第13章 轴对称-【一本】初中数学基础知识大盘点

第十三章 轴对称 轴对称 有关概念 轴对称图形 对应线段相等，对应角相等 有关性质 对称轴垂直平分连接对应点的线段 概念 轴对称 线段的 垂直平 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 分线 判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分 线上 成轴对称的两个图形的对称轴的画法 轴对称的性质 轴对称变换 作轴对称图形的方法 画轴对 轴对称 称图形 点(m,n)关于x轴的对称点的坐标是（m,-n) 用坐标表示轴对称 点(m,n)关于y轴的对称点的坐标是（-m,n) 概念 等腰三角形 性质：(1)等边对等角：(2)三线合一 判定：(1)概念；(2)等角对等边 概念 性质：(1)三条边都相等：(2)三个内角都相等，且每一个 等腰 等边三角形 角都等于60 三角形 判定：(1)概念；(2)三个角都相等的三角形；(3)有一个角 是60°的等腰三角形 含30°角的直角 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所 三角形的性质 对的直角边等于斜边的一半 ◆139● 13.1 轴对称 3年511考 基础知识 知识点31轴对称图形148考 拓展两个图形关于某条直线对称，如果 1.概念：如果一个平面图形沿一条直线折 它们的对应线段或对应线段的延长线相 叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个 交，那么交点在对称轴上， 图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它 3.两个图形成轴对称和轴对称图形的区别 的对称轴.这时，我们也说这个图形关于 与联系 这条直线（成轴）对称. 两个图形成 2.性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对 关系 轴对称图形 轴对称 对应点所连线段的垂直平分线， 如图，1垂直平分AA',l垂直平分BB' 两个图形之 具有特殊 意义不同 间的对称 形状的 第十三章 关系 图形 对象不同 两个图形 一个图形 轴对 区别 对称轴的 在两个图形 过图形的 知识点32轴对称97考 位置不同 之间 某条直线 1.概念：把一个图形沿着某一条直线折叠， 如果它能够与另一个图形重合，那么就说 对称轴的 至少有 只有一条 数量不同 这两个图形关于这条直线（成轴）对称， 一条 这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是 (1)如果把成轴对称的 对应点，叫做对称点. 两个图形看成一个整 2.性质 体，那么它就是一个轴 (1)关于某条直线对称的两个图形是全 对称图形： 联系 (2)如果把一个轴对称 等形 图形沿对称轴分成两个 (2)如果两个图形关于某条直线对称，那 图形，那么这两个图形 么对称轴是任何一对对应点所连线段的 关于这条对称轴成轴 垂直平分线。 对称 如图，△ABC和△A'B'C关于直线1对 称，点A',B,C分别是点A,B,C的对称 知识点3对称轴 点，则△ABC≌△A'B'C,l垂直平分 1.对称轴是一条直线，不是线段或射线. 2.常见轴对称图形的对称轴的特点 AA',l垂直平分BB',l垂直平分CC' 名称 图形 对称轴 对称轴的位置 的条数 角平分线所 在的直线 ◆140 续表 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段 对称轴 两个端点的距离相等 名称 图形 对称轴的位置 的条数 如图，直线l是线段AB的垂直平分线，若 底边上的高 点P在直线l上，则PA=PB. (顶角平分 等腰 1 线、底边上 三角形 的中线)所 B 在的直线 各边上的高 3.判定：与一条线段两个端点距离相等的 等边 (内角平分 3 三角形 线、中线)所 点，在这条线段的垂直平分线上 在的直线 如图，若PA=PB,则点P在线段AB的 垂直平分线上， 上、下底的 等腰梯形 中点所在的 直线 对角线所在 4.尺规作图 的直线和对 正方形 边中点所在 作法 图示 第十三章 的直线 (1)分别以点A和 点B为圆心，大于 过圆心的每 无数 条直线 作线段 AB的长为半径 轴对 米C 的垂直 作弧，两弧相交于 A- (拓展正n边形有n条对称轴. 平分线 C,D两点； 米D 3.画图形的对称轴：成轴对称的两个图形或 (2)作直线CD. 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点 直线CD就是所求 作的垂直平分线 所连线段的垂直平分线.故只要找到任意 一对对应点，作出对应点所连线段的垂直 (1)任意取一点 平分线，即可得到对称轴， M,使点M和点P (拓展画对称轴时，也可以找两组对应点， 在直线l的两旁； (2)以点P为圆 作出对应点所连线段中点的连线，也可得 心，PM长为半径 到对称轴. 经过已 作弧，交直线1于 知识点4线段的垂直平分线266考 知直线 A,B两点； 1.概念：经过线段中点并且垂直于这条线段 外一点 (3)分别以点A和 的直线，叫做这条线段的垂直平分线， 作这条 点B为圆心，大于 如图，O是线段AB的中点，直线1过点O 直线的 2AB的长为半径 垂线 且垂直于AB,则直线L是线段AB的垂 作弧，两弧相交于 直平分线. 点N; (4)作直线PN, 直线PN就是所求 作的垂线 ◆141● 典型考法 考法1 轴对称图形的识别 例1冬季奥林匹克运动会是世界上规模最 大的冬季综合性运动会.下列四个图是历届 B 冬奥会会徽中的一部分，其中是轴对称图形 思路导引由△ABC中，∠ACB=90°，∠A 的为 ) 22°，可求得∠B的度数；由折叠的性质可得 ∠CED=∠B;由三角形外角的性质，可求得 ∠ADE的度数. 解析∠ACB=90°，∠A=22° ∴.∠B=90°-∠A=68°. 由折叠的性质，得∠CED=∠B=68°， 答案 A ∴.∠ADE=∠CED-∠A=46. 第十三章 考法2 画对称轴 答案46 例2如图，△ABC与△A'B'C'关于某条直 例4如图，等边三角形ABC的边长为 线对称，请你作出它们的对称轴 2cm,D,E分别是AB,AC上的点，将 △ADE沿直线DE折叠，点A落在点A 称 处，且点A'在△ABC的外部，则阴影部分图 形的周长为 cm 思路导引先找出△ABC与△A'B'C的一组 对应点，再画出连接这两点线段的垂直平分线 解：(1)连接BB; (2)分别以点B,B为圆心，大于号BB的长为半 思路导引由折叠的性质，得AD=A'D,AE 径作孤，两孤交于D,E两，点； A'E.又由等边三角形ABC的边长为2cm,易得 (3)作直线DE. 阴影部分图形的周长为BD+A'D十BC十 直线DE就是所求作的对称轴，如图所示. AE+EC=BD+AD++BC+AE+EC=AB+ BC十AC,即可求得答案， 解析，等边三角形ABC的边长为2cm, ∴.AB=BC=AC=2cm. ,△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处， 轴对称性质的应用折叠 ∴.AD=A'D,AE=A'E, 考法3 问题 ∴.阴影部分图形的周长为BD十A'D十BC十 例3 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，沿 AE+EC=BD+AD+BC+AE+EC=AB+ CD折叠△CBD,使点B恰好落在AC边上 BC+AC=2+2+2=6(cm). 的点E处.若∠A=22°，则∠ADE 答案6 ◆142 思路导引无论运用定义法还是判定定理，都 方法提炼利用轴对称的性质解决折叠问 要理解垂直平分线的含义，再从已知条件着手 题的方法 进行证明. 折叠问题的实质就是成轴对称的图形 证明：方法1（定义法）：，AD平分∠BAC,DE1 的性质问题，折叠前后的两部分图形关于折 AB,DF⊥AC,∴.DE=DF,∠EAG=∠FAG 痕所在的直线成轴对称，对应角相等、对应 在R△AED和R△AFD中，DE-=DF, 〔AD=AD, 边相等，解答折叠问题时，要灵活运用成轴 ∴.Rt△AED≌Rt△AFD(HL),∴.AE=AF 对称的图形的性质 AE-AF, 在△AEG和△AFG中，{∠EAG=∠FAG 考法4线段垂直平分线的应用 AG-AG, 角度1线段垂直平分线的性质 .△AEG≌△AFG(SAS), 例5如图，DE是△ABC的边AC上的垂 ∴.EG=FG,∠AGE=∠AGF 直平分线，若BC=8cm,AB=10cm,则 又.∠AGE+∠AGF=180° △EBC的周长为 .∠AGE=∠AGF=90°， ∴.AD垂直平分EF. 第 方法2（判定定理）：，AD平分∠BAC,DE⊥ AB,DF⊥AC,.DE=DF,点D在EF的垂 十三章 直平分线上 在R△AED和R△AFD中，DE-DF, AD-AD 对 A.16 cm B.18 cm ∴.Rt△AED≌Rt△AFD(HL),∴.AE=AF, C.26 cm D.28 cm ∴点A在EF的垂直平分线上， 思路导引先由线段垂直平分线的性质，得 AD垂直平分EF, AE=CE,再把△EBC的周长转化为BC十AB 的值即可. 方法提炼判定一条直线是线段的垂直平 解析，DE是△ABC的边AC上的垂直平分 分线时用的两种方法 线，.AE=CE (1)定义法，必须满足两个条件：一是垂直， .BC=8 cm,AB=10 cm, 二是平分 ∴.△EBC的周长为BC+BE+CE=BC+BE+ (2)判定定理，必须证明直线上不同的两个 点到线段两个端点的距离都相等，再根据 AE=BC+AB=8+10=18(cm). “两点确定一条直线”得出结论， 答案B 角度2线段垂直平分线的判定 角度3线段垂直平分线的实际应用 例6一题多解如图，AD是∠BAC的平分 例7如图，在某河道MN的两侧有两个村 线，DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F, 庄A,B,现要在河道上建一个水泵站，这个 水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵 连接EF,EF与AD交于点G.求证：AD垂 站的距离相等？（不要求写作法，只保留作 直平分EF, 图痕迹) B ◆143◆ 解：如图所示，点P即为所求 ,DG是BC的垂直平分线， ∴.BD=CD .DE⊥AB,DF⊥AC,AD平分∠BAC, ∴.DE=DF,∠BED=∠F=90° 角度4线段垂直平分线与角平分线性质 在Rt△BDE和Rt△CDF中， 的综合应用 (BD=CD, 例8如图，∠BAC的平分线与BC的垂直 DE=DF, 平分线DG相交于点D,DE⊥AB于点E, .Rt△BDE≌Rt△CDF(HL), DF⊥AC交AC的延长线于点F. .'BE=CF. (1)求证：BE=CF; (2)由(1)，得BE=CF. (2)若AB=15,AC=9,求BE的长. 设BE=CF=x 在Rt△ADE和Rt△ADF中 (AD-AD, DE=DF, 第十三章 ∴.Rt△ADE≌Rt△ADF(HL), ∴.AE=AF 思路导引(1)连接CD,根据线段垂直平分线 AB=15,AC=9, 的性质可得BD=CD,根据角平分线的性质可 称 得DE=DF,进而可证Rt△BDE≌Rt△CDF, ∴.15-x=9+x, 即可得出BE=CF, 解得x=3, (2)设BE=CF=x,证明Rt△ADE≌Rt△ADF, .BE=3. 则AE-AF,得15-x=9+x,解得x=3. 解：(1)证明：如图，连接CD. 方法提炼线段垂直平分线的性质经常和 角平分线的性质结合使用，运用性质可以解 决证明线段相等和求线段长度的问题.辅助 线一般是连接垂直平分线上的点和这条线 段的两个端点。 13.2 画轴对称图形 3年302考 基础知识 ●●● 知识点1轴对称变换 2.性质 1.概念：由一个平面图形得到与它关于一条 (1)由一个平面图形可以得到与它关于一 直线1对称的图形的过程叫做轴对称变 条直线1对称的图形，这个图形与原图形 换. 图形的翻折 的形状、大小完全相同； ◆144◆ (2)新图形上的每一点都是原图形上的某 用“平面直角坐标系中的 知识点33 一点关于直线的对称点； 轴对称27考 (3)连接任意一对对应点的线段被对称轴 1.关于坐标轴对称的点的坐标 (1)关于x轴对称：如图，在平面直角坐标 垂直平分. 系中，点P(x,y)关于x轴对称的点为 知识点2 画轴对称图形31者 P'(x,-y). 几何图形都可以看作由点组成.对于某些 (口诀横同纵反. 图形，只要画出图形中的一些特殊点（如 横相反纵相同 线段端点)的对称点，连接这些对称点，就 可以得到原图形的轴对称图形， 画轴对称图形的步骤简单归纳如下： R'C- 找 找出已知图形的关键点（特殊点) (2)关于y轴对称：如图，在平面直角坐标 画画出已知图形的关键点关于对称轴的对称点 系中，点P(x,y)关于y轴对称的点为 章 连 连接各对称点 P"(-x,y) 轴对 如图，作△ABC关于直线1对称的 (口诀纵同横反 △A'B'C. (拓展(1)点(x,y)关于第一、三象限的角 平分线对称的点的坐标为(y,x),关于第 二、四象限的角平分线对称的点的坐标 (①)过点A作直线1的垂线， 为(-y,一x). 垂足为O,在垂线上截取 (2)点(x,y)关于直线x=m对称的点的 OA'=OA,A'就是点A关 于直线1的对称点 坐标为(2m一x,y),关于直线y=n对称 的点的坐标为(x,2n一y) 画法 2同理，分别画出点B,C 2.画关于坐标轴对称的几何图形的步骤 关于直线1的对称点B',C O C (1)求点：求特殊点的对称点的坐标； B (2)描点：根据对称点的坐标描点； B (3)连接：依次连接所描各点得到所求 3连接AB',B'C',CA, 则△A'B'C即为所求 图形 B (点拔找对称点的方法：可以根据变换规 (注意对称轴上任意一点的对称点是它 律计算出，也可以根据轴对称的性质直接 本身 画出 ◆145◆ d 典型考法 考法1 轴对称图形的画法 考法3 利用轴对称变换作图 例1如图，已知△ABC和直线MN,求作 例3 如图，在平面直角坐标系中，点A的 △A'B'C',使△A'B'C'和△ABC关于直线 坐标为(2,4)，点B的坐标为（一3，一2），点 MN对称.（不要求写作法，只保留作图痕迹） C的坐标为(3,1). (1)在图中画出△ABC关于x轴对称的 △AB'C',并写出点A',B',C的坐标； (2)求△ABC的面积. 图1 图2 解：如图所示 M M 第十三章 (A) 3-212345 N 轴对称 图1 图2 关于坐标轴对称的点的坐标 解：(1)如图，△A'BC即为所求. 考法2 特征 例2(1)点A(-3,2)关于x轴对称的点的 坐标为 B (2)已知点A(a,1),B(-2,b)关于y轴对 称，则ab= 解析(1)由关于x轴对称的点，横坐标不变， 纵坐标互为相反数可知，点A(一3,2)关于x轴 对称的点的坐标为（一3，一2）。 由图可得A'(2,-4),B(-3,2),C(3,-1). (2)点A(a,1),B(-2,b)关于y轴对称， (2)△ABC的面积为6X6-号×1X3-号×3× .a=2,b=1,∴.ab=2. 答案(1)(-3，-2)(2)2 6- ×5×6=36-号-9-15=102 1 2 2方法提炼关于坐标轴对称的点的坐标 考法4 轴对称变换与平移变换综合 特征 例4 如图，在平面直角坐标系中，已知 关于x 横坐标相同， 纵坐标互为 点A(x,-y) △ABC的三个顶点坐标分别为A(2,一2)， 轴对称 相反数 点Ax,y) B(1,-4),C(5,-3) 关于y 横坐标互为 轴对称 相反数， 点A'(-x) (1)把△ABC向上平移6个单位长度得到 坐标相同 △A1B1C1,再以y轴为对称轴，经过轴对称 ◆146◆ 变换，得到△A2B2C2,请你作出△A2B2C2; 解：(1)如图，△A2B2C2即为所求. (2)若在△ABC中有一点P(a,b),则经过以 上两次变换后，点P的对应点P2的坐标为 (2),点P(a,b)向上平移6个单位长度得到点 P1(a,b十6)，点P(a,b+6)关于y轴对称得到 ,点P2(-a,b十6).故答案为(-a,b十6). 13.3 等腰三角形 3年1204考 第十三章 基础知识 ●● 轴对 知识点1等腰三角形的概念 数学语言：如图， 有两边相等的三角形是等腰三角形.相等 在△ABC中， 的两条边都叫做腰，另一条边叫做底边， .'AB-AC, 两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角 ∴.∠B=∠C(等边对等角). 叫做底角。 (注意“等边对等角”成立的前提条件是在 如图，△ABC是等腰三角形，其中AB, 同一个三角形中，不能乱用该性质， AC是腰，BC是底边，∠A是顶角，∠B, 2.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上 ∠C是底角、 的中线、底边上的高相互重合（简写成“三 线合一”). 灯顶 腰 角 腰 数学语言：如图， 底角底角 (1).'AB=AC,BD=CD, B 底边C .AD⊥BC,∠BAD 特别地，顶角是直角的等腰三角形是等腰 =∠CAD; 直角三角形 (2).AB=AC,∠BAD=∠CAD, 知识点32等腰三角形的性质493考 .AD⊥BC,BD=CD; 1.性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写 (3).AB=AC,AD⊥BC, 成“等边对等角”). ∴.BD=CD,∠BAD=∠CAD ◆147 3.对称性：等腰三角形是轴对称图形，底边 (点拨等边三角形是特殊的等腰三角形， 上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在 具有等腰三角形的一切性质， 直线就是它的对称轴： 知识点5等边三角形的判定226考 知识点3等腰三角形的判定2考 1.三条边都相等的三角形是等边三角形 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个 数学语言：如图1，.AB=AC=BC, 角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. ∴.△ABC是等边三角形 数学语言：如图， 2.三个角都相等的三角形是等边三角形 数学语言：如图2，∠A=∠B=∠C, ∴.△ABC是等边三角形. 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三 在△ABC中， 角形. .∠B=∠C 数学语言：如图3，.AB=AC,∠A=60°， ∴.AB=AC(等角对等边)， ∴.△ABC是等边三角形 第十三章 知识点4等边三角形及其性质98考 1.概念：三条边都相等的三角形叫做等边三 角形。 王三角形 轴 2.性质：等边三角形的三条边都相等，三个 图2 图3 称 内角都相等，并且每一个角都等于60°. 含30°角的直角三角形的 数学语言：如图， 知识点36 性质166考 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半. 数学语言：如图， 在△ABC中， .△ABC是等边三角形， .∠C=90°，∠B=30°， ∴.AB=AC=BC,∠A=∠B=∠C=60° AC=含AB 盘 典型考法 考法1 等腰三角形的性质的应用 角度1利用等腰三角形的性质求角度 例1(1)已知△ABC是等腰三角形.若∠A =40°，则△ABC的顶角度数是 解析(1)当∠A是顶角时，△ABC的顶角度 (2)如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 数是40°；当∠A是底角时，△ABC的顶角度数 24°，延长BC到点D,使CD=AC,连接AD, 是180°-2×40°=100° 则∠D的度数是 (2).AB=AC,∠BAC=24°， ◆148◆价为y元 B种活动所在扇形的圆心角的度数为 依题意，得6江十8y=1560, (2x+4y=600, 23×360=120 解得/180， (3)150×8=200(人). (y=60. 60 答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为 答：估计全校最喜爱雪地足球的学生有200人. 60元. 6.D (2)180×8+60×24=2880(元). 7.解：(1)n=4÷0.1=40,a=40-(4十7+9+6)= 答：若该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶， 14,b=6÷40=0.15.故答案为14,0.15,40. 则共需2880元. (2)补全频数分布直方图如图所示」 P105 频数分布直方图 ↑频数（学生人数） 1.D2.A3.D4.A5.m>3 16 6解：答案不唯一，如选①②. 14 /2x-1<7,① 10 5x-2>3(x十1).② 8 解不等式①，得x<4. 部不￥式@，得心 0 306090120150180运动时间/mim “不等式组的解集为》<x<4, (3)估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不 把解集表示在数轴上如图所示 低于120im的学生人数为480×9若=180， P125 -5-4-3-2-1012534 6 1.B2.D3.-3<a<-24.B5.26.A 7.解：(1)设篮球的单价为a元，足球的单价为b元. 7.C8.减少109.D10.C11.4812.15 十为0解得80， 由题意，得{3a十5b=810, P138 1.C2.CB=CE(答案不唯一)3.82 答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元. 4.证明：，BF=EC,∴.BF+CF=EC+CF,即BC=EF (2)设购买篮球x个，则购买足球(50一x)个. AB=DE, 由题意，得≥30， 在△ABC和△DEF中，∠B=∠E, 120x+90(50-x)≤5500 BC=EF, 解得30≤≤333 ∴.△ABC≌△DEF(SAS),∠A=∠D, 5.156.1 x为整数，x的值可以为30,31,32,33， 共有4种购买方案： P154 方案1：购买篮球30个，购买足球20个； 1.D2.C3.40°4.D5.(1,-2) 方案2：购买篮球31个，购买足球19个； 6.解：(1)如图所示，△A'B'C即为所求. 方案3：购买篮球32个，购买足球18个； y 方案4：购买篮球33个，购买足球17个. 4C40 A P111 37 1.B2.②④3.8004.B 2 5.解：(1)12÷20%=60（人）. 答：这次被抽查的学生共有60人 -3-2-10 (2)补全条形统计图如图所示. 抽样调查最喜爱的冰雪体 育活动人数的条形统计图 -3D 人数 -4 20 9 16 (2)如图所示，△EBD即为所求. 16 (3)W(或X). 7.A8.B9.3 10.解：(1)证明：：BD是△ABC的角平分线， ∴∠CBD=∠EBD. 冰雪体 ,DE∥BC,∴∠CBD=∠EDB, 育活动 ∴∠EBD=∠EDB. ◆348◆ (2)CD=DE.理由如下： (200-m)个. AB=AC,∴∠ABC=∠C 依题意，得8m十4(200-m)≤1150， .DE∥BC,∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC, 解得m≤87.5. ∠ADE=∠AED,∴.AD=AE,∴，AC-AD= 答：最多购进87个甲种粽子 AB-AE,即CD=BE. P189 由(1)，得∠EBD=∠EDB, 1.B2.B3.24.C5.C6.2 ∴.BE=DE,∴.CD=DE 11.212.15或45°或75°13.B 7.解：原式=5-9-(3-2W3+1)=-4-4+2W3= P167 -8+2w3. 1.A2.D3.A4.D5.A6.4 8.解：方法1：原式=2+(2-2+)-(2+2+ 7.解：原式=x2+2x+x2+2x+1=2x2+4x+1. .x2+2x-2=0,.x2+2x=2, )=2+2-2+}-2-2-4--2 .原式=2(x2+2x)+1=2×2+1=5. 8.(x-3y)(x+3y)9.6 方法2：原式=2+(2-2+2+2)·(2 10.(m+n-3)2 合-2-2)=+22×(-1D=2-22- P180 1.B2.B3.D4.A5.A6.D7.1 -√2. 且解：原式-（产2十》 (x-2)2 22 P197 x(x-2) x-2· 1.A2.D3.D4.A5.C6.1007.3√58.12 x一2=x. 9.√210.(x-6.8)2+x2=10211.A x≠0，x-2≠0，x≠0，x≠2. 12.如果b-a<0,那么a>b13.B14.北偏东50° .当x=1时，原式=1.（或当x=3时，原式=3.） P216 9.解：原式-L(a+ba-b)a+b」 a 11.(a-b)2 1.B2.110 b 3.证明：(1)O为对角线BD的中点，.OD=OB. a=（a-b).a-b)2 四边形ABCD是平行四边形， (a+b)(a-b) b ∴.DF∥BE,∴.∠DFO=∠BEO. b ,(a-b)2 (a+b)(a-b) 在△DOF和△BOE中， b =a-b I∠DFO=∠BEO, a+b ∠DOF=∠BOE, OD=OB, a=() =3,b=(-2022)°=1， ∴.△DOF≌△BOE(AAS). 原式- (2)由(1)，得△DOF≌△BOE,∴.DF=BE. 又DF∥BE,∴.四边形DFBE是平行四边形， 10.A11.3.4×10-1012.C13.B14.C15.B ∴.DE=BF 16.解：方程两边同时乘(x十1)(x-1),得(x一1)2 4.B5.36.B7.A8.C9.4 3=(x+1)(x-1). 10.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 去括号，得x2一2x+1-3=x2-1. .BA∥CD,∴∠BAE=∠FDE. 移项、合并同类项，得一2x=1, E是AD的中点，AE=DE 解得x=一1 在△BEA和△FED中， 21 I∠BAE=∠FDE, 经检验，当x=-2时，x+1Dx-1)≠0， AE-DE, ∠BEA=∠FED, 1 所以x=一2是原方程的解。 ∴.△BEA≌△FED(ASA),∴.EB=EF 17.解：(1)设乙种粽子的单价为x元，则甲种粽子的 又，AE=DE,∴.四边形ABDF是平行四边形. 单价为2x元. 又，∠BDF=90°，∴四边形ABDF是矩形. 依题意，得800_1200-50，解得x=4. (2)由(1)，知四边形ABDF是矩形， x 2x .∠AFD=90°，AB=DF=3,AF=BD. 经检验，x=4是原分式方程的解， 在Rt△ADF中，由勾股定理，得AF= .2x=8. √AD-DF=√52-32=4， 答：甲种粽子的单价为8元，乙种粽子的单价为 .S矩形ABDF=DF·AF=3X4=12. 4元. ,四边形ABCD是平行四边形， (2)设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子 ∴.CD=AB=3. ◆349