第16章 二次根式-【一本】初中数学基础知识大盘点

第十六章 二次根式 二次根式一一般地，形如a(a≥0)的式子 概念 被开方数不含分母 最简二次根式 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 a≥0(a≥0) (Na)}2=a(a≥0) 性质 a(a>0), na2=lal={0(a=0), -a(a<0) 二次根式 公式a√b=Naba≥0，b≥0) 乘法 逆用 ab=a√b(a≥0，b≥0） 乘除运算 公式 la a √b (a≥0，b>0) 除法 逆用 aa (a≥0，b>0) (1)化成最简二次根式 加减运算 (2)合并被开方数相同的二次根式 混合运算 ◆182◆ 16.1二次根式 3年253考 盘 基础知识 知识点1二次根式31考 a(a>0), 1.概念：一般地，我们把形如√a(a≥0)的式 (3)a2=|a= 0(a=0), 子叫做二次根式，“√厂”称为二次根号， -a(a<0). (注意√a与（√a)2的区别与联系 二次根号下的a叫做被开方数.如√3，√5 都是二次根式，√一2，一x二1都不是 表达式 W (Wa)2 二次根式.：x≥0，心≤0，。 取值范√a中的a取任 (√a)2中 .-x2-1<0 围不同 意实数 的a>0 2.二次根式有意义的条件：被开方数为非负 区别 (a)2是 运算顺 数，即在二次根式√a中，当a≥0时，二次 √a是先平方后 先开方后 序不同 开方 根式√a有意义；当a<0时，二次根式√a 平方 无意义 两者的结果均为非负数，且 联系 当a≥>0时，(Wa)2=√a2=a 示例若√3x一6有意义，则必有3x一6≥ 0,解得x≥2，∴.当x≥2时，√3x一6有 知识点33代数式45考 第 意义 用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、 乘方和开方)把数或表示数的字母连接起来 章 知识点2二次根式的性质7君 二次根式的性质 的式子称为代数式如a十b,一ab,,x等 (1)Wa≥0(a≥0)； (注意代数式中不能含有“>”“≥”“<” 次根式 (2)(Wa)2=a(a≥0)； “≤”“≠”或“=”这样的符号 盘 典型考法 考法1 二次根式及其有意义的条件 式；①④⑤中含有二次根号且被开方数均是正 角度1 二次根式的识别 数，所以①④⑤都是二次根式. 有下列式子：①，②3：⑤8： 答案①④⑤ 例1 ④-v+1√ 方法提炼二次根式的识别方法 ;⑥√/1-x(x>1) 一个式子是二次根式应同时满足两个 其中是二次根式的有 (填序号) 条件：(1)形式上为“√a”的式子；(2)a≥0.两 解析②⑥中的被开方数都小于0，故②⑥不是 者缺一不可. 二次根式；③中的根指数是3，故③不是二次根 ◆183◆ 角度2二次根式有意义的条件 解：(1)(W7)2=7. 例2 若式子有意义，则实数a的取 (2)-(2√5)2=-22X×(W5)2=-4×5=-20. a+2 值范围是 ( 3(号°=（号）°×7=×7=7 A.a≥-1 B.a≤1且a≠-2 考法4 二次根式√a的化简与应用 C.a≥1且a≠2 D.a>2 角度1 二次根式√a的化简 答案B 例5计算： 上方法提炼对于既含有二次根式，又含有分 (1)√64； 2-) 式的代数式，求字母的取值范围时，既要保证 二次根式有意义，又要保证分母不为零。 (3)-√(-6)2；(4)√10 利用二次根式的非负性解决 (5)W(5-√7)2 考法2 问题 解：(1)√64=√82=8. 例3若实数x,y满足|x一4|十√y一8= 0,求以x,y的值为边长的等腰三角形的 2W-引-号 周长。 (3)-√(-6)2=--61=-6. 解：|x-4|+√y-8=0, ∴.x-4=0,y-8=0,解得x=4,y=8. 4④V107=a0=10=10 若等腰三角形以8为底边长，4为腰长， (5)W(W5-√7)2=√5-√7=7-5 六章 则三边长分别为4,4,8. 因为4十4=8，不满足三角形的三边关系， 角度2二次根式√的应用 所以此时的等腰三角形不存在，不符合题意 例6实数a,b在数轴上的位置如图所示， 若等腰三角形以4为底边长，8为腰长， 化简√(a-b)2-√(a+1)-√(b-1)z的 式 则三边长分别为4,8,8. 结果是 因为4十8>8，满足三角形的三边关系，所以此 时的等腰三角形符合题意，所以该等腰三角形 32”0十”2 的周长为4十8十8=20. 解析.a<-1<0<1<b<2, ∴.a-b<0,a+1<0,b-1>0, 方法提炼非负性的常见应用 ∴.√(a-b)2-√(a+1)2-√(b-1)月 若√a十√b=0,则a=0,b=0;若√a十 =|a-b1-|a+1|-lb-1 |b=0,则a=0,b=0;若√a十b=0,则a= =-(a-b)+(a+1)-(b-1) 0,b=0;若a2十b2=0,则a=0,b=0;若 =-a+b+a+1-b+1 |a+|bl=0,则a=0,b=0. =2. 答案2 考法3 (Wa)2=a(a≥0)的应用 例4计算： 方法提炼当被开方数是完全平方式时， 1)W7),(2)-(25),(3)(号7). 可利用√a=a进行化筒. ◆184◆ 16.2二次根式的乘除 3年282考 盘 基础知识 知识点1二次根式的乘法26考 知识点3最简二次根式30考 1.二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘， 1.概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方 把被开方数相乘，根指数不变，即√ā· 数中不含能开得尽方的因数或因式.把满 √b=ab(a≥0，b≥0).如√2X√3= 足上述两个条件的二次根式，叫做最简二 √2X3=√6 次根式如2反，俨都是最简二次根式。 (注意a,b可以是一个数，也可以是一个 2.化为最简二次根式的方法 式子 (1)将被开方数中能开得尽方的因数或因 推广：(1)ab·c√d=acbd(b≥0，d≥ 式进行开方 0);(2)Wa·√b·√c=√abc(a≥0，b≥0， 示例√8=√4X2=2W2,√x2y=xy. c≥0). (2)被开方数是带分数时，要先化成假分 2.积的算术平方根：积的算术平方根等于积 数；被开方数是小数时，要先化成分数， 中各因数或因式的算术平方根的积，即 √ab=√a·√b(a≥0，b≥0).如√4X9= 第 √4×√9=2X3=6. 9 90 0.9三10V100=1010. 推广：√abcd=a·√b·c·√a(a≥0， 章 b≥0，c≥0，d≥0). (3)被开方数是多项式时，要先进行因式 知识点32二次根式的除法26考 分解。 次 1.二次根式的除法法则：两个二次根式相 示例√a3+2a2+a=√a(a2+2a+1)= 式 除，把被开方数相除，根指数不变，即口 √Wa(a+1)2=(a+1)Wa, 3.分母有理化（拓展） √层(a20.b>0.如 /10 =5. (1)概念：把分母中的根号化去，使分母变 成有理数的过程叫做分母有理化.分母有 b=0时分年为0，漫有意义 理化是二次根式化简的过程，不改变二次 (注意要特别注意b的取值范围是b>0, 根式的大小. 而不是b≥0. (2)方法 推广：ma-m(a≥0，b>0,n≠0. ①当分母是a或ba(a>0)的形式时，分 子、分母同时乘√a, 2.商的算术平方根：商的算术平方根等于被 除式与除式的算术平方根的商，即√号 示例) 是-号8 √33X√3 分母金有两项时，常用平方差公式将分母有理化 叵(a≥0，b>0).如√41 9-9=3 21 ②当分母是a十√6(b≥0)的形式时，分 ◆185◆ 子、分母同时乘a一√b,利用平方差公式将 的形式时，分子、分母同时乘√a一√b,利 分母中的根号去掉， 用平方差公式将分母中的根号去掉， 示例 1 2-√3 =2-√3， √5-√2 示例 2+√5(2+√3)(2-√3) √3+√2 (W3+√2)(3-√2) ③当分母是√a+√b(a≥0，b≥0且a≠b) √3-√2. 典型考法 考法1 二次根式的乘除运算 上方法提炼二次根式乘除混合运算的技巧 角度1二次根式的乘法 (1)先对每一个能化简的二次根式化简，再 例1计算： 进行计算，能使运算简便 (1)√15×√5；(2)53×2√6. (2)根号外的系数与根号内的被开方数要同 解：(1)√15×√5=√15X5=√52×3=√5X 步计算 3=5W/3. (3)注意运算顺序 (2)5√3×2√6=5×2√3×6=10√32×2 10√32×√2=10×3X√2=30√2. 考法2最简二次根式 第十六章 角度2二次根式的除法 角度1最简二次根式的识别 例2计算： 例4下列根式中，是最简二次根式的是 (1)18 6 (2)一 B.√4 解：)压=-3. 式 √6V6 C.a2 D.√a+b 5.5 解析 =方故此逸项不是最简二次 A.9 -√18=-√32×2=-3√2 根式 角度3二次根式的乘除混合运算 例3计算： B.√4=2，故此选项不是最简二次根式； 1)v2×÷32,2)28÷ C.√a=a,故此选项不是最简二次根式； X√27. D.√a十b是最简二次根式. 解：D原式=2g×÷3-6× 43√2 答案D 角度2化成最简二次根式 3⑥ 2W241 例5把下列二次根式化成最简二次根式： (2)原式-5÷1×33=5×2w3×33 (1)w240;(2)√1.25； 223 2 =9√3. (3)λ120 (4)√75ab(a≥0). ◆186◆ 思路导引主要运用公式√a·√b=√ab(a≥ (32)2=32×(W2)2=9×2=18, 0.b20j,语-层a060本v=aa2 (25)2=22×(3)2=4×3=12, 18>12, 0)对二次根式进行化简. ∴.(3√2)2>(23)2， 解：(1)√240=√4×15=4√15. .32>2√3 5-5-5 (2)√1.25=√4-4 21 方法2（比较被开方数法）：.∵3√2=√32×2= 17 7 √18,2√3=√22×3=√12,18>12 (3)√120=√20 27×5 32×3×5 W20×5 102 .√18>√/12， 品. .32>23. (4)√75a2b=√52×3a2b=√5·a2·3b 方法3（作商法）：3√2=32层一21，■ 2W323×3 √52·a2·√3b=5a√/3b(a≥0). ∴.32>23. 角度3分母有理化（拓展) (2)-2/1I √44， 例6把下列式子中分母的根号化去： -3W5=-√45， (1) 2 ② (2) 3+1 44<45, 解：(1)5-5X20 .-√44>-√45， √2√2X2 第十六章 .-211>-35. 2 2(W/3-1) 3+13+1)5-)3-1 (2) 《方法提炼二次根式比较大小的方法 次根 (1)平方法：若两个二次根式同号，可先将两 上方法提炼分母有理化的方法 个二次根式分别平方，再根据实数比较大小 分母为 分子、分母同 单项式 乘分母本身 的方法比较即可.如当a>0,b>0时，若 母有理 A>B,分子、分 母同乘A-B 分母为A+B时 a2>b2,则a>b. 分母为 A<B,分子、分 母同乘B-A (2)比较被开方数法：先把根号外的正因数 多项式 分母为A-B时 分子、分母同乘 平方后移到根号内，计算出被开方数，再比 A+B 较被开方数的大小，被开方数大的，其算术 考法3 二次根式的大小比较 平方根也大. 例7比较大小： (3)作商法：同号两数相除，比较商与1的大 (1)-题多解3√2与2W3; 小.如当a,b都是正数时，①若号>1，则a> (2)-2W11与-35， 6:②若8=1，则a=b:⑤若8<1，则a<6, 解：(1)方法1（平方法）：，3√2>0,2√3>0， ◆187● 16.3二次根式的加减 3年304考 盘 基础知识 知识点31同类二次根式（拓展）39考 2.步骤 1.概念：几个二次根式化为最简二次根式 (1)化简：将二次根式化成最简二次根式； 后，如果被开方数相同，那么这几个二次 (2)判断：找出被开方数相同的二次根式； (3)合并：类似于合并同类项，将被开方数 根式叫做同类二次根式.如√⑧，3√2和 相同的二次根式合并 一号2是同类二次根式 示例√12+√18+√27 2.确定同类二次根式的步骤 =2√3+3√2+3√3 化简日 将每一个二次根式都化为最简二次根式 =(2√3+3√3)+3√2 观察 找出其中的被开方数相同的二次根式 =5√3+3√2. (注意几个同类二次根式在没有化简之 知识点3 二次根式的混合运算8考 1.内容：二次根式的混合运算是指二次根式 第十六章 前，被开方数可以完全互不相同，如√位 的加、减、乘、除、乘方的混合运算 2.运算顺序：二次根式的混合运算顺序与实 √⑧和√18是同类二次根式， 数一样，先算乘方，再算乘除，最后算加 知识点2二次根式的加减187考 减，有括号的先算括号内的 次根 1.二次根式的加减法法则：一般地，二次根 (注意()二次根式混合运算的结果应写 式加减时，可以先将二次根式化成最简二 成最简二次根式的形式： 次根式，再将被开方数相同的二次根式进 (2)在二次根式的运算中，多项式乘法法 行合并. 则、乘法公式和实数的运算律仍然适用. 典型考法 考法1 二次根式的加减运算 √5+2W5-3√5=(1+2-3)×5=0. 例1 计算： (21西+1历-v2s+√月 (1)W5+(√20-√45)： (2125+V175-√28+√20： 55+5v7-27+得 解：(1)W5+(√20-√45) 05+37. ◆188◆ (3)(5+6)(3-√5)； 方法提炼二次根式相加减，先把各个二 次根式化成最简二次根式，再合并同类二次 (4)(2-√3)2+(10+√7)(10-√7)-√3： 根式.不能合并的二次根式不能丢弃，它们 解：(1)原式=√6×√3+√8X3=3√2+26】 也是结果的一部分 (2)原式=46÷2/2-32÷22=23-. 考法2 二次根式的混合运算 (3)原式=35-5+18-65=13-3√/5. 例2计算： (1)(W6+√8)XW3; (4)原式=(4-4√3+3)+(10-7)-√3=(7- (2)(4√6-3√2)÷2√2； 4w3)+3-√3=10-53. 中考真题演练 考点1二次根式的概念与性质 5.[内蒙古包头]若x=√2+1，则x2-2x十2 1.[四川雅安]使√x一2有意义的x的取值 的值为 () 范围在数轴上表示为 ( A.7 B.4 -10123 -10123 C.3 D.3-2√2 A B 013 十013一 6.[湖北荆州]已知a=(2)+(-3)°， 第十六章 C D b=(√3+√2)（√3-√2），则√a+b 2.[广东]若|a-√3|+√9a2-12ab+4b 一次根 0,则ab= 7.[青海西宁]计算：（√5+3）（√5一3） A.3 C.4√3 D.9 (3-1)2. 3.[四川遂宁]实数a,b在数轴上的位置如 图所示，化简：|a+1|-√(b-1)严+ √/(a-b)2= 8.[山东临沂]计算：一21+(W2-)- 4之01234 (2+2)。 考点2 二次根式的运算 4.[甘肃白银]下列运算正确的是 A.√3+√3=3 B.4√5-√5=4 C.√3X√2=√6 D.√32÷√8=4 >答案见P349 ◆189◆(2)CD=DE.理由如下： (200-m)个. AB=AC,∴∠ABC=∠C 依题意，得8m十4(200-m)≤1150， .DE∥BC,∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC, 解得m≤87.5. ∠ADE=∠AED,∴.AD=AE,∴，AC-AD= 答：最多购进87个甲种粽子 AB-AE,即CD=BE. P189 由(1)，得∠EBD=∠EDB, 1.B2.B3.24.C5.C6.2 ∴.BE=DE,∴.CD=DE 11.212.15或45°或75°13.B 7.解：原式=5-9-(3-2W3+1)=-4-4+2W3= P167 -8+2w3. 1.A2.D3.A4.D5.A6.4 8.解：方法1：原式=2+(2-2+)-(2+2+ 7.解：原式=x2+2x+x2+2x+1=2x2+4x+1. .x2+2x-2=0,.x2+2x=2, )=2+2-2+}-2-2-4--2 .原式=2(x2+2x)+1=2×2+1=5. 8.(x-3y)(x+3y)9.6 方法2：原式=2+(2-2+2+2)·(2 10.(m+n-3)2 合-2-2)=+22×(-1D=2-22- P180 1.B2.B3.D4.A5.A6.D7.1 -√2. 且解：原式-（产2十》 (x-2)2 22 P197 x(x-2) x-2· 1.A2.D3.D4.A5.C6.1007.3√58.12 x一2=x. 9.√210.(x-6.8)2+x2=10211.A x≠0，x-2≠0，x≠0，x≠2. 12.如果b-a<0,那么a>b13.B14.北偏东50° .当x=1时，原式=1.（或当x=3时，原式=3.） P216 9.解：原式-L(a+ba-b)a+b」 a 11.(a-b)2 1.B2.110 b 3.证明：(1)O为对角线BD的中点，.OD=OB. a=（a-b).a-b)2 四边形ABCD是平行四边形， (a+b)(a-b) b ∴.DF∥BE,∴.∠DFO=∠BEO. b ,(a-b)2 (a+b)(a-b) 在△DOF和△BOE中， b =a-b I∠DFO=∠BEO, a+b ∠DOF=∠BOE, OD=OB, a=() =3,b=(-2022)°=1， ∴.△DOF≌△BOE(AAS). 原式- (2)由(1)，得△DOF≌△BOE,∴.DF=BE. 又DF∥BE,∴.四边形DFBE是平行四边形， 10.A11.3.4×10-1012.C13.B14.C15.B ∴.DE=BF 16.解：方程两边同时乘(x十1)(x-1),得(x一1)2 4.B5.36.B7.A8.C9.4 3=(x+1)(x-1). 10.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 去括号，得x2一2x+1-3=x2-1. .BA∥CD,∴∠BAE=∠FDE. 移项、合并同类项，得一2x=1, E是AD的中点，AE=DE 解得x=一1 在△BEA和△FED中， 21 I∠BAE=∠FDE, 经检验，当x=-2时，x+1Dx-1)≠0， AE-DE, ∠BEA=∠FED, 1 所以x=一2是原方程的解。 ∴.△BEA≌△FED(ASA),∴.EB=EF 17.解：(1)设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的 又，AE=DE,∴.四边形ABDF是平行四边形. 单价为2x元. 又，∠BDF=90°，∴四边形ABDF是矩形. 依题意，得800_1200-50，解得x=4. (2)由(1)，知四边形ABDF是矩形， x 2x .∠AFD=90°，AB=DF=3,AF=BD. 经检验，x=4是原分式方程的解， 在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF= .2x=8. √AD-DF=√52-32=4， 答：甲种粽子的单价为8元，乙种粽子的单价为 .S矩形ABDF=DF·AF=3X4=12. 4元. ,四边形ABCD是平行四边形， (2)设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子 ∴.CD=AB=3. ◆349