第二章 实数的初步认识（七大考点+八大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材苏科版八年级上册

该初中数学知识清单系统梳理了“实数的初步认识”单元内容，涵盖算术平方根、平方根、立方根、实数概念及近似数五大知识范畴，搭建了从定义性质到运算规律再到实际应用的递进式学习支架。 清单以“知识点+易错点”双线结构呈现知识体系，8个易错点均配“易错提醒”和“对点训练”，如强调“平方根与算术平方根的符号区别”“无理数三类形式”，培养学生运算能力与推理意识。特别总结“小数点移动规律”“双重非负性”等记忆技巧，不同学生可高效突破难点，教师能据此设计分层教学，提升复习实效。

第二章 实数的初步认识 知识点一·算术平方根 1.定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.算术平方根的性质 3.算术平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 知识点二·平方根 平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点三·平方根 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 知识点四 实数 1.无理数 （1）定义：无限不循环小数又叫无理数. （2）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （3）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点五 近似数 精确度判断：普通小数看最后一位；科学记数法要还原，看末尾有效数字所在数位 易错点1·平方根、算术平方根概念混淆 易错提醒 1.代表算术平方根，结果一定是非负数;土才是a的平方根。 2.负数没有平方根，但负数有立方根。 【对点训练】1．计算_______________． 【对点训练】2．计算___________． 【对点训练】3．下列说法中正确的是（   ） A．的算术平方根是 B．是144的平方根 C．的平方根是 D．的算术平方根是a 易错点2·算术平方根双重非负性忽略限制条件 易错提醒 有两层要求:①被开方数a > 0;②运算结果 > 0. 多个非负数(根号、绝对值、平方)相加等于 0，则每一项单独等于 0. 【对点训练】1．下列说法正确的是（   ） A．3是9的算术平方根 B．0没有平方根 C．81的平方根是9 D．的平方根是 【对点训练】2．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．一定有平方根 C．0.01的平方根是0.1 D．2的算术平方根是 【对点训练】3．已知，则______． 易错点3· 【对点训练】1．已知，则_________． 【对点训练】2．若，则的算术平方根是______． 【对点训练】3．计算：______． 易错点4·无理数识别判断出错 易错提醒 无理数:无限不循环小数。 X误区:带根号就是无理数(V4=2是有理数):无限小数都是无理数(无限循环小数是有理数):分数是无理数。三类无理数:①开方开不尽;②含π;③人为构造无限不循环小数(0.1010010001...) 【对点训练】1．在中，无理数共有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【对点训练】2．在实数中，无理数的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【对点训练】3．在实数3.1415926，，，，1.010010001...，中，无理数有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 易错点5·估算无理数：小数部分计算错误 易错提醒 小数部分＝原无理数＝整数部分，小数部分>0，不要写错 【对点训练】1．若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（   ） A．1 B．5 C． D． 【对点训练】2．已知，则的小数部分是（   ） A． B． C． D． 【对点训练】3．若的整数部分用表示，小数部分用表示，则的值为（  ） A． B． C． D． 易错点6·开方方程混淆平方根与立方根的解 【对点训练】1．求下列各式中的值． (1)； (2)． 【对点训练】2．求下列各式中x的值： (1) ； (2)． 【对点训练】3．求下列各式中的值： (1)； (2)． 易错点7·小数点移动规律记反 / 位数记错 易错提醒 算术平方根：被开方数移动2 位，结果同向移动 1 位； 立方根：被开方数移动3 位，结果 向移动 1 位。 【对点训练】1．已知，，则______． 【对点训练】2．已知，则_____． 【对点训练】3．已知，，则______；已知，，则______． 易错点8·近似数精确度判断 【对点训练】1．2026年某市常住人口约为人，该数据精确到（     ） A．个位 B．十位 C．百位 D．万位 【对点训练】2．下面说法中错误的是（   ） A．368万精确到个位 B．2.58精确到百分位 C．精确到十位 D．566精确到个位 【对点训练】3．下列说法正确的是（    ） A．精确到百分位 B．精确到千分位 C．精确到千位 D．万精确到个位 1．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．在，，，0.257，，，（每两个1之间0的个数依次加1）中，无理数有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．下列说法正确的是（     ） A．9的平方根是3 B．的立方根是5 C．25的平方根是 D． 4．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 5．已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 6．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（     ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 7．已知，，，则（     ） A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981 8．我们知道实数与数轴上的点一一对应，如图，正方形的边长为1，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴负半轴交于点P，则点P表示的实数为____________． 10．某科研机构为训练机器人的判断和执行力，将个机器人安排坐在编号依次为到的桌子前，每张桌子的桌面上只平放一张反面向上的扑克牌（扑克牌只有正面向上或反面向上）．开始向每个机器人发送，，，…，的数字指令，每个机器人作出判断和执行：当机器人所坐桌子的编号是指令数字的整数倍时，就将桌面上扑克牌翻一面，否则就不动．假设每个机器人判断全部正确且按要求完成了操作，则正面向上的张数是________． 11．若规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定：____． 12．若将，，这三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖的数是________． 13．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为_________ 14．如图，半径为1的圆从表示的点开始沿着数轴向右滚动一周，圆上的点A与表示的点重合，滚动1周后到达点B，点B表示的数是________． 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数的初步认识 知识点一·算术平方根 1.定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.算术平方根的性质 3.算术平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 知识点二·平方根 平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点三·平方根 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 知识点四 实数 1.无理数 （1）定义：无限不循环小数又叫无理数. （2）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （3）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点五 近似数 精确度判断：普通小数看最后一位；科学记数法要还原，看末尾有效数字所在数位 易错点1·平方根、算术平方根概念混淆 易错提醒 1.代表算术平方根，结果一定是非负数;土才是a的平方根。 2.负数没有平方根，但负数有立方根。 【对点训练】 【答案】11 【分析】直接利用算术平方根的定义以及有理数的乘方运算法则分别化简得出答案． 【详解】解：原式=2+9 =11． 故答案为：11． 【点睛】此题主要考查了算术平方根以及有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键． 【对点训练】 【答案】 【分析】先将各二次根式化简，再合并即可得到答案． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是化简二次根式，注意． 【对点训练】 【答案】B 【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义，先化简题目中的二次根式，再根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解： A. ∵， ∴的算术平方根是，不是，A错误； B. ∵， ∴是144的平方根，B正确； C. ∵， ∴的平方根是，不是，C错误； D. 当时，的算术平方根是，因此的算术平方根不一定是，D错误． 易错点2·算术平方根双重非负性忽略限制条件 易错提醒 有两层要求:①被开方数a > 0;②运算结果 > 0. 多个非负数(根号、绝对值、平方)相加等于 0，则每一项单独等于 0. 【对点训练】 【答案】A 【详解】解∶A． ∵ ，根据算术平方根的定义可得，3是9的算术平方根，故本选项正确，符合题意； B． 0的平方根是0，故本选项错误，不符合题意； C． ∵ ，∴ 81的平方根是，故本选项错误，不符合题意； D． ∵ ，∴ 4的平方根是，即的平方根是，故本选项错误，不符合题意． 故选∶A． 【对点训练】 【答案】B 【分析】根据算术平方根、平方根进行计算和判断即可． 【详解】A. 的平方根是，故选项错误，不符合题意；     B. 一定有平方根，故选项正确，符合题意；     C. 0.01的平方根是，故选项错误，不符合题意；         D. 2的算术平方根是，故选项错误，不符合题意． 【对点训练】 【答案】8 【分析】根据算术平方根的非负性的条件求出的取值，再求出的值，最后代入计算即可． 【详解】解：根据算术平方根的非负性的条件，被开方数为非负数，得：且， 解得， 将代入原等式，得， 即， 将代入，得． 易错点3· 【对点训练】 【答案】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，几个非负数的和为时，每个非负数都为，据此分别求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解： ，，且， ，， 解得，， ． 【对点训练】 【答案】9 【分析】先根据非负数的性质求出，然后求出的值，再求的算术平方根． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是． 【对点训练】 【答案】3 【详解】解：． 易错点4·无理数识别判断出错 易错提醒 无理数:无限不循环小数。 X误区:带根号就是无理数(V4=2是有理数):无限小数都是无理数(无限循环小数是有理数):分数是无理数。三类无理数:①开方开不尽;②含π;③人为构造无限不循环小数(0.1010010001...) 【对点训练】 【答案】B 【详解】解：无理数的定义为无限不循环小数， ∵是无理数，∴是无理数； ∵ 是无限不循环小数，∴是无理数； ∵是整数，是分数，整数和分数都属于有理数，∴和是有理数； 因此无理数共有个. 【对点训练】 【答案】C 【详解】解：， 无理数有，共有3个． 【对点训练 【答案】C 【详解】解：， 无理数有：，1.010010001...，，共3个． 易错点5·估算无理数：小数部分计算错误 易错提醒 小数部分＝原无理数＝整数部分，小数部分>0，不要写错 【对点训练】 【答案】C 【分析】本题考查无理数估值，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵的整数部分为，小数部分为， ∴，， 故选：C． 【对点训练】 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，由，可得，即可得的整数部分是，进而即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴的整数部分是， ∴的小数部分是， 故选：． 【对点训练】 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，以及实数的运算．熟练掌握无理数估算的方法：找到被开方数左右两边相邻的能开方的两个数，是解题的关键． 先根据无理数的估算，确定整数部分，再用原数减去整数部分，求出小数部分，再进行计算即可； 【详解】解：的整数部分用表示， 则， 小数部分用表示， 则， ， 故选：A 易错点6·开方方程混淆平方根与立方根的解 【对点训练】 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：， 开立方得：， 解得：； （2）解：， 方程两边同除以4得：， 开平方得：， 即，． 【对点训练】 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得或． 【对点训练】 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：， ， 解得：或； （2）解： ， ， 解得：． 易错点7·小数点移动规律记反 / 位数记错 易错提醒 算术平方根：被开方数移动2 位，结果同向移动 1 位； 立方根：被开方数移动3 位，结果 向移动 1 位。 【对点训练】 【答案】453.9 【分析】根据被开方数扩大10000倍，结果扩大100倍解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 【对点训练】 【答案】 【分析】根据被开方数的小数点每向左移动2位，算术平方根的小数点向左移动1位求解即可． 【详解】解： ∴． 【对点训练】 【答案】 【分析】算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． 立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． 【详解】解：； ． 易错点8·近似数精确度判断 【对点训练】 【答案】D 【分析】将科学记数法表示的数还原为原数，根据最后一位有效数字所在数位确定精确度． 【详解】解：，数字5位于万位，即该数据精确到万位． 【对点训练】 【答案】A 【分析】本题考查数字的精确度概念，需根据每个数字的表示形式判断其精确到的数位． 【详解】A．“368万”精确到万位，而非个位，∴说法错误． B．2.58有两位小数，精确到百分位，∴说法正确． C．，该数有两个有效数字，最后一个有效数字7在十位上，因此该数精确到十位，∴说法正确． D．566是整数，精确到个位，∴说法正确． 故选：A． 【对点训练】 【答案】C 【分析】本题主要考查近似数的知识点． 根据近似数的精确度定义，科学记数法的精确度由系数的最后一位数字决定，需结合指数判断实际精确位． 【详解】∵ 近似数的精确度取决于最后一位有效数字的位置； 选项A.：最后一位数字0在千分位，故精确到千分位，不是百分位，不符合题意； 选项B.：中系数最后一位在千分位，乘以后精确到十位，不是千分位，不符合题意； 选项C.：中系数最后一位在百分位，乘以后精确到千位，正确，符合题意； 选项D.：万，最后一位有效数字在万位，故精确到万位，不是个位，不符合题意． 故选C． 1． 【答案】D 【分析】注意算术平方根仅取非负值，带分数开方需先化为假分数，立方根符号与被开方数一致． 【详解】解：∵表示16的算术平方根，结果为4， ∴A选项错误． ∵， ∴B选项错误． ∵， ∴C选项错误． ∵， ∴，D选项正确． 2． 【答案】B 【分析】先化简可化简的开方数，再逐一判断各数类型，统计无理数个数． 【详解】解：计算得，有理数有，0.257，，共3个； 无理数有，，，（每两个1之间0的个数依次加1），共4个． 3． 【答案】C 【分析】根据平方根，算术平方根，及立方根的概念解答即可． 【详解】解：A选项：∵，∴9的平方根是，A错误； B选项：∵，，∴的立方根不是5，B错误； C选项：∵，∴25的平方根是，C正确； D选项：∵，∴D错误． 4． 【答案】A 【分析】首先需要找到哪个数的立方等于，计算结果即可． 【详解】解：， ， ． 5． 【答案】D 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴，，， 解得：． 6． 【答案】B 【分析】先估算出的范围，再变形得到的范围． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 不等式各边同时减1，可得 ， ∴ 的值在0和1之间． 7． 【答案】B 【分析】被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么开立方的结果的小数点向右移动一位，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴． 8． 【答案】/ 【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点表示的数即可． 【详解】解：如图， 正方形的边长为1， ， ， 点表示1， 点到点原点的距离为：， ∵点在数轴的负半轴上， 点表示． 9． 【答案】 万分 四 【详解】解：近似数精确到万分位，它有四个有效数字． 10． 【答案】 【分析】初始所有扑克牌反面向上，每张牌被翻动的次数等于对应桌子编号的正因数个数，翻动奇数次后牌变为正面向上，而只有完全平方数的正因数个数为奇数，非完全平方数的正因数个数为偶数，故只需计算到中完全平方数的个数即可． 【详解】解：由题意，初始所有扑克牌反面向上，对编号为（，为正整数）的桌子，当指令数字是的因数时，是的整数倍，对应扑克牌被翻动一次，因此编号的扑克牌被翻动次数等于的正因数个数； 若扑克牌最终正面向上，则需翻动奇数次， ∵对任意正整数，正因数总是成对出现（一个正整数能分解成两个正整数的乘积），且只有完全平方数的算术平方根是重复因数， ∴只有完全平方数的正因数个数为奇数，非完全平方数的正因数个数为偶数． ∵在到中，完全平方数为，共个， ∴正面向上的张数是10． 11． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，再推导的取值范围，最后根据题目规定的的定义求出结果． 【详解】解：，， ， 不等式两边同时减，得 ， 根据表示实数的整数部分的定义，可得． 12． 【答案】 【分析】首先利用算术平方根的性质估算出分别在哪两个连续整数之间，然后观察数轴确定墨迹覆盖的数值范围，最后找出位于该范围内的数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 由图可知，墨迹覆盖的范围是2到3之间， 能被墨迹覆盖的数是． 13． 【答案】 【分析】先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的算术平方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可． 【详解】解：当输入是16时，取算术平方根是4，4是有理数； 再把4输入，4的算术平方根是2，2是有理数； 再把2输入，2的算术平方根是，是无理数， 所以输出y的值是． 14． 【答案】/ 【详解】解：∵圆的周长为， ∴点B表示的数为． 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数的初步认识 知识点一·算术平方根 1.定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.算术平方根的性质 3.算术平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 知识点二·平方根 平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点三·平方根 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 知识点四 实数 1.无理数 （1）定义：无限不循环小数又叫无理数. （2）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （3）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点五 近似数 精确度判断：普通小数看最后一位；科学记数法要还原，看末尾有效数字所在数位 易错点1·平方根、算术平方根概念混淆 易错提醒 1.代表算术平方根，结果一定是非负数;土才是a的平方根。 2.负数没有平方根，但负数有立方根。 【对点训练】1．计算_______________． 【答案】11 【分析】直接利用算术平方根的定义以及有理数的乘方运算法则分别化简得出答案． 【详解】解：原式=2+9 =11． 故答案为：11． 【点睛】此题主要考查了算术平方根以及有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键． 【对点训练】2．计算___________． 【答案】 【分析】先将各二次根式化简，再合并即可得到答案． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是化简二次根式，注意． 【对点训练】3．下列说法中正确的是（   ） A．的算术平方根是 B．是144的平方根 C．的平方根是 D．的算术平方根是a 【答案】B 【分析】本题考查平方根与算术平方根的定义，先化简题目中的二次根式，再根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解： A. ∵， ∴的算术平方根是，不是，A错误； B. ∵， ∴是144的平方根，B正确； C. ∵， ∴的平方根是，不是，C错误； D. 当时，的算术平方根是，因此的算术平方根不一定是，D错误． 易错点2·算术平方根双重非负性忽略限制条件 易错提醒 有两层要求:①被开方数a > 0;②运算结果 > 0. 多个非负数(根号、绝对值、平方)相加等于 0，则每一项单独等于 0. 【对点训练】1．下列说法正确的是（   ） A．3是9的算术平方根 B．0没有平方根 C．81的平方根是9 D．的平方根是 【答案】A 【详解】解∶A． ∵ ，根据算术平方根的定义可得，3是9的算术平方根，故本选项正确，符合题意； B． 0的平方根是0，故本选项错误，不符合题意； C． ∵ ，∴ 81的平方根是，故本选项错误，不符合题意； D． ∵ ，∴ 4的平方根是，即的平方根是，故本选项错误，不符合题意． 故选∶A． 【对点训练】2．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．一定有平方根 C．0.01的平方根是0.1 D．2的算术平方根是 【答案】B 【分析】根据算术平方根、平方根进行计算和判断即可． 【详解】A. 的平方根是，故选项错误，不符合题意；     B. 一定有平方根，故选项正确，符合题意；     C. 0.01的平方根是，故选项错误，不符合题意；         D. 2的算术平方根是，故选项错误，不符合题意． 【对点训练】3．已知，则______． 【答案】8 【分析】根据算术平方根的非负性的条件求出的取值，再求出的值，最后代入计算即可． 【详解】解：根据算术平方根的非负性的条件，被开方数为非负数，得：且， 解得， 将代入原等式，得， 即， 将代入，得． 易错点3· 【对点训练】1．已知，则_________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，几个非负数的和为时，每个非负数都为，据此分别求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解： ，，且， ，， 解得，， ． 【对点训练】2．若，则的算术平方根是______． 【答案】9 【分析】先根据非负数的性质求出，然后求出的值，再求的算术平方根． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的算术平方根是． 【对点训练】3．计算：______． 【答案】3 【详解】解：． 易错点4·无理数识别判断出错 易错提醒 无理数:无限不循环小数。 X误区:带根号就是无理数(V4=2是有理数):无限小数都是无理数(无限循环小数是有理数):分数是无理数。三类无理数:①开方开不尽;②含π;③人为构造无限不循环小数(0.1010010001...) 【对点训练】1．在中，无理数共有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：无理数的定义为无限不循环小数， ∵是无理数，∴是无理数； ∵ 是无限不循环小数，∴是无理数； ∵是整数，是分数，整数和分数都属于有理数，∴和是有理数； 因此无理数共有个. 【对点训练】2．在实数中，无理数的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：， 无理数有，共有3个． 【对点训练】3．在实数3.1415926，，，，1.010010001...，中，无理数有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：， 无理数有：，1.010010001...，，共3个． 易错点5·估算无理数：小数部分计算错误 易错提醒 小数部分＝原无理数＝整数部分，小数部分>0，不要写错 【对点训练】1．若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数估值，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵的整数部分为，小数部分为， ∴，， 故选：C． 【对点训练】2．已知，则的小数部分是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，由，可得，即可得的整数部分是，进而即可求解，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴的整数部分是， ∴的小数部分是， 故选：． 【对点训练】3．若的整数部分用表示，小数部分用表示，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，以及实数的运算．熟练掌握无理数估算的方法：找到被开方数左右两边相邻的能开方的两个数，是解题的关键． 先根据无理数的估算，确定整数部分，再用原数减去整数部分，求出小数部分，再进行计算即可； 【详解】解：的整数部分用表示， 则， 小数部分用表示， 则， ， 故选：A 易错点6·开方方程混淆平方根与立方根的解 【对点训练】1．求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：， 开立方得：， 解得：； （2）解：， 方程两边同除以4得：， 开平方得：， 即，． 【对点训练】2．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解： 解得； （2）解： 解得或． 【对点训练】3．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：， ， 解得：或； （2）解： ， ， 解得：． 易错点7·小数点移动规律记反 / 位数记错 易错提醒 算术平方根：被开方数移动2 位，结果同向移动 1 位； 立方根：被开方数移动3 位，结果 向移动 1 位。 【对点训练】1．已知，，则______． 【答案】453.9 【分析】根据被开方数扩大10000倍，结果扩大100倍解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 【对点训练】2．已知，则_____． 【答案】 【分析】根据被开方数的小数点每向左移动2位，算术平方根的小数点向左移动1位求解即可． 【详解】解： ∴． 【对点训练】3．已知，，则______；已知，，则______． 【答案】 【分析】算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． 立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． 【详解】解：； ． 易错点8·近似数精确度判断 【对点训练】1．2026年某市常住人口约为人，该数据精确到（     ） A．个位 B．十位 C．百位 D．万位 【答案】D 【分析】将科学记数法表示的数还原为原数，根据最后一位有效数字所在数位确定精确度． 【详解】解：，数字5位于万位，即该数据精确到万位． 【对点训练】2．下面说法中错误的是（   ） A．368万精确到个位 B．2.58精确到百分位 C．精确到十位 D．566精确到个位 【答案】A 【分析】本题考查数字的精确度概念，需根据每个数字的表示形式判断其精确到的数位． 【详解】A．“368万”精确到万位，而非个位，∴说法错误． B．2.58有两位小数，精确到百分位，∴说法正确． C．，该数有两个有效数字，最后一个有效数字7在十位上，因此该数精确到十位，∴说法正确． D．566是整数，精确到个位，∴说法正确． 故选：A． 【对点训练】3．下列说法正确的是（    ） A．精确到百分位 B．精确到千分位 C．精确到千位 D．万精确到个位 【答案】C 【分析】本题主要考查近似数的知识点． 根据近似数的精确度定义，科学记数法的精确度由系数的最后一位数字决定，需结合指数判断实际精确位． 【详解】∵ 近似数的精确度取决于最后一位有效数字的位置； 选项A.：最后一位数字0在千分位，故精确到千分位，不是百分位，不符合题意； 选项B.：中系数最后一位在千分位，乘以后精确到十位，不是千分位，不符合题意； 选项C.：中系数最后一位在百分位，乘以后精确到千位，正确，符合题意； 选项D.：万，最后一位有效数字在万位，故精确到万位，不是个位，不符合题意． 故选C． 1．下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】注意算术平方根仅取非负值，带分数开方需先化为假分数，立方根符号与被开方数一致． 【详解】解：∵表示16的算术平方根，结果为4， ∴A选项错误． ∵， ∴B选项错误． ∵， ∴C选项错误． ∵， ∴，D选项正确． 2．在，，，0.257，，，（每两个1之间0的个数依次加1）中，无理数有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】先化简可化简的开方数，再逐一判断各数类型，统计无理数个数． 【详解】解：计算得，有理数有，0.257，，共3个； 无理数有，，，（每两个1之间0的个数依次加1），共4个． 3．下列说法正确的是（     ） A．9的平方根是3 B．的立方根是5 C．25的平方根是 D． 【答案】C 【分析】根据平方根，算术平方根，及立方根的概念解答即可． 【详解】解：A选项：∵，∴9的平方根是，A错误； B选项：∵，，∴的立方根不是5，B错误； C选项：∵，∴25的平方根是，C正确； D选项：∵，∴D错误． 4．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先需要找到哪个数的立方等于，计算结果即可． 【详解】解：， ， ． 5．已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 【答案】D 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴，，， 解得：． 6．公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数“”．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致了西方数学史上的“第一次数学危机”．请你估计的值在（     ） A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 【答案】B 【分析】先估算出的范围，再变形得到的范围． 【详解】解：∵ ， ∴ ， 不等式各边同时减1，可得 ， ∴ 的值在0和1之间． 7．已知，，，则（     ） A．27.76 B．12.89 C．59.81 D．5.981 【答案】B 【分析】被开立方的数的小数点每向右移动三位，那么开立方的结果的小数点向右移动一位，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴． 8．我们知道实数与数轴上的点一一对应，如图，正方形的边长为1，以数轴上表示数1的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴负半轴交于点P，则点P表示的实数为____________． 【答案】/ 【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据数轴上两点间的距离公式求出点表示的数即可． 【详解】解：如图， 正方形的边长为1， ， ， 点表示1， 点到点原点的距离为：， ∵点在数轴的负半轴上， 点表示． 9．近似数精确到______位，它有______个有效数字． 【答案】 万分 四 【详解】解：近似数精确到万分位，它有四个有效数字． 10．某科研机构为训练机器人的判断和执行力，将个机器人安排坐在编号依次为到的桌子前，每张桌子的桌面上只平放一张反面向上的扑克牌（扑克牌只有正面向上或反面向上）．开始向每个机器人发送，，，…，的数字指令，每个机器人作出判断和执行：当机器人所坐桌子的编号是指令数字的整数倍时，就将桌面上扑克牌翻一面，否则就不动．假设每个机器人判断全部正确且按要求完成了操作，则正面向上的张数是________． 【答案】 【分析】初始所有扑克牌反面向上，每张牌被翻动的次数等于对应桌子编号的正因数个数，翻动奇数次后牌变为正面向上，而只有完全平方数的正因数个数为奇数，非完全平方数的正因数个数为偶数，故只需计算到中完全平方数的个数即可． 【详解】解：由题意，初始所有扑克牌反面向上，对编号为（，为正整数）的桌子，当指令数字是的因数时，是的整数倍，对应扑克牌被翻动一次，因此编号的扑克牌被翻动次数等于的正因数个数； 若扑克牌最终正面向上，则需翻动奇数次， ∵对任意正整数，正因数总是成对出现（一个正整数能分解成两个正整数的乘积），且只有完全平方数的算术平方根是重复因数， ∴只有完全平方数的正因数个数为奇数，非完全平方数的正因数个数为偶数． ∵在到中，完全平方数为，共个， ∴正面向上的张数是10． 11．若规定用符号表示一个实数的整数部分，例如：，，按此规定：____． 【答案】 【分析】先估算出的取值范围，再推导的取值范围，最后根据题目规定的的定义求出结果． 【详解】解：，， ， 不等式两边同时减，得 ， 根据表示实数的整数部分的定义，可得． 12．若将，，这三个数表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹（阴影）覆盖的数是________． 【答案】 【分析】首先利用算术平方根的性质估算出分别在哪两个连续整数之间，然后观察数轴确定墨迹覆盖的数值范围，最后找出位于该范围内的数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 由图可知，墨迹覆盖的范围是2到3之间， 能被墨迹覆盖的数是． 13．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为_________ 【答案】 【分析】先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的算术平方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可． 【详解】解：当输入是16时，取算术平方根是4，4是有理数； 再把4输入，4的算术平方根是2，2是有理数； 再把2输入，2的算术平方根是，是无理数， 所以输出y的值是． 14．如图，半径为1的圆从表示的点开始沿着数轴向右滚动一周，圆上的点A与表示的点重合，滚动1周后到达点B，点B表示的数是________． 【答案】/ 【详解】解：∵圆的周长为， ∴点B表示的数为． 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $