第四章 图形的相似——相似三角形的判定（知识梳理+考点突破+课后巩固）2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级上册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 第四章 图 形 的 相 似 （三）相似三角形的判定 知识点1： 相似三角形的相关概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 知识点2： 相似三角形的判定 1．判定方法（1）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 4.判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 考点一：相似三角形的概念 例题：如图，，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形共有_____组． 【答案】3 巩固训练 1.如图，在中，、是中线，它们相交于点F，，交于点G． （1）找出图中的一对相似三角形，并说明理由； （2）求与的比． 【解答】解：（1），理由：∵，∴，又∵， ∴； （2）∵、是的中线，，∴为的中位线，， ∴．∵，∴， ∴，∴． 考点二： 三边对应成比例，两三角形相似 例题：如图，已知．求证：． 【解答】证明：， 在中， ， ,在中， 在△ABC和△DEF中，三边对应成比例,． 巩固训练 1.如图，D、E、F分别是的三边的中点．求证：． 【解答】解：，，分别是的三边，，的中点，、、为的中位线，，． 考点三：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 例题：在△ABC中，D、E分别是AC、BC边上的点，BC＝6，AC＝4，CE＝2，AD＝1． 求证：△ABC∽△EDC． 【解答】证明：∵BC＝6，AC＝4，CE＝2，AD＝1，∴CD＝AC﹣AD＝4﹣1＝3， ∴＝＝，＝＝，∴＝，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△EDC． 巩固训练 1.如图,和相似需具备的条件是( ) A. B. C. D. 答案：C 2.如图，∠A＝∠C＝∠EDF，CF＝4，CD＝AD＝6； （1）求AE的长． （2）求证：△ADE∽△DFE． 【解答】（1）解：∵∠C＝∠EDF，∠C+∠CFD+∠CDF＝180°，∠EDF+∠ADE+∠CDF＝180°，∴∠ADE＝∠CFD，∵∠C＝∠A，∴△ADE∽△CFD，∴， ∵CF＝4，CD＝AD＝6，∴，∴AE＝9．（2）证明：∵AE＝9，AD＝6，∴，∵△ADE∽△CFD，∴，∴，∵∠A＝∠EDF，∴△ADE∽△DFE． 考点四：两角对应相等，两三角形相似 例题：如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．求证：△AED∽△ADC． 【解答】解：∵AD＝AB，∴∠B＝∠ADB，∵∠DEC＝∠B，∴∠ADB＝∠DEC，∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠DEC，∴∠ADC＝∠AED，∵∠DAE＝∠CAD，∴△AED∽△ADC． 巩固训练 1.如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且∠DFE＝∠A．求证：△DCF∽△CEB． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC∥AB，∴∠A+∠B＝180°，∠DCF＝∠BEC．∵∠DFC+∠DFE＝180°，∠DFE＝∠A，∴∠DFC＝∠B， ∴△DCF∽△CEB． 考点五：动点中的相似判定 例题：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC：AB＝3：5，动点P、Q分别从点C、点A同时出发，点P以3cm/s的速度沿CB向点B移动，点Q以1cm/s的速度沿AC向点C移动．经过多少秒，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 【解答】解：∵BC＝8cm，AC：AB＝3：5，∠C＝90°，∴AC＝6cm，AB＝10cm， 设经过t秒，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，此时，CP＝3t，CQ＝6﹣t， （1）若△QPC∽△ABC，则：，即：，∴t＝； （2）若△PQC∽△ABC，则：，即：，∴t＝1.2．秒后，P是定点，和点B重合，点Q向点C移动的过程中，没有相似的可能．所以，经过秒或1.2秒时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似． 巩固训练 1.如图，点A（10，0），B（0，20），连接AB，动点M、N分别同时从点A，O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，移动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示点M的坐标为（ 　　，　　），点N的坐标为（ 　　，　　）； （2）当t为何值时，△MON与△AOB相似． 【解答】解：（1）∵ON＝2tcm，OM＝（10﹣t）cm，∴N（0，2t），M（10﹣t，0）； 故答案为：10﹣t，0，0，2t；（2）∵∠MON＝∠AOB＝90°，当＝时，△MON∽△AOB，即＝，解得t＝5；当＝时，△MON∽△BOA，即＝，解得t＝2，∴当t＝5或2时，△MON与△AOB相似． 1.下列说法正确的是( ) A.各有一个角是的两个等腰三角形相似 B.各有一个角是的两个等腰三角形相似 C.有两边对应成比例的两个等腰三角形相似 D.两腰对应成比例的两个等腰三角形相似 答案：A 2.下列四个三角形,与右图中的三角形相似的是( ) [来源:Z.xx.k.Com] A B C D 答案：B 3.如图，点D，E分别在边上，下列条件中能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，不能判定，故A不符合题意； ∵， ∴，由此不能判断，故B不符合题意； ∵， ∴，由此不能判断，故C不符合题意； ∵， ∴， 再结合，能判定，故D符合题意； 故选：D． 4.如图，、和3张都标注一个条件的卡片．从这3张卡片中随机一次性抽取2张的结果，能判断的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，概率等知识．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：若，，则； 若，，则； 若，，则无法证明； 从这3张卡片中随机一次性抽取2张有3种等可能结果，其中能判断的有两种， 能判断的概率为， 故答案为：． 5.如图，点分别在的边上，增加下列条件中的一个，①；②；③；④；⑤，能使与一定相似的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得出答案，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴，故②符合题意； ∵，， ∴，故④符合题意； 由，或，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明与相似，故③⑤不符合题意； 故答案为：①②④． 6.如图，点，分别在的边，上，且，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由，，，得，，所以，然后通过相似三角形的判定方法即可求证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 7.如图所示，将矩形纸片沿折叠得到，且点恰好落在上．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，折叠的性质，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．根据矩形性质得出，根据余角的性质得出，根据两个对应相等的两个三角形相似，证明结论即可． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ． 矩形纸片沿折叠得到，且点在上， ， ， ， ． 8.如图，在中，，于点D． (1)求证: ． (2)若O是边上一点，连接交于点E，交边于点F，求证: ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）证明：由(1)可知， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 9.已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质得到，，根据两边成比例夹角相等证得． 【详解】证明：是等边三角形， ，． ． 又，， ， ． 10.在平面直角坐标系中，已知，，点P从点O开始沿边向点A以的速度移动；点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间． (1)用含t的代数式表示：线段 ； ． (2)求当t为何值时，四边形的面积为． (3)当与相似时，求出t的值． (4)求当t为何值时，线段分三角形的面积比为． 【答案】(1)， (2)或3 (3)或1 (4)或3 【分析】本题考查了列代数式，相似三角形——动点问题，动态几何问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据题意用分别表示出，； （2）根据得到关于的方程求解； （3）根据，，列出比例式，分，两种情况，分别得到关于的方程求得即可； （4）根据当线段分三角形的面积比为时，得到，或，分别转化为关于的方程求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）， ∴， 解得：或3， ∴当或3时，四边形的面积为； （3），， ∴或， ①当时， 则， ∴， ②当时， 则， ∴， 综上所述，当或1时，与相似； （4）当线段分三角形的面积比为时， 则，或， ∴，或， 方程，解得或3， 方程，无解， ∴当或3时，线段分三角形的面积比为． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 第四章图形的相似 (三)相似三角形的判定 知识梳理 知识点1：相似三角形的相关概念 在AABC和AABC中，如果∠A=∠A,∠B=∠B,∠C=∠C, AB BC CA B'Ci= CA :=k,我们就说AABC与AAB'C相似，记作 AABC∽AABC.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即AABC∽AAB'C,则说明点A的对应点 是A',点B的对应点是B,点C的对应点是C'; (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个 三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 知识点2：相似三角形的判定 1.判定方法(1)：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似： 2.判定方法(2)：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似 3.判定方法(3)：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形 相似. 注意： 此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的 夹角，否则，判断的结果可能是错误的 4.判定方法(4)：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 第1页共13页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 注意： 要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言， 若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似， 平行型 X (a） 特殊 旋转 斜交型 特殊 垂直型 平移 特殊 考点突破 考点一：相似三角形的概念 例题：如图，BC/1FG/1ED,若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形共有 组 D 巩固训练 1.如图，在△ABC中，AD、BE是中线，它们相交于点F,EG∥BC,交AD于点G. (1)找出图中的一对相似三角形，并说明理由； (2)求AD与DF的比. 第2页共13页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ D 考点二：三边对应成比例，两三角形相似 例题：如图，己知LB=∠E=90°，AB=6,BF=3,CF=5,DE=15,DF=25.求证：△ABC∽△DEF. D B E 巩固训练 1.如图，D、E、F分别是△ABC的三边BC,CA,AB的中点.求证：△DEF∽△ABC, 第3页共13页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ E B D 考点三：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 例题：在△ABC中，D、E分别是AC、BC边上的点，BC=6,AC=4,CE=2,AD=1. 求证：△ABC∽△EDC. B 巩固训练 第4页共13页 D B 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 1.如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是() A.AC=AB B.CD_BC C.AC2=AD·AB D.CD2=AD.BD ·CD-BC AD AC 2.如图，∠A=∠C=∠EDF,CF=4,CD=AD=6; (1)求AE的长. (2)求证：△ADE∽△DFE. B D 考点四：两角对应相等，两三角形相似 例题：如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=AB,∠DEC=∠B.求证：△AED ∽△ADC. 第5页共13页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ B 巩固训练 1.如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE,F为CE上一点，且∠DFE=∠A,求证： △DCF∽△CEB D C E B 第6页共13页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 考点五：动点中的相似判定 例题：如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm,AC:AB=3:5,动点P、Q分别从点C、点A同时出 发，点P以3cms的速度沿CB向点B移动，点Q以1cms的速度沿AC向点C移动.经过多少秒，以 C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 巩固训练 1.如图，点A(10,0),B(0,20),连接AB,动点M、N分别同时从点A,O出发，以1单位长度/秒和 2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，移动时间为t秒. (1)用含t的代数式表示点M的坐标为（一，一)，点N的坐标为（一，一）： (2)当t为何值时，△MON与△AOB相似. 第7页共13页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ y B N 个 O←—MA 课后巩固 1.下列说法正确的是(。) A.各有一个角是100°的两个等腰三角形相似B.各有一个角是45的两个等腰三角形相似 C.有两边对应成比例的两个等腰三角形相似D.两腰对应成比例的两个等腰三角形相似 2.下列四个三角形，与右图中的三角形相似的是() A B 第8页共13页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ 3.如图，点D,E分别在AB,AC边上，下列条件中能判定△ADE∽△ACB的是() B A.AD·AE=AB·AC B.DB·BC=AB·AD C.DB·BC=AE·AC D.AD·AB=AE·AC 4.如图，△ADE、△ABC和3张都标注一个条件的卡片.从这3张卡片中随机一次性抽取2张的结果， 能判断△ADE∽△ABC的概率为一 ① ② ③ 1=∠2 D=∠B AD AE AB AC 5.如图，点D,E分别在△ABC的AB,AC边上，增加下列条件中的一个，①∠AED=∠B;② ∠ADE=∠C;③指=：④是=指；⑤AC2=AD·AB,能使△ADE与△ACB一定相似的 有」 ·(填序号) D 6.如图，点B,C分别在△ADE的边AD,AE上，且AC=3,AB=2.5,EC=2,DB=3.5.求证： △ABC∽△AED· 第9页共13页 将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！ E D B 7.如图所示，将矩形纸片ABCD沿AE折叠得到△AFE,且点F恰好落在DC上.求证： △ADF△FCE. D F B 第10页共13页