第15章 分式-【一本】初中数学基础知识大盘点

第十五章 分式 分母不为0 分式有意义的条件 分式值为0的条件 分子为0且分母不为0 最简分式 分子与分母没有公因式 基本性质 A-ACA-A÷C BB·C (C≠0) BB+C 结果为最简分式或整式 分式的基 约分 A·C (C为公因式) 本性质 B.C= 通分 C通分A AD C BC 1回3—，B万山 B 分 式 乘法运算 b'db.d 除法运算 a÷c=a.4-ad b d bc b·c 乘方一 (份(n是正整数) 分式的运算 同分母分式的加减法法则 加减法法则 异分母分式的加减法法则 aa≠0，n是正整数) 负整数指数幂 科学记数法 概念一分母中含未知数的方程 注意一定 解分式方程 一一化、二解、三检验 要检验 分式方程 列分式方程解应用题 ◆168◆ 15.1分式 3年540考 盘 基础知识 知识点1分式6考 其中A,B,C是整式. 1.分式的概念：一般地，如果A,B表示两个 示例 1_1·aa abab·aa2b' 整式，并且B中含有字母，那么式子合叫 B x4 =x4÷x2 x2 xyxy÷x=y 做分式分式合 中，A叫做分子，B叫做 2.分式的符号变号法则（奇变偶不变）：分式 分母 的分子、分母与分式本身的符号，改变其 示例2,1,2ab都是分式，其中2,1， 中任何两个，分式的值不变，式子可表示 m'x-y a -A -A 2ab是分子，m,x-y,a是分母. B -B 第 (注意分式的判断不需要化简。 一b -6 示例 a-2 a-2 2-a 2-a 十五 2.分式有（无）意义的条件 知识点3约分与通分372考 (1)分式合有意义：分母不为零，即B≠0： 1.约分 盆 (2)分式合无意义：分母为零，即B=0 (1)概念：根据分式的基本性质，把一个分 式的分子与分母的公因式约去，叫做分式 (注意分式有无意义只与分母有关， 的约分 3.分式值为0的条件：分子等于0且分母不 示例 a a÷a 等于0，即当A=0且B≠0时，分式合的 abab÷ab (2)方法： 值为0. 先找分子、分 (拓展分式的值与分子、分母之间的关系 母系数的最大 当分子、分 公约数，再找 最后约去 (1)分式B 的值为正数时，A,B同号； 母都是单项 相同字母的最 分子、分 式时 低次幂，它们 母的公因 的积就是公因 式 (2)分式B 约分的 的值为负数时，A,B异号； 一般 式 方法 (3)分式B 的值为整数时，A是B的整 当分子、分 先把分子、分 然后约去 母都是多项 母分别进行因 分子、分 数倍 式时 式分解 母的公因 式 知识点2分式的基本性质5考 (注意①约分是一种恒等变形，约分前后 1分式的基本性质：分式的分子与分母乘 分式的值不变；②约分的依据是分式的基 (或除以)同一个不等于0的整式，分式的 值不变，即 -合：合-会c≠0. 本性质；③约分的关键是找出分子和分母 的公因式 ◆169● (3)最简分式：分子与分母没有公因式的 (3)确定最简公分母的方法 分式，叫做最简分式 ①最简公分母的系数取各分母系数的最 示例 小公倍数； ac'm+n ②最简公分母的字母因式取各分母所有 (注意分式化简的结果为最简分式或整式. 字母的最高次幂的积。 2.通分 (1)概念：根据分式的基本性质，把几个异 (4)通分的步骤 分母的分式分别化成与原来的分式相等 ①确定各个分式的最简公分母： 的同分母的分式，叫做分式的通分 ②利用分式的基本性质，将分子、分母同 (2)最简公分母：几个分式通分时，通常取 乘一个因式，使分母变为最简公分母，使 各分母的所有因式的最高次幂的积作公 每个分式变为与原分式值相等的分式： 分母，这样的分母叫做最简公分母 ③若分母是多项式，则先进行因式分解， (点拨通分的关键是确定几个分式的最简 再通分 公分母. 第十五章 典型考法 分 考法1 分式的识别 当x=2时，x一2=0，分式无意义，舍去； 下列式子号， 2 当x=一2时，x一2≠0. 例1 ,x2 3’x 中其中园于分式的有 当x=一2时，分式的值为0 A.2个 B.3个 C.4个D.5个 骨易错点拨根据分子为0确定字母的取值 解析分式有之，1，+1 后，一定要将值代入分母，检验分母是否为0， z’元，x+2共3个 进行字母取值的筛查后再下结论， 答案B 考法3分式基本性质的常见应用 方法提炼分式的判断无需化简，分式的 角度1分式中的各项系数化整 三要素：①形知合的式子；②A,B都是整 例3易错不改变分式的值，将下列各分式 中分子、分母的系数化为整数，其结果不正 式；③分母B中含有字母 确的是 () 1 考法2 分式有（无）意义及值为0 3a+2b (①当x取何值时，分式密是意文？ A.11 24 3a-2b 例2 (2)圈当x取何值时，分式二的值 B.1,3z-0.8y=13x-8y 2x-0.7y2x-7y 为0？ C.0.01a-0.5_a-50 0.08a-0.04 8a-4 解：(1)根据题意，得6x十18≠0，解得x≠一3. 1 所以当≠-3时，分式品有意义. 2a-50 30a-3b D.1 5a+6b (2)根据题意，得x2一4=0，解得x=2或x=一2. ◆170 解析分析分式中分子、分母的系数特征→确 解：1)256a6g=-8a2·7a2bc=_8a 21a2b'cd 3bd·7a2b3c 3bd 定分子、分母需要乘的数，通过计算进行化简. (2) 8(x-y)5 8(x-y)5 把B选项中的分子、分母都乘10，即 12y(y-x) 12y(x-y) 2.8沿-是器所以B递项的结 2(x-y）·4(zy)_2z-2y, 3y·4(x-y)4 3y 果错误 (3)x+6z+9 =)+ (x+3)2 x2-9 答案B 方法提炼最简分式的标准是分子、分母 會易错点拨将系数化为整数的过程中不要 中不含有公因式，不能再约分.判断的方法 漏项，特别是常数项，不能漏乘， 是把分子、分母分解因式，看有无公因式，尤 其要注意观察有无互为相反数的因式，这样 角度2字母的取值变化对分式值的影响 的因式也可以通过符号变化化为相同的因 例4若将分式2中m,n的值同时扩大 式从而进行约分 第 到原来的5倍，则分式的值 考法5 分式的通分 十五 A.不变 例6通分： 分 B缩小到原来的 式 C.扩大到原来的5倍 2)1 与 1 yx十y D.扩大到原来的10倍 8。g与a+a+9 2 解析由字母值的变化情况分析分子、分母变 分子：2mm→2·5m·5n=50mn 解：)因为6与办的最简公分母为：， 化→ 分子 分母：m十n→5m十5n=5(m十n) 所以=1b=b,1=1·a=Q a2ba2b·ba26’abab2·aa28 扩大到原来的25倍，分母扩大到原来的5倍→ 分式的值扩大到原来的5倍 （2)国为与十的装简公分号为红一0… (x十y),即x2-y2, 答案C 所以1 =1·(x土y) =x十y x-y (x-y)(x+y)x2-y2, 2方法提炼解决此类问题，应先求出变化 1 。1·(x-y)=x一y 后的分式，然后运用分式的基本性质化简， x+y (x+y)(x-y)x2-y2 1 2 最后将化简结果与原分式进行比较即可· (3)因为a2-g与a2+6a十9的最简公分母为 (a+3)2(a-3), 考法4 分式的约分 1 a+3 例5约分： 所以a2-9(a+3)2(a-3)' 0②影4a 8(x-y)5 2 2(a-3) x2-9 a2+6a+9(a+3)2(a-3)1 ◆171 15.2分式的运算阵90考 盘 基础知识 知识点}1分式的乘除48考 示例 2a+b+a。-2b-a-b 3a2b 3a2b 3a2b 1.乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为 2a+b+a-26-a+b_2a 2 积的分子，分母的积作为积的分母，即 3a2b 3a2b 3ab c=a·c (注意(1)注意运算符号； “·是0-品 (2)结果一定要化简 2.异分母分式相加减 2.除法法则：分式除以分式，把除式的分子、 (1)法则：异分母分式相加减，先通分，变 分母顿倒位置后，与被除式相乘，即合÷号 为同分母的分式，然后再加减，即名±分 第十五章 =&.d_a·d b cb·c ad⊥bcad±bc 示例3a6÷60-3ab.&=3aB_c bdbd bd a 6=6b 2 (2)步骤： 式 (注意(1)运算结果应化为最简分式或 ⊙解题模板异分年分式加减法的美健 整式 通分将异分母分式转化成同分母分式 (2)分子、分母是多项式时，通常先分解因 加减 写成分母不变，分子相加减的形式 式，再约分。 知识点2分式的乘方5考 合并 合并同类项（有括号先去括号，再合并） 法则：把分子、分母分别乘方，即（号》”-号 约分 分子、分母约分，将结果化成最简分式 或整式 (n是正整数) 2x 示例计算：x一9x一3 示例 2a2b (2a2b)3 8ab3 -c3 (-c3)3 -c9 2x 1 解：z一9x一3 8ab3 2x x+3 (x+3z-3)(x+32-3)m通升 (注意(1)系数不要漏乘方； 2x-(x+3) =x+3)(x-3) ……………………加减 (2)注意符号. 知识点3分式的加减74考 2x-x-3 (x十3)(x-3)………去括号 1.同分母分式相加减 x-3 法则：同分母分式相加减，分母不变，把分 =(x+3)(x-3) ……………仓并同类项 子相加减，即a土b=a士b x+3 ………………………约分 ◆172◆ 知识点4分式的混合运算87考 (n为正整数)次幂，等于这个数的n次幂 1.含有分式的乘除、乘方、加减的多种运算 的倒数，即a=a≠0，m为正整数。 叫做分式的混合运算 2.运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加 减，有括号的先算括号里面的， 2.整数指数幂的运算性质 例计算：1士婴-“。.(。， 在引入负整数指数幂后，指数的取值范围 a2-4 a 就由正整数推广到全体整数，以前学过的 21÷(x-) 所有正整数指数幂的运算性质也推广到 解1±4a。2.(22》 整数指数幂.因此，整数指数幂的运算性 a2-4 a 质可归结为： =a2+2a_a-2.(2a)2 a2-4 a(a-2)2 (1)同底数幂的乘法：am·a”=am+"(m,n 第 a(a+2) _a-2. 4a2 是整数)： 十五 (a十2)(a-2)a(a-2)2 (2)幂的乘方：(a")=amm(m,n是整数)； -a Aa 式 a-2a-2 (3)积的乘方：(ab)”=ab"(n是整数)； 3a (4)同底数幂的除法：am÷a”=am"(a≠0， a-2 m,n是整数)； (2)1÷(x- (⑤)分式的乘方：()”-答m是整数。 =x-1x2-1 用科学记数法表示较小的 知识点6 数28考 =x-1 1.概念：对于绝对值小于1的数可以用科学 (x+1)(x-1) 记数法表示为a×10-"的形式，其中1≤ 1 x+1 |a<10,n是正整数. 3.分式的化简求值：先按照分式混合运算法 示例0.000021=2.1×10-5（小数，点向 则化简分式，然后代人相应的数，求分式 右移动了几位，10的指数就是负几). 的值（代数过程中要注意使分式有意义， 2.还原：将用科学记数法表示的较小的数还 即所代数不能使分母为0). 原成原数时，只需要把a的小数点向左移 知识点5整数指数幂148考 动n位，再去掉10"即可， 1.负整数指数幂：任何不等于0的数的一n 示例3.14×10-4=0.000314. ◆173◆ 典型考法 考法1 分式的乘除（乘方）运算 a2-(3-a)-(a+1)=a2-3+a-a-1 2-a 2-a 例1计算： a2-4_(a+2)(a-2)=-(a+2)=-a-2. (1)a+2 1 2-a -(a-2) a-2‘a2+2a (3)原式=x-x=)(x+ x十y x十y ,x十y 12)52=4xyΓ5x-4: =x2-x2+y x+y m-·(m) (3)m2n2 ÷n十n mn I m y? x+y" 思路导引有乘方先算乘方→将除法变成乘 法→利用乘法法则计算。 方法提炼当分母互为相反数时，先统 a+2 解：()原式=(a-2)·a(a+2)a2-2a 成一致的，此时注意分母中(a一b)2=(b a)2,n-m=-(m一n),(x-y)3=-(y 第十五章 (2)原式=y)(y十.5a-4y=y-x x)3等因式的符号变化；整式部分可以当成 x(5x-4y) x十yx 分母为1的一个整体，使运算简化. (3)原式=m+m)(m-n2.m-n)2. (m-n)2 min2 分 考法3分式的混合运算 m十nn2· 例3计算： 方法提炼分式与分式相乘除，若分子或 分母是多项式，则先分解因式，再进行约分 (2②3a+1+a2)二20 a-1 或者乘除运算；整式可以看作分母是1的式 子；分式的乘除法计算结果需为最简分式或 8a是÷a+1)2 a2-2a+1 整式 思路导引(1)先计算括号里的，然后将除法转 化为乘法；(2)先计算括号里的，再算乘法，最后 考法2 分式的加减运算 进行加法运算；(3)先算除法，再进行减法运算. 例2计算： 1)x2-2+1 解：(1)原式 [2千] x-1Tx-1: =(x2x} （x+2x+2/ ÷1 x+2 2。+8号 -2.x+2 x十2x-1 (3)x2 2 x+y -x+y. x-I 解：(1)原式=-2+=-1 x-1 x-1 (2)原式=3a+a-21.aa2)-3a十a=4a. a-2a-1 (x+1)(x-1D=x十1. x-1 (3原式=2a+D.1-a+1Da-D= a-1a+1(a-1)2 (2)原=。十。- a+1 2-a+12-a=1=1二8=-1. a-1a-1a-1a-1 ◆174◆ 考法4 分式的化简求值 方法提炼(1)直接代入求值：直接将所给 例4 (1)先化简，再求值：(1+) 定的字母的值代入到化简后的式子中计算 即可； x2+4x+4其中x=4; x+1 (2)选取合适的字母的值代入求值：要保证 原分式中分母不为0，也要保证除法运算时， ②)先化简(1+a吊)÷士9， 除数不为0； a+1 ,再从 (3)整体代入求值：已知条件是一个式子的 一3，一1,2中选择合适的a的值代入求值； 值，需根据其结构特征进行整理，然后再整 （3先化简，再水值：（名平+ 体代入求值 考法5利用分式的计算解决实际问题 +2,其中x满足x2+2z-1=0. x-4 例5甲农科所有两块正方形土地，边长分 别是am和bm(a,b的值不相等).乙农科 所有一块长为2am,宽为bm的长方形土 第 x+1 1 地.今年两个农科所种植的试验品种都收获 (x+2)2x+2 了300kg小麦.问：哪个农科所的小麦单位 章 当x=4时，原式=4十2一6 1 面积产量高？高的单位面积产量是低的单 位面积产量的多少倍？ 式 (2)原式=at3:a+3)2a+3 、a+1 解：甲农科所的小麦单位面积产量为 a+1 a+1a+1∴(a+3)2 a十行kg/m,乙农科所的小麦单位面积产量为 300 a+3 a kg/m. 由分式有意义的条件，得a不能取一1，一3， .(a-b)2>0,a≠b,∴.(a-b)2>0,即2-2ab+ 故a=2, >0d+8>2ab<即乙农种 11 原式=2十35 所的小麦单位面积产量高. 300.300_300.a2+b2_a2+ 8愿式-[]身 「x-2 2ab'a2+b2 2ab 300 2ab 故高的单位面积产量是低的单位面积产量的 x-2 x-1 x(x-4)(x+2)(x-4)= d+倍. 2ab (x-2)(x+2)-x(x-1)=x2-4-x2+x x(x+2)(x-4) x(x+2)(x-4) 方法提炼(1)遇到这类问题先用分式表 x-4 1 1 示题目中的数量关系； x(x+2)(x-4)-x(x+2)-x2+2x (2)解决这类问题的关键是比较分式的大 当x2+2x-1=0时，x2+2x=1, 小，常见的方法有作差法、作商法，要结合分 式特征选用； 原式=}-1. 整体代入化简后的式子 (3)通过比较分式的大小，得出实际结论. ◆175◆ 利用整数指数幂的性质进行 解：(1)原式=4×1-3=1. 考法6 计算 (2)原式=4a2bc6÷a2b2= 例6 计算： 4a2-(-2b-（-2》c6=4aBc-6=4ab c6. 1)(-22(-1)°-(3) 考法7 用科学记数法表示较小的数 (2)(2abc-3)2÷(ab)-2. 例7纳秒(ns)是非常小的时间单位，1ns 思路导引(1)先确定暴的底数和指数，再利用 109s.北斗全球导航系统的授时精度优于 整数指数幂的性质计算；(2)直接按照同底数幂 20ns.用科学记数法表示20ns是 的乘除法法则计算。 答案2×10-8 15.3 分式方程 3年749考 基础知识 第十五章 知识点1分式方程 ©解题模板 1.概念：分母中含有未知数的方程叫做分式 去分母 方程两边同乘最简公分母 分 方程。 把分式方程化为整式方程 示例 2=1 x+3x 是分式方程， 解整式方程 通过去括号、移项、合并同 类项等方式求整式方程的解 2.分式方程与整式方程的区别与联系 将整式方程的解代入最简公分母， 检验 若最简公分母的值不为0，则整式 方程的解是原分式方程的解；否 名称 分式方程 整式方程 则，这个解不是原分式方程的解 解分式方程可能产生不适合原方程的 分母中含有未 分母中不含有 区别 解，所以检验是解分式方程的必要步霖 知数 未知数 联系 分式方程可以转化为整式方程 示例解方程2。=3 3 解：方程两边乘x(x一3)， 知识点2分式方程的解法4513 得2x=3x-9, 1.分式方程的解：使得分式方程等号两端相 解得x=9. 检验：当x=9时，x(x一3)≠0， 等的未知数的值叫做分式方程的解，也叫 ∴.原分式方程的解为x=9. 做分式方程的根， 知识点3增根与无解56考 2.解分式方程的一般步骤：解分式方程的基 1.增根：分式方程去分母后所得整式方程的 本思路是通过去分母把分式方程转化为 解使原分式方程的分母为0，则这个解称 为增根 整式方程，求解基本步骤如下： 2.产生增根的原因：分式方程去分母时，在 ◆176◆ 方程的两边所乘的式子的值为0. 的道路，由于采用新的施工方式，实际每 3.无解：“原分式方程无解”隐含了两种情 天修建道路的速度比原计划快20%，结果 况：一是求出的这个解是由分式方程化成 提前2天完成任务.求原计划每天修建道 的整式方程的解，但是这个解使最简公分 路多少米 母的值为0；二是所化成的整式方程无解， 所以原分式方程无解。 解：设原计划每天修建道路xm (注意要区分增根与无解的关系，增根是 由题意，得1200 1200 (1+20%)z=2, 无解的一种情况，解决无解这类问题时要 解得x=100. 注意分类讨论 经检验，x=100是所列分式方程的解，且符合 知识点4分式方程的实际应用 242考 题意 1.列分式方程解应用题的一般步骤 审 答：原计划每天修建道路100m 理清题目中的已知量和未知量 度 2.常见的几种类型 根据题意设出未知量 (1)行程问题：路程=速度×时间； 安 找出题目中的等量关系 第十五章 (2)工程问题：工作量=工作效率×工作 勿 列分式方程 时间，工作总量通常设为1； 解 盆 解分式方程 (3)利润问题：利润=售价一进价，利润率= 检验所求得的解是否为所列分式方程的 解，且是否符合实际意义 利润×100%，售价=进价×(1士利润 答 进 写出题目的答案 示例某工程队准备修建一条长为1200m 率)，售价=标价×打折率. 典型考法 考法1 分式方程的识别 方法提炼分式方程的识别方法 例1 下列关于x的方程中，是分式方程的 分母中含有未知数是识别分式方程的 是 ( 关键.观察的应该是原方程，而不是化简后 A.2+x-3=3+x 的方程. 5 6 C. D.x-1)=1 考法2 分式方程的解法 x-1 例2解方程： 解析注意题干是关于x的方程，D选项方程 (1)1 3 -12x+1 中分母含有未知数x,是分式方程. (2)3-x=,1-2. 答案D x-44-x ◆177(2)CD=DE.理由如下： (200-m)个. AB=AC,∴∠ABC=∠C 依题意，得8m十4(200-m)≤1150， .DE∥BC,∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC, 解得m≤87.5. ∠ADE=∠AED,∴.AD=AE,∴，AC-AD= 答：最多购进87个甲种粽子 AB-AE,即CD=BE. P189 由(1)，得∠EBD=∠EDB, 1.B2.B3.24.C5.C6.2 ∴.BE=DE,∴.CD=DE 11.212.15或45°或75°13.B 7.解：原式=5-9-(3-2W3+1)=-4-4+2W3= P167 -8+2w3. 1.A2.D3.A4.D5.A6.4 8.解：方法1：原式=2+(2-2+)-(2+2+ 7.解：原式=x2+2x+x2+2x+1=2x2+4x+1. .x2+2x-2=0,.x2+2x=2, )=2+2-2+}-2-2-4--2 .原式=2(x2+2x)+1=2×2+1=5. 8.(x-3y)(x+3y)9.6 方法2：原式=2+(2-2+2+2)·(2 10.(m+n-3)2 合-2-2)=+22×(-1D=2-22- P180 1.B2.B3.D4.A5.A6.D7.1 -√2. 且解：原式-（产2十》 (x-2)2 22 P197 x(x-2) x-2· 1.A2.D3.D4.A5.C6.1007.3√58.12 x一2=x. 9.√210.(x-6.8)2+x2=10211.A x≠0，x-2≠0，x≠0，x≠2. 12.如果b-a<0,那么a>b13.B14.北偏东50° .当x=1时，原式=1.（或当x=3时，原式=3.） P216 9.解：原式-L(a+ba-b)a+b」 a 11.(a-b)2 1.B2.110 b 3.证明：(1)O为对角线BD的中点，.OD=OB. a=（a-b).a-b)2 四边形ABCD是平行四边形， (a+b)(a-b) b ∴.DF∥BE,∴.∠DFO=∠BEO. b ,(a-b)2 (a+b)(a-b) 在△DOF和△BOE中， b =a-b I∠DFO=∠BEO, a+b ∠DOF=∠BOE, OD=OB, a=() =3,b=(-2022)°=1， ∴.△DOF≌△BOE(AAS). 原式- (2)由(1)，得△DOF≌△BOE,∴.DF=BE. 又DF∥BE,∴.四边形DFBE是平行四边形， 10.A11.3.4×10-1012.C13.B14.C15.B ∴.DE=BF 16.解：方程两边同时乘(x十1)(x-1),得(x一1)2 4.B5.36.B7.A8.C9.4 3=(x+1)(x-1). 10.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 去括号，得x2一2x+1-3=x2-1. .BA∥CD,∴∠BAE=∠FDE. 移项、合并同类项，得一2x=1, E是AD的中点，AE=DE 解得x=一1 在△BEA和△FED中， 21 I∠BAE=∠FDE, 经检验，当x=-2时，x+1Dx-1)≠0， AE-DE, ∠BEA=∠FED, 1 所以x=一2是原方程的解。 ∴.△BEA≌△FED(ASA),∴.EB=EF 17.解：(1)设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的 又，AE=DE,∴.四边形ABDF是平行四边形. 单价为2x元. 又，∠BDF=90°，∴四边形ABDF是矩形. 依题意，得800_1200-50，解得x=4. (2)由(1)，知四边形ABDF是矩形， x 2x .∠AFD=90°，AB=DF=3,AF=BD. 经检验，x=4是原分式方程的解， 在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF= .2x=8. √AD-DF=√52-32=4， 答：甲种粽子的单价为8元，乙种粽子的单价为 .S矩形ABDF=DF·AF=3X4=12. 4元. ,四边形ABCD是平行四边形， (2)设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子 ∴.CD=AB=3. ◆349