精品解析：福建省漳州市第三中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

漳州三中2025-2026学年10月阶段考试高二数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线过点，，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可. 【详解】由直线的两点式方程可得， 直线l的方程为，即． 故选：C． 2. 若图中直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角与斜率的关系即可求解. 【详解】设直线、、的倾斜角分别为，，， 由已知为钝角，为锐角， 所以，即． 综上， 故选：D． 3. 设等差数列的前项和分别为，若对任意的，都有，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列下标和性质可将所求式子化为，根据可求得结果. 【详解】由等差数列性质知：，， . 故选：D. 4. 德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由题意得，设， ， 设， 倒序得， 两式相加得到，解得，故只有A正确. 故选：A 5. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线斜率与倾斜角的正切函数关系，结合斜率的范围可求倾斜角的范围. 【详解】由题意假设直线倾斜角为得：. 又因为，所以， 即.再由正切函数的性质与直线倾斜角的取值范围， 可得的取值范围是. 故选：A. 6. 在数列中，，，，则的前20项和（ ） A. 621 B. 622 C. 1133 D. 1134 【答案】C 【解析】 【分析】设，.根据已知可推得为等差数列，为等比数列，求出的表达式.然后分组，根据等差数列以及等比数列前项和公式求解，即可得出答案. 【详解】设，，则，. 由已知可得， ，即， 所以为以2为首项，2为公差的等差数列，. ，即， 所以为以1为首项，2为公比的等比数列，. 所以，的前20项和. 故选：C. 7. 已知数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得、，再借助等比数列求和公式计算即可得. 【详解】由，则， 由，则，故， 则、、、， 则. 故选：A. 8. 已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】变形给定等式，利用构造法求出通项公式，再由递增数列建立不等式求出范围. 【详解】由数列为递增数列，，得，由， 得，即，因此， 数列是以为首项，为公比的等比数列，， 整理得，而， 则，整理得， 因此，解得，所以的取值范围是. 故选：C 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下列说法正确的有（ ） A. 点斜式方程可表示过点的所有直线 B. 若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 C. 过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为 D. 斜率为，且在轴上的截距为3的直线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A、C、D: 由直线点斜式和斜截式方程定义可判断正误；对于选项B：由直线经过象限可确定，的正负，进而得到点所在象限. 【详解】对于选项A：点斜式方程的局限性是不含斜率不存在的直线,故选项A错误； 对于选项B：由直线经过第一、二、四象限可得：，，所以点在第二象限，故选项B正确； 对于选项C：直线倾斜角为，则斜率，由点斜式方程的定义易得；，故选项C正确； 对于选项D：因为直线在轴上的截距为3，斜率为，所以斜截式方程为，故选项D错误． 故选：BC. 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 的最大值为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】C可由题干直接进行判断，ABD选项由去分布进行求出数列的通项公式即可求出结果. 【详解】当时，； 当时，， 所以满足，所以， 即数列时以为公差，16为首项的等差数列，故A错误，B正确； 又由和可得，故C错误； 由， 所以，故D正确， 故选：BD. 11. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 为等比数列 B. C. 的前项和 D. 的前项和 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据递推公式，构造等比数列，进而求出数列通项公式，判断数列单调性，根据分组求和法，裂项求和法，求出数列前项和；逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】由得，化简得，即， 所以，因为，所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，A正确； 由是以2为首项，以2为公比的等比数列，可得， 求得，， 可知恒正，且随着的增大而增大，所以随着的增大而减小，所以B错误； 由可得，所以C正确； 由， 得， 所以D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不论m为何实数，直线mx－y＋3＝0 恒过定点___________________（填点的坐标） 【答案】 【解析】 【分析】将方程变形成点斜式可得. 【详解】将直线变形为，由直线方程的点斜式可知直线过定点. 故答案为： 13. 已知数列满足，且，则________________ 【答案】 【解析】 【分析】由递推关系式可知数列是周期为3的周期数列，根据可得结果. 【详解】由题意得：，，， 所以数列是周期为3的周期数列， 所以. 故答案为：. 14. 在数列中，，对任意，则______．已知是数列的前项和，且，若，则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将化简，得是等比数列，通过的通项公式求出的通项公式；通过的通项公式化简分析，取和最小的几项之和，即为所求. 【详解】由，可得，即． 令，得，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 则，即． 又， 所以当且仅当时，， 即的最小值为． 故答案为：；. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，， （1）求数列，的通项公式； （2）令，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算出公比、公差即可求解； （2）由裂项相消法即可求解. 【小问1详解】 设公比为，公差为， 所以，解得，所以， 所以，所以，解得， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以数列的前n项和. 16. 直线的方程为，. （1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； （2）若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线截距的概念，分别令、列式求解即可； （2）分别求出直线在轴、轴的截距，代入三角形面积公式可得，直接解一元二次方程求解. 【小问1详解】 当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． 【小问2详解】 由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积， 由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 17. 在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）用基本量表示已知可求，进而求通项公式； （2）证明是递增数列可证；放缩求和可证. 【小问1详解】 设等差数列公差为，则， 由题可得，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1），， 所以， 所以是递增数列. 所以，且， 所以. 18. 牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度（第一年）投入40万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为30万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加． （1）设n年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求，的表达式； （2）至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？（，） 【答案】（1）， （2）至少经过3年，牧草总收入超过追加总投入 【解析】 【分析】(1)利用等比数列求和公式可求出n年内的旅游业总收入与n年内的总投入； (2)设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，可得，结合(1)进行化简并换元参数解不等式，进而可得结果. 【小问1详解】 由题知，每年的追加投入是以40为首项，为公比的等比数列， 所以，； 同理，每年牧草收入是以30为首项，为公比的等比数列， 所以，. 【小问2详解】 设至少经过n年，牧草总收入超过追加总投入，即， 即， 令，，则上式化为，即， 解得，即，所以，， 即，所以， 所以，至少经过3年，牧草总收入超过追加总投入． 19. 已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 （1）证明：数列是等比数列； （2）设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：因为， 所以． 因为，所以． 又，所以，即证得是首项为1，公比为2的等比数列． （2）①； ② 【解析】 【分析】（1）根据题目条件利用等比数列定义即可得证． （2）运用错位相减求和法求，根据数列单调性处理不等式恒成立（此处注意根据的奇偶分类讨论），进而求出实数的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由（1）可得，则， ， ， 两式相减得：， 即， 所以，则． ②因为不等式对任意的正整数恒成立， 即对任意的正整数恒成立， 当为偶数时，因为在为增函数， 所以； 当为奇数时，对任意的正整数恒成立， 所以，解得． 综上，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州三中2025-2026学年10月阶段考试高二数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线过点，，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 若图中直线，，的斜率分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设等差数列的前项和分别为，若对任意的，都有，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在数列中，，，，则的前20项和（ ） A. 621 B. 622 C. 1133 D. 1134 7. 已知数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）下列说法正确的有（ ） A. 点斜式方程可表示过点的所有直线 B. 若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限 C. 过点，且倾斜角为的直线的点斜式方程为 D. 斜率为，且在轴上的截距为3的直线方程为 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 的最大值为 D. 11. 已知数列满足，则下列结论正确的是（ ） A. 为等比数列 B. C. 的前项和 D. 的前项和 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不论m为何实数，直线mx－y＋3＝0 恒过定点___________________（填点的坐标） 13. 已知数列满足，且，则________________ 14. 在数列中，，对任意，则______．已知是数列的前项和，且，若，则的最小值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，是等比数列，且，，，， （1）求数列，的通项公式； （2）令，求数列的前n项和. 16. 直线的方程为，. （1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； （2）若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 17. 在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列． （1）求的通项公式； （2）设，证明：． 18. 牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度（第一年）投入40万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为30万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加． （1）设n年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求，的表达式； （2）至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？（，） 19. 已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 （1）证明：数列是等比数列； （2）设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $