第14章 整式的乘法与因式分解-【一本】初中数学基础知识大盘点

第十四章 整式的乘法与 因式分解 同底数幂的乘法一am·a"=am*"(m,n都是正整数) 幂的乘方一(a"）"=amn(m,n都是正整数) 积的乘方一(ab)"=ab(n为正整数) 整式的 乘法 单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘一m(a+b+c)=ma+mb+mc 多项式与多项式相乘一(m+n)(a+b+c)=ma+mb+mc+na+nb+nc a"÷d"=ar(a≠0，m,n都是正整数，并且m>n) 整式的乘法与因式分解 同底数幂的除法 a=1(a≠0) 整式的 单项式除以单项式 除法 多项式除以单项式 平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2 乘法公式 完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2 提公因式法 因式分解 平方差公式法一a2-b2=-(a+b)(a-b) 公式法 完全平方公式法一a2±2ab+b2=(a±b)2 ◆156◆ 14.1整式的乘法 3年801考 盘 基础知识 知识点1幂的运算65考 示例 1.同底数幂的乘法 (1)法则：同底数幂相乘，底数不变，指数 =4x2 相加。 (2)用字母表示：a”·a”三a(m,n都是 (拓展(1)法则推广：(abc)"=a"b"c"(n为 正整数). 4底数a可以是一个单项式， 正整数) 也可以是一个多项式 示例 (2)法则逆用：ab”=(ab)"(n为正整数). 指数相加 4.同底数幂的除法 第 (1)法则：同底数幂相除，底数不变，指数 底数不变 相减 章 (拓展(1)法则推广：am·a”·…·a am+m++p(m,n,…,力都是正整数) (2)用字母表示：am÷a”=am-"(a≠0，m, 整式 (2)法则逆用：a三a”:a(m,n都是正 n都是正整数，并且m>n), 整数)，遇到指数相加，则化为同底数幂相乘 示例 乘法 2.幂的乘方 指数相减 (1)法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘 式 (2)用字母表示：(a")”=am"(m,n都是正 产= 解 底数不变 整数). 底数a可以是一个单项式， 也可以是一个多项式 (拓展(I)法则推广：am÷a”÷aP=ammp(a 示例 指数相乘 ≠0，m,n,力都是正整数，并且m>n十). (2)法则逆用：am-”=am÷a”(a≠0，m,n 底数不变 都是正整数，并且m>n).遇到指数相 (拓展(1)法则推广：[(am)n]p=(amm)p= 减，则化为同底数幂相除 am帅(m,n,p都是正整数). (2)法则逆用：am"=(am)”(m,n都是正整 5.零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都 数).遇到指数相乘，则化为幂的乘方 等于1，即a°=1(a≠0). 3.积的乘方 示例 (1)法则：积的乘方，等于把积的每一个因 →指数为0 一→指数为0 式分别乘方，再把所得的幂相乘 (1)(2-化结果为1 (2)100°=1. 七结果为1 (2)用字母表示：(ab)”=ab"(n为正整数). 底数为-2 底数为100 ◆157◆ 知识点2整式的乘法104考 3.多项式乘多项式 1.单项式乘单项式 (1)法则：一般地，多项式与多项式相乘， (1)法则：一般地，单项式与单项式相乘， 先用一个多项式的每一项乘另一个多项 把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于 式的每一项，再把所得的积相加. 只在一个单项式里含有的字母，则连同它 (2)用字母表示：(a十b)(十9)三ap十ag寸 的指数作为积的一个因式， b十bg,‘积的项数是各因式项数的积 (2)运算步骤 示例 ①确定系数：积的系数等于各因式系数 c-2y)(5a-3b)-…5a+x(-3b)+(-2y5a+(-2y)(-3b) 的积； 用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项 ②确定相同字母：同底数幂相乘，底数不 5ax-3bx-10ay+6by. 变，指数相加； (点拨用图形解释此法则：如图，大长方形 ③确定单独字母：对于只在一个单项式里 是由四个小长方形组成的，它的长是a十 含有的字母，连同它的指数作为积的一个 b,宽是c十d,那么它的面积为(a+b)(c+ 因式 ).又因为这四个小长方形的面积和是 第十四章 示例 ac+ad+bc+bd,则有(a+b)(c+d)= 2a2·3ab=(2×3)(ad2·a·b=6ab. ac+ad+bc+bd 系数相乘同底数幂相乘 整式 2.单项式乘多项式 (1)法则：一般地，单项式与多项式相乘， 就是用单项式去乘多项式的每一项，再把 与 知识点3整式的除法2考 因 所得的积相加， (2)用字母表示：p(a十b十c)三a十b十 1.单项式除以单项式 分 解 c(p,a,b,c都是单项式). (1)法则：一般地，单项式相除，把系数与 积的项数与因式中乡项式的项数相同 同底数幂分别相除作为商的因式，对于只 示例 在被除式里含有的字母，则连同它的指数 (-2ry小(3y2-3y+l)F-2xy3y2+(-2xy小(-3y+(-2ry小l= 作为商的一个因式。 (2)运算步骤 单项式分别乘多项式的每一项 -6ry3+6ry2-2ry. ①确定系数：商的系数等于各因式系数 (点拨用图形解释此法则：如图，大长方形 的商； 是由三个小长方形组成的，它的长是b十 ②确定相同字母：同底数幂相除，底数不 c十d,宽是a,那么它的面积为a(b十c+ 变，指数相减； ).又因为这三个小长方形的面积和是 ③确定单独字母：对于只在被除式里含有 ab+ac+ad,则有a(b+c+d)=ab+ 的字母，连同它的指数作为商的一个 ac-ad. 因式。 示例 4a2b÷(2aF(4÷2)(a2÷a)·b-2ab, 系数相除同底数幂相除 ◆158 2.多项式除以单项式 算叫做整式的混合运算.运算顺序：先乘 法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个 方，再乘除，后加减.有括号时，先算括号 多项式的每一项除以这个单项式，再把所得 里面的.去括号时，先去小括号，再去中括 的商相加.商的项数与多项式的项数一致 号，最后去大括号 示例 示例(-a3b-2a2b)÷ab+(a+2)2-4 (15a2-3a3a-15a2÷3a-3a3a5a-1. =(-a3b÷ab-2a2b÷ab)+(a2+2a+ 两项分别除以3a 2a+4)-4 知识点34整式的混合运算 =-a2-2a十a2+4a+4-4 含有整式的加减、乘除以及乘方的多种运 =2a. 典型考法 考法1 幂的运算 b>c时，则有a>a;若对于同指数、不同底 第 例1下列运算正确的是 数的两个幂a和c,当a>c时，则有a>c. A.a2·a3=a B.(a2)3=a5 根据上述材料，回答下列问题： 章 C.(ab)3=ab3 D.a8÷a2=a4 (1)填空：50 420(填“>“<”或“=”)； 答案C (2)比较8131,2741,91的大小： 整式 考法2 逆用幂的运算法则 (3)比较60,460,280的大小. 乘法 例2(1)若am=5,a”=2,则am+2m 解：(1)> (2)因为8131=(34)31=3124,271=(33)1=3123， 因 (2)计算：2×(2) 961=(32)61=3122,且124>123>122 所以8131>2741>961 解 解：(1)am=5,a=2,∴.am+2m=am·a2n=am (3)因为640=(62)20=3620,460=(43)20=6420， (a")2=5×22=20.故答案为20. 280=(24)20=1620,且64>36>16， (2)22×(2)”=2×2×(2)” 所以40>640>280. 4X(2×2)=4X10=4 方法提炼有关幂的大小比较 (1)底数比较法：转化为同指数，再比较底数 方法提炼幂的运算法则的逆运用，若是 大小 指数和的形式，则考虑逆用同底数幂的乘法 (2)指数比较法：转化为同底数，再比较指数 法则；若是指数差的形式，则考虑逆用同底 大小 数幂的除法法则；若是指数积的形式，则考 虑逆用幂的乘方法则. 考法4 整式的乘法运算 例4 计算： 考法3幂的大小比较 2 例3阅读材料：已知正整数a,b,c,若对于同 (1) x·32y 底数、不同指数的两个幂a和a(a≠1)，当 (2)2ab2·(-a2+2b-1); ◆159● (3)(x+y)(x2-xy+y2). 原式=-20×(-1)×2-22=40-4=36. 解：D原式=（号×）(x·）(·) (2).a+b=3,ab=-4, ∴.(a-2)(b-2)=ab-2a-2b+4=ab+4-2(a+ 是. b)=-4+4-2×3=-6. (2)原式=2ab·(-a2)+2ab·2b+2ab· 角度2不含某项问题 (-1)=-2ab+4ab-2ab. 例8已知多项式x2一mx一n与x一2的乘 (3)原式=x3-x2y+xy2+x2y-xy2十y3= 积中不含x2项和x项，求m,n的值， x3+y. 思路导引根据多项式乘多项式的法则展开， 考法5 整式的除法运算 再利用不含x项和x项，令其对应系数等于0， 例5计算： 列方程（组）便可求出m,n的值. (1)- a2bc÷(-aw): 解：(x-2)(2-mx-n)=x2-mc一-2x2+ 2m.x+2n=x3-(m+2)x2+(2m-n)x+2n. (2)(9x3y2-6x2y+3xy2)÷（-3xy). ,乘积中不含x2项和x项， 解：)原式=[-3÷(-8)](a÷a)÷)c .-(m十2)=0,2m-n=0, 第十四章 解得m=-2,n=-4. -3ab c=3ac. (2)原式=9x3y2÷(-3xy)-6x2y÷(-3xy)十 方法提炼要使结果中不含某项，只要令 3xy2÷(-3xy)=-3x2y十2x-y. 该项的系数为0即可，同时正确地运用整式 的 整式的混合运算 乘 考法6 运算法则进行计算是正确解答的关键。 例6计算：[(2x+y)2-y(y+4x) 与 8x]÷2x. 角度3代错值问题 分 解：原式=(4x2+2xy+2xy+y2-y2一4xy 例9 有这样一道题：“先化简，再求值：了- 解 8x)÷2x =(4x2-8x)÷2x (3r+3a是y)+(gr+3y+号yr),其 =4x2÷2x-8x÷2x =2x-4. 中x=一 2y=2.” 考法7 整式的化简求值 小明在抄题时，把“x=一号”错抄成“x 角度1直接化简求值 例7(1)先化简，再求值：(2x一y)(x+y) 号”，但他的计算结果却是正确的，试说明 2x(-2x+3w)+6r(-x-,其中x 原因 -1,y=2; 解：原式=弓0-3-3xy+号y+号2十 (2)已知a十b=3,ab=-4,求(a-2)(b-2) 的值. 3y十号=只.化简后的结果不含有x,心计 解：(1)原式=2x2+2xy-xy-y2+4x2-6xy 算结果与工的取值无关，小明把“x=一)”错 2 6x2-15xy=-20xy-y2. 把x=-1,y=2代入， 抄成“x=号”不会影响计算结果. ◆160 14.2乘法公式 3年282考 盘 基础知识 知识点1平方差公式05考 3.平方差公式的常见变形 1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差 变化 形式 的积，等于这两个数的平方差，即(a+b)· (b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b) 位置 (a-b)=a2-b. =a2-b2 示例 (-a-b)(a-b)=(-b-a)· 符号 依+到为 (-b+a)=(-b)2-a2=b2-a2 -(4x)2-32 (2a+3b)(2a-3b)=(2a)2 a2.2→b 系数 =16x2-9. (3b)2=4a2-96 (点拨(1)平方差公式的特点：①等号左边 (a2+62)(a2-b2)=(a2)2-(b)2 指数 是两个二项式相乘，并且这两个二项式中 -a'-b 第十四章 有一项完全相同，另一项互为相反数； (a+b)(a-b)(-a-b)(-a+b) 增因式 ②等号右边是相同项的平方减去互为相 (a2-)[(-a)2-]=(a2-)2 反数项的平方 增项 (a+b+c)(a-b-c)=a2-(b+c)2 整式的乘 (2)公式中的a,b可以是单项式，也可以 (a-b)(a+b)(a2+b)(a4+b)= 连用 是多项式 a8-b8 与因 2.验证平方差公式 逆用 a2-b=(a+b)(a-b) 分解 (1)代数验证依摇：乡项式乘多项式 知识点2完全平方公式35考 ①② 1.完全平方公式：两个数的和（或差）的平 (a+b)(a-b)-d-ab+ab-b-d-b. 3④①②③④ 方，等于它们的平方和，加上（或减去）它 (2)几何验证 们的积的2倍，即(a十b)2=a2+2ab+b, 图1中阴影部分的面积S=a2一b2,图2 (a-b)2=a2-2ab+b2. 中阴影部分的面积S=(a+b)(a一b).根 (点拨(1)首平方，尾平方，首尾两倍积 据阴影部分的面积相等，可得(a+b)(a 中央； b)=a2-b2 (2)公式中的a,b可以是单项式，也可以 是多项式。 2.验证完全平方公式 (1)代数验证依摇：多项式乘多项式 (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+ 图1 图2 b2=a2+2ab+b2. ◆161◆ (a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+ (6)(a-b)2=(a+b)2-4ab: b2=a2-2ab+b2. a=(-(2: (2)几何验证 图1中大正方形的面积的两种表示方法： (8a++c2+ab+ac+c=2[(a+b)2+ S=(a+b)2,S=a2+2ab+,故(a+b)2= (b+c)2+(a+c)2]; a2+2ab+b; (9)(a+b+c)2=a2+b+c2+2ab+ 图2中阴影部分的面积的两种表示方法： 2ac-2bc. S=(a-b)2,S=a2-2ab+b,故(a-b)2= a2-2ab+b2. 知识点3添括号法则2考 添括号时，如果括号前面是正号，括到括 号里的各项都不变符号；如果括号前面是 负号，括到括号里的各项都改变符号，即 a+b+c=a+(b+c),a-b-c=a- 图1 图2 (b+c). 第十四章 3.完全平方公式的常见变形 示例 (1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 括号前是正号 括号前是负号 (2ab-2a+0-a+)]: (1）++:(2)x+y- 括到括号里的 括到括号里的 的 各项不变号 各项都变号 (3)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2); (点拔添括号可以看成去括号的逆过程， (4)(a+b)2-(a-b)2=4ab: 因 (5)(a+b)2=(a-b)2+4ab: 其法则也可以类比去括号法则. 解 典型考法 考法1 乘法公式的应用 3)原式-(-2x+(-2x-)=(-2)° 角度1直接运用乘法公式进行计算 例1运用乘法公式计算： y=4x2-y. (1)(4x+3)(4x-3); (2)-题多解(-x+3y)2; 上方法提炼乘法公式应用“四步曲” (3)(-2+y(-y-2. “一选”“二变”“三套”“四计算”.“一选”是指 根据题目特征选择合适的公式；“二变”是指 解：(1)原式=(4x)2-32=16x2-9 对式子进行适当的变形使之符合乘法公式； (2)方法1：原式=(-x2)十2·(-x)·3y+ “三套”是指按照对应乘法公式展开式子； (3y)2=x2-6xy+9y2. “四计算”是指对展开后的式子进行化简、整 方法2：原式=(3y-x)2=(3y)2-2·3y·x十 理或进一步计算等 x2=9y2-6xy+x2. ◆162◆ 角度2乘法公式与整体思想综合运用 x(x-2)的值， 例2运用乘法公式计算： 解：(1)原式=x2+2x+1+22-x (1)(2x-y-3)2; =x2+2x+1+4-x2 (2)(x-2y+1)(x+2y-1); =2x+5. (3)(x+2)2(x-2)2. 当x=1时，原式=2×1十5=7. 解：(1)原式=[(2x一y)一3]=(2x-y)2 (2)原式=9x2-4+x2-2x=10x2-2x-4. 6(2x-y)+32=4x2-4xy+y2-12x+6y+9. .5x2-x-1=0, (2)原式=[x-(2y-1)][x+(2y-1)]=x2 .5.x2-x=1, (2y-1)2=x2-(4y2-4y+1)=x2 .原式=2(5x2-x)-4=2-4=-2. 4y2+4y-1. 考法2 利用完全平方公式变形求值 (3)原式=[(x+2)(x-2)]2=(x2-4)2=x 例5 (1)已知(a十b)2=7,(a-b)2=4,求 8x2+16. a2+b2,ab的值： 角度3运用乘法公式简化数的运算 例3运用乘法公式简便计算： (②已知x+-3,求2+是的值， 十四章 (1)20012； (240×39号 解：(1)(a十b)2=7,(a-b)2=4, ∴.a2+2ab+b=7,① (3)20232-2022×2024. a2-2ab+b2=4.② 解：(1)原式=(2000+1)2=20002+2×2000× ①+②，得2a2+2b=11, 1+12=4004001 d+8二号 (2)原式=(40+号)(40-3)=402-（得） 整式的乘法与因式分解 ①-②，得4ab=3,ab=3」 159 (2)x+1=3, (3)原式=20232-(2023-1)(2023+1) 20232-(20232-12) (+2》=+2+2=9 20232-20232+1=1. ∠方法提炼利用乘法公式可以使一些数的 运算变得简单.解决这类问题时，一般先将 2方法提炼在a十b,a一b,ab,a2+b四个 比较大的数整理成平方差或完全平方公式 量中，只要知道其中的两个量，就可以求出 的形式，然后再进行运算 另外两个量.实现这一目的的关键是对完全平 方公式进行变形，主要有：a2十=(a士b)干 角度4运用乘法公式化简求值 2ab;(a±b)2=(a干b)2±4ab;(a+b)2+ 例4(1)先化简，再求值：(x十1)2+(2+x)· (a-b)2=2(a2+b);(a+b)2-(a-b)2= (2-x),其中x=1; Aab. (2)已知5.x2-x-1=0,求(3x+2)(3x-2)十 ◆163◆ 14.3 因式分解 3年658考 基础知识 知识点1因式分解 知识点3提公因式法185考 把一个多项式化成几个整式的积的形式， 1.概念：一般地，如果多项式的各项有公因 像这样的式子变形叫做这个多项式的因 式，可以把这个公因式提取出来，将多项 式分解，也叫做把这个多项式分解因式 式写成公因式与另一个因式的乘积的形 如：x2一4=(x+2)(x一2)，这个式子从左 式，这种分解因式的方法叫做提公因式 到右的变形就是因式分解. 法.例如：ma十mb十mc=m(a十b+c),这 因式分解与整式乘法互逆， 里的m可以表示单项式，也可以表示多项 如：a2一b 因式分解（变形）(a十b)(a一b). 整式乘法（计算） 式，m称为公因式. 第十四章 (注意因式分解必须满足的条件 2.用提公因式法分解因式的步骤及方法 (1)左边是多项式，右边整体是乘积形式； 解题模板 说明 举例：6ab2- 4ab2-2ab 整 (2)左右两边都是整式； 可按照确定公因式 的 (3)结果分解彻底 确定公 的方法先确定系数 再确定字母，最后 公因式是2ab2 因式 知识点2公因式 确定字母次数 与 因 1.多项式a十b十c的各项都有一个公共 提取公因 用原多项式除以公 的因式p,我们把因式p叫做这个多项式 式并确定 因式， 所得的商就 6ab2-4ab2-2a2b 分 另一个因 是提取公因式后剩 =2ab2(3a2-2-ab) 解 各项的公因式.公因式可以是一个单项 式 下的另一个因式 式，也可以是一个多项式.如：在a(x十 知识点34 公式法473考 2)-b(x十2)中，公因式是x士2. 1.利用平方差公式因式分解 2.公因式的确定 )将x十2看作整体 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两 解题模板 说明 举例：6b2 4ab2-2a2b3 个数的差的积，即a2一=(a十b)(a一b), 系数为整数时，公 因式的系数是各项 6,4,2的最大公约 (点拨(1)公式的特点：①等号右边是两个 看系数 系数绝对值的最大 数是2，故公因式 二项式相乘，并且这两个二项式中有一项 公约数 的系数是2 完全相同，另一项互为相反数；②等号左 公因式中的字母应 因为式子中各项都 二看字母 是各项中都含有的 含有a,b.以公因 边是相同项的平方减去互为相反数项的 字母 式中必含有字母a,b 平方 公因式中字母的次 因为a的最低次数 三看字母 数是相同字母的最 是1，b的最低次数 (2)公式中的a,b可以是单项式，也可以 次数 低次数 是2，所以这个多项 式的公因式是2ab 是多项式 ◆164◆ 2.利用完全平方公式因式分解 示单项式，也可以表示多项式 两个数的平方和加上（或减去）这两个数 (2)四项式的分组有两种方式：一三分组 的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的 和二二分组.一三分组主要运用完全平方 平方，即a2±2ab+b=(a±b)2 公式；而二二分组既可以运用提公因式 (点拨(1)公式的特点：等号的左边是一个 法，又可以将平方差公式和提公因式法混 三项式，其中两项符号相同且均为一个整 合使用。 式的平方（平方项），另一项是两个整式乘 示例D分解因式：a2一ab十ac-bc. 积的2倍（乘积项），符号可正也可负；等 解：a2-ab+ac-bc 号的右边是两个整式的和（或差）的平方， =a(a-b)+c(a-b) 中间的符号与等号左边的乘积项的符号 =(a-b)(a+c). 相同. 2.十字相乘法 习二次项系数是1 (2)公式中的a,b可以是单项式，也可以 对于形如十x十q的三次三项式，若能 是多项式 找到两数a,b,使得ab=q,且a十b=p,则 0 章 知识点5 因式分解的一般步骤 x2十x十q就可以进行如下的因式分解： x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) ○解题模板 整式 一提看有无公因式，若有，则先提公因式 乘法 E套 考虑是否可以用公式法分解两项考虑平 方差公式，三项考虑完全平方公式 因 像这样，通过十字交叉线分解系数，把二 三查检查是否分解彻底，若没有，则继续分解 次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘 解 示例分解因式：a2b-2ab+b. 法.十字相乘法简单来讲就是十字左边相 解：ab-2ab+b=b(a2-2a+1)= 乘等于二次项系数，右边相乘等于常数 b(a-1)2. 项，交叉相乘再相加等于一次项系数， (拓展因式分解的其他方法 示例分解因式： 1.分组分解法 (1)x2+3x+2;(2)m2-4m+3. (I)概念：分组分解法是把各项适当分组， 解：(1)常数项2=1×2，而1+2=3,3为 先使因式分解能分组进行，再在各组之间 一次项系数， 进行因式分解.分组时要用到添括号，添 所以x2+3x+2=(x+1)(x+2). 括号时要注意各项符号的变化， (2)常数项3=（一1）×（一3），而一1十 如：ma+mb十na+nb=m(a+b)+n(a+ (一3)=一4，一4为一次项系数， b)=(a+b)(m十n),这里的m,n可以表 所以m2-4m+3=(m-1)(m-3) ◆165●(2)CD=DE.理由如下： (200-m)个. AB=AC,∴∠ABC=∠C 依题意，得8m十4(200-m)≤1150， .DE∥BC,∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC, 解得m≤87.5. ∠ADE=∠AED,∴.AD=AE,∴，AC-AD= 答：最多购进87个甲种粽子 AB-AE,即CD=BE. P189 由(1)，得∠EBD=∠EDB, 1.B2.B3.24.C5.C6.2 ∴.BE=DE,∴.CD=DE 11.212.15或45°或75°13.B 7.解：原式=5-9-(3-2W3+1)=-4-4+2W3= P167 -8+2w3. 1.A2.D3.A4.D5.A6.4 8.解：方法1：原式=2+(2-2+)-(2+2+ 7.解：原式=x2+2x+x2+2x+1=2x2+4x+1. .x2+2x-2=0,.x2+2x=2, )=2+2-2+}-2-2-4--2 .原式=2(x2+2x)+1=2×2+1=5. 8.(x-3y)(x+3y)9.6 方法2：原式=2+(2-2+2+2)·(2 10.(m+n-3)2 合-2-2)=+22×(-1D=2-22- P180 1.B2.B3.D4.A5.A6.D7.1 -√2. 且解：原式-（产2十》 (x-2)2 22 P197 x(x-2) x-2· 1.A2.D3.D4.A5.C6.1007.3√58.12 x一2=x. 9.√210.(x-6.8)2+x2=10211.A x≠0，x-2≠0，x≠0，x≠2. 12.如果b-a<0,那么a>b13.B14.北偏东50° .当x=1时，原式=1.（或当x=3时，原式=3.） P216 9.解：原式-L(a+ba-b)a+b」 a 11.(a-b)2 1.B2.110 b 3.证明：(1)O为对角线BD的中点，.OD=OB. a=（a-b).a-b)2 四边形ABCD是平行四边形， (a+b)(a-b) b ∴.DF∥BE,∴.∠DFO=∠BEO. b ,(a-b)2 (a+b)(a-b) 在△DOF和△BOE中， b =a-b I∠DFO=∠BEO, a+b ∠DOF=∠BOE, OD=OB, a=() =3,b=(-2022)°=1， ∴.△DOF≌△BOE(AAS). 原式- (2)由(1)，得△DOF≌△BOE,∴.DF=BE. 又DF∥BE,∴.四边形DFBE是平行四边形， 10.A11.3.4×10-1012.C13.B14.C15.B ∴.DE=BF 16.解：方程两边同时乘(x十1)(x-1),得(x一1)2 4.B5.36.B7.A8.C9.4 3=(x+1)(x-1). 10.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 去括号，得x2一2x+1-3=x2-1. .BA∥CD,∴∠BAE=∠FDE. 移项、合并同类项，得一2x=1, E是AD的中点，AE=DE 解得x=一1 在△BEA和△FED中， 21 I∠BAE=∠FDE, 经检验，当x=-2时，x+1Dx-1)≠0， AE-DE, ∠BEA=∠FED, 1 所以x=一2是原方程的解。 ∴.△BEA≌△FED(ASA),∴.EB=EF 17.解：(1)设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的 又，AE=DE,∴.四边形ABDF是平行四边形. 单价为2x元. 又，∠BDF=90°，∴四边形ABDF是矩形. 依题意，得800_1200-50，解得x=4. (2)由(1)，知四边形ABDF是矩形， x 2x .∠AFD=90°，AB=DF=3,AF=BD. 经检验，x=4是原分式方程的解， 在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF= .2x=8. √AD-DF=√52-32=4， 答：甲种粽子的单价为8元，乙种粽子的单价为 .S矩形ABDF=DF·AF=3X4=12. 4元. ,四边形ABCD是平行四边形， (2)设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子 ∴.CD=AB=3. ◆349