专题3.7 函数的概念与性质总复习（4大考点18种题型）讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题3.7 函数的概念与性质总复习 【考点1：函数的概念及表示】 1 【题型一：函数的定义】 2 【题型二：求函数的定义域】 4 【题型三：求函数的值域】 4 【题型四：求函数的解析式】 6 【题型五：分段函数】 7 【考点2：函数的基本性质】 9 【题型六：求函数的单调区间】 13 【题型七：函数单调性的应用】 14 【题型八：判断函数的奇偶性】 16 【题型九：函数奇偶性的应用】 18 【考点3：幂函数】 18 【题型十：求幂函数的解析式或函数值】 20 【题型十一：幂函数的定义域】 21 【题型十二：幂函数的值域】 21 【题型十三：幂函数的单调性】 22 【题型十四：幂函数的图象】 23 【题型十五：幂函数的奇偶性】 25 【考点4：函数的应用（一）】 27 【题型十六：利用二次函数模型解决实际问题】 27 【题型十七：分式型函数模型的应用】 29 【题型十八：分段函数模型的应用】 32 【考点1：函数的概念及表示】 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 4．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 5．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 6．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 7．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 8．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 9．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 【题型一：函数的定义】 1．（2025高一·全国·专题练习）已知，则 ． 2．（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）下列对应关系能构成从集合到的函数的是（   ） A．，对应关系：“求平方” B．，对应关系： C．，对应关系： D．，对应关系： 3．（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，如下四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 5．（17-18高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数. (1)点在的图象上吗？ (2)当时，求的值； (3)当时，求的值； 【题型二：求函数的定义域】 1．（辽宁省朝阳市重点高中2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江苏苏州·阶段练习）函数的定义域为 ． 5．（25-26高一上·山东泰安·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为 ． 【题型三：求函数的值域】 1．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知函数，则函数的值域是 . 2．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·福建厦门·阶段练习）若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 5．（2025高一·全国·专题练习）求解下列问题： (1)函数在上的最大值； (2)的值域； (3)的最小值； (4)的值域． 【题型四：求函数的解析式】 1．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数，则 ． 2．（多选）（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．已知，则 B．已知，则 C．已知一次函数满足，则 D．定义在R上的函数满足，则 3．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，求的解析式； （2）已知函数对于任意的都有，求的解析式. 4．（25-26高一上·山东泰安·阶段练习）求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知为二次函数，且，求． 5．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 【题型五：分段函数】 1．（25-26高一上·浙江·阶段练习）设函数，则等于 . 2．（24-25高一上·河南南阳·期中）设，，，若，且，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知 (1)求的值； (2)若，求的值； (3)解不等式． 4．（25-26高一上·甘肃天水·阶段练习）已知函数 (1)求； (2)若，求的值； (3)画出函数的图像. 5．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数. (1)求，的值； (2)若，求m的值； (3)求解集． 【考点2：函数的基本性质】 1．函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的 . 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的 . (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)常见函数的单调性： 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(,0)和(0,)； a<0时，单调递增区间是(,0)和(0,). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(,m]，单调递增区间是[m,)； a<0时，单调递减区间是[m,)，单调递增区间是(,m]. (4)单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的 单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x) g(x)在区间D上也是单 调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x) g(x)在区间D上单调递减(增). (5)复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法： ①定义法； ②图象法； ③利用已知函数的单调性. (2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 3．函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)x∈1，都有f(x)≤M； (2)x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)x∈1，都有f(x)≥m； (2)x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 5．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 6．函数的奇偶性 (1)定义： 定 义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域 特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价 形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，- x∈I，且 f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 7．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 8．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【题型六：求函数的单调区间】 1．（25-26高二上·湖南湘潭·阶段练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知函数. (1)作出函数的图象； (2)由图指出的增区间. 5．（25-26高一上·全国·课前预习）已知二次函数，且． (1)若函数的图象关于直线对称，求的解析式； (2)若函数在上单调，求的取值范围． 【题型七：函数单调性的应用】 1．（25-26高一上·浙江温州·阶段练习）函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为 ． 3．（24-25高二下·宁夏银川·期末）已知函数，． (1)单调性的定义证明在区间上是增函数； (2)解关于的不等式：． 4．（25-26高三上·山东聊城·阶段练习）已知函数． (1)是否存在实数a，b（），使得在区间上的取值范围为？若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由； (2)求不等式的解集． 5．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段练习）函数满足对一切x，有，且；当时，有． (1)求的值； (2)判断并证明在R上的单调性； (3)求不等式的解集． 【题型八：判断函数的奇偶性】 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 2．（25-26高一上·新疆·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 4．（25-26高一上·全国·课堂例题）根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 5．（25-26高一上·四川南充·阶段练习）已知． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递增． 【题型九：函数奇偶性的应用】 1．（23-24高一上·天津河北·期中）函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京·期中）函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 则（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 4．（24-25高一上·四川广安·期中）若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为 ． 【考点3：幂函数】 1．幂函数的概念 (1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的特征： ①xα的系数为1； ②xα的底数是自变量； ③xα的指数为常数. 只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 2．幂函数的解析式 幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式. 3．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上为增函数 ，增函数 ，减函数 在R上为增函数 在上为增函数 ，增函数 ，减函数 定点 （1,1） 温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 4．一般幂函数的图象与性质 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方 无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个 幂函数的公共点. 5．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 【题型十：求幂函数的解析式或函数值】 1．（25-26高三上·四川广元·阶段练习）已知函数，则“为幂函数”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知幂函数的定义域为，则 . 3．（24-25高一上·广东江门·期中）已知幂函数的图象过点，则 . 4．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数是幂函数，且，则 ． 5．（25-26高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知幂函数在上单调递减．的值为 ． 【题型十一：幂函数的定义域】 1．（24-25高一上·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖南益阳·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一·全国·课后作业）设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（    ） A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3 4．（25-26高三下·上海浦东新·阶段练习）设，若幂函数定义域为R，且其图像关于y轴成轴对称，则m的值可以为（    ） A．1 B．4 C．7 D．10 5．（24-25高一上·广东珠海·期中）给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【题型十二：幂函数的值域】 1．（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段练习）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（18-19高一上·重庆綦江·期中）若幂函数的图像过点，则的值域是 3．（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 4．（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域是，则它的值域是 . 5．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为 ． 【题型十三：幂函数的单调性】 1．（25-26高三上·河北保定·阶段练习）以下函数是奇函数且在单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·云南·期中）已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数在上单调递增，则函数在上单调 （填“递增”或“递减”）． 5．（24-25高一上·北京通州·期中）已知函数的图象经过点 (1)求函数的解析式； (2)设函数，求恒成立的的取值范围. 【题型十四：幂函数的图象】 1．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   2．（25-26高一上·全国·课前预习）如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 3．（2025高一上·广东·专题练习）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海长宁·期末）如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东济南·一模）下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数对应的是（   ）    A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④. 【题型十五：幂函数的奇偶性】 1．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知，若幂函数是偶函数且在区间上单调递增，则 . 2．（多选）（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数是幂函数，则（   ） A． B． C．是偶函数 D．当时， 3．（24-25高一上·全国·课前预习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，求满足的的取值范围． 4．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数是偶函数，且在区间上单调递减，若正数满足，求的取值范围． 5．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 【考点4：函数的应用（一）】 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2．二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值 问题常用到二次函数模型. 3．分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 【题型十六：利用二次函数模型解决实际问题】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）某工厂2025年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，使用该设备后，每年的总收入预计为50万元．设使用年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为万元．（1）与之间的函数关系式为 ；（2）从第 年开始，使用该设备开始盈利． 2．（25-26高一上·吉林白城·阶段练习）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售数量就减少10件． (1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大． 3．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 4．（25-26高一上·全国·课后作业）某厂家对某品牌热销按摩椅的销售情况做了统计，发现月销售量（台）与零售价（元）间满足：，已知第一、二月份销售情况如下表所示： 月份 1月 2月 零售价（元） 6000 6500 月销售量（台） 60 55 (1)若厂家某月将该按摩椅定价为6700元/台，则该厂家这个月能销售多少台按摩椅？ (2)若厂家生产一台按摩椅的成本为4000元，则该厂家应该如何定价才能使厂家每月利润最大？最大利润是多少？ 5．（25-26高一上·云南曲靖·阶段练习）实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于2019年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为50万元．若该设备使用x年，则其所需维修保养费用x年来的总和为万元（2019年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为y万元． (1)写出y与x之间的函数关系式，求该设备在第几年的盈利总额为30万元． (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 【题型十七：分式型函数模型的应用】 1．（25-26高一·全国·随堂练习）某地区去年用电量为，电价为0.8元/，今年计划将电价降到0.55～0.75元/．用户心理承受价位是0.40元/．下调电价后，实际价位和用户心理价位仍存在差距，假设新增的用电量与这个差值成反比（比例系数为0.2a），该地区的电力成本价为0.3元/，那么电价定为多少时仍可保证电力部门的收益增长率不低于20%？ 2．（25-26高一上·吉林·阶段练习）为贯彻绿水青山就是金山银山的发展理念，现规划一块沙漠中如图所示的矩形区域用于绿洲灌溉.要求绿洲部分为面积为的矩形.考虑到灌溉设备的布局，绿洲部分的两长边处需额外留出宽的设备通道，两短边处需额外留出宽10m的设备通道.设绿洲部分的宽与长之比为（）.    (1)求使得规划区域面积最小的绿洲部分的值； (2)若一共需要铺设长的设备通道，求此时绿洲部分的长.（不考虑设备通道宽度）. 3．（24-25高一上·北京西城·期末）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 4．（24-25高一上·上海闵行·期中）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为（，且）． (1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？ (2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？ 5．（24-25高二下·湖北武汉·期末）设矩形的周长为，其中，现将沿向折叠至的位置，折过去后交于点．    (1)设，求关于的函数的解析式及其定义域； (2)求面积的最大值及相应的值． 【题型十八：分段函数模型的应用】 1．（2025·浙江嘉兴·一模）为了节约能源，嘉兴市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过 2.98元 超过但不超过的部分 3.60元 超过的部分 4.50元 若某户居民一年的天然气费为2082元，则此户居民这一年使用的天然气为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为 ． 3．（25-26高三上·福建三明·开学考试）春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象．已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足，．经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为．求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数. 4．（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品． (1)假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益； (2)如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益． 5．（25-26高三上·广东中山·阶段练习）我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. (1)求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）； (2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.7 函数的概念与性质总复习 【考点1：函数的概念及表示】 1 【题型一：函数的定义】 2 【题型二：求函数的定义域】 5 【题型三：求函数的值域】 7 【题型四：求函数的解析式】 11 【题型五：分段函数】 14 【考点2：函数的基本性质】 18 【题型六：求函数的单调区间】 21 【题型七：函数单调性的应用】 25 【题型八：判断函数的奇偶性】 29 【题型九：函数奇偶性的应用】 33 【考点3：幂函数】 36 【题型十：求幂函数的解析式或函数值】 37 【题型十一：幂函数的定义域】 39 【题型十二：幂函数的值域】 41 【题型十三：幂函数的单调性】 43 【题型十四：幂函数的图象】 46 【题型十五：幂函数的奇偶性】 49 【考点4：函数的应用（一）】 52 【题型十六：利用二次函数模型解决实际问题】 53 【题型十七：分式型函数模型的应用】 56 【题型十八：分段函数模型的应用】 60 【考点1：函数的概念及表示】 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定 的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 4．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. 5．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 6．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 7．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 8．函数的表示法 函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法. (1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系； (2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系； (3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 9．抽象函数与复合函数 (1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． (2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数. 【题型一：函数的定义】 1．（2025高一·全国·专题练习）已知，则 ． 【答案】15 【分析】令，即，即可得． 【详解】令，即，得． 故答案为：15． 2．（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）下列对应关系能构成从集合到的函数的是（   ） A．，对应关系：“求平方” B．，对应关系： C．，对应关系： D．，对应关系： 【答案】C 【分析】根据函数的概念进行判断即可. 【详解】对A：因为，，即集合中存在元素，按对应法则：“求平方”，集合中无元素与之对应，所以该对应关系不能构成从集合到的函数，所以A不合题意； 对B：同理，集合中存在元素，按对应法则：，集合中无元素与之对应，所以该对应关系不能构成从集合到的函数，所以B不合题意； 对C：对，且唯一存在，故对应关系：能构成从集合到的函数，所以C满足题意； 对D：因为集合不是数集，所以从到不能构成函数关系，所以D不合题意. 故选：C 3．（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合，如下四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据给定条件，利用函数的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，在中的数没有值与之对应，A不是； 对于B，集合中的元素没有值与之对应，B不是； 对于C，集合中的元素有两个元素与之对应，C不是； 对于D，集合中的每个元素，按给定的图象，在集合中都有唯一元素与之对应，D是. 故选：D 4．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【详解】函数，令，则，而， 所以. 故选：B 5．（17-18高一上·河北邢台·阶段练习）已知函数. (1)点在的图象上吗？ (2)当时，求的值； (3)当时，求的值； 【答案】(1)不在； (2)； (3)． 【分析】（1）计算后可得； （2）代入计算； （3）方程即得． 【详解】（1），所以点不在的图象上； （2）； （3），解得． 【题型二：求函数的定义域】 1．（辽宁省朝阳市重点高中2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二次根号下非负得到不等式，求出定义域. 【详解】由，得，所以，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：C. 2．（25-26高一上·陕西西安·阶段练习）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定函数有意义，列出不等式组求出定义域. 【详解】由函数有意义，得，解得或， 所以所求定义域为. 故选：B 3．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抽象函数的意义求出函数的定义域，进而求出目标函数的定义域. 【详解】由函数的定义域为，得当时，， 因此在函数中，由函数有意义，得， 解得，所以的定义域为. 故选：D 4．（25-26高一上·江苏苏州·阶段练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】由求解即可. 【详解】由题意可得， 解得且， 所以函数的定义域为， 故答案为： 5．（25-26高一上·山东泰安·阶段练习）若函数的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域的求法及分式的分母不为，偶次方根的被开方数大于等于求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以要使函数有意义， 则，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【题型三：求函数的值域】 1．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知函数，则函数的值域是 . 【答案】 【分析】由题设易得，，进而求解即可. 【详解】由，得， 而， 则， 由，得，则，即， 所以，所以， 则函数的值域是. 故答案为：. 2．（23-24高一上·广东深圳·期中）已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】先作出函数图象；再利用数形结合思想，注意区间端点，即可得出答案. 【详解】先作出函数在R上的图象，如图所示：    结合函数图象可知当函数值域为时，选项A、D正确. 故选：AD. 3．（25-26高三上·福建厦门·阶段练习）若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论解不等式即可. 【详解】由函数的值域是， 所以当时，， 当时， 即，解得， 所以函数的定义域为：， 故选：D 4．（25-26高一上·全国·单元测试）求下列函数的值域： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由基本不等式求解即可； （2）设，结合二次函数的性质求解即可； （3）利用分离常数法求解即可. 【详解】（1）， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为． （2）设，，则， 所以， 所以函数的值域为． （3）， 则，所以函数的值域为． 【点睛】方法点晴：（1）观察法，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域． （2）配方法．求形如的函数的值域可用配方法，但要注意的取值范围． （3）分离常数法．形如的函数常用分离常数法求值域，转化过程为，其值域是． （4）换元法．形如的函数常用换元法求值域，即先令，求出，并注明的取值范围，再代入上式将表示成关于的二次函数，最后用配方法求值域． （5）均值不等式法．若函数解析式中某些元素直接或间接（通过配凑、拆项等）满足均值不等式的应用条件，则可利用均值不等式求最值，进而可得函数的值域． 5．（2025高一·全国·专题练习）求解下列问题： (1)函数在上的最大值； (2)的值域； (3)的最小值； (4)的值域． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先分离常数，再由反比例函数图像平移即可； （2）利用基本不等式配凑，注意取等条件； （3）利用基本不等式求最值，注意添加负号调节； （4）先分离常数，再换元分母通过配方求得分母范围，结合反比例函数求得结果. 【详解】（1）． 其图象可由反比例函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示． 当时，当时，所以在上的最大值是． （2）因为，所以，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故函数的值域为． （3）因为，所以， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，则，故函数在上的最小值为. （4）， 设，则， 即，故所求函数的值域为． 【题型四：求函数的解析式】 1．（25-26高一上·全国·课前预习）若函数，则 ． 【答案】 【分析】令，则，换元法求函数解析式. 【详解】令，则，所以，故． 故答案为：. 2．（多选）（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．已知，则 B．已知，则 C．已知一次函数满足，则 D．定义在R上的函数满足，则 【答案】AD 【分析】对于A，用替换中的 ，求出的解析式，即可判断；对于B，由题意可得，再由，即可得的解析式，即可判断；对于C，设，根据题意求出的值，即可判断；对于D，用替换中的，由两式中消去，可得的解析式，即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 因为，所以，故B不正确； 对于C，设，则， 所以，解得或， 所以或，故C不正确； 对于D，因为定义在上的函数满足①， 所以②， 由①+②，得， 所以，故D正确. 故选：AD. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）（1）已知，求的解析式； （2）已知函数对于任意的都有，求的解析式. 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）变形得到，且，从而得到； （2）将x替换为，得，方程思想，求出解析式. 【详解】（1），其中， 故所求函数的解析式为，其中. （2）∵对于任意的x都有， ∴将x替换为，得， 联立方程组：，     消去，可得. 4．（25-26高一上·山东泰安·阶段练习）求下列函数的解析式． (1)已知，求； (2)已知为二次函数，且，求． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）令，求出后代入即可得； （2）设，代入已知等式，由恒等式知识求解． 【详解】（1）令，则， 于是有，所以； （2）设， 所以，解得，所以． 5．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 【答案】 （1） （2） （3） 【分析】根据求函数解析式的三种方法：待定系数法，配凑法，解方程组法，分别求解（1）（2），（3）小题. 【详解】（1） （待定系数法）∵是一次函数，可设， 由题可知：，即， 因为，所以，解得. 所以函数的解析式为. （2）(配凑法)， 又， 当且仅当即时等号成立. 设则，∴， ∴函数的解析式为. （3）(解方程组法)∵，① ∴，② 由得，∴. ∴函数的解析式为. 【题型五：分段函数】 1．（25-26高一上·浙江·阶段练习）设函数，则等于 . 【答案】2 【分析】根据分段函数，先求，进而求解. 【详解】由题意有， 故答案为：. 2．（24-25高一上·河南南阳·期中）设，，，若，且，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数图象，即可根据，得求解. 【详解】当时，，且， 当时，，且， 作出的图象如下： 若，且，即可，故， 由于，由图象可知， 故选：D 3．（25-26高一上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知 (1)求的值； (2)若，求的值； (3)解不等式． 【答案】(1)1 (2)或2 (3) 【分析】（1）由分段函数解析式先求，再求， （2）分，两种情况，由结合分段函数解析式列方程求即可， （3）分，两种情况，由结合分段函数解析式列不等式求其解集. 【详解】（1）因为，， 所以，因为， 所以， （2）当时，，又，所以， 当时，，又， 所以，故， 综上，的值为或2 （3）当时，，所以， 当时，，所以， 综上，原不等式的解集为. 4．（25-26高一上·甘肃天水·阶段练习）已知函数 (1)求； (2)若，求的值； (3)画出函数的图像. 【答案】(1)1 (2)或 (3)函数图象见详解 【分析】（1）先求，再求，最后求； （2）根据，，分类求解即可； （3）根据题中分段函数解析式作图，注意端点. 【详解】（1）由题意知，，则， 所以. （2）因为，则有： 当时，，解得，不满足舍去； 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得或舍去，即； 综上，当时，或. （3）函数的图象如图所示：    5．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数. (1)求，的值； (2)若，求m的值； (3)求解集． 【答案】(1)，； (2)或1或； (3). 【分析】（1）根据给定分段函数，判断代入计算即得. （2）根据给定分段函数，分类讨论求得值. （3）根据给定分段函数，分类讨论求得不等式的解集. 【详解】（1）由，得，. （2）当时，，解得，则； 当时，，解得，则； 当时，，解得或，则， 所以的值为或1或. （3）当时，恒成立，则； 当时，恒成立，则； 当时，，即，解得，则， 所以不等式的解集为． 【考点2：函数的基本性质】 1．函数的单调性 (1)单调递增、单调递减： 名称 定义 图形表示 几何意义 单调递增 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的 . 单调递减 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1 < x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的 . (2)函数的单调性及单调区间： ①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时,我们就称它是增(减)函数. ②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单 调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. (3)常见函数的单调性： 函数 单调性 一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时，在R上单调递增； a<0时，在R上单调递减. 反比例函数 a>0时，单调递减区间是(,0)和(0,)； a<0时，单调递增区间是(,0)和(0,). 二次函数y=a(x-m)²+n (a≠0) a>0时，单调递减区间是(,m]，单调递增区间是[m,)； a<0时，单调递减区间是[m,)，单调递增区间是(,m]. (4)单调函数的运算性质： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： ①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. ②若a为常数，则当a>0时，f(x)与a f(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与a f(x)具有相反的 单调性. ③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时， f(x)与具有相同的单调性. ④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性. ⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论： f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) 增 增 增 不能确定单调性 增 减 不能确定单调性 增 减 减 减 不能确定单调性 减 增 不能确定单调性 减 ⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x) g(x)在区间D上也是单 调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x) g(x)在区间D上单调递减(增). (5)复合函数的单调性判定： 对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调. t=g(x) y=f(t) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法： ①定义法； ②图象法； ③利用已知函数的单调性. (2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 3．函数的最大（小）值 (1)函数的最大（小）值： 名称 定义 几何意义 函数的最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1)x∈1，都有f(x)≤M； (2)x0∈1，使得f(x0)=M. 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 函数的最大值对应图象最高点的纵坐标. 函数的最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足： (1)x∈1，都有f(x)≥m； (2)x0∈1，使得f(x0)=m. 那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值. 函数的最小值对应图象最低点的纵坐标. (2)利用函数单调性求最值的常用结论： ①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示； ②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x), x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示. 5．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 6．函数的奇偶性 (1)定义： 定 义 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数. 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果x∈I，都有- x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数. 非奇非 偶函数 既不是奇函数又不是偶函数的函数，称为非奇非偶函数. 定义域 特征 定义域必须是关于原点对称的区间. 等价 形式 设函数f(x)的定义域为I，则有f(x)是偶函数⇔x∈I，- x∈I，且 f(-x)-f(x)=0；f(x)是奇函数⇔x∈I，- x∈I，且f(-x)+f(x)=0.特别地，若f(x)≠0，还可以判断是否成立. (2)奇偶函数的图象特征（几何意义） ①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. ②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. ③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数. (3)奇、偶函数图象对称性的应用 ①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数； ②若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数. 7．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 8．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 【题型六：求函数的单调区间】 1．（25-26高二上·湖南湘潭·阶段练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出函数的定义域，然后再利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 又的单调递增区间为， 在上单调递增， 故函数的单调递增区间为. 故选：B. 2．（24-25高一上·湖北·期末）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围. 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 3．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得函数在上单调递增，列出不等式组求解即可. 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 4．（25-26高一上·全国·随堂练习）已知函数. (1)作出函数的图象； (2)由图指出的增区间. 【答案】(1)作图见解析； (2)，. 【分析】（1）函数，再作出图象即可得. （2）结合函数图象可得增区间. 【详解】（1）函数， 则函数的图象如图实线部分所示： （2）由（1）知，观察函数的图象，得的增区间为、． 5．（25-26高一上·全国·课前预习）已知二次函数，且． (1)若函数的图象关于直线对称，求的解析式； (2)若函数在上单调，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，，解方程组即可得解； （2）首先得或，其次分或两种情况讨论即可求解. 【详解】（1），则． 因为的对称轴为直线， 解得， 则， 故． （2）因为在上单调， 则对称轴不在区间内， 即或． （i）当时，有或． 又，即， 则或， 结合得； （ii）当时，有或． 由得或， 结合得， 综上，的取值范围是． 【题型七：函数单调性的应用】 1．（25-26高一上·浙江温州·阶段练习）函数在区间上的最大值､最小值分别为（    ） A．最大值为，最小值为 B．最大值为，最小值为 C．最大值为1，最小值为 D．最大值为，最小值为 【答案】B 【分析】将函数解析式变形为，可得其在上的单调性，利用单调性求出最值. 【详解】因为， 由反比例函数性质可得在上单调递增， 当时，，当时，. 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为，且函数在上单调递减，则与的大小关系为 ． 【答案】 【详解】因为，函数在区间上单调递减，所以． 3．（24-25高二下·宁夏银川·期末）已知函数，． (1)单调性的定义证明在区间上是增函数； (2)解关于的不等式：． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意利用作差法结合单调性的定义分析证明； （2）根据函数单调性解不等式，注意函数的定义域. 【详解】（1）任取，且， 则， 因为，， 则，且，， 可得，则，即， 所以在上单调递增. （2）由（1）知：在上单调递增， 因为，可得，解得：， 故不等式的解集为. 4．（25-26高三上·山东聊城·阶段练习）已知函数． (1)是否存在实数a，b（），使得在区间上的取值范围为？若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据复合函数的单调性求出的单调性，利用单调性求值域即可判断； （2）令，可得，即，解得，即，解不等式即可求解. 【详解】（1）和都为增函数， 所以是增函数，即在上单调递增， 所以，平方可得，即， ， 所以方程无解， 所以不存在实数a，b（），使得在区间上的取值范围为 （2）令， ， 所以，所以①， 因为，，所以， 所以， 对①式两边平方得，即， 即，解得或， 又，所以， 所以， ，即，即，， ，即，解得， 所以的解集为， 即的解集为. 5．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段练习）函数满足对一切x，有，且；当时，有． (1)求的值； (2)判断并证明在R上的单调性； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)3 (2)单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，令，可得，令，可得， ，再令，求得； （2）设且，令，得到，根据题意，结合函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据题意，把原不等式化为，令，得到，得到，结合，，结合函数的单调性，转化为，即可求解. 【详解】（1）由函数满足对一切，且， 令，可得，令，可得， 再令， 所以，可得. （2）为上的单调递减函数. 证明如下： 设且，令，则， 所以， 因为当时，有，所以， 由 ， 即，所以为上的单调递减函数. （3）令，可得 所以，原不等式化为， 令，可得，解得，即， 又由，所以， 因为为上的单调递减函数，所以， 即，解得，所以不等式的解集为. 【题型八：判断函数的奇偶性】 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 【答案】B 【分析】由函数奇偶性定义判断. 【详解】因为，所以函数的定义域为，关于原点对称． 又， 所以是偶函数,而，故不是奇函数， 故选：B. 2．（25-26高一上·新疆·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，写出各项对应函数的解析式，利用函数奇偶性的定义依次判断各项对应函数的奇偶性. 【详解】因为， A：，而，显然不是奇函数，不符； B：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； C：，其中且定义域为，易知为奇函数； D：，定义域为，显然不关于原点对称，不符； 故选：C 3．（多选）（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】ABD 【分析】令，求得，可判定A正确；令，求得，可判定B正确；令，得到，令，求得，再令，求得，由不恒为，可判定C错误；设，令，得到，求得，可判定D正确. 【详解】对于A，令，可得，即 因为，所以，所以A正确； 对于B，令，可得，即， 因为，所以，所以B正确； 对于C，令，可得，解得， 令， 则， 所以， 则，所以不是偶函数，即不是偶函数，所以C错误； 对于D，设，则， 令，可得， 所以， 即，所以为奇函数，即是奇函数，所以D正确. 故选：ABD. 4．（25-26高一上·全国·课堂例题）根据定义，判断下列函数的奇偶性 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1)奇函数； (2)偶函数； (3)偶函数； (4)偶函数； (5)非奇非偶函数 【分析】（1）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （2）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （3）判断函数的定义域为，再说明总有，结合函数奇偶性的定义即可得解； （4）判断函数的定义域为，再说明总有,由函数奇偶性的定义即可得解. （5）判断函数的定义域为，由函数奇偶性的定义即可得解. 【详解】（1）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有, 所以函数是奇函数； （2）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （3）依题意知函数的定义域为， 且对任意的，有， 所以函数是偶函数； （4）依题意知函数的定义域为， 当时，，所以，，则， 当时，，所以，，则 所以为偶函数. （5）函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数既不是奇函数，也不是偶函数. 5．（25-26高一上·四川南充·阶段练习）已知． (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递增． 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由函数奇偶性的定义判断并证明； （2）利用函数单调性的定义证明． 【详解】（1）的定义域为，关于原点对称， ∵， ∴是奇函数. （2）设且， ， ∵且，∴， 则，即， 所以函数在区间上单调递增. 【题型九：函数奇偶性的应用】 1．（23-24高一上·天津河北·期中）函数 的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得函数为奇函数，其图象关于原点对称，再求得在上单调递增，在上单调递减，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 且满足， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A选项， 又由当时，，可得在上单调递增， 当时，，可得在上单调递减， 所以D选项符合题意. 故选：D 2．（24-25高一上·北京·期中）函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义，得到，再结合在上的单调性，即可得到答案. 【详解】因为是定义域为的偶函数，可得， 又因为在上单调递减，且，所以， 所以. 故选：D. 3．（25-26高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性计算即可. 【详解】化简可得，令， 易知，所以为奇函数， 则. 故选：B 4．（24-25高一上·四川广安·期中）若偶函数在区间上单调递减且，则不等式的解集（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意作出函数的图像的示意图，不等式等价于或，结合图像求解即可. 【详解】因为偶函数在区间上单调递减且， 所以函数在区间上单调递增且， 作出函数的图像的示意图如图所示，    由图像知当或时，；当时，， 不等式等价于或， 解得或， 所以不等式的解集为. 5．（25-26高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据偶函数性质，推断出的奇偶性，再利用在上的单调性，推断出在上的单调性，再对不等式进行变形，从而利用 的单调性求解. 【详解】因是定义在上的偶函数，所以对，有. 因此对，有，即函数是偶函数. 因在上单调递增，所以在上单调递减. 不等式变形得，即，即. 由于在上单调递减，所以，解得或. 因此不等式的解集为， 故答案为： 【考点3：幂函数】 1．幂函数的概念 (1)幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的特征： ①xα的系数为1； ②xα的底数是自变量； ③xα的指数为常数. 只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 2．幂函数的解析式 幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式. 3．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上为增函数 ，增函数 ，减函数 在R上为增函数 在上为增函数 ，增函数 ，减函数 定点 （1,1） 温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 4．一般幂函数的图象与性质 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y==1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方 无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个 幂函数的公共点. 5．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 【题型十：求幂函数的解析式或函数值】 1．（25-26高三上·四川广元·阶段练习）已知函数，则“为幂函数”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义及充分必要条件的定义求解判断即可. 【详解】由函数为幂函数， 得，解得或， 所以“为幂函数”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知幂函数的定义域为，则 . 【答案】4 【分析】根据函数是幂函数得出参数，再代入计算求出函数值. 【详解】因为函数是幂函数，所以，所以， 所以或， 又因为函数的定义域为， 当时，定义域为不符合题意； 当时，符合题意； 所以，则。 故答案为：4. 3．（24-25高一上·广东江门·期中）已知幂函数的图象过点，则 . 【答案】/ 【分析】先根据幂函数的概念求的值，再根据求的值，可得的值. 【详解】因为函数为幂函数，所以. 又，所以. 故. 故答案为： 4．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数是幂函数，且，则 ． 【答案】64 【分析】由题意求得，代入即可得解. 【详解】设，由，得，解得，所以，所以． 故答案为：64. 5．（25-26高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知幂函数在上单调递减．的值为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的结构特征求出m，再根据单调性即可得答案. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，解得或， 当时，在区间上单调递减， 当时，在上单调递增，不满足题意， 故． 故答案为： 【题型十一：幂函数的定义域】 1．（24-25高一上·上海宝山·期中）幂函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幂函数的定义直接求出定义域. 【详解】函数的定义域为. 故选：B 2．（24-25高一上·湖南益阳·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简函数解析式，根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域. 【详解】因为，则，可得， 故函数的定义域为. 故选：D. 3．（25-26高一·全国·课后作业）设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（    ） A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3 【答案】A 【分析】利用幂函数的性质逐一验证选项即可． 【详解】当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立； 当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立； 当或时，满足函数y＝xα的定义域为R， 故选：A. 4．（25-26高三下·上海浦东新·阶段练习）设，若幂函数定义域为R，且其图像关于y轴成轴对称，则m的值可以为（    ） A．1 B．4 C．7 D．10 【答案】C 【分析】 根据幂函数的定义域和幂函数的奇偶性可以确定m的值. 【详解】 解：由题意知， 因为其图像关于y轴成轴对称，则. 故选：C． 5．（24-25高一上·广东珠海·期中）给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义域求得正确答案. 【详解】①的定义域为，不符合. ②的定义域为，符合. ③的定义域为，不符合. ④的定义域为，符合. ⑤的定义域为，不符合. 所以符合的是②④. 故选：C 【题型十二：幂函数的值域】 1．（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段练习）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质逐项分析即得. 【详解】对于A，的定义域为，∵，∴的值域为， 的定义域和值域均为，故A错误； 对于B，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故B错误； 对于C，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故C正确； 对于D，的定义域为，其值域为， 的定义域和值域均为，故D错误， 故选：C. 2．（18-19高一上·重庆綦江·期中）若幂函数的图像过点，则的值域是 【答案】 【分析】由幂函数的图像过点可得的值，代入可得其值域. 【详解】解：由幂函数的图像过点，可得，可得， 故，由幂函数的性质可得其值域为， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查幂函数的定义域与值域，属于基础题型，求出的值是解题的关键. 3．（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 【答案】 【分析】根据幂函数定义代入点可得，即可得函数值域. 【详解】设幂函数， 代入点可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域是，则它的值域是 . 【答案】 【分析】设，由可得，将求函数在上的值域转化为求二次函数在上的值域来解决. 【详解】由， 设，因，则， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 则，故函数的值域为. 故答案为：. 5．（24-25高三上·上海·阶段练习）设，若幂函数的定义域与值域相同，则的所有可能取值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的性质一一验证即可. 【详解】当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域为,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为,符合题意, 当时,,其定义域和值域均为R,符合题意, 当时,,其定义域为R,值域为,不符合题意, 当时,,其定义域和值域均为R,符合题意, 综上当幂函数的值域与定义域相同时,则a的所有可能取值组成的集合为. 故答案为:. 【题型十三：幂函数的单调性】 1．（25-26高三上·河北保定·阶段练习）以下函数是奇函数且在单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐项判断函数单调性与奇偶性即可得. 【详解】对A：的定义域为，不为奇函数，故A错误； 对B：令，则，故， 又定义域为，故为偶函数，故B错误； 对C：当时，， 则在上单调递增，故C错误； 对D：令，则， 有，又定义域为，故为奇函数， 当时，，单调递减符合题意，故D正确. 故选：D. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知图象可确定与的正负情况，进而判断根据幂函数单调性判断各选项正误. 【详解】因为二次函数的图象开口向上，所以，又对称轴在轴右侧，则，所以， 则在第一象限，根据幂函数的单调性可得单调递增，单调递减． 故选：B. 3．（25-26高一上·云南·期中）已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】因在上单调递增， 由，可得， 故. 故选：C. 4．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数在上单调递增，则函数在上单调 （填“递增”或“递减”）． 【答案】递减 【分析】根据幂函数的单调性求出，再根据，判断的单调性. 【详解】由幂函数的性质得，解得， 因为，所以，则，故在，上单调递减． 故答案为：递减. 5．（24-25高一上·北京通州·期中）已知函数的图象经过点 (1)求函数的解析式； (2)设函数，求恒成立的的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入计算即可； （2）直接解二次不等式即可. 【详解】（1）由已知得，所以， 所以函数的解析式为； （2）由（1）得， 则恒成立，即恒成立，解得. 所以的取值范围为. 【题型十四：幂函数的图象】 1．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据幂函数图象上的点求出幂函数的解析式， 方法一：排除法，根据函数的定义域及偶函数图象特征排除，即可判断； 方法二：排除法，根据幂函数的单调性和函数值的符号排除，即可判断． 【详解】设幂函数的解析式为，由其图象经过点，得，解得， 于是． 方法一：函数的定义域为，关于原点对称，排除A，D； 因为，所以函数为偶函数， 图象关于轴对称，排除C． 方法二：因为，所以在上单调递减，排除A，D； 又，排除C． 故选：B． 2．（25-26高一上·全国·课前预习）如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性判断即可. 【详解】根据幂函数的单调性， 当时，在上单调递增， 且时，在上的图象增长速度越来越快， 时，在上的图象匀速增长， 时，在上的图象的图象增长速度越来越慢， 当时，在上单调递减， 因为，所以②为的图象，③为的图象，①为的图象． 故选：B. 3．（2025高一上·广东·专题练习）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数和一次函数的单调性判断的正负，可判断ABC，再由一次函数与坐标轴交点坐标及单调性判断D. 【详解】对于A，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立； 对于B，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立； 对于C，函数，，函数，；可能成立； 对于D，函数，，函数，，，矛盾，不可能成立． 故选：C． 4．（24-25高一上·上海长宁·期末）如图是4个幂函数在第一象限内的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根已知幂函数图象在或时图象上下关系，结合构造函数，利用指数函数的单调性做出判断. 【详解】由已知图象可知当时，， 当时，， 而函数在底数时为的单调增函数， 在底数满足时为的单调减函数， . 故选：A 5．（2025·山东济南·一模）下面给出4个幂函数的图象，则图象与函数对应的是（   ）    A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④. 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质逐一验证即可求解. 【详解】图象①对应的幂函数的幂指数必然大于1，排除A，D． 图象②中幂函数是偶函数且在第一象限单调递增，幂指数必为正偶数，排除C． 故选：B. 【题型十五：幂函数的奇偶性】 1．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知，若幂函数是偶函数且在区间上单调递增，则 . 【答案】 【分析】利用幂函数的单调性得到，再利用奇函数和偶函数的定义逐个检验即可. 【详解】因为是幂函数且在区间上单调递增，所以， 当时，，其定义域为，关于原点对称， 且，此时是偶函数，符合题意， 当时，，定义域为，与题意不符，故排除， 当时，，其定义域为，关于原点对称， 且，此时是奇函数，不符合题意，故排除. 故答案为：. 2．（多选）（25-26高三上·山西太原·阶段练习）已知函数是幂函数，则（   ） A． B． C．是偶函数 D．当时， 【答案】ABD 【分析】根据函数为幂函数可求出m的值，即可判断AB；结合函数的奇偶性判断C；根据函数解析式可判断D. 【详解】由是幂函数知，所以或-2， 所以或，所以，，AB正确； 当时，，是奇函数，C错误； 对于，当时，， 对于，当时，不成立，故当时，，D正确 故选：ABD. 3．（24-25高一上·全国·课前预习）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，求满足的的取值范围． 【答案】或 【分析】根据函数单调性及奇偶性得出参数，再结合幂函数的单调区间列不等式组计算求解. 【详解】因为函数在上单调递减，所以，解得，又，所以． 因为函数的图象关于轴对称，所以为偶数，故， 则原不等式可化为， 因为在，上单调递减， 所以或或， 解得或． 4．（25-26高一上·全国·课前预习）已知幂函数是偶函数，且在区间上单调递减，若正数满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性求出，则等价于，令，再根据幂函数的单调性和奇偶性列不等式求解即可. 【详解】因为在上单调递减，所以，解得， 因为，所以或2或3， 当时，；当时，；当时，， 因为幂函数为偶函数，故， 因此等价于， 因为幂函数满足，所以为偶函数， 又由幂指数得在上单调递减，则在单调递增， 所以可转化为， 又是正数，所以解得或， 故的取值范围是. 5．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 【答案】(1)2； (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义可得或，再根据奇偶性可得； （2）利用二次函数单调性列不等式，可得解. 【详解】（1）由幂函数的定义，有，解得或， ①当时，，函数为奇函数，不合题意； ②当时，，函数为偶函数，满足题意； 由上知，实数的值为2. （2）由（1）知，，有， 又由函数的对称轴方程为. 若函数在区间上单调，有或. 可得或. 故实数的取值范围为. 【考点4：函数的应用（一）】 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2．二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值 问题常用到二次函数模型. 3．分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 【题型十六：利用二次函数模型解决实际问题】 1．（25-26高一上·全国·课后作业）某工厂2025年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，使用该设备后，每年的总收入预计为50万元．设使用年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为万元．（1）与之间的函数关系式为 ；（2）从第 年开始，使用该设备开始盈利． 【答案】 3 【分析】（1）根据题意，即可得出函数；（2）由，得不等式并求解即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，． （2）当时，开始盈利，即， 整理，得，解得． 又因为，所以，即从第3年开始盈利． 故答案为：（1）；（2）3. 2．（25-26高一上·吉林白城·阶段练习）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售数量就减少10件． (1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大． 【答案】(1) (2)35元 【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可； （2）由二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题意得，销售量， 则． （2） ． ∵，∴函数图象为开口向下的抛物线，w有最大值， 又∵对称轴为直线，∴当时，， 故当单价为35元时，该文具每天的利润最大． 3．（25-26高一上·江苏无锡·阶段练习）某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出年销量，再列式表示出所求函数关系. （2）求出第一年获利最大值，再列出第二年获利的函数关系，列出不等式并求解即得. 【详解】（1）依题意，年销量为（万件）， 所以. （2）由（1）知，，当时，， 即当销售单价定为17元时，年获利最大，并且第一年年底公司还差万元就可收回全部投资， 因此第二年的销售单价应定元，年获利万元， ，而， 即，整理得，解得， 所以第二年的销售单价的范围是. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）某厂家对某品牌热销按摩椅的销售情况做了统计，发现月销售量（台）与零售价（元）间满足：，已知第一、二月份销售情况如下表所示： 月份 1月 2月 零售价（元） 6000 6500 月销售量（台） 60 55 (1)若厂家某月将该按摩椅定价为6700元/台，则该厂家这个月能销售多少台按摩椅？ (2)若厂家生产一台按摩椅的成本为4000元，则该厂家应该如何定价才能使厂家每月利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)53台 (2)当该按摩椅定价为8000元/台时，月利润最大，最大利润为160000元 【分析】（1）待定系数法得到，将代入，求出答案； （2）设月利润为元，则，从而得到最大利润. 【详解】（1）由题意知，将和分别代入 得，解得，故． 当时，，故该厂家这个月能销售53台按摩椅． （2）设月利润为元，则， 当元时，，故当该按摩椅定价为8000元/台时，月利润最大， 最大利润为160000元． 5．（25-26高一上·云南曲靖·阶段练习）实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于2019年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为50万元．若该设备使用x年，则其所需维修保养费用x年来的总和为万元（2019年为第一年），设该设备产生的盈利总额（纯利润）为y万元． (1)写出y与x之间的函数关系式，求该设备在第几年的盈利总额为30万元． (2)使用若干年后，对设备的处理方案有两种： ①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；（年平均盈利额=盈利总额÷使用年数） ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备． 试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 【答案】(1)，从第 3 年开始该设备开始全年盈利； (2)方案①比较合理，理由见解析 【分析】（1）确定，再解方程即可. （2）利用均值不等式和二次函数性质分别计算最大值，比较得到答案. 【详解】（1）， 解方程，得或， 故在第4 年或16年盈利总额为30万元； （2）①， 当且仅当时，即时等号成立. 到2025年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元. ②，当时，. 故到 2028 年，盈利额达到最大值，该设备可获利 万元. 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理. 【题型十七：分式型函数模型的应用】 1．（25-26高一·全国·随堂练习）某地区去年用电量为，电价为0.8元/，今年计划将电价降到0.55～0.75元/．用户心理承受价位是0.40元/．下调电价后，实际价位和用户心理价位仍存在差距，假设新增的用电量与这个差值成反比（比例系数为0.2a），该地区的电力成本价为0.3元/，那么电价定为多少时仍可保证电力部门的收益增长率不低于20%？ 【答案】0.60～0.75元/ 【分析】根据用电量、下调电价后新增用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比，得到本年度实际用电量，再乘以；再根据上年度电力部门实际收益，列不等式 求解即可. 【详解】设下调后的电价为x元， 依题意知，新增用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为0.2a）， 则新增用电量为，即用电量增至， 所以今年电力部门的收益 ； 要保证电力部门的收益增长率不低于20%， 则， 由， 整理得， 解得． 答：当电价定到0.60～0.75元/，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%. 2．（25-26高一上·吉林·阶段练习）为贯彻绿水青山就是金山银山的发展理念，现规划一块沙漠中如图所示的矩形区域用于绿洲灌溉.要求绿洲部分为面积为的矩形.考虑到灌溉设备的布局，绿洲部分的两长边处需额外留出宽的设备通道，两短边处需额外留出宽10m的设备通道.设绿洲部分的宽与长之比为（）.    (1)求使得规划区域面积最小的绿洲部分的值； (2)若一共需要铺设长的设备通道，求此时绿洲部分的长.（不考虑设备通道宽度）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，表示出绿洲的长宽，得到规划区域面积，利用基本不等式求最值得解； （2）由题意铺设管道长度等于绿洲部分的周长，据此列出方程求解即可. 【详解】（1）设矩形绿洲的长为，则宽为， 由绿洲区域面积为，可知，故， 因为存在设备通道，故规划区域的宽为， 长为， 故， 由基本不等式，， 当且仅当，即时等号成立，故此时. （2）因为，所以. 由（1）知铺设管道长度等于绿洲部分的周长， 故总共需要铺设的管道长度为，则， 又因为，整理得一元二次方程，解得. 因为，所以. 3．（24-25高一上·北京西城·期末）两地相距520km，货车从A地匀速行驶到B地，全程限速100km/h．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由固定成本和可变成本组成：固定成本为400元，可变成本与车速的平方成正比，比例系数为． (1)把货车的全程运输成本（单位：元）表示为车速（km/h）的函数； (2)为使全程运输成本最小，货车应以多大速度行驶？ 【答案】(1)，； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出货车每小时的运输成本及行驶时间即可得函数关系. （2）借助对勾函数单调性探讨最小值，即可得解. 【详解】（1）依题意，货车每小时的运输成本的可变成本为，固定成本为400元，行驶时间小时， 所以，. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 而，则当，即时，，取得最小值； 当，即时，，取得最小值， 所以当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小； 当时，货车应以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小. 4．（24-25高一上·上海闵行·期中）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为（，且）． (1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？ (2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？ 【答案】(1)这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元； (2)当运转3年时，这批机器的年平均利润最大 【分析】（1）配方得到最值，得到答案； （2）设出年平均利润为，表达出，利用基本不等式求出最值，得到答案. 【详解】（1）， 因为，且，所以当时，取得最大值， 故这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元； （2）设年平均利润为， 因为，且，则， 当且仅当，即时，等号成立， 故当运转3年时，这批机器的年平均利润最大. 5．（24-25高二下·湖北武汉·期末）设矩形的周长为，其中，现将沿向折叠至的位置，折过去后交于点．    (1)设，求关于的函数的解析式及其定义域； (2)求面积的最大值及相应的值． 【答案】(1)定义域为； (2)的面积有最大值，此时cm. 【分析】（1）根据题意，，利用三角形全等以及勾股定理建立等量关系，即可得函数解析式及定义域； （2）表达出的面积，结合基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为矩形的周长为，，则， 又，即，又，， 易知≌，所以， 在中，根据勾股定理得，即， 整理得， 故，定义域为. （2）由题意， ，当且仅当时，等号成立. 所以，当时，的面积有最大值． 【题型十八：分段函数模型的应用】 1．（2025·浙江嘉兴·一模）为了节约能源，嘉兴市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过 2.98元 超过但不超过的部分 3.60元 超过的部分 4.50元 若某户居民一年的天然气费为2082元，则此户居民这一年使用的天然气为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设天然气费用为使用量的函数，根据题意写出分段函数解析式，先判断对应哪一段，再求解即可. 【详解】设天然气使用量为，天然气费为元， 则， 由于，则, 所以， 解得, 所以天然气使用量为， 故选：B. 2．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）随着市场需求和消费习惯的转变，摆摊创业正吸引着越来越多创业者．小李打算批发某种水果摆摊售卖，设他进货总费用（百元）与进货量（单位：百斤）之间的关系为（为常数），若满足“随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小”，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意可得水果每斤的平均价格为，根据题意可得函数在上单调递减，进而结合分段函数的单调性求解即可. 【详解】由题意，水果每斤的平均价格为， 因为随着进货量的增大，水果每斤的平均价格逐渐减小， 所以函数在上单调递减， 所以，解得， 则的取值范围为. 故答案为：. 3．（25-26高三上·福建三明·开学考试）春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象．已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t（单位：小时）满足，．经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为．求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数. 【答案】，4200人 【分析】分和，得到求解. 【详解】当时，设，，则， 当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人， ． 则， 故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人． 4．（25-26高一上·吉林长春·阶段练习）大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品． (1)假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益； (2)如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益． 【答案】(1)答案见详解 (2)商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元 【分析】（1）由题意可知，分别代入和运算求解即可； （2）设商品投入万元，则商品投入万元，分和两种情况，利用基本不等式以及二次函数性质运算求解即可. 【详解】（1）因为投入10万元，即， 若只经销商品，则所获得的收益为万元； 若只经销商品，则所获得的收益为万元. （2）设商品投入万元，则商品投入万元， 可知总收益， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在上的总收益最大值为16万元； 若，则， 可知的图象开口向下，对称轴为，则， 所以在上的总收益最大值小于万元； 因为，所以商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元. 5．（25-26高三上·广东中山·阶段练习）我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，且年产量（单位：千部）与另投入成本（单位：万元）的关系式为，由市场调研知，每部手机售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. (1)求2025年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额－成本）； (2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 【分析】（1）利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数； （2）利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）当时，， 当时，万元， 当时，，当且仅当，即时等号成立，万元. 即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $