精品解析：河北省保定市部分示范高中2025-2026学年高二上学期10月联考数学试题

2025-2026学年高二年级10月联考数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的方向向量为且经过两点，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 2. 若椭圆上一点与焦点的距离为1，则点与另一个焦点的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知为空间向量且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 既不充分又不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 5. 已知空间四点的坐标分别是，记点到直线的距离为，记点到平面的距离为，则（ ） A. B. C. D. 6 已知圆，圆，则圆与圆公切线条数有（ ） A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 7. 在棱长为1的正四面体中，为棱的中点，为棱上一点且，则直线和直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左焦点为是椭圆上的一个动点，椭圆外一点的坐标为，若的最大值是13，则椭圆的短轴长为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题不正确的是（ ） A. 两条不重合直线方向向量分别是，则 B. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则直线与平面所成角为 D. 两个平面的法向量分别是，则 10. 已知椭圆的两个顶点之间的距离为3，则该椭圆的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知点在直线上，点在圆上，过点向圆作切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若，则直线的方程为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 若曲线表示椭圆，则取值范围为___________． 13. 过点作圆的切线，则切线的方程为___________． 14. 如图，平行六面体的底面为菱形，且，，请写出平面的一个法向量___________．（注：法向量要用来表示） 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求与圆关于直线对称的圆的标准方程； （2）求经过的椭圆的标准方程． 16. 已知动点与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程． 17. 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点． （1）求椭圆标准方程； （2）过斜率不为0的直线交椭圆于两点，求面积的最大值． 18. 如图，四棱锥中，平面． （1）证明：； （2）若，平面与底面的夹角为． （i）求四棱锥的体积； （ii）点在平面的投影为，求平面与平面夹角的余弦值． 19. 设两点坐标分别是，直线相交于，且它们的斜率之积为，点的轨迹构成的曲线记为． （1）曲线的方程； （2）若直线与曲线相交于不同的两点，点是曲线上的动点（异于． （i）当时，若直线斜率均存在，判断是否一定是定值，并证明你的结论； （ii）当点的坐标为时，，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二年级10月联考数学 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线的方向向量为且经过两点，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由结合共线向量的坐标表示即可计算求解. 【详解】由题意可得，， 所以. 故选：A 2. 若椭圆上一点与焦点的距离为1，则点与另一个焦点的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆方程和椭圆定义即可求解. 【详解】由题可得. 故选：D 3. 已知为空间向量且，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量定义结合数量积和模长的坐标运算直接计算即可得解. 【详解】由题在方向上的投影向量为. 故选：C 4. 已知直线和直线，则“”是“”的（ ） A. 既不充分又不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】先由两直线平行求出参数，再由充要条件定义进行判断. 【详解】若“”，则， 所以“”是“”的充要条件. 故选：D 5. 已知空间四点的坐标分别是，记点到直线的距离为，记点到平面的距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间点到直线和点到面的距离公式计算可得. 【详解】， 所以点到直线的距离为； 设平面的一个法向量为，则， 即， 可取，所以， 而， 所以点到平面的距离为． 所以. 故选：C． 6. 已知圆，圆，则圆与圆公切线条数有（ ） A 4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条 【答案】A 【解析】 【分析】先判断圆的位置关系，由圆的位置关系即可得解. 【详解】由题意， 所以， 所以两圆相离，所以圆与圆公切线条数有4条. 故选：A 7. 在棱长为1的正四面体中，为棱的中点，为棱上一点且，则直线和直线夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为基底得到，接着依次计算，，再计算即可得解. 【详解】以为基底，则， 而， 所以， ， ， 从而， 故直线和直线所成角的余弦值为. 故选：B 8. 已知椭圆的左焦点为是椭圆上的一个动点，椭圆外一点的坐标为，若的最大值是13，则椭圆的短轴长为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】设椭圆的右焦点为，由椭圆定义结合三角形两边之差小于第三边得到即可由题意计算得解. 【详解】设椭圆的右焦点为，则，， 此时 ， 解得，当且仅当三点共线时等号成立（其中点在点之间）， 故短轴长为. 故选:C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题不正确的是（ ） A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则 B. 直线的方向向量，平面的法向量是，则 C. 直线的方向向量，平面的法向量是，则直线与平面所成角为 D. 两个平面的法向量分别是，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A、D可根据对应向量是否共线进行判断；选项B可根据向量数量积是否为零进行判断；由空间向量的线面角公式可得C错误. 【详解】对于A，由题意可得，所以，则，故A正确； 对于B，，所以， 则或，故B错误； 对于C，设直线与平面所成角为，，则，故C错误； 对于D，由，所以不共线，则也不平行，故D错误. 故选：BCD. 10. 已知椭圆的两个顶点之间的距离为3，则该椭圆的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆的性质得出及离心率与的关系，结合两顶点间的距离为3计算求解． 【详解】 椭圆的方程为，则， ， 离心率， 两个顶点之间的距离为3，可能为长轴两顶点，短轴两顶点或长轴和短轴的各一个顶点， 或或， 若，则，解得，此时，故C正确； 若，则，得，此时，故D正确； 若，则，解得，此时，故A正确． 故选：． 11. 已知点在直线上，点在圆上，过点向圆作切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若，则直线的方程为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由圆心到直线距离得到直线与圆相离，由即可判断A；以P为圆心、为半径的圆与圆C作差即可求解判断B；设，由将问题转化为当取最大值时取最小值，接着在由即可求解判断C；由结合C即可求解判断D. 【详解】由题圆心，半径， 过圆心作，垂足为，则，直线与圆相离， 所以，故A错误； 当时，，则， 故以为圆心，为半径的圆的方程为， 依题意，直线即圆与圆的公共弦，故直线的方程为，即B正确； 设，因为， 所以，所以当取最大值时，取最小值， 而，所以当取最大值时，取最小值． 在， 此时，的最小值为，故C正确； 由C项，，当时等号成立，故D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 若曲线表示椭圆，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆定义列出不等式组即可求解. 【详解】曲线表示椭圆， 所以或， 所以的取值范围为. 故答案为： 13. 过点作圆的切线，则切线的方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得点 在圆上，则切线，利用斜率关系即可求解. 【详解】由题可得点在圆上， 所以过点作圆的切线，由于，则， 所以切线的方程为：，即， 故答案为： 14. 如图，平行六面体的底面为菱形，且，，请写出平面的一个法向量___________．（注：法向量要用来表示） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设，易知可以作为空间向量的一组基底，进而结合法向量的求法求解即可. 【详解】不妨设，易知可以作为空间向量的一组基底， 且， 而， 设平面的一个法向量为， 则由，即， 化简得，可取， 故，因此平面的一个法向量为． 故答案为：（答案不唯一）. 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）求与圆关于直线对称的圆的标准方程； （2）求经过的椭圆的标准方程． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）求出所求圆的圆心坐标即可由圆的标准方程得解； （2）设椭圆方程为，接着代点求出参数即可得解. 【详解】（1）设所求圆的圆心坐标为，由于圆,则圆心与关于直线对称， 则，解得， 故所求的圆的标准方程为； （2）设椭圆方程为， 则由题，解得 所以椭圆的标准方程为. 16. 已知动点与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程． 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）根据题干条件列出等式，化简即可得到结果. （2）首先假设斜率不存在，判断是否满足题意；再假设斜率存在，设出直线方程，利用弦长公式即可求得结果. 小问1详解】 设，则， 即 化简得； 所以曲线的方程为： 【小问2详解】 由（1）知曲线的轨迹为圆，其圆心坐标为，半径 当直线斜率不存在时，的方程为，圆心到直线的距离为1，所以，故满足题意 当直线斜率存在时，设的方程为，即， 圆心到直线的距离为 所以 解得 所以的方程为， 即的方程为 综上所述，直线的方程为和 17. 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过斜率不为0的直线交椭圆于两点，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）设椭圆的方程为，结合焦点坐标和椭圆上的点的坐标列方程组求解； （2）设直线方程为，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理和面积公式得出面积的表达式，构造函数，利用函数单调性求出面积最大值． 【小问1详解】 设椭圆， 椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点， ，解得， 椭圆的标准方程为： 【小问2详解】 设直线的方程为， 联立直线和椭圆方程得， 面积， 令，则，， 在单调递增， ， ，此时， 面积的最大值为3． 18. 如图，四棱锥中，平面． （1）证明：； （2）若，平面与底面的夹角为． （i）求四棱锥的体积； （ii）点在平面的投影为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）依次求证，得到平面即可得证； （2）（i）先求证平面得到即为平面与底面的夹角，进而求出，再由锥体体积公式即可计算求解； （ii）由（1）知两两垂直，以为坐标原点建立空间直角坐标系，先求出平面的一个法向量为，进而可设，接着依次求平面的一个法向量为和平面的一个法向量和，再由即可得解. 【小问1详解】 取中点，连结，因为， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 故，所以， 又平面平面，所以， 而，平面， 所以平面，而平面，故； 【小问2详解】 （i）当时，， 所以，而平面，平面， 所以，而，平面， 故平面，而平面， 所以，而， 故即为平面与底面的夹角，故， 而，故， 所以四棱锥的体积； （ii）由（1）知两两垂直，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系， 故， 从而， 设平面的一个法向量为， 则，即，可取， 因为平面，所以可设， 设平面的一个法向量为， 所以，即， 即，可取， 而为平面的一个法向量， 故，故平面与平面夹角的余弦值. 19. 设两点的坐标分别是，直线相交于，且它们的斜率之积为，点的轨迹构成的曲线记为． （1）曲线的方程； （2）若直线与曲线相交于不同的两点，点是曲线上的动点（异于． （i）当时，若直线斜率均存在，判断是否一定是定值，并证明你的结论； （ii）当点的坐标为时，，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）是定值，证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）设点的坐标为，根据题干直接列式即可求解； （2）（i）当，设，则，表示出并利用点都在曲线上即可证明；（ii）设，的中点为，直线与曲线联立得到的坐标，利用得到，进而求出，再根据即可求出的范围. 【小问1详解】 设点坐标为，则， 化简得，即. 【小问2详解】 （i）（定值）. 证明如下：当时，易得两点关于原点对称， 设，则， 所以， 而均在曲线上， 所以， 从而，证毕. （ii）由题意知，当时，显然； 设，中点为， 由， 由，得①， ，则， 所以，因，则，从而，即． 而，所以，化简得， 由得②，将代入①， 则，得：③，由②③得， 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $