第18章 平行四边形-【一本】初中数学基础知识大盘点

(2)CD=DE.理由如下： (200-m)个. AB=AC,∴∠ABC=∠C 依题意，得8m十4(200-m)≤1150， .DE∥BC,∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC, 解得m≤87.5. ∠ADE=∠AED,∴.AD=AE,∴，AC-AD= 答：最多购进87个甲种粽子 AB-AE,即CD=BE. P189 由(1)，得∠EBD=∠EDB, 1.B2.B3.24.C5.C6.2 ∴.BE=DE,∴.CD=DE 11.212.15或45°或75°13.B 7.解：原式=5-9-(3-2W3+1)=-4-4+2W3= P167 -8+2w3. 1.A2.D3.A4.D5.A6.4 8.解：方法1：原式=2+(2-2+)-(2+2+ 7.解：原式=x2+2x+x2+2x+1=2x2+4x+1. .x2+2x-2=0,.x2+2x=2, )=2+2-2+}-2-2-4--2 .原式=2(x2+2x)+1=2×2+1=5. 8.(x-3y)(x+3y)9.6 方法2：原式=2+(2-2+2+2)·(2 10.(m+n-3)2 合-2-2)=+22×(-1D=2-22- P180 1.B2.B3.D4.A5.A6.D7.1 -√2. 且解：原式-（产2十》 (x-2)2 22 P197 x(x-2) x-2· 1.A2.D3.D4.A5.C6.1007.3√58.12 x一2=x. 9.√210.(x-6.8)2+x2=10211.A x≠0，x-2≠0，x≠0，x≠2. 12.如果b-a<0,那么a>b13.B14.北偏东50° .当x=1时，原式=1.（或当x=3时，原式=3.） P216 9.解：原式-L(a+ba-b)a+b」 a 11.(a-b)2 1.B2.110 b 3.证明：(1)O为对角线BD的中点，.OD=OB. a=（a-b).a-b)2 四边形ABCD是平行四边形， (a+b)(a-b) b ∴.DF∥BE,∴.∠DFO=∠BEO. b ,(a-b)2 (a+b)(a-b) 在△DOF和△BOE中， b =a-b I∠DFO=∠BEO, a+b ∠DOF=∠BOE, OD=OB, a=() =3,b=(-2022)°=1， ∴.△DOF≌△BOE(AAS). 原式- (2)由(1)，得△DOF≌△BOE,∴.DF=BE. 又DF∥BE,∴.四边形DFBE是平行四边形， 10.A11.3.4×10-1012.C13.B14.C15.B ∴.DE=BF 16.解：方程两边同时乘(x十1)(x-1),得(x一1)2 4.B5.36.B7.A8.C9.4 3=(x+1)(x-1). 10.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 去括号，得x2一2x+1-3=x2-1. .BA∥CD,∴∠BAE=∠FDE. 移项、合并同类项，得一2x=1, E是AD的中点，AE=DE 解得x=一1 在△BEA和△FED中， 21 I∠BAE=∠FDE, 经检验，当x=-2时，x+1Dx-1)≠0， AE-DE, ∠BEA=∠FED, 1 所以x=一2是原方程的解。 ∴.△BEA≌△FED(ASA),∴.EB=EF 17.解：(1)设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的 又，AE=DE,∴.四边形ABDF是平行四边形. 单价为2x元. 又，∠BDF=90°，∴四边形ABDF是矩形. 依题意，得800_1200-50，解得x=4. (2)由(1)，知四边形ABDF是矩形， x 2x .∠AFD=90°，AB=DF=3,AF=BD. 经检验，x=4是原分式方程的解， 在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF= .2x=8. √AD-DF=√52-32=4， 答：甲种粽子的单价为8元，乙种粽子的单价为 .S矩形ABDF=DF·AF=3X4=12. 4元. ,四边形ABCD是平行四边形， (2)设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子 ∴.CD=AB=3. ◆349 又.'BD=AF=4,∠BDC=∠BDF=90°， P230 Sam-号BD.CD-2X4X3=6, 1.C2.x>2且x≠33.C4.C5.①③④ 6.C7.D8.D9.C .S四边形ABCr=S拒形ABDF十SAcD=12十6=18 11.D12.B 10.解：(1)设1个冰墩墩玩偶的进货价为x元，1个 13.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 雪容融玩偶的进货价为y元. ∴.AB=CD,∠BAD=∠BCD,∴.∠1=∠DCF. 在△ABE和△CDF中， 1610解释2 由题意，得工十y=136, (AE=CF, 答：1个冰墩墩玩偶的进货价为72元，1个雪容融 玩偶的进货价为64元. ∠1=∠DCF (2)设购进冰墩墩玩偶α个，则购进雪容融玩偶 AB-CD, (40一a)个，最大利润为w元. '.△ABE≌△CDF(SAS). 由题意，得w=28a十20(40-a)=8a十800. (2)当∠ABE=10°时，四边形BFDE是菱形.理 ,网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容 由如下： 融玩偶进货数量的1.5倍， 由(1)，得△ABE≌△CDF,.∴.BE=DF ∴.a≤1.5(40-a),解得a24. ,四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC .AE=CF,.'.DE=BF, ,最大利润w随a的增大而增大， ,∴四边形BFDE是平行四边形. ∴.当a=24时，w取得最大值， :∠1=30°，∠2=20°， 此时w=8×24+800=992(元)，40-a=16. 答：当购进冰墩墩玩偶24个，购进雪容融玩偶16 ∴.∠ABD=∠1-∠2=10°. 若四边形BFDE是菱形，则BE=DE, 个时才能获得最大利润，最大利润为992元. ∴.∠EBD=∠2=20°， 11.解：(1)由题意，得m=200÷100=2, ∴.∠ABE=∠EBD-∠ABD=20°-10°=10°. n=m+4=2+4=6. 故答案为2,6. 14.D15.10 (2)设两车相遇之后，甲车距A地的路程y与x 16.解：【问题解决】 之间的函数解析式为y=kx十b.将(2,200)，(6， (1)证明：四边形ABCD是矩形， .∠DAB=∠ABC=90°. 0R入十在： .'DEAF,./AGD=90° ∴.∠ADE+∠DAF=90°. 又∠BAF+∠DAF=90°，∴.∠ADE=∠BAF. 解得b一80， k=60, ∴.两车相遇之后，甲车距A地的路程y与x之间 .DE=AF,.△ADE≌△BAF(AAS), 的函数解析式为y=60x十80(2≤x≤6). ∴.AD=AB,.四边形ABCD是正方形. (3)乙车的速度为(440-200)÷2=120(km/h), (2)△AHF是等腰三角形.理由如下： 由(1)，知四边形ABCD是正方形， 乙车到达A地所需时间为40÷120=号，。 ∴.∠DAB=∠ABH=90°，DA=AB. 又.AE=BH, >2 ∴.△DAE≌△ABH(SAS),∴.DE=-AH. DE=AF,∴.AH=AF, ∴当2-号时w=60×号+80=30， ∴.△AHF是等腰三角形 ∴当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为 【类比迁移】 300km. 如图，延长CB到点M,使得 P239 BM=AE,连接AM 1.C2.B3.C4.55.D6.A7.乙 四边形ABCD是菱形， 8.解：(1)在10台A型扫地机器人的除尘量中，出现 .AD∥BC,AB=AD, 次数最多的是95g,.众数是95g,即a=95. ∴.∠ABM=∠BAD. 10台B型扫地机器人中“良好”等级的有5台， ,BM=AE,.△ABM≌△DAE(SAS), 占50%，“优秀”等级所占百分比为30%， ∴.AM=DE,∠M=∠AED=60°. ∴.“合格”等级占1-50%-30%=20%，即m=20. .DE=AF, 把B型扫地机器人的除尘量从小到大排列后，第5 ∴.AM=AF 个和第6个数都是90g, ∴.△AMF是等边三角形. .BM=AE=6,BF=2, :中位数是90,90-90(g),即6=90. 2 .'AM-=MF=BM++BF=62=8, (2)估计该月生产的B型扫地机器人中“优秀”等 ∴.DE=AM=8. 级的台数为3000×30%=900（台）. (3)A型扫地机器人扫地质量更好.理由：在平均除 ◆350◆第十八章 平行四边形 性质一对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分 两组对边分别平行的四边形 两组对边分别相等的四边形 判定 平行四边形 组对边平行且相等的四边形 对角线互相平分的四边形 三角形的中位线 三角形的中位线平行于三角形的第三 边，并且等于第三边的一半 性质一四个角都是直角，对角线相等 平行四边形 推论一直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 矩形 有一个角是直角的平行四边形 判定 有三个角是直角的四边形 对角线相等的平行四边形 性质 四条边都相等，对角线互相垂直，并且每一 条对角线平分一组对角 四条边相等的四边形 特殊的平 菱形 判定 有一组邻边相等的平行四边形 行四边形 对角线互相垂直的平行四边形 面积 菱形的面积等于底×高，等于两条对角线长的 乘积的一半 性质 四条边相等，四个角都是直角，对角线相等且 互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 正方形 有一组邻边相等的矩形 有一个角是直角的菱形 判定 对角线相等的菱形 对角线互相垂直的矩形 ◆199◆ 18.1平行四边形 3年565考 盘 基础知识 知识点1平行四边形4考到 知识点2平行四边形的性质3考 1.概念：两组对边分别平行的四边形叫做平 行四边形， 图示 (点拨平行四边形必须满足：(1)是四边 平行四边形的对边平行且相等. 形；(2)两组对边分别平行.这两个条件缺 符号语言：，四边形ABCD是平行 一不可 边 四边形，.AB∥CD,AD∥BC,AB 2.符号表示：平行四边形用“☐”表示.如图， =CD,AD=BC 平行四边形ABCD记作“□ABCD”. 平行四边形的对角相等，邻角互补 符号语言：，四边形ABCD是平行 角 四边形，∴∠BAD=∠BCD,∠ABC 注意平行四边形的表示一般按一定的方 第十八章 =∠ADC,∠ABC+∠BAD=180°， 向（顺时针或逆时针）依次书写各顶点。 ∠ADC+∠BCD=180° 3.基本元素：边、角、对角线， 平 平行四边形的对角线互相平分： 如图. 四 对 符号语言：，四边形ABCD是平行四 形 边形，AC与BD相交于点O,∴.AO= 0-2AC,0-D0-2BD 邻边：AD和AB,BA和BC,CB和CD, DC和DA. (拓展(1)平行四边形的对角线将平行四 对边：AD和BC,AB和DC. 边形分成四个面积相等的三角形，且相对 邻角：∠ABC和∠BCD,∠BCD和 的两个三角形全等.如图，在□ABCD中， ∠CDA,∠CDA和∠DAB,∠DAB △AOD≌△COB,△AOB≌△COD. 和∠ABC. 对角：∠ABC和∠ADC,∠BAD 和∠BCD. (2)平行四边形是中心对称图形，它的对 对角线：AC和BD, 称中心是两条对角线的交点.若一条直线 ◆200 过平行四边形两条对角线的交点，则该直 知识点，4平行四边形的判定13考 线平分平行四边形的周长和面积.如图， 文字语言 几何语言 在□ABCD中，EF经过对角线AC,BD 的交点O,与AB,CD分别交于点E,F, 则OE=OF,S四边形AEFD=S四边形BFC,且 示 DF+DA+AE-EB+BC+CF. 两组对边分别平行 .AB∥CD,AD∥BC 的四边形是平行四 .四边形ABCD是平 边形 行四边形 知识点33两条平行线之间的距离5考 1.概念：两条平行线中，一条直线上任意一 两组对边分别相等 ·AB=CD,AD=BC, 点到另一条直线的距离，叫做这两条平行 的四边形是平行四 .四边形ABCD是平 边 线之间的距离. 边形 行四边形 2.性质 ·'AB∥CD,AB=CD(或 组对边平行且相 (1)两条平行线之间的距离处处相等. AD∥BC,AD=BC), 等的四边形是平行 -a ∴.四边形ABCD是平行 第 四边形 四边形 :∠ABC=∠ADC, 平 如图，由AE⊥b,BF⊥b,得AE∥BF 两组对角分别相等 ∠BAD=∠DCB, 的四边形是平行四 四 又因为a∥b,所以四边形ABFE是平行 角 .∴.四边形ABCD是平 形 四边形，所以AE=BF.同理可得AE= 边形 行四边形 CG=DH. (2)两条平行线之间的任何两条平行线段 对角线互相平分的 .OA=OC.OB=OD. 对 都相等。 四边形是平行四 ∴.四边形ABCD是平 边形 行四边形 B (点拨(1)一组对边平行，另一组对边相等 如图，因为m∥n,AC∥BD,所以四边形 的四边形不一定是平行四边形.例如：等 ABDC是平行四边形，所以AC=BD, 腰梯形 (注意平行线之间的距离和平行线之间的 (2)一组对边平行，一组对角相等的四边 平行线段是不同的概念，不能混为一谈 形是平行四边形 ◆201● 典型考法 考法1 利用平行四边形的性质进行计算 例3如图，□ABCD的周 角度1求角度 长是80cm,对角线AC,BD 例1如图，若□ABCD的一个外角为38°， 相交于点O,△AOB的周长 则∠A= 度 比△BOC的周长大10cm,求AB,BC的长. 解：四边形ABCD是平行四边形， ..AB=DC,AD=BC,AO=CO. 38° ,□ABCD的周长是80cm, 答案142 角度2求长度 AB+BC-号×80=40(m. 例2如图，在□ABCD中，∠ABC的平分 ,'△AOB的周长比△BOC的周长大10cm, 线交AD于点E,∠BCD的平分线交AD于 ∴.AB-BC=10cm, 点F.若AB=3,AD=4,则EF的长 ∴.AB=25cm,BC=15cm. 为 方法提炼(1)平行四边形的邻边之和等 于平行四边形周长的一半. (2)平行四边形被对角线分成四个小三角 第十八章 E 形，相邻两个小三角形周长之差等于两邻边 解析，四边形ABCD是平行四边形， 之差. ∴.AD∥BC,AB=CD=3,AD=BC=4, 平 ∴.∠DFC=∠FCB. 考法2 平行线之间的距离的应用 四 又，CF平分∠BCD,∴∠DCF=∠FCB, 例4如图，直线11∥12，A,B是l1上的两 形 ∴.∠DFC=∠DCF,∴.DF=CD=3. 点，C,D是l2上的两点.△ACD与△BCD 同理可证AE=AB=3,.AE=DF, 的面积相等吗？请说明理由， ∴.AE-EF=DF-EF, ∴.AF=DE ,AD=4,.AF=4-3=1, ∴.EF=3-1=2. 思路导引借助两条平行线之间的距离处处相 答案2 等得到SAACD=SAD· 解：△ACD与△BCD的面积相等.理由如下： 模型提炼平行四边形十角平分线→等腰 如图，过点A作AE⊥l2,垂足为E,过点B作 三角形，常见解题模型如图所示。 BF⊥l2,垂足为F. 图 图2 刻3 ,AE,BF的长度都是直线l1,l2之间的距离， ◆202◆ 且4∥hAE=BR.又Sm=CD·AE, 方法4：如图，连接AC,交BD于点O. SARD= 2CD·BF,SAXD=SA 考法3 平行四边形的判定方法 ,∠AEO=∠CFO=90°，∠AOE=∠COF, 例5 一题多解如图，已知在四边形ABCD AE-CF, 中，AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,AE .△AOE≌△COF(AAS), =CF,BF=DE.求证：四边形ABCD是平 ∴.AO=CO,EO=FO. 行四边形 .BF=DE,..BF-FO=DE-EO, 即BO=DO, ∴.四边形ABCD是平行四边形. 考法4动点问题 思路导引方法1根据“两组对边分别相等”判 例6如图，在四边形ABCD中，AD∥BC, 定；方法2根据“两组对边分别平行”判定；方法 BC=6cm,AD=9cm,点P,Q分别从点A, 3根据“一组对边平行且相等”判定；方法4根据 C同时出发，点P以2cm/s的速度由点A “对角线互相平分”判定 证明：方法1：，BF=DE, 向点D运动，点Q以1cm/s的速度由点C ∴.BF-EF=DE-EF,即BE=DF 向点B运动，求经过几秒时PQ为平行四边 又，AE⊥BD,CF⊥BD, 形的一边， ∴.∠AEB=∠CFD=90°. B←Q 第 在△ABE和△CDF中， 章 BE=DF, 平 ∠AEB=∠CFD, 思路导引当AP=BQ时，四边形APQB是平 AE-CF, 四 行四边形；当PD=CQ时，四边形PDCQ是平 .△ABE≌△CDF(SAS),∴.AB=CD. 形 行四边形， 在△ADE和△CBF中， AE=CF, 解：设运动的时间为ts,则AP=2tcm,CQ= ∠AED=∠CFB=90°， t cm,PD=(9-2t)cm,BQ=(6-t)cm. DE=BF, ①.AD∥BC, ∴.△ADE≌△CBF(SAS),∴.AD=CB, ∴.当AP=BQ时，四边形APQB是平行四边 .四边形ABCD是平行四边形. 形，∴.2t=6-t,解得t=2, 方法2：同方法1，得△ABE≌△CDF, ∴.运动2s时，四边形APQB是平行四边形. .∠ABE=∠CDF,∴.AB∥CD. ②.AD∥BC, 同理可证AD∥BC, ∴.当PD=CQ时，四边形PDCQ是平行四边 ∴.四边形ABCD是平行四边形 形，∴.9一2t=t,解得t=3, 方法3：同方法1，得△ABE≌△CDF, ∴.运动3s时，四边形PDCQ是平行四边形 .AB=CD,∠ABE=∠CDF,∴.AB∥CD, 综上所述，经过2s或3s时，PQ为平行四边形 .四边形ABCD是平行四边形. 的一边. ◆203◆ 18.2 中位线 3年201考 盘 基础知识 知识点1三角形的中位线 3.应用 概念：连接三角形两边中点的线段叫做三 (1)位置关系：可以证明两条直线平行； 角形的中位线。 (2)数量关系：可以证明线段相等或倍分， 示例如图，D,E分别是 (拓展三角形的三条中位线把原三角形分 AB,AC的中点，则线段 成四个全等的三角形.每个小三角形的周 DE为△ABC的中位线. (注意三角形的中线是三 B 长为原三角形周长的一半，每个小三角形 角形顶点与对边中点的连线；三角形的中 的面积为原三角形面积的四分之一， 位线是三角形两边中点的连线 如图，已知DE,DF,EF是△ABC的中位 知识点32三角形的中位线定理201考 线，则△ADE≌△DBF≌△EFC≌ 1.文字语言：三角形的中位线平行于三角形 △FED,CAADE=CADBF=C△BrC=CAFED= 的第三边，并且等于第三边的一半。 2C-mm 2.符号语言：如图，.D,E分别是AC,BC 第十八章 的中点DEAB,且DE=AB 1 4 位置关系 数量关系 行四边 D D 盘 典型考法 利用三角形的中位线定理进行 考法1 计算 A.50° B.60° 例1 如图，在△ABC中，点D,E分别是 C.70° D.80° AB,AC的中点，∠A=50°，∠ADE=60°，则 答案C ∠C的度数为 ) 例2若一个三角形的周长是36cm,则以 这个三角形三边的中点为顶点的三角形的 周长是 () A.8 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm 答案D ◆204◆ 利用三角形的中位线定理进行 .∴.△ADB≌△ADH(ASA), 考法2 证明 ∴.BD=HD,AH=AB=4,.D为BH的中，点， 例3如图，在△ABC中， CH=AC-AH=6-4=2. D,E分别是AC,AB的中 又E为BC的中点， 点，F是CB延长线上的D ∴.DE为△BHC的中位线， 一点，且CF=3BF,连接 ∴DE-=2CH=1. DB,EF,∠ACB=90°，C AC=12 cm,DE=4 cm. 方法提炼遇到中点想中位线 (1)求证：DE=BF; 如果在三角形中遇到一个中点或一条 (2)求四边形DEFB的周长， 中线，那么应当考虑是否还存在另一个中 解：(1)证明：D,E分别是AC,AB的中点， 点，是否隐含了三角形的中位线，这种方法 .DE为△ABC的中位线， 就是常说的“遇到中点想中位线”.特别是出 DE/BC,且DE-BC 现“线段相等十垂直”或“角平分线十垂直” 模型时，往往存在另一个中点. CF-3BF,.BF-BC..DE-BE, (2).DE=BF,DE∥BC, 考法4判定中点四边形的形状 .四边形DEFB为平行四边形. 例5求证：顺次连接任意四边形各边中点 ,D是AC的中点，且AC=12cm, 所得的四边形是平行四边形 ∴.CD=6cm. 解：已知：如图，E,F,G,H分别是四边形ABCD .DE=4cm,∴.BC=8cm. 各边的中点，连接EF,FG,GH,HE .∠ACB=90°， △BCD是直角三角形， .由勾股定理，得DB=√CD十BC 平 √62+82=10(cm), .四边形DEFB的周长为2X(4十10)= 求证：四边形EFGH是平行四边形. 形 28(cm). 证明：连接AC(图略. 考法3 构造三角形的中位线进行计算 ,E,H分别为AD,CD的中点， 例4如图，在△ABC中， ∴EH∥AC,且EH-3AC AD平分∠BAC,AD⊥ 又F,G分别为AB,BC的中点， BD,E为BC的中点.若 D AB=4,AC=6,求DE的 ∴FG∥AC,且FG=AC∴EHLFG, 长。构造三角形中位线以及全等三角形 ∴.四边形EFGH是平行四边形， 解：如图，延长BD交AC于点H, 方法提炼判定中点四边形的形状的方法 .AD平分∠BAC, 顺次连接四边形各边的中点得到的四 .∠BAD=∠CAD 边形叫做中点四边形.连接原四边形的一条 在△ADB和△ADH中， 对角线，得到两组三角形的中位线，利用一 I∠BAD=∠HAD, 组对边平行且相等这一判定定理可得中点 AD-AD, 四边形是平行四边形， ∠ADB=∠ADH=90°， ◆205◆ 18.3 矩形 3年562考 盘 基础知识 直角三角形斜边上的中线 知识点1矩形的概念 知识点3 的性质08考 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 1.文字语言：直角三角形斜边上的中线等于 示例)如图，当平行四边形的一个角为直 斜边的一半 角时，该平行四边形为矩形. 注意两个条件：(1)直角三角形；(2)斜边 有一个角 是直角 上的中线。 2.符号语言：如图，在Rt△ABC中，，∠ACB 平行四边形 矩形 =90°，CD是斜边的中线，∴.CD=AD= (注意有一个角是直角的四边形不一定是 BD= 矩形.例如：直角梯形 2AB. 知识点2矩形的性质5考 矩形具有平行四边形的一切性质 D 累 知识点4矩形的判定03考 矩形的对边平行且相等】 累 平 边 符号语言：，四边形ABCD是矩形， 行四边 .'.AB ILCD,AD ILBC 有一个角是直角的平行四边形是 矩形的四个角都是直角， 矩形（定义法）， 符号语言：，四边形ABCD是矩形， 角 符号语言：，在□ABCD中， ∴.∠ABC=∠BCD=∠CDA= ∠BAD=90°， ∠DAB=90 角 ∴.□ABCD是矩形 矩形的对角线相等且互相平分 对 有三个角是直角的四边形是矩形 符号语言：，四边形ABCD是矩形， 符号语言：，∠BAD=∠ABC ∴.AC=BD,OA=OB=OC=OD ∠BCD=90, ∴.四边形ABCD是矩形 (拓展(1)矩形的两条对角线将矩形分为 面积相等的四个等腰三角形； 对角线相等的平行四边形是矩形， (2)矩形是轴对称图形，它有两条对称轴 对角线 符号语言：，AC=BD, ∴.□ABCD是矩形 且对称轴都是过对边中点的直线； (3)矩形是中心对称图形，对称中心是两 (注意对角线相等的四边形不一定是矩 条对角线的交点 形.例如：等腰梯形 ◆206◆ 典型考法 利用矩形的性质进行计算或 解：(1)证明：四边形ABCD是矩形， 考法1 证明 .AC=BD,BC∥AD,即BC∥DE 例1如图，在矩形ABCD中，对角线AC与 又，CE∥BD,∴.四边形DECB是平行四边形， BD相交于点O,过点C作CE⊥BD,垂足为 ∴.BD=CE,∴AC=CE E.已知∠BCE=4∠DCE,则∠OCE的度数 (2),四边形ABCD是矩形， 为 ( ) ÷∠ADC=90°，C0-D0-2AC, ∴.∠EDC=180°-∠ADC=90°. 在Rt△EDC中，DE=9,CD=12, A.36° B.54° C.60° D.67.5° ∴.CE=√DE+CD=√92+122=15. 解析：四边形ABCD为矩形， 由(1)知AC=CE=15, ∴.∠BCD=90°，OC=OB. .'∠BCE=4∠DCE,∠BCE+∠DCE=90°， 2AC+ ∴.△COD的周长为CO十DO+CD= ∠BCE=90x号-72 CD-AC+CD-15+1 .CE⊥BD,.∠EBC=90°-∠BCE=18° 考法2矩形折叠的相关计算 ,'OB=OC,∴.∠OCB=∠EBC=18°， 例3如图，将矩形ABCD的边AB折叠， 第 ∴.∠OCE=∠BCE-∠OCB=72°-18°=54. 使其落在对角线AC上并与AF重合，AE 答案B 为折痕.若AB=1,BC=2,则BE的长为 平 2方法提炼矩形中对角线构造的等腰三 ( 角形 边 由于矩形的对角线相等且互相平分，所 以矩形的对角线将矩形分成四个面积相等 的等腰三角形，在计算角的度数时可利用等 A.2-1 腰三角形的性质进行解题， 2 B.3-1 2 例2如图，在矩形ABCD中，对角线AC, C.5-1 2 D.6-1 2 BD交于点O,过点C作CE∥BD,交AD的 思路导引由折叠的性质可知AB=AF,BE 延长线于点E EF.设出未知数，在Rt△EFC中，利用勾股定理 (1)求证：AC=CE; 列方程求解， (2)若DE=9,CD=12,求△COD的周长. 解析由折叠及矩形的性质，得AB=AF, BE=EF,∠AFE=∠B=90° 在Rt△ABC中，由勾股定理， 得AC=√AB2+BC=√1+2=√/5！ .AB=1,∴.CF=AC-AF=√5-1. ◆207● 设BE=x,则EF=x,EC=2-x. 同理可得DG=2BC,EG=DG 在Rt△EFC中，由勾股定理，得EC=EF2十 又，F是ED的中点，FG⊥DE. CF2,即(2-x)2=x2+(W5-1)2, 解得x52BE的长为52 考法4矩形的判定方法 2 例5如图，线段DE与AF分别为△ABC 答案C 的中位线与中线， (1)求证：AF与DE互相平分 方法提炼矩形中的折叠问题 (2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系 在矩形ABCD中，AB=a,BC=b,进行 时，四边形ADFE是矩形？请说明理由， 如图所示的折叠操作. (1)如图1，求FD的长； (2)如图2，求FD的长； (3)如图3，求CE的长 B 问题 解：(1)证明：，线段DE是△ABC的中位线， 模型 AD-TAB.AE-ZAC ,线段AF是△ABC的中线， ∴F为BC的中点，∴EF是△ABC的中位线， 图3 第十八 EF∥AB,且EF-号AB, 思路 设所求线段的长为x,在直角三角形中 ∴.EF=AD, 方法 利用勾股定理列方程求解 .四边形ADFE是平行四边形， AF与DE互相平分. 行四边 考法3 直角三角形斜边上的中线的应用 例4 如图，已知BD,CE (2)当AF=2BC时，四边形ADFE是矩形.理 是△ABC两边上的高，G, 由如下： F分别是BC,DE的中点. 由(I)知DE=2BC, 求证：FG⊥DE 思路导引由BD,CE是△ABC的高可知 ·当AF=合BC时，AF=DE △BEC和△BDC为直角三角形.又G,F分别是 又由(1)知四边形ADFE是平行四边形， BC,DE的中点，结合直角三角形斜边上的中线 .四边形ADFE是矩形 等于斜边的一半这个性质解题 考法5 矩形的性质与判定的综合应用 证明：如图，连接EG,DG 例6如图，在平行四边形ABCD中，对角 .CE是△ABC的边AB上 线AC,BD交于点O,AC⊥BC,AC=2, 的高，∴.CELAB. BC=3,E是BC延长线上一点，且CE=3, 在Rt△CEB中，G是BC 的中点， 连接DE. (1)求证：四边形ACED为矩形； EG-BC. (2)连接OE,求OE的长 ◆208◆