精品解析：四川省绵阳南山中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

绵阳南山中学2025-2026学年度高2023级 高三上10月月考数学试题 测试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题.（共40分） 1. 若，则的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 12 6. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A. B. C. D. 7. 记，，则（ ） A. B. C. 0 D. 8. 在的展开式中，项的系数为（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 二、多选题.（18分） 9. 设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点.则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若点到焦点的距离为3，则的坐标为. C. 若，则的最小值为. D. 过焦点作斜率为2的直线与抛物线相交于，两点，则 10. 如图，在三棱柱中，，分别是线段，上的点，且，.设，，，且均为单位向量，若，则下列说法中正确的是（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 11. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，设质点位于点n的概率为.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若出发点改变，其余不变，则不变 D. 若出发点改变，其余不变，则不变 三、填空题.（15分） 12. （2017新课标全国II理科）等差数列的前项和为，，，则____________． 13. 已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，且.若在上恒成立，则实数的取值范围为_____. 14. 已知椭圆的左､右顶点分别为是在第一象限的图象上的点，记，若，则椭圆的离心率__________. 四、解答题.（77分） 15. 已知等差数列的前n项和为，． （1）求的通项公式； （2）令，求证：数列为等差数列﹒ 16. 已知函数，其中． （1）当时，求函数的单调区间； （2）①若恒成立，求的最小值； ②证明：，其中. 17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点， （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点.过椭圆上的点作圆的两条切线，其中一条切线与椭圆相交于点，与圆相切于点，两条切线与轴分别交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）是否为定值，若是，请求出的值；若不是，请说明理由： （3）若椭圆上点，求面积的取值范围. 19. 在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，.定义随机变量的信息量，和的“距离”. （1）若，求的分布列和； （2）已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1.现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为. （ⅰ）若，，求接收台收到信号为1的条件下，发报台发出信号为1的概率； （ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳南山中学2025-2026学年度高2023级 高三上10月月考数学试题 测试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题.（共40分） 1. 若，则的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由充分必要条件关系，，反之不成立，即可判断. 【详解】由，反之不成立，所以P：的一个充分不必要条件为：，其它选项均不符合. 故选：D. 2. 在复平面内，复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则，求得复数的代数形式，再利用虚部的定义可以求解. 【详解】因为， 所以， 所以复数的虚部为, 故选：C. 3. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抽象函数和具体函数定义域的求法，列不等式求解可得. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得， 根据解析式有意义可知，即， 综上，. 所以函数的定义域为. 故选：A． 5. 已知，是直线上两动点，且，点，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，设点，推得点，利用两点间距离公式计算，利用距离公式表示的几何意义将其转化成两定点与一条定直线上的点的距离之和最小问题解决. 【详解】不妨设点在点的左边，因直线的倾斜角为， 且，则点的坐标为， 则， 记， 则可将理解为点到的距离之和， 即点到直线的距离之和，依题即需求距离之和的最小值. 如图，作出点关于直线的对称点,则， 连接，交直线于点,则即的最小值， 且, 故的最小值为. 故选：A. 6. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，可得，，求出，根据等差数列的通项公式，得到关于关系式，即可求出结论. 【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为， 依题意可得，， ， ，解得， . 故选:A. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题. 7. 记，，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据初等函数导数公式及导数运算法则求，观察其规律，确定，由此可得结论. 【详解】因为， 所以， ， ， ， ， ， ， ，， 观察可得， 所以， 所以， 故选：C. 8. 在的展开式中，项的系数为（ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】先求的通项公式为，再求出的通项公式，结合条件列式即可得解. 【详解】在的展开式中，通项公式为， 对于，通项公式为，，，r、k， 令，可得，故，， 故项的系数为， 故选：B. 二、多选题.（18分） 9. 设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点.则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若点到焦点的距离为3，则的坐标为. C. 若，则的最小值为. D. 过焦点作斜率为2的直线与抛物线相交于，两点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由抛物线的性质依次计算各选项所求，即可得出结果. 【详解】抛物线，. 对于A，，，A正确； 对于B，设，，，的坐标为.B错误； 对于C,,C正确； 对于D，直线，联立，得：，,,D错误. 故选：AC. 10. 如图，在三棱柱中，，分别是线段，上的点，且，.设，，，且均为单位向量，若，则下列说法中正确的是（ ） A. 与的夹角为 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由空间向量的运算法则和空间向量的夹角公式、模长公式、数量积的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，，，，所以与的夹角为，又， 所以与的夹角为，故A错误； 对于B，因为，， 所以， ， ，故B正确； 对于C，，，， ，，， ， ，故C正确； 对于D，， ，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，设质点位于点n的概率为.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若出发点改变，其余不变，则不变 D. 若出发点改变，其余不变，则不变 【答案】ABD 【解析】 【分析】设质点向右移动的次数为，分析出服从二项分布.由二项分布的概率公式求出，即可判断A；先分析得到，求出期望，再根据期望的性质求出，即可判断B；假设出发点为，分析得到，再求出，即可判断C；先求出，再根据方差的性质求出，即可判断D. 【详解】设质点向右移动的次数为，因为质点每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位， 移动6次，所以离散型随机变量服从二项分布. 所以由二项分布的概率公式可得，故A正确； 由二项分布的期望公式可得. 因为质点移动6次位于点n，所以， 所以，故B正确； 假设出发点为，则， 所以， 所以若出发点改变，其余不变，会随着出发点的变化而变化，故C错误； 由二项分布的方差公式可得. 假设出发点为，则， 所以， 所以若出发点改变，其余不变，则不变，故D正确. 故选：ABD 三、填空题.（15分） 12. （2017新课标全国II理科）等差数列的前项和为，，，则____________． 【答案】 【解析】 【详解】设等差数列的首项为，公差为，由题意有 ，解得 ， 数列的前n项和， 裂项可得， 所以． 点睛:等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法．使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点． 13. 已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，且.若在上恒成立，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先对求导，得到，再利用奇偶性构造关于和的方程组，进而求出的解析式，化简题中式子并参变分离得到，再构造函数，通过求导求其最小值即可. 【详解】因为偶函数，则①， 对两边求导得，②， 在③中，用代替得④， 由①②④可得，⑤， 联立③⑤得，， 则可化简为：， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，故. 则实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知椭圆的左､右顶点分别为是在第一象限的图象上的点，记，若，则椭圆的离心率__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】设点，则，，且，分析可得，，，根据可求得的离心率的值. 【详解】设点，则，，且，可得， 易知点、， 所以，， 则，， ， 所以， 所以，则，可得. 因此的离心率为. 故答案为：. 四、解答题.（77分） 15. 已知等差数列的前n项和为，． （1）求的通项公式； （2）令，求证：数列为等差数列﹒ 【答案】（1）； （2） 由知：，∴， ∴，∴数列是以2为公差，2为首项的等差数列． 【解析】 【分析】(1)设公差为d，列方程组求得和d即可； (2)求，证明为常数即可﹒ 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 由题可得：，解得， ∴； 【小问2详解】 略 16. 已知函数，其中． （1）当时，求函数的单调区间； （2）①若恒成立，求的最小值； ②证明：，其中. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）①1；②证明：由①知：，时取“=”， 令，得， ∴ ， 当时，. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，在定义域内，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）①分离参数得，令，利用函数的单调性求出的最大值即可； ②由①知：，时取“=”， 令，即，最后累加即可. 【小问1详解】 由已知条件得，其中的定义域为， 则， 当时，，当时，， 综上所述可知：的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 ①由恒成立，即恒成立， 令，则， 当时，，当时，， ∴在上单调递增，上单调递减， ∴， ∴的最小值为1. ②略 17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点， （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1） 取中点，连接，， 为的中点，，， 又，，，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面， 平面； （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，通过证明四边形为平行四边形，即可证明结论； （2）由直线与平面所成的角为，可得，建立以为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面平面，平面平面平面， 平面， 取中点，连接，则平面， ， ，又， 如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ， ，设平面的一个法向量，， 则，取，则， 平面的一个法向量可取， 设平面与平面所成锐二面角为， ， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18. 已知椭圆的离心率为，且过点.过椭圆上的点作圆的两条切线，其中一条切线与椭圆相交于点，与圆相切于点，两条切线与轴分别交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）是否为定值，若是，请求出的值；若不是，请说明理由： （3）若椭圆上点，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 由题意知切线与轴有交点，直线的斜率存在， 设直线的方程为，， 联立，消得， 则， 又， 当时，，① 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离为， 所以，代入①得， 所以， 当时，则， 所以，所以直线过椭圆的左或右顶点与上或下顶点， 所以， 在中，， 由射影定理知， 所以为定值； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求出即可得解； （2）设直线的方程为，，联立方程，利用韦达定理求出，根据直线与圆相切求出的关系式，分是否等于零两种情况讨论，求出的位置关系，进而可得出答案； （3）设过点的切线方程为，直线的斜率分别为，根据圆心到直线的距离为，化简，利用韦达定理求出，再求出，进而求出面积的表达式，再进一步分析即可得出答案. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意直线的斜率存在， 设过点的切线方程为，即， 则圆心到直线的距离为， 即， 设直线的斜率分别为， 则， 直线的方程为， 令，则， 同理， ， ， 因为在椭圆上， 所以，代入化简得： ， 令，则， 则， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 所以，即， 所以函数在上单调递减， 所以， 所以， 所以面积的取值范围为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 19. 在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，.定义随机变量的信息量，和的“距离”. （1）若，求的分布列和； （2）已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1.现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为. （ⅰ）若，，求接收台收到信号为1的条件下，发报台发出信号为1的概率； （ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：. 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 3 （2）（ⅰ）； （ⅱ）由（ⅰ）知， ， 所以， 所以， 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，即， 所以， 所以， 当且仅当， 即，时等号成立，即得证. 【解析】 【分析】（1）首先得到的分布列，再根据所给定义求出； （2）（ⅰ）记发出信号0和1分别为事件，接收信号0和1分别为事件，利用全概率公式计算，再由条件概率计算即可； （ⅱ）由（ⅰ）及所给定义表示出，设，利用导数证明，从而得到，即可证明. 【小问1详解】 因为，， 可能的取值有0，1，2，3， ，，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 ； 【小问2详解】 （ⅰ）记发出信号0和1分别为事件， 接受信号0和1分别为事件， 则，， ， ， 所以， 所以； （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $