4.5相似三角形判定定理的证明（教学设计）数学北师大版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形判定定理（AA、SAS、SSS）的证明，通过问题串回顾相似定义和平行线分线段成比例定理，衔接前期探索结论，为后续性质及应用奠定逻辑基础，搭建“构造辅助线—转化证明”的学习支架。 以转化思想和类比迁移为特色，通过截取等长线段、作平行线构造中间三角形，将相似证明转化为全等或已知相似问题，如AA定理中构造平行四边形证全等，SAS、SSS延续此思路，培养推理意识和几何直观，结合即时训练与中考真题提升应用能力，助力学生形成严谨思维，为教师提供分层教学与逻辑推理培养的实用资源。

4.5 相似三角形判定定理的证明 教学设计 1.教学内容 本节课是北师大版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第四章“图形的相似4.5 相似三角形判定定理的证明，内容包括：理解并掌握三角形相似的三个判定定理（AA、SAS、SSS），能够独立完成定理的证明过程. 2.内容解析 本节课处于第四章“图形的相似”的核心位置，具有承上启下的关键作用。从“承上”来看，此前学生已通过探索性学习掌握了三角形相似的判定条件：两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例，且具备平行线分线段成比例定理、平行四边形性质、全等三角形判定定理等前置知识，本节课正是对“判定条件”的严谨演绎证明，将前期的感性认知上升为理性逻辑；从“启下”来看，本节课证明的相似三角形判定定理，是后续学习相似三角形性质、位似图形，以及解决几何计算（如线段长度、图形面积比）、实际应用（如测量高度、距离）问题的重要理论基础，为构建完整的 “相似图形” 知识体系奠定逻辑基石. 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：三角形相似判定定理（AA、SAS、SSS）的证明思路与过程. 1.教学目标 （1）理解并掌握三角形相似的三个判定定理（AA、SAS、SSS），能够独立完成定理的证明过程. （2）能够运用判定定理解决简单的几何问题，并初步尝试在复杂图形中识别相似三角形. （3）在证明过程中，学会添加辅助线、构造相似关系的基本策略，发展逻辑推理能力，在探究定理证明的过程中，培养严谨的数学思维习惯和科学态度. 2.目标解析 （1）学生需明确 “两角分别相等（AA）”、“两边成比例且夹角相等（SAS）”、“三边成比例（SSS）” 三个相似判定定理的具体内容，清晰区分每个定理的题设和结论。其证明的核心逻辑是通过构造辅助线（如截取等长线段、作平行线），将 “证明两个三角形相似” 的问题转化为 “证明全等三角形” 或 “证明已相似三角形” 的已知问题； （2）在与四边形以及其他复杂图形结合时，需学生具备图形分解与条件转化能力，能从复杂结构中剥离出关键三角形，通过中间角（如公共角、对顶角）、中间线段的比例关系（如平行线截得的比例线段），识别出相似三角形的存在，这是对定理应用的高阶要求； （3）添加辅助线是证明的核心技巧，学生需理解截取等长线段是为了建立边的等量关系，作平行线是为了利用比例性质，从而掌握根据定理条件选择辅助线构造方式的基本策略，形成条件→辅助线→中间图形→结论的解题思维路径. 九年级学生在本节课前已具备三重前置知识：一是前面的学习，初步探索并掌握了 “两角分别相等”、“两边成比例且夹角相等”、“三边成比例” 的三角形相似判定条件，对相似三角形的特征有感性认知，但尚未形成严谨的逻辑证明意识；二是已熟练掌握平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定与性质、全等三角形判定定理，这些是推导相似判定定理的关键工具；三是在之前的几何学习中，接触过简单的辅助线构造，但对辅助线 “为何作”“作何种” 的目的性理解较浅，尤其在复杂证明中易陷入被动. 1. 学生已能完成单步或两步的几何推理，但面对文档中多步串联的证明，易出现 “断链” 问题。 2. 学生能通过图形识别显性的角相等、边相等关系，但对隐性的比例关系或动态关系，缺乏主动分析与转化的能力，尤其在分类讨论时，易因思维片面漏解； 3. 学生能用口头语言描述简单几何关系，但在书写证明过程时，常出现缺乏依据、表述不规范等问题，难以满足文档中定理证明的严谨性要求. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：掌握从已知条件出发，通过构造辅助线或中间量完成定理证明的思维方法；理解证明过程中“比例线段”与“角度相等”的关联性，尤其是在复杂图形中识别对应关系. 1.温故知新 本节课将学习相似三角形判定定理的证明，先回答以下问题： (1) 什么是相似三角形？ 答：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. (2) 你还记得平行线分线段成比例定理及其推论的具体内容吗？ ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 通过以上问题，猜测一下：相似三角形判定定理的证明需要用到哪些知识？又是如何证明的呢？让我们赶紧进入本节课的学习吧！ （设计意图：由学生回忆并回答，夯实方法基础，保障进阶学习） （教学建议：教师提问，利用问题串引导，深化思维深度，有利于学生启发学生并展开本节课的学习） 2.情景引入 前面的课程，我们通过测量角的大小、计算边的比例，探索出了三个三角形相似的判定条件 ——两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例。大家凭借直觉和操作，相信了这些结论的合理性。但数学是一门严谨的学科，“看起来相似”≠“逻辑上一定相似”。 比如，我们任意画两个三角形，∠A=∠A’=60°，∠B=∠B’=70°，它们看起来相似，但如果没有严谨的证明，我们能百分百确定所有这样的三角形都相似吗？再比如，有两个三角形，三边的比都是 2:3:4，我们能直接说它们一定相似吗？ 今天，我们就要当一回 “数学侦探”，用逻辑推理的武器，为这三个 “看似正确” 的判定条件，搭建起 “无懈可击” 的证明桥梁 (设计意图：通过数学史故事、建筑应用和实际成果，从历史、文化、应用三个维度激发学生的好奇心，让学生感受到“黄金分割”不是抽象的数学概念，而是有温度、有价值的知识.) 探究点1　两角分别相等的两个三角形相似的定理证明 已知：在和中，，。 求证：。 任务一：构造辅助线的思想 1. 如何建立与的联系？教材中“在上截取”的目的是什么？ 截取，是为了构造与有边等量关系的中间三角形，通过搭建与之间的“逻辑桥梁” 任务二：分步解答 2. 步骤1：作，推导角与边的关系 ， 3. 步骤2：作，推导线段比例与平行四边形 ； 由和，得； ，（两组对边分别平行）， 四边形是平行四边形. （依据：平行四边形对边相等） 4.步骤3：证明全等，衔接相似 ∵∠A=∠A′（已知），（辅助线截取），， 衔接相似： （辅助线构造）， 结论推导： 由和，可得 5.知识小结 三角形相似的判定定理一：两角分别相等的两个三角形相似 符号语言：在和中， ，， （AA 相似判定定理） 6. 即时训练 如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE∥AC，∠DEF＝∠A．求证：△BDE∽△EFC． 证明：， ，（两直线平行，同位角/内错角相等）； 又， （等量代换） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） （设计意图：通过对证明逻辑的分步拆解，提升学生的逻辑推理能力，规范几何证明的书写表达，培养学生在分析复杂几何问题时 “化繁为简、分步突破” 的思维习惯） （教学建议：结合多媒体动态演示辅助线的构造过程（如动态截取线段、作平行线形成平行四边形的动态变化），直观呈现图形关系，帮助学生理解辅助线的 “构造意图”） 探究点2　两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的定理证明 已知：在和中，，。 求证： 任务一：构造辅助线的目的 1.  参考探究一（“AA 判定”）的“截取线段”思路，教材中“在上截取”的目的是什么？作能得到哪些结论？ 过点作交于，则： （依据：两角分别相等的两个三角形相似）； （依据：相似三角形对应边成比例）。 任务二：分步推导 2. 比例转化求. 由（AA 相似判定），得（相似三角形对应边成比例）； 又（辅助线截取），代入上式得（等量代换）； 已知（题目条件），故（等量代换）； 因，两边同时除以得，故（等式性质） 3. 证明：. 已知（题目条件）； 辅助线截取得； 上述推导得； 因此，（SAS ） 4. 衔接相似结论 △ADE≅△A′B′C′，故（全等是相似的特殊情况，相似比为）。 已证（AA 相似），且（全等→相似）； 根据相似的传递性（若且，则），得。 5. 知识小结 三角形相似的判定定理二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 符号语言：在和中， （夹角相等），（两边成比例）， （ “SAS”） 6.即时训练 如图，AB•AF＝AE•AC，且∠1＝∠2，求证：△ABC∽△AEF． 证明：∵AB⋅AF=AE⋅AC （等式两边同时除以，比例的基本性质）； 又， （等式两边同时加） （角的和的定义）； （两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，SAS相似判定） （设计意图：提升学生的逻辑推理能力，尤其是比例关系转化为等量关系的代数几何综合思维；规范几何证明的书写表达，培养学生在处理边的比例与角的关系类问题时的分析与推导能力.） （教学建议：采用类比探究 + 问题串引导的方式，以“探究一如何证明？探究二能否类比其思路？”等问题，引导学生自主迁移构造辅助线、转化证明的方法，突出两探究的逻辑共性与证明差异.） 探究点3　三边成比例的两个三角形相似的定理证明 已知：在和中，三边对应成比例，即  求证：（两个三角形相似） 任务一：辅助线构造与初步比例推导 1.参考探究一、二的 “截取线段” 思路，教材中 “在AB、AC上分别截取AD = A'B'，AE = A'C'，连接DE” 的目的是什么？ 由，且，，可得； 又因为（公共角），所以（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似） 任务二：分步推导 2. 多次比例转化与边的等量推导 由，得； 又因，，故； 因此，从而 3. 全等证明与相似结论衔接 因为，，， 所以（SSS 全等判定）； 又因为，所以 4. 知识小结 三角形相似的判定定理三：三边成比例的两个三角形相似 符号语言：在和中，若它们的三边对应成比例， 即： 则这两个三角形相似，记作： （设计意图：助力学生深度理解“三边成比例的两个三角形相似”定理的证明逻辑，明晰 “截取线段→比例转化→相似→再比例转化→全等→最终相似”的完整推导路径，完善相似三角形判定定理的理论体系） （教学建议：采用类比链引导 + 分层探究的方式，以“探究一、二如何证明？探究三能否延续其思路？”等问题，引导学生自主迁移“构造中间图形、多层转化证明”的方法，突出三个探究在“辅助线构造、证明逻辑、思想方法”上的共性与差异.） 1．如图，下列条件不能判定的是（ D ） A． B． C． D． 2．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ D ）    A． B． C． D． 3．如图，下列条件：①；②；③；④；其中单独能够判定的条件有（ C ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，为线段上的一点，与交于点，，与交于点，交于点，则下列结论中错误的是（ D ） A． B． C． D． 5．如图，要使和相似，已具备条件，还需补充的条件是，或，或．    6．如图，已知，请再添加一个条件，使，你添加的条件是或（写出一个即可）． 7．如图，在正方形网格中：①；②；③；这3个斜三角形中，能与相似的是 ．（点、、、、均在格点上） 8．如图，在中，，，点为中点，点在上，当为 3或 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似．    9.如图，在中，平分，点E在上，且．    (1)求证：； (2)若，，求的值． （1）证明： 平分， ， ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。 （2）解： 作于点，于点 平分， （角平分线上的点到角两边的距离相等）。 计算面积比： 又（同高三角形的面积比等于底边比）， 。 设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略. 题型一：利用“两角分别相等”判定三角形相似 1．如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：． 【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出结论． 【解答】证明：∵ ∴∠C=∠BEC， ∵∠BEC=∠AED， ∴∠AED=∠C， ∵AD⊥BD， ∴∠D=90°， ∵， ∴∠D=∠ABC， ∴． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC． 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到ED＝EC，则∠EDC＝∠C，再利用三角形外角性质可得∠AEF＝2∠C，而∠ABC＝2∠C，所以∠ABC＝∠AEF，加上∠EAF＝∠BAC，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△AEF∽△ABC． 【解答】证明：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴△ADC是直角三角形， ∵点E为AC的中点， ∴ED＝EC， ∴△ECD是等腰三角形， ∴∠EDC＝∠C， ∴∠AEF＝∠EDC＋∠C＝2∠C， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠ABC＝∠AEF， ∵∠EAF＝∠BAC， ∴△AEF∽△ABC． 【点评】此题考查了相似三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键． 3．如图，在中，，于点． （1）求证：； （2）若点是边上一点，连接交于，交边于点，求证：． 【分析】（1）由得，利用同角的余角相等推出即可； （2）两次用同角的余角相等推出和即可． 【解答】（1）证明：， ，， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查三角形相似判定问题 ，掌握三角形相似的判定定理，灵活运用三角形相似的判定定理证明相似是解题关键． 题型二： 利用 “两边成比例且夹角相等” 判定三角形相似 4.如图所示，点D是△ABC的AB边上一点，且AD＝1，BD＝2，AC＝．求证：△ACD∽△ABC． 【分析】首先利用已知得出，进而利用相似三角形的判定方法得出即可． 【解答】证明：∵，，， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，正确把握相似三角形的判定方法是解题关键． 5．如图，FE∥CD，AF=3，AD=5，AE=4． (1)求AC的长； (2)若，求证：△ADE∽△ABC． 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得出比例式，求出AC即可； （2）根据已知线段的长度求出，根据相似三角形的判定即可得△ADE∽△ABC． 【解答】（1）解：∵EF∥CD， ∴， ∵AF=3，AD=5，AE=4， ∴， 解得：AC=； （2）证明：∵AB=，AD=5，AE=4，AC=， ∴， ∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ABC． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 6．如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC＝°，BC＝； （2）判断△ABC和△DEF是否相似，并证明你的结论． 【分析】（1）先在Rt△BCG中根据等腰直角三角形的性质求出∠GBC的度数，再根据∠ABC=∠GBC+∠ABG即可得出∠ABC的度数；在Rt△BGC中利用勾股定理即可求出BC的长． （2）利用格点三角形的知识求出AB，BC及DE，EF的长度，继而可作出判断． 【解答】解：（1）∵△BCG是等腰直角三角形， ∴∠GBC=45°， ∵∠ABG=90°， ∴∠ABC=∠GBC+∠ABG=90°+45°=135°； ∵在Rt△BGC中，BG=2，CG=2， ∴； 故答案为：，； （2）解：相似．理由如下： ∵，， ∴， ∴ 又∵ ∴． 【点评】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系． 题型三 利用 “三边成比例” 判定三角形相似 7．根据下列条件，判断与是否相似，并说明理由： (1)，，，，，； (2)，，，，，． 【分析】（1）计算对应边的比，根据三边对应，两三角形相似，进而判断即可； （2）根据两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，进而判断即可． 【解答】（1）解：∵，，， ∴． ∴． （2）∵，， ∴． 又∵， ∴． 【点评】题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键． 8．如图，在和中，、分别是、上一点，，当时，求证：． 【分析】根据比例的性质可得，，即可求证． 【解答】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点评】此题考查了相似三角形的判定方法，涉及了比例的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 9．如图，设网格中每个小正方形的边长均为1．点、、和、、都在正方形的顶点上．求证：． 【分析】先利用勾股定理分别求解再分别计算：可得两个三角形的三边对应成比例，从而可得结论. 【解答】解：由勾股定理可得： 【点评】本题考查的是二次根式的运算，勾股定理的应用，相似三角形的判定，熟悉三边对应成比例的两个三角形相似是解题的关键. 题型四 相似判定定理的综合应用 10.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD． (1)求证：△ABC∽△BDC． (2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长． 【分析】（1）先证明∠A＝∠DBA，进而得到∠A＝∠CBD，再根据∠C＝∠C，即可证明△ABC∽△BDC； （2）根据∠C＝90°得到∠A＋∠ABC＝90°，根据（1）得到∠A =∠ABD＝∠CBD，即可求出∠A＝30°，即可求出AB＝4． 【解答】（1）证明：如图，∵AD＝BD， ∴∠A＝∠DBA， ∵BD平分∠ABC交AC于点D， ∴∠CBD＝∠DBA， ∴∠A＝∠CBD， ∵∠C＝∠C， ∴△ABC∽△BDC； （2）解：如图，∵∠C＝90°， ∴∠A＋∠ABC＝90°， 由（1）得 ∴∠A =∠ABD＝∠CBD， ∴∠A＋∠ABD＋∠CBD＝3∠A＝90°， ∴∠A＝30°， ∵BC＝2， ∴AB＝4． 【点评】本题考查了相似三角形的证明和直角三角形的性质，熟知相似三角形的判定方法是解题关键，第（2）步中求出∠A＝30°是解题关键． 11．（2023·山东烟台·期中）如图，在中，点，分别在边，上，，射线分别交线段，于点，，且．求证：． 【分析】先证明． 可得，结合，即可得到结论． 【解答】证明：，， ， ， ． ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点评】本题主要考查了三角形相似的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 12．（2023·安徽·阶段练习）如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．    (1)求证：； (2)与相似吗？为什么？ 【分析】（1）由正方形的性质可得,，再根据可得，进而说明，再结合，即可证明结论； （2）设，利用E为边的中点，，得到，则可计算出,由勾股定理逆定理可得以及再说明即可证明结论． 【解答】（1）解： 正方形， ，； ， ； 点在上， ； ； ， （2）解：与相似，理由如下： 设， ∵E为边的中点，， ∴， ∴，,, ∴,即, ∴, ∵, ∴, ∴． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定、正方形的性质、勾股定理逆定理等知识点，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解答本题的关键． 设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力. 相似三角形判定定理： 1.判定定理一：三角形相似的判定定理一：两角分别相等的两个三角形相似 符号语言：在和中， ，， （AA 相似判定定理） 2.判定定理二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 符号语言：在和中， （夹角相等），（两边成比例）， （ “SAS”） 3.判定定理三：三边成比例的两个三角形相似 符号语言：在和中，若它们的三边对应成比例， 即： 则这两个三角形相似，记作： 设计意图：运用文字按顺序排列的方式清晰呈现，增强学习的主动性与连贯性. 1.必做题：随堂练习 2.探究性作业：习题4.9 第4题. 4.5相似三角形判定定理的证明 1. 转化思想 核心路径： 相似证明 →（通过）构造中间三角形 →（转化为）全等证明 + 已知相似 2. 辅助线策略 具体方法： 截取等长线段（建立等量关系） + 作平行线（推导比例关系） 3. 类比迁移 应用场景： 定理2、定理3的证明，复用定理1的“构造 - 全等 - 相似”逻辑 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $