第17章 勾股定理-【一本】初中数学基础知识大盘点

第十七章 勾股定理 内容 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长 为c,那么a2+b2=c2 勾股定理 变形a2=c2-b2,b2=c2-a2 证明一借助面积的相等关系来证明 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个 勾股定理 内容 三角形是直角三角形 勾股定理 的逆定理 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 每个命题都有逆命题 互逆命题的题设和结论正好相反 逆命题 每个定理都有逆命题，但不一定有逆定理 ◆190◆ 17.1 勾股定理 3年990考 盘 基础知识 知识点1勾股定理894考 知识点3勾股定理的实际应用65考 1.文字语言：如果直角三角形的两条直角边 1.利用勾股定理解决实际问题的一般步骤 长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+ (1)从实际问题中抽象出几何图形： b=c2. 勾股定理应用的前提条件 (2)找到与问题相关的直角三角形； 2.符号语言：如图，在Rt△ABC中， (3)根据勾股定理建立等量关系，列方程； (4)解方程，得到符合题意的结果 2.利用勾股定理解决实际问题的常见类型 (1)直接利用勾股定理列方程解决实际 .∠C=90°，∴a2+b2=c2」 问题； 知识点2勾股定理的验证8考 (2)利用勾股定理解决几何体表面最短距 我国最早对勾股定理进行证明的是汉代 离问题； 数学家赵爽，他以弦图为基本图形，利用 (3)利用勾股定理和方程思想解决与“翻 “出入相补法”证明了勾股定理，后人称之 折”相关的问题； 为“赵爽弦图”.运用拼图的方式，利用两 第十七章 (4)利用勾股定理解决有关几何图形面积 种不同的方法计算同一个图形的面积，从 问题， 而得到验证，几种证明方式如表所示 知识点34 画长为√n(n为正整数) 图形 证明过程 的线段13考 股定理 实数与数轴上的点是一一对应的，借助勾 说明：直角梯形由三个 直角三角形拼合而成. 股定理可以在数轴上画出表示无理数√n 计算：a+ba+b)-2X (n为正整数)的点. 6 1 2,即2-d+6 示例)在数轴上画出表示√13的点 解：如图，①在数轴上找出表示3的点A, 拼图验证 说明：四个全等的直角三 角形拼成一个大正方形. 则OA=3;②过，点A作直线L垂直于OA, 计算：2=4×号b+ 在1上取点B,使AB=2;③以原点O为 (b-a)2,即c2=a2+b2 圆心，以OB的长为半径作弧，孤与数轴 说明：四个全等的直角三 的交点C即为表示√I3的点 角形拼成一个大正方形. 计算：(a十b)2=4× B 2ab+c2,即c2=a2+b 0123 ◆191◆ 典型考法 考法1 利用勾股定理求长度 角度2在正方形网格中求 角度1直接求 例3如图，已知网格中每个小正方形的边 例1如图，在Rt△ABC A 长均为1，以点A为圆心，AB的长为半径画 中，∠C=90°，∠A,∠B,b 弧交网格线于点D,则ED的长为() D ∠C所对的边分别为a,c E---- b,c. (1)若a=12,b=5,求c; (2)若a=6,c=10,求b; A.5 B.3 D.√13 (3)若a:b=1:2,c=5,求a. 答案A 解：(I)在Rt△ABC中，由勾股定理， 方法提炼网格中求线段的长度的方法 得c=√a2+b=√122+52=13. 网格中求线段的长度，往往利用网格构 (2)在Rt△ABC中，由勾股定理， 造直角三角形，利用网格长得到直角三角形 得b=√c2-a2=√102-62=8. 的两条边长，然后利用勾股定理求出第三条 (3).a:b=1:2, 边长，即求得待求线段的长度 .设a=k,则b=2k. 利用勾股定理构建方程解决实 第十七 在Rt△ABC中，由勾股定理， 考法2 际问题 得a2+b2=c2,即k2+4k2=25, 例4创新考法数学文化《九章算 .k=5,.a=√5. 术》中有一个“引葭赴岸”问题： 例2易错若一个直角三角形的两条边长 “今有池方一丈，葭生其中央，出 分别为3和4，则这个三角形的周长是 理 水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问 水深、葭长各几何？”大意是有一个池塘，其 解析分为两种情况：①斜边是4，有一条直角边 底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生 是3，由勾股定理，得第三条边长是√4一3= 长在它的正中央，芦苇高出水面1尺.如果 √7，此时这个三角形的周长是3十4十√7=7十 把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边， √7；②3和4都是直角边，由勾股定理，得第三条 那么芦苇的顶端恰好到达池边的水面（如 边长是√42十32=5，此时这个三角形的周长是 图).问水深和芦苇长各多少尺？水深是 3+4+5=12. 尺 综上所述，这个三角形的周长是12或7十√7. 解析 依题意画出图形如图所示 答案12或7+√7 會易错点拔已知直角三角形的两条边求第 三条边时，若题干中没有说明这两条边是直 角边还是斜边，则要分类讨论，注意不要 G 漏解 设芦苇长AC=AC=x尺，则水深AB=(x一1)尺 ◆192◆ 由题意，得CE=10尺， AD=10,则EC的长为 ..CB=5R. 在Rt△ACB中，由勾股定理，得CB2+AB2 AC2,即52+(x-1)2=x2, B 解得x=13,即芦苇长13尺，水深是12尺. 解析，四边形ABCD是长方形， 答案12 ..AD=BC=10,AB=CD=6, 方法提炼利用勾股定理构建方程思想 ∠B=∠C=90° 此类问题的一般思路是将实际问题抽 由翻折的性质可知AF=AD=10,EF=DE. 象成数学模型来解决，该数学模型就是直角 在Rt△ABF中， 三角形，然后利用勾股定理列出方程，通过 BF=√AF2-AB=V√102-62=8， 解方程求解. ∴.CF=BC-BF=10-8=2. 双直角三角形中利用“公共边” 设EC=x,则DE=EF=6-x. 考法3 作桥梁建立方程 在Rt△EFC中，EF=EC十CF2, 例5如图，在△ABC中，AB=15,BC=14, AC=13,求△ABC的面积， (6=2+2,解得x=号C=8 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解 答案 题思路，请你按照他们的解题思路完成解答 过程 上方法提炼利用勾股定理解决折叠问题的 第 如图，过点A 根据勾股定理， 利用勾股定 作AD⊥BC于 利用AD作为 理求出AD 关键是明确折叠后的图形与原图形是全等 点D.设BD=x, “桥梁”，建 的长，再计 形，题目中的已知条件也随之转移.将已知 用含x的代数 立方程模型求 算三角形的 勾 式表示CD 出x 面积 条件和未知结论集中到同一个直角三角形 股定 中，利用勾股定理解决问题. 桥梁建立超两个直角 三角形的联系 利用勾股定理求几何体表面距 考法5 离最短问题 例7如图，有一个长方体盒子， 解：在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,设 底面是边长为2cm的正方形， BD=x,则CD=14-x. 高为3cm.在长方体盒子下底面 由勾股定理，得AD2=AB2-BD2=152-x2, AD=AC-CD=132-(14-x)2, 的A点有一只蚂蚁，它想吃上底 ∴.152-x2=132-(14-x)2,解得x=9. 面F点处的食物，怎样爬行路程最短？最短 ∴.AD=W152-92=12, 路程是多少？ S度=2BC·AD=2X14X12=84. 解：如图1，将长方形ABCD与长方形BEFC展 开成长方形AEFD,则AE=AB十BE=4cm, 考法4利用勾股定理解决折叠问题 EF=3cm,连接AF」 例6如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠， 在Rt△AEF中，AF2=AE2+EF2=42+32= 使点D恰好落在BC边上点F处.若AB=6, 25,∴.AF=5cm. ◆193◆ 距离公式的推导过程， N() Y2-yi M() y 图1 图2 H(x2y) x2-x 如图2，将长方形ABCD与正方形CFGD展开 X2 成长方形ABFG,则BF=BC+CF=3十2= 在平面直角坐标系中，已知两点的坐标是 5(cm),AB=2cm,连接AF M(x1,y1),N(x2,y2),那么M,N两点之间 在Rt△ABF中，AF=BF2+AB2=52十 的距离可以用公式MN= 22=29, √(x2一x1)2+(y2-y)2计算.试根据公式 .AF=√29cm..√/29>5， 解决下列问题： ∴.将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方 (1)若点M(2,4),N1(-3,一8)，则M,N 形AEFD,连接AF,沿AF爬行的路程最短，最 两点之间的距离为 短路程是5cm. (2)若点M2(5,m)与点N2(2,0)之间的距离 为6，求m的值 方法提炼求几何体表面最短路径问题的 解：(1)点M(2,4),N1(-3,-8), 方法 M,N1两，点之间的距离为 解决几何体表面最短路径问题时，常常 √-3-2)2+(-8-4)2=13.故答案为13. 第十七章 将几何体平面展开，将问题变为求平面上两 (2)点M(5,m)与点N2(2,0)之间的距离为6， 点之间的最短距离问题，然后根据题意构造 ∴.√(2-5)2+(0-m)2=6, 直角三角形，利用勾股定理解决 解得m=士3√3，即m的值是士3√3， 定 考法6 平面内两点之间的距离 方法提炼坐标平面内两点之间的距离 例8（创新考法阅读理解阅读下列一段文 若点A(a,b),B(m,n),则AB= 字，并结合图中的信息理解平面内两点间的 √(a-m)2+(b-n)2. 17.2 勾股定理的逆定理 3年67考 盘 基础知识 知识点1互逆命题与互逆定理18考 (注意一个命题一定有逆命题.原命题成 1.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题 立，它的逆命题不一定成立 的题设是第二个命题的结论，而第一个命题 2.互逆定理：一般地，如果一个定理的逆命 的结论是第二个命题的题设，那么这两个命 题经过证明是正确的，那么它也是一个定 题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命 理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个 题，那么另一个叫做它的逆命题 定理叫做另一个定理的逆定理 ◆194 (点拨(1)互逆命题不一定是互逆定理，但 边的三角形是钝角三角形；若a2十b>c2,则 互逆定理一定是互逆命题， 以a,b,c为三边的三角形是锐角三角形 (2)不是所有的定理都有逆定理。 4.勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与 知识点2勾股定理的逆定理43考 联系 1.文字语言：如果三角形的三边长a,b,c满 区别 联系 足a2+b=c2,那么这个三角形是直角三 条件 结论 角形 两直角边 ①二者是互 2.符号语言：如图， 勾股直角三 的平方和 逆定理； 定理 角形 等于斜边 ②二者都与 的平方 三角形三边 有关，且都 勾股 两边的平 包含a2+b 在△ABC中，.'a2+b=c2∠C=90 定理 方和等于 直角三 =c2;③二者 若a2+c2=6,则∠B=90°； 的逆 第三边的 角形 都与直角三 若c2+b2=a2,则∠A=90 定理 平方 角形有关 3.勾股定理的逆定理的延伸 知识点3勾股数6考 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是 1.概念：能够成为直角三角形三条边长的三 否是直角三角形的一种重要依据，它通过 “数形结合”来确定三角形的形状，在运用 个正整数，称为勾股数， 这一定理时，可用两短边的平方和(a十 2.常见的勾股数：(1)3,4,5；(2)5,12,13； 第十七章 b)与最长边的平方(c2)作比较.若a2十 (3)7,24,25;(4)8,15,17;(5)9,40,41等. 勾 b=c2,则以a,b,c为三边的三角形是直 (点拨勾股数的整数倍仍是勾股数，如6， 股定 角三角形；若a2+b2<c2,则以a,b,c为三 8,10;9,12,15. 典型考法 考法1 逆命题的确定方法 (2)逆命题是如果x2=4,那么x=2,它是假 例1 写出下列命题的逆命题，并判断其 命题 真假： (3)逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三 (1)同位角相等，两直线平行： 角形，它是真命题 (2)如果x=2,那么x2=4; (4)逆命题是到线段两个端点距离相等的点在 (3)等腰三角形两底角相等； 线段的垂直平分线上，它是真命题， (4)线段垂直平分线上的点到线段两个端点 方法提炼逆命题真假的判断方法 的距离相等， 解：(1)逆命题是两直线平行，同位角相等，它是 找出命题的 交换题设 判断命题 题设和结论 和结论 的真假 真命题 ◆195◆ 考法2 判断定理是否有逆定理 ∴.AB2=132=169,AD+BD2=122+52=169, 例2下列定理中有逆定理的是 ..AB2=AD2+BD2, A.对顶角相等 ∴.△ABD是直角三角形，∠ADB=90°， B.全等三角形的面积相等 ∴.∠ADC=90° C.相反数的绝对值相等 在Rt△ADC中，CD=√AC2-AD=9. 利用勾股定理的逆定理求不规 D.直角三角形的两个锐角的和等于90° 考法5 则图形的面积 答案D 例5 如图，有一块空白地，∠D=90°，CD= 利用勾股定理的逆定理判断三 考法3 角形的形状 6m,AD=8m,AB=26m,BC=24m.试求 例3根据下列条件，分别判断以a,b,c为 这块空白地的面积 边的三角形是不是直角三角形 (1)a=30,b=50,c=40; D A (2a=号6=1c=号 解：如图，连接AC 解：(1).302+402=2500=502， D ∴.以30,40,50为边的三角形是直角三角形. B 2:(爱》+()-8≠ :∠D=90°，△ADC是直角三角形. 由勾股定理，得AD2+CD2=AC， 以 第十七 ，号，1为边的三角形不是直角三角形， 即82+62=AC,解得AC=10. 又AC+CB2=102+242=262=AB2, 上方法提炼利用勾股定理的逆定理判断三 △ACB是直角三角形， 勾 角形是否是直角三角形的步骤 '.这块空白地的面积=SAACB一SNACD= (1)确定最长边； 定 (2)分别计算最长边的平方、较短两边的平 合×10×24-2×6X8=96(m). 方和； 答：这块空白地的面积为96m2. (3)比较是否相等，若最长边的平方等于较 上方法提炼不规则图形面积的求法 短两边的平方和，则该三角形是直角三角 形，否则不是. 通过割或补的方法将不规则图形面积 转化为规则图形（如三角形、长方形等）面积 利用勾股定理的逆定理求线段 的和或差，然后计算出规则图形面积的和或 考法4 的长 差，进而得到不规则图形的面积。 例4如图，在△ABC中，D为BC边上的一 点，已知AB=13,AD=12,BD=5,AC= 勾股定理的逆定理在航海问题 考法6 中的应用 15.求CD的长 例6如图，MN为我国领海线，即MN以 西为我国领海，以东为公海.某日上午9时 50分，我国反走私艇A发现正东方向有一 B D 走私艇C正以16 n mile/h的速度偷偷向我 解：，AB=13,AD=12,BD=5, 国领海开来，于是立即通知正在MN线上巡 ◆196◆ 逻的反走私艇B.已知反走私艇A和走私艇 :SAC=2AC.BE=2AB·BC, C的距离是10 n mile,反走私艇A,B的距 离是6 n mile,反走私艇B和走私艇C的距 即)×10BE=号X6×8,解得BE-2 2 离是8 n mile..若走私艇C的速度不变，则最 在Rt△BEC中，由勾股定理，得CE= 快进人我国领海需要多长时间？ 北 VBC°-BE=32 n mile. .'走私艇C的速度为16 n mile/h, ∴最快造入我国领海所需的时间为号：16-号， 解：由题意，得AC=10 n mile,.AB=6 n mile, 答：若走私艇C的速度不变，则最快进入我国领 BC=8 n mile, .AB+BC=62+82=102=AC,∴.∠ABC=90° 海%要 h. 中考真题演练 考点1 勾股定理的应用 3.[陕西]如图，在3×3的正方形网格中，每 1.[四川攀枝花]图1是第七届国际数学教 个小正方形的边长均为1，点A,B,C都在 育大会(ICME)的会徽，在其主体图案中 格点上.若BD是△ABC的高，则BD的 长为 ( 第 选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组 成如图2所示的四边形OABC.若OC= A号的 B/13 √5，BC=1,∠AOB=30°，则OA的值为 C. D.雨 勾 股定 4.[山东济宁]如图，在三角形纸片ABC中， R ∠BAC=90°，AB=2,AC=3.沿过点A 的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上 ICME-7 图1 图2 的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重 A.√3 B.3 C.2 合.若折痕与AC的交点为E,则AE的长 D.1 是 ( ) 2.[四川自贡]如图，A(8,0),C(一2,0)，以 点A为圆心，AC的长为半径画弧，交y A.13 6 B.6 c D 轴正半轴于点B,则点B的坐标为() A.(0,5) B.(5,0)C.(6,0) D.(0,6) 第4题图 第5题图 5.[广西百色]已知两边和其中一边的对角 对应相等的两个三角形不一定全等.例 第2题图 第3题图 如：已知在△ABC中，∠A=30°，AC=3, ◆197● ∠A所对的边长为√3.满足已知条件的 10.[湖南岳阳]《九章算术》是我 三角形有两个（我们发现其中一个是如图 国古代数学名著，书中有如 所示的直角三角形)，则满足已知条件的 下问题：“今有户高多于广六 三角形的第三边的长为 ( 尺八寸，两隅相去适一丈.问x尺 A.23 B.23-3 户高、广各几何？”其大意为 今有一门，高比宽多6尺8 C.2√3或√3 D.2√3或2√3-3 寸，门的对角线的长恰好为1 6.[四川成都]如图，数字代表所在正方形的 丈.问门高、宽各是多少？(1丈=10尺，1 面积，则A所在正方形的面积 尺=10寸)如图，设门高AB为x尺，根据 为 题意，可列方程为 考点3逆命题 64 36 11.[上海]下列说法正确的是 A.命题一定有逆命题 B.所有的定理一定有逆定理 第6题图 第7题图 C.真命题的逆命题一定是真命题 D.假命题的逆命题一定是假命题 7.[青海西宁城区]如图，△ABC是等边三 12.[江苏无锡]请写出命题“如果a>b,那么 角形，AB=6,N是AB的中点，AD是BC b-a<0”的逆命题： 边上的中线，M是AD上的一个动点，连 第十七章 接BM,MN,则BM+MN的最小值 考点4勾股定理的逆定理及其应用 13.[湖南益阳]已知M,N是线段AB上的两 是 点，AM=MN=2,NB=1,以点A为圆 8.[内蒙古鄂尔多斯]如图， 勾 心，AN的长为半径画弧；再以点B为圆 股定 AB⊥BC于点B,AB 心，BM的长为半径画弧，两弧交于点C, AD于点A,E是CD的 D 连接AC,BC,则△ABC一定是() 中点.若BC=5,AD-10,BE=号，则AB A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 的长是 14.[广西玉林]如图，某港口P位于东西方 考点2勾股定理的实际应用 向的海岸线上，甲、乙两艘轮船同时离开 9.[江苏泰州门在如图所示的象棋盘中，各个 港口，各自沿固定方向航行，航行的速度 小正方形的边长均为1.“马”从图中的位 分别为12 n mile/,h,16 n mile/h,1h后 置出发，不走重复路线，按照“马走日”的 两艘轮船分别位于点A,B处，且相距 规则，走两步后的落点与出发点之间的最 20 n mile..若甲轮船沿北偏西40°方向航 短距离为 行，则乙轮船沿 方向航行 马 >答案见P349 ◆198◆(2)CD=DE.理由如下： (200-m)个. AB=AC,∴∠ABC=∠C 依题意，得8m十4(200-m)≤1150， .DE∥BC,∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC, 解得m≤87.5. ∠ADE=∠AED,∴.AD=AE,∴，AC-AD= 答：最多购进87个甲种粽子 AB-AE,即CD=BE. P189 由(1)，得∠EBD=∠EDB, 1.B2.B3.24.C5.C6.2 ∴.BE=DE,∴.CD=DE 11.212.15或45°或75°13.B 7.解：原式=5-9-(3-2W3+1)=-4-4+2W3= P167 -8+2w3. 1.A2.D3.A4.D5.A6.4 8.解：方法1：原式=2+(2-2+)-(2+2+ 7.解：原式=x2+2x+x2+2x+1=2x2+4x+1. .x2+2x-2=0,.x2+2x=2, )=2+2-2+}-2-2-4--2 .原式=2(x2+2x)+1=2×2+1=5. 8.(x-3y)(x+3y)9.6 方法2：原式=2+(2-2+2+2)·(2 10.(m+n-3)2 合-2-2)=+22×(-1D=2-22- P180 1.B2.B3.D4.A5.A6.D7.1 -√2. 且解：原式-（产2十》 (x-2)2 22 P197 x(x-2) x-2· 1.A2.D3.D4.A5.C6.1007.3√58.12 x一2=x. 9.√210.(x-6.8)2+x2=10211.A x≠0，x-2≠0，x≠0，x≠2. 12.如果b-a<0,那么a>b13.B14.北偏东50° .当x=1时，原式=1.（或当x=3时，原式=3.） P216 9.解：原式-L(a+ba-b)a+b」 a 11.(a-b)2 1.B2.110 b 3.证明：(1)O为对角线BD的中点，.OD=OB. a=（a-b).a-b)2 四边形ABCD是平行四边形， (a+b)(a-b) b ∴.DF∥BE,∴.∠DFO=∠BEO. b ,(a-b)2 (a+b)(a-b) 在△DOF和△BOE中， b =a-b I∠DFO=∠BEO, a+b ∠DOF=∠BOE, OD=OB, a=() =3,b=(-2022)°=1， ∴.△DOF≌△BOE(AAS). 原式- (2)由(1)，得△DOF≌△BOE,∴.DF=BE. 又DF∥BE,∴.四边形DFBE是平行四边形， 10.A11.3.4×10-1012.C13.B14.C15.B ∴.DE=BF 16.解：方程两边同时乘(x十1)(x-1),得(x一1)2 4.B5.36.B7.A8.C9.4 3=(x+1)(x-1). 10.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 去括号，得x2一2x+1-3=x2-1. .BA∥CD,∴∠BAE=∠FDE. 移项、合并同类项，得一2x=1, E是AD的中点，AE=DE 解得x=一1 在△BEA和△FED中， 21 I∠BAE=∠FDE, 经检验，当x=-2时，x+1Dx-1)≠0， AE-DE, ∠BEA=∠FED, 1 所以x=一2是原方程的解。 ∴.△BEA≌△FED(ASA),∴.EB=EF 17.解：(1)设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的 又，AE=DE,∴.四边形ABDF是平行四边形. 单价为2x元. 又，∠BDF=90°，∴四边形ABDF是矩形. 依题意，得800_1200-50，解得x=4. (2)由(1)，知四边形ABDF是矩形， x 2x .∠AFD=90°，AB=DF=3,AF=BD. 经检验，x=4是原分式方程的解， 在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF= .2x=8. √AD-DF=√52-32=4， 答：甲种粽子的单价为8元，乙种粽子的单价为 .S矩形ABDF=DF·AF=3X4=12. 4元. ,四边形ABCD是平行四边形， (2)设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子 ∴.CD=AB=3. ◆349