长？如果不会，请说明理由． 4．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问： (1)A城市是否会受到台风影响？请说明理由． (2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 【经典例题十一 选址问题】 【例11】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，铁路上A、D两点相距28km，B，C为两村庄，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB＝16km，CD＝12km，现在要在铁路AD上建一个土特产品收购站P，使得B、C两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A多少千米处？ 1．（24-25八年级·江苏盐城·阶段练习）如图，要在距离地面5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑到符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2米，L2=6.1米，L3=7.8米，L4=10米四种备用材料中，拉线AC最好选用（　　） A．L1 B．L2 C．L3 D．L4 2．（24-25八年级上江苏泰州·期中）某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24 m，AB离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度CD为18 m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17 m，则 m． 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）在一条笔直的公路上有两个停靠站，公路旁有一块地正在开发，现在C处时常需要爆破作业，如图，已知A，B两站相距2km，且，为安全起见，爆破点C周围半径500米范围内任何人不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否需要暂时封闭？请说明理由() 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）（1）如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为_______m的木棒； （2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短需要______m； （3）如图3，长方体的棱长分别为AB=BC=6cm，假设昆虫甲从盒内顶点以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲? 【经典例题十二 最短路径问题】 【例12】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，一个长方形的运动场，有一个球落到了点C，小明要从点A走到点C捡球，至少要走多少米？    1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，一个底面为正六边形的直六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点到顶点沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为（    ）      A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）春节是中国人最盛大、最热闹、最重要的传统节日．在春节期间为了增添节日气氛，小刚家计划购买一条彩带，按如图所示的方式从圆柱体的A处缠绕到圆柱体的B处（点A在下底面，点B在上底面，点B在点A的正上方），若圆柱体底面周长为，高为，则需要购买彩带的长度最短为 ． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·随堂练习）如图为一个长，宽，高的实心长方体，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对面顶点处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为________． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是________．（杯壁厚度不计） 【拓展训练一 受影响问题综合应用】 1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）某市规划修建铁路，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西方向，且距离为米，小区A位于商场C的南偏西方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以米秒的速度沿铁路低速行驶． (1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据： (2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪音影响？ 2．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒． (1)求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离； (2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）某船正以每小时20海里的速度向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向． (1)求A、D两点间的距离； (2)当船行驶到D处时，船长收到预警信息，在北偏东方向，离船20海里的点M处，形成了热带风暴中心，该热带风暴影响距它中心海里的圆形海域，假设该船不改变航行路线，问：该船会不会受到影响，如果会，求出受到影响的时长；如果不会，请说明理由． 【拓展训练二 蚂蚁爬行距离综合】 1．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，教室的墙面与地面垂直，点P在墙面上．若，点P到的距离是，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，求它的最短行程． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）初中几何的学习始于空间的“实物和具体模型”，聚焦平面的“几何图形的特征和运用”，形成了空间几何问题要转化为平面几何问题的解题策略． 问题提出：如图所示是放在桌面上的一个圆柱体，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，如何求最短路程呢？ (1)问题分析：蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，可以有几条路径？在图中画出来； (2)问题探究：①若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程； ②若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程； ③若圆柱体的底面圆的半径为，高为，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm，宽为50cm的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形．求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程． (1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接． (2)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是_____． (3)问题解决：如图②，展开图中_____，_____． (4)这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是_____． 【拓展训练三 勾股定理的最值训练】 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处． （1）求小明家离小红家的距离； （2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，一根长10m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端A到地面的距离AO为8m， （1）当梯子的顶端A下滑1m时，求梯子底端B向外滑行的距离？ （2）请判断在木棍滑动的过程中，中点P到点O的距离是否变化，并简述理由； （3）求木棍滑动的过程中△AOB面积的最大值； 3．（24-25八年级上·江苏无锡·课后作业）如图，长方体的长，宽，高，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发到点处．蚂蚁甲的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁乙的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁丙的行走路径为翻过棱后到达点处（即）． (1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？ (2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？ 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，相邻的两边互相垂直，则从点到点的最短距离为（    ） A．13 B．12 C．8 D．5 2．（25-26八年级上·江苏无锡·课后作业）如图，一枝长的花插在圆柱形花瓶中（壁厚不计），花瓶底面直径为，高为，则这枝花露在花瓶外面部分的长度最短为（   ） A． B． C． D． 3．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）《九章算术》中有个“折竹抵地”的问题，其大意为：如图，一根竹子，原来高一丈，后来竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问原处还有多高的竹子（1丈尺）？设原处的竹子还有x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 5．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米，则当滑块A向下滑13厘米时，滑块B向右滑动了（   ） A．9厘米 B．24厘米 C．12厘米 D．15厘米 6． （24-25八年级上·江苏常州·期中）有一根长的木棒， （填“能”或“不能”）放进长、宽、高分别为、、的空木箱中． 7．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，风雨过后一棵大树被折断，折断处离地面的高度为，倒下后树顶端着地，点A距树底端点B的距离为，这棵大树在折断前的高度为 ． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为120元，则购买地毯需花费 元． 9．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有四尺（绳索比木柱长4尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺处时而绳索用尽，则木柱长为 尺． 10．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，有一个高为，底面直径为的圆柱．在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，它从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，蚂蚁爬行的最短路程是 ． 11．（25-26八年级上·江苏无锡·单元测试）如图一个长为的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为．如果梯子的顶端A下滑到，请求出滑动的水平距离． 12．（25-26八年级上·江苏常州·随堂练习）新考向  某条东西走向的公路上，按规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条公路上由东向西匀速行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，测得小汽车在B处与车速检测仪A之间的距离为．这辆小汽车超速了吗？请通过计算说明理由． 13．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】 如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度米，最后测量放风筝的小康同学的身高米． 【数据应用】 当点均在同一平面内，已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． (1)求此时风筝的垂直高度． (2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升18米到点的位置，则还需要放出风筝线多少米？ 14．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 15．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）小明和同桌小聪在课后自主复习时，对一道思考题进行了探索．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时点到墙底端的距离为．如果梯子的顶端沿墙下滑，那么点将向外移动多少米． (1)请你将小明对思考题的解答补充完整： 解：设点将向外移动，即． 则，． 在中，，，可得方程 ， 解方程，得 ， 答：点将向外移动 (2)解完思考题后，小聪提出了下面两个问题： ①在思考题中，将“下滑”改为“下滑”，那么该题的答案会是吗？为什么？ ②在思考题中，梯子的顶端从点处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗？为什么？ 请你解答小聪提出的这两个问题． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理的简单应用重难点题型专训 （3个知识点+12大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 梯子滑落高度问题 题型二 旗杆高度问题 题型三 小鸟飞行距离问题 题型四 大树折断前高度问题 题型五 水杯中筷子问题 题型六 航海距离问题 题型七 河宽问题 题型八 台阶上地毯长度问题 题型九 汽车是否超速问题 题型十 是否受台风影响问题 题型十一 选址问题 题型十二 最短路径问题 拓展训练一 受影响问题综合应用 拓展训练二 蚂蚁爬行距离综合 拓展训练三 勾股定理的最值训练 知识点一：勾股定理的应用 1.用勾股定理解决一般问题的步骤 （1）由题意画出符合要求的直角三角形，把实际问题转化为数学问题； （2）将待求的量看成直角三角形的一条边； （3）利用勾股定理求解. 2.求直角三角形边长的方法 若已知两边长，可直接由勾股定理求第三边长，若已知一边及另外两边的关系，可设未知数根据勾股定理求解. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（    ） A．8m B．10m C．16m D．18m 【答案】C 【分析】根据大树折断部分、下部、地面恰好构成直角三角形，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意得BC＝8m，AC＝6m， 在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB＝＝10米． 所以大树的高度是10＋6＝16米． 故选：C． ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·单元测试）你听说过亡羊补牢的故事吗？如图，为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9 m，宽1.2 m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需 m长． 【答案】1.5 【分析】用勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方进行解答． 【详解】由图可知，这条木板的长为＝＝1.5 m. 故答案为1.5. 【点睛】本题考查勾股定理的应用. 知识点二：利用勾股定理解决最短路线问题 1.求长方体表面上两点间最短路线的方法： 需将长方体相应几个面展开，从而将长方体表面上两点间的距离转化为求平面内两点间的距离，构造直角三角形，通过勾股定理求解； 2.求几何体表面上最短路线长的方法 应用转化思想，将空间问题转化为平面问题，将曲面转化为平面，将曲线转化为直线，连接起点与终点所得到的线段作为三角形的一条边，从而构造直角三角形，然后利用勾股定理求出最短路线长. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知圆柱的底面圆的直径为，圆柱的高为，在圆柱表面的高上有一点，且．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（    ）（取3） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即为所求． 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示， ∵圆柱的底面圆的直径为， ∴圆柱的底面周长为， ∴． ∵，． ∴， 在中，， 即， ∴蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短距离是． 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，已知圆柱的底面周长为10cm，高为12cm，一只蚂蚁在圆柱表面爬行觅食．先从B点爬到C点，吃到食物后又从另一面爬回B点，则蚂蚁爬行的最短路线为 cm． 【答案】26 【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点B、C的最短距离为线段BC的长． 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=12cm，AB为底面半圆弧长，AB=5cm，所以BCcm，∴从B点爬到C点，然后再沿另一面爬回B点，则小虫爬行的最短路程为2BC=26cm． 故答案为26． 【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答． 知识点三：利用勾股定理解决航海类问题 常见的航海问题有避险、抵御台风等，解决这类问题要先确定方位角，然后由方位角正确作出几何图形，通过添加辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为与勾股定理有关的几何问题. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（　　） A．70m B．80m C．90m D．100m 【答案】D 【分析】根据题意可得∠APB=180°-30°-60°=90°，，，再根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠APB=180°-30°-60°=90°， ，， ∴， 即20s后他们之间的距离为． 故选：D 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1小时后，它们相距 海里． 【答案】20 【分析】根据题意画出图形，根据题目中AB、AC的夹角可知它为直角三角形，然后根据勾股定理解答． 【详解】如图，   ∵由图可知AC=16×1=16（海里）， AB=12×1=12（海里）， 在Rt△ABC中，BC=＝20（海里）． 故它们相距20海里． 故答案为：20 【点睛】本题考查的是勾股定理，正确的掌握方位角的概念，从题意中得出△ABC为直角三角形是关键． 【经典例题一 梯子滑落高度问题】 【例1】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，一架长的梯子斜靠在墙上，，此时，梯子的底端B离墙底C的距离为．求此时梯子的顶端A距地面的高度 【答案】2.4米 【分析】此题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．直接利用勾股定理求出的长，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴（米）， 答：此时梯顶A距地面的高度是2.4米． 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）我国古代数学专著《九章算术》里记载了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐，引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈，将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上，问木杆长多少尺？”（说明：1丈尺），此木杆的长度为（    ） A．49尺 B．49.5尺 C．50尺 D．50.5尺 【答案】D 【分析】当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程，解方程即可 【详解】如图，设木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺， 在中， ∵， ∴， 解得： 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，将矩形木板斜靠在与地面垂直的墙上，木板底端点B到墙的距离，木板长，宽． （1）若木板的底端B向里滑行，则木板的顶端A沿墙上滑 m； （2）在木板滑动的过程中，木板的顶端D到O点的最大距离是 m． 【答案】 1 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （1）在中根据勾股定理求出，再在中根据勾股定理求出的长即可推出结果； （2）取的中点E，连接，根据直角三角形上的中线的性质得出，再根据勾股定理求出，最后根据当O，E，D共线时，长最大，求解即可． 【详解】解：（1）如图， 由题意可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即木板的顶端A沿墙上滑， 故答案为：1； （2）如图，取的中点E，连接， 由题意可知，是直角三角形的斜边上的中线，， ∴， ∵E是的中点， ∴， 由勾股定理得，， 当O，E，D共线时，长最大，最大值为， 故答案为：. 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·单元测试）如图，在两面墙之间有一个底端在点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在点点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在点，已知，，点到地面的垂直距离，求点到地面的垂直距离． 【答案】点到地面的垂直距离 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确求出梯子的长度是解题的关键． 在中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出的长． 【详解】解：在中，， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故点到地面的垂直距离． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，一个梯子长25米，顶端A靠在墙上（墙与地面垂直），这时梯子下端B与墙角C距离为7米． (1)求梯子顶端A与地面的距离的长； (2)若梯子的顶端A下滑到E，使，求梯子的下端B滑动的距离的长． 【答案】(1)梯子顶端A与地面的距离的长为24米 (2)梯子的下端B滑动的距离的长为8米 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键． （1）直接利用勾股定理得出的长； （2）利用勾股定理得出的长进而得出答案． 【详解】（1）由勾股定理可得：24（米）， 答：梯子顶端A与地面的距离的长为24米； （2）∵梯子的顶端A下滑到E，使， ∴（米）， ∴15（米）， 则（米）， 答：梯子的下端B滑动的距离的长为8米． 【经典例题二 旗杆高度问题】 【例2】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度． 【答案】旗杆高12米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键．设为x米，则米，根据勾股定理列方程求出的值，即可求解． 【详解】解：设为x米，则米， 在中，， ， ， 解得：， 即旗杆高12米． 1．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，小明为了测量校园里旗杆的高度，将测角仪竖直放在距旗杆底部点的位置，在处测得旗杆顶端的仰角为60°若测角仪的高度是，则旗杆的高度约为（    ） （精确到.参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过D作DE⊥AB，根据矩形的性质得出BC=DE=5m根据30°所对的直角边等于斜边的一半，可得AD=10，根据勾股定理可得的长，根据AB=AE+BE=AE+CD算出答案. 【详解】过D作DE⊥AB于点E， ∵在D处测得旗杆顶端A的仰角为60°， ∴∠ADE=60°． ∴∠DAE=30°． ∵BC=DE=5m， AD=2DE=10 ∴， ∴AB=AE+BE=AE+CD=8.65+1.6=10.25m≈10.3m． 故答案为:D 【点睛】本题考查了仰角俯角问题，正确作出辅助线，构造出30°直角三角形模型是解决问题的关键. 2．（2025八年级上·江苏徐州·专题练习）在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离有5米．则旗杆的高度 ． 【答案】12米 【分析】设旗杆的高度是x米，绳子长为（x+1）米，旗杆，拉直的绳子和BC构成直角三角形，根据勾股定理可求出x的值，从而求出旗杆的高度． 【详解】解：设旗杆的高度为米，根据题意可得： ， 解得：， 答：旗杆的高度为12米． 故答案为：12米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，关键看到旗杆，拉直的绳子和BC构成直角三角形，根据勾股定理可求解． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，一辆臂长，底座高的曲臂高空作业车沿着平行于墙面的直线方向行驶到点处，对离地面高的点处（）进行作业，，，作业后，还要到点正上方高的处（）继续作业，若要保持臂长不变，即，那么作业车水平行驶的距离（即的长）为多少米？（图是这辆车两次作业时的主视图） 【答案】作业车水平行驶的距离为米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，则，然后由勾股定理得，由，，求出，然后再由勾股定理和线段和差即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可知：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 答：作业车水平行驶的距离为米． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）某“项目学习实验”小组开展了测量本校旗杆高度的项目主题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量数据如下表（不完整）： 成员 组长：，组员，， 材料准备 皮尺、纸、笔等 测量示意图 测量步骤 如图，线段表示学校旗杆， 步骤一：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，用皮尺测量多出的这段绳子的长度； 步骤二：用手握绳梢在地面移动，从旗杆底部起，逐步远离，直到绳子拉直，不能再移动时为止，用皮尺测量此时拉绳子的手到地面的距离的长度； 步骤三：用皮尺测量点与旗杆之间的距离的长度． 测量数据 绳子垂到地面，比旗杆多出一段的长度 的长度 的长度 米 米 米 … … 任务一：请你帮助该小组根据上表中的测量数据，求出学校旗杆高度； 任务二：写出你在活动中的收获、反思或困惑（写出一条即可）． 【答案】任务一：；任务二：答案不唯一，见解析 【分析】任务一：设， 则，，然后由勾股定理即可求解； 任务二：由于测量数据存在误差，不知道哪一次测量误差小，为了减小误差，可以测多次，取几次测量结果的平均值； 本题主要考查了勾股定理测旗杆高，熟练掌握勾股定理，测量方法步骤，增大测量结果的精确度是解题的关键． 【详解】解：任务一：由题意可得：米， 设， 则，， 在中，， ∴， 解得：， 答：旗杆的高度为米； 任务二：测量数据不准确，在测量过程中为了避免误差太大，可以多次测量，取平均值作为最后的测量结果等（答案不唯一）． 【经典例题三 小鸟飞行距离问题】 【例3】（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，树根下有一个蛇洞，树高，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去．如果鹰与蛇的速度相等，鹰与蛇的路线都是直线段，请求出鹰向何处扑击才能恰好抓到蛇． 【答案】鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设的长为，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】如答图， 设点D处为树顶，鹰向点B处扑去才能正好抓住蛇，由题意，得， 设的长为，则， 解得． 答：鹰向离树的地方扑击才能恰好抓到蛇． 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）（     ） A．50cm B．40cm C．30cm D．20cm 【答案】C 【详解】展开圆柱的侧面如图，根据两点之间线段最短就可以得知AB最短． 由题意，得AC=3×16÷2=24， 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB==30cm． 故选：C 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C、D的坐标分别为A(9，0)、C(0，4)，D(5，0)，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿O→C→B→A运动，点P的运动时间为t秒．则当t＝ 秒时，△ODP是腰长为5的等腰三角形？ 【答案】6或7或12或14 【分析】当OP=OD时，可得P1点；当DP=OD时，可得P2、P3、P4三种情况，再运用勾股定理可分别求解. 【详解】解：当OP=OD时，可得P1点，此时由勾股定理可得，OC2+CP12=OP12，即42+CP12=52，解得CP1=3，则t=秒； 当DP=OD时，可得P2、P3、P4三种情况，当P点运动到P2位置时，作P2M2⊥OA，由勾股定理可得，P2M22+ DM22=DP22，即42+ DM22=52，解得DM2=3，同理可解得DM3=AP4=3， 故，当P点运动到P2位置时，t=秒；当P点运动到P3位置时，t=秒；当P点运动到P4位置时，t=秒； 故答案为6或7或12或14. 【点睛】本题有些难度，难点在于一共有4种情况，也可采取画圆法确定P点可能的位置，即以O点为圆心、5为半径画圆，或者以D点为圆心、5为半径画圆，从而确定P点可能位置. 3．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）有一块边长为12米的正方形绿地，如图所示，在绿地旁边B处有健身器材(BC=5米)，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请问：小明在标牌▇填上的数字是多少？ 【答案】小明在标牌▇填上的数字是4． 【分析】在直角△ABC中，AB为斜边，已知AC，BC，则根据勾股定理可以求斜边AB，根据少走的距离为AC＋BC−AB即可求解． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5， ∴AB＝（米）， ∴少走的距离为AC＋BC−AB＝（12＋5）−13＝4（米） 答：小明在标牌▇填上的数字是4． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用，正确的运用勾股定理求AB是解题的关键． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩在离水面的的1.3米处，在距离鱼线1.2米处点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？ 【答案】6.5 【分析】过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，根据题意直接得出AE，EC的长，再利用勾股定理得出AC的长，进而求出答案． 【详解】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接AC， 由题意可得：EC＝BD＝1.2m，AE＝AB−BE＝AB−DC＝1.3−0.8＝0.5m， ∴AC=m， ∴1.3÷0.2＝6.5s， 答：这条鱼至少6.5秒后才能到这鱼饵处． 【点睛】本题主要考查勾股定理，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 【经典例题四 大树折断前高度问题】 【例4】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，有一直立标杆，它的上部被风从B处吹折，杆顶C着地，离杆脚2m，修好后又被风吹折，因新断处D比前一次低0.5m，故杆顶E着地比前次远1m，求原标杆的高度． 【答案】5米 【分析】由题中条件，可设原标杆AB的高为x，进而再依据勾股定理建立方程，进而求解即可． 【详解】解：依题意得AC＝2，AE＝3， 设原标杆的高为x， ∵∠A＝90°， ∴由题中条件可得AB2+AC2＝BC2，即AB2+22＝（x﹣AB）2， 整理，得x2﹣2ABx＝4， 同理，得（AB﹣0.5）2+32＝（x﹣AB+0.5）2， 整理，得x2﹣2ABx+x＝9， 解得x＝5． ∴原来标杆的高度为5米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理. 1．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，一棵大树在暴风雨中被台风刮倒，在离地面3米处折断，测得树顶端距离树根4米，已知大树垂直地面，则大树高约多少米？（　　） A．5米 B．8米 C．9米 D．25 【答案】B 【分析】设大树高约有米，再由勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设大树高约有米，由勾股定理得： ， 解得：，负值舍去， 答：大树高约8米． 故选：B． 【点睛】此题是勾股定理的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题来解决．解：设大树高约有x米，由勾股定理得： 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，山坡上，树甲从点A处折断，其树顶恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4m，BC＝10m，已知两棵树的水平距离为6m，则树甲原来高 ． 【答案】(4+6)m 【分析】过C作CD⊥AB于D，由题意知BC=10，CD=6，根据勾股定理可得BD=8，从而得到AD的长，再利用勾股定理可得AC的长，即可得到树原来的高度． 【详解】解：如图作CD⊥AB交AB延长线于D， 由题意知BC=10m，CD=6m， 根据勾股定理得：BD=8m， ∵AB=4m， ∴AD=8+4=12m， AC===6m， ∴这棵数原来的高度=（4+6）m， 故答案为：（4+6）m． 【点睛】此题考查了勾股定理在实际生活中的应用，解题的关键是添加辅助线，正确的计算AC的长． 3．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）如图，一次台风过后，一根长24米的旗杆被台风吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部12米处，求这根旗杆吹断处离地面的高度．    【答案】这根旗杆吹断处离地面的高度是9米． 【分析】根据旗杆未断部分与折断部分及地面正好组成直角三角形，利用勾股定理列出方程，解答即可得到结果． 【详解】∵旗杆高24米，    ∴AB+AC=24米， ∴AB=24-AC， 由勾股定理得：AB2=AC2+BC2， ∵BC=12， ∴(24-AC)2=AC2+122， 解得：AC=9（米）， 答：这根旗杆吹断处离地面的高度是9米． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． 4．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图是某集团打造的一款少儿开发智力游戏项目，工作人员告诉小艺，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，，矩形为一木质平台的主视图．小艺经过现场测量得知，米，米，于是小艺大胆猜想段的长为9米，请判断小艺的猜想是否正确．如果正确，请写出理由；如果错误，请求出段的正确长度． 【答案】小艺的猜想错误，段的正确长度为10米，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，矩形的性质与判定，如图所示，延长交于H，设米，则米，证明四边形是矩形，得到米，米，，则米，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：小艺的猜想错误，段的正确长度为10米，理由如下： 如图所示，延长交于H，设米，则米， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米，， ∴米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴米， ∴小艺的猜想错误，段的正确长度为10米． 【经典例题五 水杯中筷子问题】 【例5】（24-25八年级上·江苏泰州·期中）将一根的筷子，置于底面直径为，高的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为，求h的取值范围 【答案】 【分析】如图（见解析），先分别找出筷子露在杯子外面的长度最小与最大时，筷子的位置，再根据线段和差、勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意，当筷子按图1放置时，取得最大值，最大值为， 当筷子按图2放置时，其中恰好为底面直径，，取得最小值，最小值为， 则的取值范围是． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确求出最小与最大值，是解题关键． 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为、、，现有一长为的吸管插入盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的最长长度；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在杯口外的最短长度． 【详解】①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16−12＝4（cm）； ②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线长==5cm，高为12cm， 由勾股定理可得：杯里面管长=＝13cm，则露在杯口外的长度最短为16−13＝3（cm）， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出露在杯外面吸管最长和最短时，吸管在杯中所处的位置． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面30cm．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为60cm，则水深是 cm． 【答案】45 【分析】设水深h厘米，则，，，利用勾股定理计算即可． 【详解】红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长． 设水深h厘米，由题意得：中，，， ， 由勾股定理得：， 即， 解得． 故答案为：45． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确审题，明确直角三角形各边的长是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面的部分为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离为3米，则湖水深为多少？ 【答案】米． 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出方程是解题关键．直接利用勾股定理得出，进而求出答案． 【详解】解：设为米， ∵在中，，，， ∴由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴湖水深为米． 4．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为4cm，4cm，6cm (1)一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，请你帮蚂蚁设计一条最短的路线，蚂蚁要爬行的最短路线是多少？ (2)若将一根木棒放进盒子里并能盖上盖子，则能放入该盒子里的木棒的最大长度是多少cm ? (结果可保留根号) 【答案】（1）10cm；（2）cm. 【分析】（1）将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案； （2）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可． 【详解】（1）如图1所示： AB==10（cm）， 如图2所示： AB=（cm）． 故蚂蚁爬行的最短路线为A-P-B（P为CD的中点）， 最短路程是10cm． （2）由题意得：给长方体盒子加上盖子能放入木棒的最大长度是： （cm）． 【点睛】此题考查了两点之间线段最短，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键． 【经典例题六 航海距离问题】 【例6】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）轮船A以16海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，轮船B在同时同地以12海里/时的速度向西北方向航行．试求两船离开港口O一个半小时后的距离． 【答案】海里 【分析】先根据题意画出示意图，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，由题意得，（海里），（海里）， ∴由勾股定理得：（海里）， ∴两船离开港口O一个半小时后的距离为海里． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确画出示意图是解题的关键． 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距40海里．客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行0.5小时到达B处，那么AB＝（    ）海里． A．40 B．30 C．50 D．60 【答案】C 【分析】首先根据题意可知AP和BP，，进而确定∠APB=90°，再根据勾股定理求出答案即可． 【详解】∵灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距40海里． ∴AP＝40． ∵客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行0.5小时到达B处， ∴∠APB＝90°，BP＝60×0.5＝30， ∴， 即AB=50海里． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了方位角和勾股定理，构造直角三角形是解题的关键，勾股定理是求距离的常用方法． 2．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏东方向，则A，C两港之间的距离为 ． 【答案】 【分析】根据题意得，，，，过作于，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，，，， 过作于， ， 在中，，， ， 在中，， ， ， ，两港之间的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“惠州”号、“中山”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“惠州”号每小时航行10海里，“中山”号每小时航行7.5海里．它们离开港口后相距25海里．如果知道“惠州”号沿东北方向航行，能知道“中山”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】“中山”号沿北偏西（或西北）方向航行 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用，方向角，解题的重点主要是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形，关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大． 求出，的长，利用勾股定理逆定理以及方向角即可得到“中山”号航行方向． 【详解】解：由题意可得：(海里)，(海里)，海里， ， ， “惠州”号沿东北方向航行，即沿北偏东方向航行， ， ∴． “中山”号沿北偏西（或西北）方向航行． 4．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离． (1)如果这艘轮船不改变航向，经过10小时，轮船与台风中心相距多远？它此时是否受到台风影响？ (2)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？请说明理由； (3)如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？ (4)假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？ 【答案】(1)相距，它此时不受到台风影响 (2)会，见解析 (3) (4) 【分析】本题考查勾股定理的应用及一元二次方程的应用、解题的关键是理解题意，学会于转化的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）直接利用勾股定理得出的长，进而利用勾股定理求出10小时后轮船与台风中心距离，即可得解； （2）如图易知，，当时，将受到台风影响，根据勾股定理可得：，整理得到：，解得，由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区； （3）利用（2）中结论即可解决问题； （4）利用（2）中的数据即可解决问题． 【详解】（1），， ， 如图1， 设经过10小时，轮船到达点，且航行了，台风中心到达，且， ，， ， ， 轮船与台风中心相距，它此时不受到台风影响； （2）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；理由如下： 如图2， 设经过小时进行台风区域，则，， 当时，将受到台风影响， 根据勾股定理可得：， 整理得到：， 解得， 由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区． （3）由（1）可知经过就会进入台风影响区； （4）由（1）可知受到台风影响的时间为（小时）． 【经典例题七 河宽问题】 【例7】（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）为了求出湖两岸A，B两点之间的距离，观测者小林在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形（∠B＝90°），如图所示，通过测量得AC长为160m，BC长为128m，请求出图中A、B两点之间的距离． 【答案】96m 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB即可得出答案． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，，，， ∴ ∴， ∴（m） 答：A、B两点之间的距离为96m． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的形式． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·课后作业）为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形．如图，通过测量，得到AC长160 m，BC长128 m，则从点A穿过湖到点B的距离是(    ) A．48 m B．90 m C．96 m D．69 m 【答案】C 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB即可得出答案． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°， 由勾股定理得，AB2+BC2=AC2， ∴AB2=AC2-BC2， =1602-1282=9216， ∴AB=96（m）， 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 2．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A处偏离欲到达地点B处40m，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m．该河的宽度BC为 米． 【答案】75 【分析】设BC=xm，由题意得AB=40m，AC=（x+10）m，然后运用勾股定理求出x即可． 【详解】解：设BC=x，由题意得AB=40m，AC=x+10 由勾股定理可得：AB2+BC2=AC2, 402+x2=（x+10）2，解得x=75． 故答案为75． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出关于x的方程是解答本题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，，，．线段是一条水渠，且点在边上，已知水渠的造价为130元，问：当水渠的造价最低时，长为多少米？最低造价是多少元？    【答案】长为米，最低造价是6000元 【分析】根据“垂线段最短”可得，当时，最短，用等面积法求解即可．再乘以单价，即可得出造价． 【详解】解：根据题意可得：当时，最短， ∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∵， ∴，即， 解得：， ∴最低造价（元）， 答：长为米，最低造价是6000元． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握“垂线段最短”，勾股定理的内容，会用等面积法求直角三角形斜边上的高． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）某隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长为，宽为，该隧道内设双车道（共有2条车道），正中间有宽的双黄线，车辆必须在双黄线两侧行驶，不能压双黄线．现有一辆货运卡车高，宽，则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由． 【答案】能通过该隧道，理由见解析． 【分析】此题考查了勾股定理的应用；如图，在上取G，使，过G作于F反向延长交半圆于点E，则，利用勾股定理求得，再与车高比较即可． 【详解】解：这辆货车可以通过该隧道．理由如下： ∵正中间有宽的双黄线， ∴点O到右边黄线的距离为 ∵现有一辆货运卡车高，宽， ∴如图，在上取G，使， 过G作于F反向延长交半圆于点E，则． 圆的半径， 在中，由勾股定理得：， ∴点E到的距离为， ∴货车可以通过该隧道． 【经典例题八 台阶上地毯长度问题】 【例8】（24-25八年级上·江苏无锡·课后作业）如图，要修建一个育苗棚，棚高h=5 m，棚宽a=12 m，棚的长d为12m，现要在矩形的棚顶上覆盖塑料薄膜， 试求需要多少平方米塑料薄膜? 【答案】156 m2. 【分析】根据勾股定理先求出棚顶的宽，然后根据长方形的面积公式即可求出需要多少塑料薄膜. 【详解】棚高h=5 m，棚宽a=12 m，设棚顶的宽为b， 则m 棚的长d为12m 【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的实际应用能力,理清题意，掌握勾股定理是解题的关键. 1．（24-25八年级·江苏无锡·课后作业）如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（ ） A．5m B．6m C．7m D．8m 【答案】C 【详解】楼梯竖面高度之和等于BC的长，横面宽度之和等于AB的长． 由于， 所以至少需要地毯长4＋3＝7（m）． 故选C 2．（24-25八年级上·江苏常州·单元测试）如图所示，一个圆柱体高20 cm，底面半径为5 cm，在圆柱体下底面的A点处有一只蚂蚁，想吃到与A点相对的上底面B处的一只已被粘住的苍蝇，这只蚂蚁从A点出发沿着圆柱形的侧面爬到B点，则最短路程是 cm.(结果用根号表示) 【答案】5 【分析】要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点间线段最短，再利用勾股定理来求． 【详解】如图，把圆柱的侧面展开，得到如图所示的图形， 其中AC=πR=5πcm，BC=20cm， 在Rt△ABC中，AB==5cm， 故答案为5. 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题、圆柱的计算，解题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算． 3．（24-25八年级上·江苏南京·课后作业）如图，测得某楼梯的长为5m，高为3m，宽为2m，计划在表面铺地毯，若每平方米地毯50元，你能帮助算出至少需要多少钱吗？ 【答案】至少需要700元． 【详解】试题分析：将每阶楼梯的横向线段和纵向线段分别向下和向右平移，则横向线段和纵向线段的和分别为直角三角形的两直角边长，根据勾股定理求得直角三角形下面直角边的长为4m，则楼梯表面所铺地毯是一个长为（4＋3）m，宽为2m的长方形，据此即可计算出答案． 试题解析： 解：由勾股定理得：直角三角形下面直角边长为＝4m， 将每阶楼梯的横向线段和纵向线段分别向下和向右平移，则横向线段和纵向线段的和分别为直角三角形的两直角边长， ∴地毯的长度为4＋3＝7（m），地毯的面积为：7×2＝14（m2）， 即：至少要购买地毯14平方米． 需要的费用为：14×50＝700（元）． 答：至少需要700元． 点睛：此题主要考查了生活中的平移现象和勾股定理，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算． 4．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）如图所示为一棱长为3cm的正方体，把所有的面分成3×3个小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至右侧面点B处，最少要花几秒钟？ 【答案】2.5秒 【详解】分析:将立体图形展开成平面图形,然后根据两点之间线段距离最短,利用根据勾股定理进行求解把此正方体的点A所在的面展开,然后在平面内,利用勾股定理求点A和B点间的线段长,即可得到蚂蚁爬行的最短距离,在直角三角形中,一条直角边长等于5,另一条直角边长等于2,利用勾股定理可求得． 详解:（1）展开底面右面由勾股定理得AB=cm, （2）展开前面右面由勾股定理得AB= 所以最短路径长为5cm,用时最少:5÷2=2.5秒． 点睛: 本题考查了勾股定理的拓展应用,“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键． 【经典例题九 汽车是否超速问题】 【例9】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）根据道路交通管理条例的规定，在某段笔直的公路l上行驶的车辆，限速60千米/时．已知测速点M到测速区间的端点A，B的距离分别为50米、34米，M距公路l的距离（即的长）为30米．现测得一辆汽车从A到B所用的时间为5秒，通过计算判断此车是否超速． 【答案】此车没有超速 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 在中根据勾股定理求出，在中根据勾股定理求出，由求出的长，根据路程除以时间得到速度，即可做出判断． 【详解】解：在中，，， 米， 在中，，， 米， （米）， 汽车从A到B的平均速度为（米/秒）， 米/秒=千米/时<60千米/时， 此车没有超速． 1．（24-25八年级上·江苏无锡·课后作业）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定，小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h.如图所示，一辆小汽车在一条城市街道沿直道向处行驶.某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处的点，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为50m，这辆小汽车 .（填“超速”或“不超速”） 【答案】超速 【分析】根据题意得出由勾股定理得出BC的长，进而得出小汽车1小时行驶速度，进而得出答案． 【详解】在中，，所以. 因此，小汽车的速度为.，故这辆小汽车超速. 【点睛】本题考查勾股定理的应用，在直角三角形中吗，已知两边求第三边可直接运用勾股定理，在本题中另外一个难点是单位的换算，. 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）国家交通法规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过60km/h，一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶，此时在小汽车正南方向25m处有一个车速检测仪，过了4s后，测得小汽车距离测速仪65m．这辆小汽车超速了吗？通过计算说明理由（1m/s＝3.6km/h） 【答案】不超速，理由详见解析 【分析】根据勾股定理求出BC的长，进而求出小汽车的时速即可得出答案． 【详解】解：由勾股定理得： BC＝（米）； 60÷4＝15米/秒＝54千米/小时＜60千米/小时， 所以不超速． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出BC的长是解题关键． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米． (1)请求出观测点C到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)观测点C到公路的距离为米 (2)此车没有超速，理由见解析 【分析】此题主要考查了度的角所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． （1）过点C作于H，先求出的长，再用勾股定理求解即可； （2）先求出的长，再求出的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点C作于H， 在中， ， ． 米 （米） （米） 即观测点C到公路的距离为（米）． （2）解：米， 米 米 ∴车速为（米/秒） 千米/小时米/秒， ∴此车没有超速． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 【答案】(1)共用时4秒 (2)该车超速，理由见详解 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可 【详解】（1）解：依题意可得，， ∴，为直角三角形 ∵米，米， ∴米， ， ∴ 答∶共用时4秒； （2）解：超速，理由如下∶ ， ∵， ∴该车超速． 【经典例题十 是否受台风影响问题】 【例10】（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，铁路和公路在点O处交汇．公路上距离O点的A处与铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是多少？ 【答案】A处受噪音影响的时间为 【分析】过点A作，根据题意可知的长与相比较，发现受到影响，然后过点A作，求出的长即可得出居民楼受噪音影响的时间． 【详解】解：如图：过点A作，， ∵公路上A处点距离O点，距离MN为， ∴， 当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时，当货车到达D点后继续再运动时，对A处不再产生影响，此时， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ， ∴， ∵， ∴A处受噪音影响的时间为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键． 1．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过(    )小时它就会进入台风影响区    A．10 B．7 C．6 D．12 【答案】B 【分析】首先根据题意结合题目条件画出图形，进而利用勾股定理得出等式计算即可． 【详解】解：由题意，作图如下：    设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出： CE=40x千米，BB′=20x千米， ∵BC=500km，AB=300km， ∴AC=400km， ∴AE=400-40x，AB′=300-20x， ∴AE2+AB′2=EB′2， 即（400-40x）2+（300-20x）2=2002， 解得：x1=，x2=（不符合题意，舍去）． 故答案为：B． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是解题关键． 2．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以36千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为 秒． 【答案】32 【分析】如图，首先过点作，求出最短距离的长度，然后在上取点，使得，根据勾股定理得出的长度，即可求出的长度，然后计算出时间即可． 【详解】解：如图，过点作， 米， 米米， 在上取点，使得，当火车在上时，处受噪音影响， 米， 由勾股定理得米，米， 即米， 36千米/时10米/秒， 处受噪音影响的时间为：秒， 故答案为：32． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点的距离分别为，又，以台风中心周围以内为受影响区域．海港受台风影响吗？若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间是多长？如果不会，请说明理由． 【答案】海港受台风影响，台风影响该海港持续的时间是7小时． 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，过点C作于D，可证明得到，利用等面积法求出的长；在上取点E和点F，连接，使得，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于D， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴海港受台风影响； 如图所示，在上取点E和点F，连接，使得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 小时， 答：海港受台风影响，台风影响该海港持续的时间是7小时． 4．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问： (1)A城市是否会受到台风影响？请说明理由． (2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 【答案】(1)会受到这次台风的影响 (2)12小时 (3)级 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握勾股定理成为解题的关键． （1）过点A作于点D，利用角所对边是斜边一半，求得，然后与200比较即可解答； （2）以A为圆心，200千米为半径作交于E、F，则千米，再运用勾股定理计算弦长，然后根据行程问题解答即可； （3） 先求出距台风中心最近距离，计算风力级别． 【详解】（1）解：A城市会受到这次台风的影响，理由如下： 如图1，过点A作于点D， 在中，千米， ∴千米， ∵城市受到的风力超过5级，则称受台风影响， ∴受台风影响范围的半径为：（千米）， ∵160千米千米， ∴A城市会受到这次台风的影响． （2）解：如图2，以A为圆心，200千米为半径作交于E、F，则千米， ∴台风影响该市持续的路程为：， ∴台风影响该市的持续时间（小时）． （3）解：∵千米， ∴（级）， ∴（级）， ∴该城市受到这次台风最大风力为级． 【经典例题十一 选址问题】 【例11】（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，铁路上A、D两点相距28km，B，C为两村庄，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB＝16km，CD＝12km，现在要在铁路AD上建一个土特产品收购站P，使得B、C两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A多少千米处？ 【答案】站应建在距点千米处． 【分析】设，则，根据使得，两村到站的距离相等，可得，再根据勾股定理建立方程解答即可． 【详解】解：设，则， 、两村到站的距离相等， ． 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ， 又，， ， ， 答：站应建在距点千米处． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据利用勾股定理建立方程是解决问题的关键． 1．（24-25八年级·江苏盐城·阶段练习）如图，要在距离地面5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑到符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2米，L2=6.1米，L3=7.8米，L4=10米四种备用材料中，拉线AC最好选用（　　） A．L1 B．L2 C．L3 D．L4 【答案】B 【分析】拉线AC=x，根据30°角所对的直角边等于斜边一半可得AD=x，再根据勾股定理列出方程求得x的值，由此即可求解. 【详解】在Rt△ACD中，∠CAD=60°， ∴∠ACD=30°， 设拉线AC=x，则AD=x，由勾股定理求得， x2=（x）2+52， 解得x=≈5.77m，AC=x=-（不合题意舍去）， ∴拉线AC最好选用L2． 故选B． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际问题的应用，利用30°角所对的直角边等于斜边一半可得AD=AC是解决问题的关键． 2．（24-25八年级上江苏泰州·期中）某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24 m，AB离地面的高度，拱顶最高处C离地面的高度CD为18 m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17 m，则 m． 【答案】10 【分析】连接OA，OB，OM，即为圆弧的半径，则根据勾股定理和已知条件，可得，圆弧的半径是，则有，即可得出半径为13，利用，即可求出MH，则可求出MN. 【详解】解：如图示：连接OA，OB，OM，并且CD交AB、MN与G、H两点， 根据对称性，有 ，， ∴， 设圆弧的半径是，即：， ∴， 由勾股定理可得：，即：， 解之得：， ∴, 由勾股定理可得：，即：， 解之得：， ∴ 故答案为：10. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能熟练构造出直角三角形是解题的关键. 3．（24-25八年级上·江苏常州·期中）在一条笔直的公路上有两个停靠站，公路旁有一块地正在开发，现在C处时常需要爆破作业，如图，已知A，B两站相距2km，且，为安全起见，爆破点C周围半径500米范围内任何人不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否需要暂时封闭？请说明理由() 【答案】公路AB段不需要临时封锁 【分析】做CD⊥AB交AB于D点，Rt△ABC由勾股定理得BC的长度，然后在Rt△BCD中，根据30°/60°/90°的边角关系，得到CD的长度，大于500米，因此即可判断不需要封闭． 【详解】解：如图，作CD⊥AB交AB于D点 ∵∠ABC=，∠BAC= ∴ ∠C=90° 在Rt△ABC中，AB=2，∠ABC=30° ∴ AC=1 在Rt△ABC中，由勾股定理可得： BC== 又∵在Rt△BCD中，∠DBC=30° ∴CD=(km)≈865(m) ∵ CD>500m ∴不必封闭 故答案为：公路AB段不需要临时封锁． 【点睛】本题考查了应用勾股定理求解第三边的长度，30°/60°/90°直角三角形的边角关系，解题的关键是熟记30°/60°/90°对边的长度比为1：：2． 4．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）（1）如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为_______m的木棒； （2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短需要______m； （3）如图3，长方体的棱长分别为AB=BC=6cm，假设昆虫甲从盒内顶点以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲? 【答案】（1）；（2）；（3）昆虫乙至少需要秒钟才能捕捉到昆虫甲 【分析】（1）利用勾股定理求出斜对角线的长即可； （2）利用勾股定理求解即可； （3）由题意的最短路径相等，设昆虫甲从顶点 沿棱 向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F，爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，列出方程求解即可． 【详解】（1）最长的为斜对角线：=； （2）这根细线的长为：=； （3）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F，爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，如图1在Rt△ACF中， ∵x>0，解得： 答：昆虫乙至少需要秒钟才能捕捉到昆虫甲． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，把立体图形转化为平面图形是解题的关键． 【经典例题十二 最短路径问题】 【例12】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，一个长方形的运动场，有一个球落到了点C，小明要从点A走到点C捡球，至少要走多少米？    【答案】至少要走 【分析】连接，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示， 依题意，中， ∴， 答：至少要走．    【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，一个底面为正六边形的直六棱柱，在六棱柱的侧面上，从顶点到顶点沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理与最短路径、几何体的展开图，利用六棱柱的侧面展开图找到最短路径是解题的关键．将六棱柱侧面展开后，再运用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，六棱柱侧面展开后，这圈金属丝的长度最短为的长，    由勾股定理得，， 这圈金属丝的长度至少为． 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·期中）春节是中国人最盛大、最热闹、最重要的传统节日．在春节期间为了增添节日气氛，小刚家计划购买一条彩带，按如图所示的方式从圆柱体的A处缠绕到圆柱体的B处（点A在下底面，点B在上底面，点B在点A的正上方），若圆柱体底面周长为，高为，则需要购买彩带的长度最短为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开-路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：圆柱体的展开图如图所示， 最短长度为 ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏无锡·随堂练习）如图为一个长，宽，高的实心长方体，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对面顶点处，问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ 【答案】沿图①的方式爬行路线最短，最短路线长为 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，把“立体图形”转化为“平面图形”，然后根据勾股定理计算解答． 【详解】解：蚂蚁由点A沿长方体的表面爬行到点，有三种方式，分别展成平面图形如下： 如图1，在中， ． 如图2，在中， ． 如图3，在中， ． ∵， ∴沿图①的方式爬行路线最短，最短路线长为． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和是一个台阶两个相对的端点．老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到点的最短路程是多少？ 【探究】 （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连结，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点的最短路程的长为________． 【应用】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【拓展】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁外壁处到内壁A处所爬行的最短路程是________．（杯壁厚度不计） 【答案】（1）；（2）蚂蚁爬行的最短距离为；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 蚂蚁爬行的最短距离为； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 故答案为：． 【拓展训练一 受影响问题综合应用】 1．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）某市规划修建铁路，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西方向，且距离为米，小区A位于商场C的南偏西方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以米秒的速度沿铁路低速行驶． (1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据： (2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪音影响？ 【答案】(1)A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒 (2)小明出发4秒后会受到噪音影响 【分析】（1）过作于，过点B作于H，根据题意得，，根据含30度和45度直角三角形的性质求出米，得到，于是得到小区会受到噪音干扰，设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束，连接，，根据勾股定理即可得到结论． （2）假设当小明开始受影响时行到E处，此时行到F处，则此时米， 又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则，，则，，利用勾股定理得到，从而得到得到关于t的方程，即可得解． 【详解】（1）解：过作于，过点B作于H， 由题意得，，， ， ，米， (米， ∴米， ， ， 小区会受到噪音干扰， 设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束， 连接，， 则米， 米， (米， (米， 干扰的时间(秒， 答：A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒． （2）假设当小明开始受影响时行到E处，火车行到F处，则此时米， 又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则， 又∵ ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 答：小明出发4秒后会受到噪音影响． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确地找出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 2．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒． (1)求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离； (2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间． 【答案】(1)40米 (2)12秒 【分析】（1）过点A作AD⊥ON于D，利用含30°角的直角三角形的性质求出AD可得答案； （2）在上取点，点，使，则卡车在BC段对学校A有影响，利用勾股定理求出BD和CD的长，从而求出时间． 【详解】（1）解：过作，垂足为，由垂线段最短可知为所求， ∵，米， ∴米， 答：噪声影响最大时，卡车与学校的距离为40米； （2）在上取点，点，使， 由题意，卡车到达点时开始对学校产生噪声影响，到达点时结束噪声影响， 由（1）知AD＝40米， ∴米， 同理可得：米， ∴米， ∵卡车的行驶速度为5米/秒， ∴给学校带来噪声影响的总时间为（秒）． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30°角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识，根据题意构造出直角三角形是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）某船正以每小时20海里的速度向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向． (1)求A、D两点间的距离； (2)当船行驶到D处时，船长收到预警信息，在北偏东方向，离船20海里的点M处，形成了热带风暴中心，该热带风暴影响距它中心海里的圆形海域，假设该船不改变航行路线，问：该船会不会受到影响，如果会，求出受到影响的时长；如果不会，请说明理由． 【答案】(1)（海里） (2)会，影响的时间为1小时 【分析】本题主要考查方位角，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识的综合，理解图示，掌握勾股定理的运用是关键． （1）根据方位角的定义，结合图形得到，是等腰直角三角形，是等腰三角形，，设，则，由此得到数量关系列式求解即可； （2）如图所示，设圆M与直线相交于点P，Q，作于点H，根据题意，，（海里），则，由含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，，，过点作于点， ∴是等腰直角三角形，是等腰三角形，， 设，则， ∵（海里），， ∴， ∴， ∴（海里）． （2）解：如图所示，设圆M与直线相交于点P，Q，作于点H，根据题意，，（海里），则， ∴圆心M到直线的距离（海里）（海里）， ∴该船会受到影响， ∵，， ∴H为中点，且， ∴， ∴船受到影响时间为小时． 【拓展训练二 蚂蚁爬行距离综合】 1．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）如图，教室的墙面与地面垂直，点P在墙面上．若，点P到的距离是，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，求它的最短行程． 【答案】这只蚂蚁的最短行程是 【分析】本题考查了平面展开——最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决． 可将教室的墙面与地面展开，连接P、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将墙面展开与地面处于同一平面内，过点P作于点G，连接． 由题意，得， ∴由勾股定理，得． ∵， ∴由勾股定理，得， ∴． 故这只蚂蚁的最短行程是． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）初中几何的学习始于空间的“实物和具体模型”，聚焦平面的“几何图形的特征和运用”，形成了空间几何问题要转化为平面几何问题的解题策略． 问题提出：如图所示是放在桌面上的一个圆柱体，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，如何求最短路程呢？ (1)问题分析：蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，可以有几条路径？在图中画出来； (2)问题探究：①若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程； ②若圆柱体的底面圆的周长为，高为，蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程； ③若圆柱体的底面圆的半径为，高为，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，求最短路程． 【答案】(1)3条，图形见解析 (2)①；②；③ 【分析】（1）共有3条路径，第一条先沿圆柱体的高爬行，再从上底面边缘爬行；第二条先沿圆柱体的高爬行，再从上底面直径爬行；第三条沿圆柱体侧面爬行，即可； （2）①连接，利用两点之间，线段最短，在中，根据勾股定理，求出的长，即可求解；②利用两点之间，线段最短，在中，根据勾股定理，求出的长，即可求解；③利用两点之间，线段最短，在中，根据勾股定理，求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：共有3条路径，如下图： （2）解：①如图，连接， 根据题意得：，， ∴， 即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，最短路程为； ②i)如图，连接， 根据题意得：，， ∴， ii)此时考虑从A-B-C线路这一情况， 所以这一线路的路程为， 即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，最短路程为； ③如图，连接， 根据题意得：，， ∴， 即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点，最短路程为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm，宽为50cm的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形．求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程． (1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接． (2)线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是_____． (3)问题解决：如图②，展开图中_____，_____． (4)这只蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程是_____． 【答案】(1)见解析； (2)两点之间线段最短； (3)120cm，50cm； (4)130cm 【分析】（1）根据题意画出三角锥木块的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可； （2）根据题（1）即可求解； （3）根据题意可得，展开图中等于长方形地毛毯的长和两个三角形边长之和，展开图中等于长方形地毛毯的宽； （4）根据勾股定理计算的长即可求解． 【详解】（1）如图所示即为所求： （2）线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短； （3）根据题意可得：展开图中的cm，cm． 故答案为：120cm，50cm； （4）由题（1）可得：在Rt中， 由勾股定理可得：cm， 故答案为：130cm． 【点睛】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短． 【拓展训练三 勾股定理的最值训练】 1．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，小明家在一条东西走向的公路北侧米的点处，小红家位于小明家北米（米）、东米（米）点处． （1）求小明家离小红家的距离； （2）现要在公路上的点处建一个快递驿站，使最小，请确定点的位置，并求的最小值． 【答案】（1）米；（2）见解析，米 【分析】（1）如图，连接AB，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）如图，连接AB， 由题意知AC=500，BC=1200，∠ACB=90°， 在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°， ∴AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000， ∵AB＞0 ∴AB=1300米； （2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P． 驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B， 由题意知AD=200米，A'C⊥MN， ∴A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米， 在Rt△A'BC中， ∵∠ACB=90°， ∴A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000， ∵A'B＞0， ∴A'B=1500米， 即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题，勾股定理，题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，一根长10m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端A到地面的距离AO为8m， （1）当梯子的顶端A下滑1m时，求梯子底端B向外滑行的距离？ （2）请判断在木棍滑动的过程中，中点P到点O的距离是否变化，并简述理由； （3）求木棍滑动的过程中△AOB面积的最大值； 【答案】（1）m；（2）不变，为5m；（3）25m2 【分析】（1）先利用勾股定理求解再画出下滑后的图形，再利用勾股定理求解从而可得答案； （2）由为的中点，可得 旋转过程中始终有这个性质，可得点P到点O的距离不变； （3）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时面积最大． 如图，若h与OP不相等，则总有h＜OP， 故根据三角形面积公式，有h与OP相等时△AOB的面积最大，从而可得答案. 【详解】解：（1）由题意得： 如图，梯子的顶端A下滑1m时，则 所以梯子底端B向外滑行的距离为m. （2）如图，连接 为的中点， 旋转后为的中点，而 所以点P到点O的距离不变为5； （3）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时面积最大． 如图，若h与OP不相等，则总有h＜OP， 故根据三角形面积公式，有h与OP相等时△AOB的面积最大， 此时，S△AOB= AB•h=． 所以△AOB的最大面积为25m2． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练的应用勾股定理进行计算，理解当高与斜边上的中线相等时面积最大. 3．（24-25八年级上·江苏无锡·课后作业）如图，长方体的长，宽，高，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发到点处．蚂蚁甲的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁乙的行走路径为翻过棱后到达点处（即），蚂蚁丙的行走路径为翻过棱后到达点处（即）． (1)甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是多少？ (2)若三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断：哪只蚂蚁最先到达？哪只蚂蚁最后到达？ 【答案】(1)，， (2)蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达 【分析】本题主要考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键． （1）将长方体展开，根据勾股定理解答即可得到结论； （2）根据（1）中的结论，比较三只蚂蚁的行走路径，，的大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：将长方体表面展开， 如图，连接， 在中，， ， 如图，连接， 在中，， ， 如图，连接， 在中，， ， 甲、乙、丙三只蚂蚁的行走路程的最小值的平方分别是，，； （2）解：，即， ， 又三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点出发， 行走路程最小的最先到达，行走路程最大的最后到达， 即：蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达． 1．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，相邻的两边互相垂直，则从点到点的最短距离为（    ） A．13 B．12 C．8 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，作出过点A的竖直线和过点B的水平线，交于点C，如图所示： ， 由题意得：，， ， 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·课后作业）如图，一枝长的花插在圆柱形花瓶中（壁厚不计），花瓶底面直径为，高为，则这枝花露在花瓶外面部分的长度最短为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据花瓶内这枝花的长度取值范围得出花瓶外面长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵将一枝长的花插在底面直径为，高为的圆柱形花瓶中， ∴在花瓶中花最短是等于花瓶的高，最长是等于花瓶斜边长度， ∴当花瓶中花最短是等于花瓶的高时，， 最长时等于花瓶斜边长度是， 此时， ∴h的取值范围是， 即h的最小值是． 故选：C． 3．（2025八年级上·江苏无锡·专题练习）《九章算术》中有个“折竹抵地”的问题，其大意为：如图，一根竹子，原来高一丈，后来竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问原处还有多高的竹子（1丈尺）？设原处的竹子还有x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．可根据题意画出示意图，设原处的竹子还有x尺，则尺，尺，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 设原处的竹子还有x尺，则尺，尺， 在中，由得． 故选：B． 4．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键． 设，则，利用勾股定理得到，则，解方程即可． 【详解】解：设，则， ，，，两村到候车点的距离相等， ， ， ， 解得：， 则候车点应距点． 故选：B． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米，则当滑块A向下滑13厘米时，滑块B向右滑动了（   ） A．9厘米 B．24厘米 C．12厘米 D．15厘米 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，善于观察题目的信息，灵活运用勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再求出下滑后的，利用勾股定理求出下滑后的，继而求出滑块B滑动的距离． 【详解】解：依题意得：， 设滑动后点A、B的对应位置是， 由勾股定理得，(厘米)， 当滑块A向下滑13厘米时，(厘米)， ∴(厘米)， ∴滑块B滑动的距离为：(厘米)， 故选：A． 6．（24-25八年级上·江苏常州·期中）有一根长的木棒， （填“能”或“不能”）放进长、宽、高分别为、、的空木箱中． 【答案】能 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度； 在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长、宽、高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较即可. 【详解】解：设放入长方体盒子中的木棒的最大长度是， 根据题意可得：， 而， 因为， 所以长70cm的木棒，能放进长、宽、高分别为、、的空木箱中； 故答案为：能． 7．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，风雨过后一棵大树被折断，折断处离地面的高度为，倒下后树顶端着地，点A距树底端点B的距离为，这棵大树在折断前的高度为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查的是勾股定理的应用，根据勾股定理求出的长是解答此题的关键．由勾股定理求出的长，然后求出结果，即可解决问题． 【详解】解：在中，，， ， ∴， 即这棵大树在折断前的高度为， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为，地毯的价格为120元，则购买地毯需花费 元． 【答案】8160 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案． 【详解】解：由题意得，台阶最上面和最下面的水平距离为， ∴购买地毯需花费元， 故答案为：8160． 9．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有四尺（绳索比木柱长4尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺处时而绳索用尽，则木柱长为 尺． 【答案】6 【分析】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 设木柱长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：如图所示， 设木柱长为尺，    ∵ 则 解得． 故答案为：6． 10．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，有一个高为，底面直径为的圆柱．在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，它从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，蚂蚁爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将圆柱侧面展开，利用勾股定理求解出点A到点B的最短距离即可得到答案． 【详解】解：由题意侧面展开得到下图所示： ∵底面直径为，高为， ∴，， ∴， ∴它从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，蚂蚁爬行的最短路程是， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·江苏无锡·单元测试）如图一个长为的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为．如果梯子的顶端A下滑到，请求出滑动的水平距离． 【答案】滑动的水平距离是 【分析】本题考查了勾股定理的应用，明确题意，在和中利用勾股定理解直角三角形是解答本题的． 利用勾股定理先求出滑动前的长，再求出滑动后的长，二者相减即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴中，， ∴， 即滑动的距离为． 12．（25-26八年级上·江苏常州·随堂练习）新考向  某条东西走向的公路上，按规定小汽车的行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在这条公路上由东向西匀速行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，测得小汽车在B处与车速检测仪A之间的距离为．这辆小汽车超速了吗？请通过计算说明理由． 【答案】这辆小汽车超速了，理由见解析 【分析】根据勾股定理，求得，计算出速度，与限速比较解答即可． 本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】在中，， 根据勾股定理，得， 所以． 因为小汽车行驶了， 所以它的速度为． 因为，且， 所以这辆小汽车超速了． 13．（24-25八年级上·江苏徐州·阶段练习）为了让学生更好地学会用勾股定理，某校八年级数学兴趣小组的同学把“测量风筝的垂直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践调查，并利用皮尺等工具采集了如下的实验数据． 【采集数据】 如图，利用皮尺测量水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度米，最后测量放风筝的小康同学的身高米． 【数据应用】 当点均在同一平面内，已知图中各点均在同一平面内，点，，，在同一直线上． (1)求此时风筝的垂直高度． (2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升18米到点的位置，则还需要放出风筝线多少米？ 【答案】(1)米 (2)14米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用： （1）根据题意可得米，再由勾股定理求出的长即可得到答案； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，米，， 在中，由勾股定理得米， ∴米； ∴此时风筝的垂直高度为米； （2）解：由题意得，米， 在中，由勾股定理得米， ∵米， ∴还需要放出风筝线14米． 14．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 【答案】(1)蚂蚁需要爬行的最短路程为； (2)蚂蚁爬行的最短路程为； (3)蚂蚁爬行的最短路程是． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，找出最短路径，用勾股定理来解决路径长，在进行实数大小比较是解题关键． （1）将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求即可； （2）分两种情况讨论：①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求，②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求比较两种方法之下的，确定最短的即可． （3）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，在中，由勾股定理得 ； （2）解：分两种情况讨论： ①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，有． ②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示． 因为， 所以最短路程为，即最短路程为． （3）解：将长方体按下列三种方案展开： 第一种；如图④， , ∴根据勾股定理得 ； 第二种：如图⑤， ,； ∴根据勾股定理得 第三种：如图⑥， ,． ∴根据勾股定理得 ， 蚂蚁爬行的最短路程是． 15．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）小明和同桌小聪在课后自主复习时，对一道思考题进行了探索．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时点到墙底端的距离为．如果梯子的顶端沿墙下滑，那么点将向外移动多少米． (1)请你将小明对思考题的解答补充完整： 解：设点将向外移动，即． 则，． 在中，，，可得方程 ， 解方程，得 ， 答：点将向外移动 (2)解完思考题后，小聪提出了下面两个问题： ①在思考题中，将“下滑”改为“下滑”，那么该题的答案会是吗？为什么？ ②在思考题中，梯子的顶端从点处沿墙下滑的距离与点向外移动的距离有可能相等吗？为什么？ 请你解答小聪提出的这两个问题． 【答案】(1)，0.8，（舍去），0.8 (2)①不会是，理由见解析；②有可能，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理正确列出方程是解题的关键． （1）仔细审题，根据已知的解答步骤可知的长度，只要将其代入中即可得到方程，求解即可解答问题，注意x的取值范围； （2）①只需将（1）中的长度变为0.9米，列方程求解即可解答；②假设有可能相等，设这个相等的距离为x，根据勾股定理列出关于x的方程，然后进行求解，看得到的解是否有意义即可完成解答． 【详解】（1）解：设点将向外移动，即． 则，． 在中，，， 可得方程， 解方程，得，（舍去） 答：点将向外移动 故答案为：，0.8，（舍去），0.8； （2）解：①不会是0.9米．理由如下： 设点B将向外移动x米，即． 则，． 在中，，， 可得方程， 解方程，得，（舍去） 点将向外移动，不是； ②设下滑的距离与向外移动的距离均为x米， 则，， ∵米，米，米，， ∴， 解得或（舍去）， 故当梯子的顶端从A处下滑1.7米时，点B向外也移动1.7米， 即梯子的顶端从A处沿墙下滑的距离与点B向外移动的距离有可能相等． 学科网（北京）股份有限公司 $