第12章 全等三角形-【一本】初中数学基础知识大盘点

价为y元 B种活动所在扇形的圆心角的度数为 依题意，得6江十8y=1560, (2x+4y=600, 23×360=120 解得/180， (3)150×8=200(人). (y=60. 60 答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为 答：估计全校最喜爱雪地足球的学生有200人. 60元. 6.D (2)180×8+60×24=2880(元). 7.解：(1)n=4÷0.1=40,a=40-(4十7+9+6)= 答：若该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶， 14,b=6÷40=0.15.故答案为14,0.15,40. 则共需2880元. (2)补全频数分布直方图如图所示」 P105 频数分布直方图 ↑频数（学生人数） 1.D2.A3.D4.A5.m>3 16 6解：答案不唯一，如选①②. 14 /2x-1<7,① 10 5x-2>3(x十1).② 8 解不等式①，得x<4. 部不￥式@，得心 0 306090120150180运动时间/mim “不等式组的解集为》<x<4, (3)估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不 把解集表示在数轴上如图所示 低于120im的学生人数为480×9若=180， P125 -5-4-3-2-1012534 6 1.B2.D3.-3<a<-24.B5.26.A 7.解：(1)设篮球的单价为a元，足球的单价为b元. 7.C8.减少109.D10.C11.4812.15 十为0解得80， 由题意，得{3a十5b=810, P138 1.C2.CB=CE(答案不唯一)3.82 答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元. 4.证明：，BF=EC,∴.BF+CF=EC+CF,即BC=EF (2)设购买篮球x个，则购买足球(50一x)个. AB=DE, 由题意，得≥30， 在△ABC和△DEF中，∠B=∠E, 120x+90(50-x)≤5500 BC=EF, 解得30≤≤333 ∴.△ABC≌△DEF(SAS),∠A=∠D, 5.156.1 x为整数，x的值可以为30,31,32,33， 共有4种购买方案： P154 方案1：购买篮球30个，购买足球20个； 1.D2.C3.40°4.D5.(1,-2) 方案2：购买篮球31个，购买足球19个； 6.解：(1)如图所示，△A'B'C即为所求. 方案3：购买篮球32个，购买足球18个； y 方案4：购买篮球33个，购买足球17个. 4C40 A P111 37 1.B2.②④3.8004.B 2 5.解：(1)12÷20%=60（人）. 答：这次被抽查的学生共有60人 -3-2-10 (2)补全条形统计图如图所示. 抽样调查最喜爱的冰雪体 育活动人数的条形统计图 -3D 人数 -4 20 9 16 (2)如图所示，△EBD即为所求. 16 (3)W(或X). 7.A8.B9.3 10.解：(1)证明：：BD是△ABC的角平分线， ∴∠CBD=∠EBD. 冰雪体 ,DE∥BC,∴∠CBD=∠EDB, 育活动 ∴∠EBD=∠EDB. ◆348◆第十二章 全等三角形 全等形一能够完全重合的两个图形 概念 能够完全重合的两个三角形 全等三角形 表示符号“兰” 对应边相等 性质 对应角相等 边边边(Sss) 注意：SSA,AAA 不能判定两个三角 边角边(SAS) 形全等 全等三角形 般三角形 角边角（ASA) 角角边(AAS) 判定方法 SSS,SAS,ASA,AAS 直角三角形 HL(只适用于直角三角形) 作一角等于已知角 尺规作图 作已知角的平分线 性质一角的平分线上的点到角的两边的距离相等 角的平分线 判定一角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 ◆126◆ 12.1全等三角形 3年452考 盘 基础知识 知识点1全等形的概念 知识点3全等变换 能够完全重合的两个图形叫做全等形 1.概念：全等变换是指只改变图形的位置， (点拨(1)两个图形是否全等，只与这两个 而不改变图形的形状和大小的变换， 2.变换方式 图形的形状和大小有关，而与图形所在的 (1)平移型：如图，将△ABC沿直线BC方 位置无关 向（或BA方向）平移BE的长度，得到 (2)全等形的周长、面积分别相等，但周长 △DEF,则△ABC≌△DEF 或面积相等的两个图形不一定是全等形 知识点32 全等三角形的概念及表示 方法 B 1.全等三角形的相关概念 (2)翻折型：如图1，将△ABC沿直线BC (1)全等三角形的概念：能够完全重合的 翻折，得到△DBC,则△ABC≌△DBC; 章 两个三角形叫做全等三角形， 如图2，将△ABC翻折得到△DBE,则 (2)全等三角形的对应元素 △ABC≌△DBE. 等 ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的 角 顶点， ②对应边：全等三角形中，能够重合的边 ③对应角：全等三角形中，能够重合的角， 图1 图2 2.全等三角形的表示方法：全等用符号“2” (3)旋转型：如图1，将△ABC绕点A顺 时针旋转一定的角度得到△ADE,则 表示，读作“全等于”.在书写三角形全等 △ABC≌△ADE;如图2，将△ABC绕点 时，应注意把表示对应顶点的字母写在对 A旋转180°得到△ADE,则 应的位置上， △ABC≌△ADE. 如图，△ABC≌△DEF. B E4 图1 图2 对应顶点：点A和点D,点B和点E,点C 知识点4全等三角形的性质452考 和点F. 1.全等三角形的对应边相等，全等三角形的 对应角相等， 对应边：AB和DE,BC和EF,AC 2.数学语言：如图，，△ABC≌△A'B'C', 和DF. .'.AB=A'B',AC=A'C',BC=B'C'( 对应角：∠A和∠D,∠B和∠E,∠C 等三角形的对应边相等)； 和∠F. ∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C(全等 ◆127● 三角形的对应角相等). 3.推广：全等三角形对应边上的高、对应角 的平分线、对应边上的中线分别对应相 等；全等三角形的周长、面积分别对应 相等。 @ 典型考法 全等三角形对应边、对应角的 考法1 确定方法 例1 如图，已知△ABC≌△DCB,AB= DC,指出它们的对应边和对应角. 解析由题意，得△ADE≌△A'DE, ∴∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED B 第十二章 ,∠A'EC=70°， 解：对应边：AB和DC,AC和DB,BC和CB; ∠AED=∠A'ED=(180°-70)÷2=55°. 对应角：∠ACB和∠DBC,∠A和∠D,∠ABC 又∠A=60°， 全 和∠DCB. ∴.∠A'DE=∠ADE=180°-60°-55°=65°. 三角 考法2、 利用全等三角形的性质进行计算 答案65 例2如图，点B,E,C,F在一条直线上，且 方法提炼利用全等三角形的对应角相等 △ABC2△DEF,BC=8,BF=11.5,则EC 可以将待求角转化为已知角，在解题过程中 的长为 注意找准所需的全等三角形及对应角 考法3利用全等三角形的性质进行证明、 例4如图，点A,B,C在一条直线上，点E 在BD上，且△ABD≌△EBC,AB=2cm, A.5 B.4.5C.4 D.3.5 BC=3 cm. 解析.BC=8,BF=11.5, (1)求DE的长； ∴.CF=BF-BC=3.5. (2)判断AD与CE的位置关系，并加以 ,△ABC≌△DEF,BC=8, 证明. ∴EF=BC=8, D E ∴.EC=EF-CF=8-3.5=4.5. 答案B 44 B 例3如图，在△ABC中，∠A=60°，将 解：(1)，△ABD≌△EBC, △ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的 .'BD=BC=3 cm,BE=AB=2 cm, 点A'处.如果∠A'EC=70°，那么∠A'DE .'DE=BD-BE=1 cm. (2)AD⊥CE.证明如下： ◆128◆ 如图，延长CE交AD于点F. (2)当△ABC满足什么条件时，BC∥DE? B .△ABD≌△EBC, 解：(1)证明：△ABC≌△DAE, ∴.∠ABD=∠EBC,∠D=∠C ∴.BC=AE,AC=DE. 又，点A,B,C在一条直线上， 又，AE=AC+CE, .∠ABD=∠EBC=90°，∴.∠A+∠D=90°， .'.BC=DE+CE. ∴.∠A+∠C=90°， (2).BC∥DE,∴∠BCE=∠E ∴.∠AFC=90°，即AD⊥CE. 又△ABC≌△DAE,∠ACB=∠E, 例5如图，点A,C,E在一条直线上，且 ∴.∠ACB=∠BCE. △ABC≌△DAE. 又：∠ACB+∠BCE=180°，∴.∠ACB=90°，即 (1)求证：BC=DE+CE; 当△ABC满足∠ACB为直角时，BC∥DE, 12.2 三角形全等的判定 3年876考 基础知识 全等 (3)以点C为圆心，CD长为半径画弧，与 三角 知识点1用“SS$”判定三角形全等50考 第2步中所画的弧相交于点D'; 1.基本事实：三边分别相等的两个三角形全 (4)过点D'画射线OB',则∠A'O'B 等，简写成“边边边”或“SSS”. =∠AOB. 2.书写格式：如图，在△ABC和△DEF中， B AB=DE, D D BC=EF, 用“≌”连接时对应顶点 写在相同的位置 CIA O'C A AC=DF, 图1 图2 所以△ABC≌△DEF(SSS): 知识点3 用“SAS”判定三角形全 等306考 1.基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两 个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”, 用直尺和圆规作一个角等 2.书写格式：如图，在△ABC和△DEF中， 知识点2 于已知角7考 (AB=DE, 已知：∠AOB. ∠B=∠E, 求作：∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB BC=EF, 作法：(1)如图1，以点O为圆心，任意长 所以△ABC≌△DEF(SAS). 为半径画弧，分别交OA,OB于点C,D; (2)如图2，画一条射线OA',以点O为圆 心，OC长为半径画弧，交OA'于点C; ◆129◆ 注意应用此判定方法时，必须符合“两边 (2)“ASA”与“AAS”的联系：由三角形内 和它们的夹角”，即“SAS”,不要错误地认 角和定理可知，“AAS”可由“ASA”推导 为有两边、一角就能判定两个三角形全 得出 等.特别注意“边边角”不能作为判定两个 (3)由“ASA”“AAS”可知：两个三角形如 三角形全等的条件 果具备两个角和一条边对应相等，就可以 用“ASA”判定三角形 知识点4 判定其全等」 全等210考 用“HL”判定直角三角形 1.基本事实：两角和它们的夹边分别相等的 知识点6 全等89考 两个三角形全等，简写成“角边角”或 1.基本事实：斜边和一条直角边分别相等的 “ASA” 两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角 2.书写格式：如图，在△ABC和△DEF中， 边”或“HL” ∠B=∠E, 2.书写格式：如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中， BC=EF, (AC=DF, 第十二章 ∠C=∠F, AB=DE, 所以Rt△ABC≌Rt△DEF(HL), 所以△ABC≌△DEF(ASA). 全 三角 (注意(1)证明直角三角形全等的格式 用“AAS”判定三角形 知识点35 全等214考 不同： ①摆条件时带“Rt△”； 1.基本事实：两角分别相等且其中一组等角 ②大括号中含两个条件； 的对边相等的两个三角形全等，简写成 ③结论带“Rt△” “角角边”或“AAS” (2)“HL”只适用于直角三角形，对于一般 2.书写格式：如图，在△ABC和△DEF中， 三角形不适用。 ∠B=∠E, 知识点7判定两个三角形全等的思路 ∠C=∠F, ·直角边一斜边一HL AC=DF, 已知两边找夹角一SAS 所以△ABC≌△DEF(AAS) 找另一边一SSS 已知边为角的对边一找任一角一AAS 一边 找夹角的另一边一SAS 角边为角的邻边找夹边的另一角一ASA (注意(1)“ASA”与“AAS”的区别： 找边的对角一AAS “ASA”中的边是两角的夹边，“AAS”中的 找夹边一ASA 已知两角 边是其中一角的对边 找任一角的对边一AAS ◆130◆ 典型考法 考法1 添加条件判定三角形全等 利用全等三角形的判定和性质 考法3 进行计算 例1 易错如图，已知∠1=∠2，添加下列 例3如图，E是△ABC的边AC的中点，过 条件，不能使△ABC≌△BAD的是() 点C作CF∥AB,连接FE并延长，交AB于 A.∠CAB=∠DBA 点D.若AB=9,CF=6,则BD的长为 B.AC=BD C.∠C=∠D B D.AD-BC 解析因为∠1=∠2，AB=BA,所以当添加 ∠CAB=∠DBA时，根据“ASA”可证明 △ABC≌△BAD,故A选项不符合题意；当添 A.2 B.2.5 C.3 D.4.5 加AC=BD时，不能判定△ABC≌△BAD,故B 解析CF∥AB, 选项符合题意；当添加∠C=∠D时，根据 ∴.∠ADE=∠F,∠A=∠FCE “AAS”可证明△ABC≌△BAD,故C选项不符 .E为AC的中点，.AE=CE 十二章 合题意；当添加AD=BC时，根据“SAS”可证明 在△ADE和△CFE中， △ABC≌△BAD,故D选项不符合题意， 「∠ADE=∠F, 答案B ∠A=∠FCE, 全等三角 AE-CE, 會易错点拨“SSA”不能判定两个三角形 .∴.△ADE≌△CFE(AAS), 全等 ∴.AD=CF=6. .AB=9,.BD=AB-AD=9-6=3. 考法2用尺规作一个角等于已知角 答案C 例2如图，以B为顶点，射线BC为一边， 例4如图，点A,B,C,D在一条直线上， 利用直尺和圆规作∠EBC,使得∠EBC= AB=CD,AE=DF,CE=BF.若∠A=55°， ∠A. ∠E=84°，则∠DBF的度数为 D E A B C 解：当所作的角在BC上方时，∠EBC如图1 所示； 解析，AB=CD, 当所作的角在BC下方时，∠EBC如图2所示 ∴.AB+BC=CD+BC,即AC=DB. D (AE=DF, E 在△AEC和△DFB中，AC=DB, M B CE=BF, HE ∴.△AEC≌△DFB(SSS), 图1 图2 ∴.∠ACE=∠DBF ◆131● ∠A=55°，∠E=84°， ∴.∠ACE=180°-∠A-∠E=180°-55° 模型提炼“一线三等角”全等模型 84°=41°， 同侧 异侧 .∠DBF=41° 答案41° 利用全等三角形的判定和性质 考法4 进行证明 例5如图，在△ABC中，AB=AC,DE是 过点A的直线，BD⊥DE于点D,CE⊥DE 于点E 如图所示，AB⊥BC, 如图所示，AB⊥ (1)如图1，若点B,C在DE的同侧，且 AB=BC,AD⊥DE, BC,AB=BC,AD⊥ AD=CE.求证：AB⊥AC. CE⊥DE,则△ABD DE,CE⊥DE,则 (2)如图2，若点B,C在DE的两侧，且 ≌△BCE,DE= △ABD≌△BCE, AD=CE,AB与AC仍垂直吗？若是，请给 AD+CE DE-AD-CE 第十二章 出证明；若不是，请说明理由， 考法5 构造全等三角形的常用方法 角度1利用“倍长中线法”构造全等三 全 等三角 角形 例6如图，在△ABC中，AB=5,AC=7, 图1 图2 AD是BC边上的中线，求AD的取值范围. 解：(I)证明：，BD⊥DE,CE⊥DE, ∴.∠ADB=∠CEA=90° (AB=CA, B 在Rt△ABD和Rt△CAE中， D AD-CE, 思路导引延长中线AD到点E,使DE=AD, .Rt△ABD≌Rt△CAE(HL), 利用“SAS”证明△ACD和△EBD全等，根据全 ∴.∠ABD=∠CAE. 等三角形对应边相等可得AC=EB,然后根据 ∠BAD+∠ABD=90°， 三角形三边关系求解。 .∠BAD+∠CAE=90°， 解：如图，延长中线AD到点E,使DE=AD,连 接BE ∴.∠BAC=180°-（∠BAD+∠CAE)=90°， ∴.AB⊥AC (2)AB⊥AC.证明如下： 由(1)，同理可证得Rt△ABD≌Rt△CAE, E ∴.∠BAD=∠ACE. ,AD是BC边上的中线，∴.BD=CD. ,∠CAE+∠ACE=90°， 在△ACD和△EBD中， ∴.∠CAE+∠BAD=90°， CD=BD, 即∠BAC=90, ∠ADC=∠EDB, ∴.AB⊥AC AD=ED, ◆132◆ ∴.△ACD≌△EBD(SAS),∴.AC=EB. ∴.AB=AF+BF=AC+BD. .AB=5,EB=AC=7, 方法2（补短法）：如图，延长AC到点G,使AG= .7-5<AE<7+5,即7-5<2AD<7+5, AB,连接EG. .1<AD6. G 模型提炼倍长中线模型 如图，延长中线AD至点E,使ED=AD,连 接BE,利用“SAS”可证得△ACD≌△EBD. 'AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA, ∴.∠1=∠2，∠3=∠4. AG-AB. 在△AEG和△AEB中，∠1=∠2， AE-AE, 角度2利用“截长补短法”构造全等三 ∴.△AEG≌△AEB(SAS), 角形 ∴.EG=EB,∠G=∠3. 例7-题多解如图，已知AC∥BD,AE ∠3=∠4，.∠G=∠4. BE分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E. .AC∥BD,.∠GCE=∠D. 章 求证：AB=AC+BD. I∠GCE=∠D, 在△CEG和△DEB中，∠G=∠4， EG=EB, 全等三角 .△CEG≌△DEB(AAS),∴.CG=BD. 证明：方法1（截长法）：如图，在线段AB上截取 .'AB=AG=AC+CG,..AB=AC+BD. AF=AC,连接EF】 乙模型提炼截长补短模型 截长法 补短法 563X ,AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA, 如图，∠1=∠2，在 如图，∠1=∠2，延 .∠1=∠2，∠3=∠4. AB上截取AF= 长AC至点E,使 AC,连接DF,则 AE=AB,连接DE, (AC=AF, 在△ACE和△AFE中，∠1=∠2， ∧ACD2AAFD 则△AED≌△ABD AE-AE, .△ACE≌△AFE(SAS),∴∠5=∠C. D .AC∥BD,∴.∠C+∠D=180° 又.∠5+∠6=180°，∴.∠6=∠D ∠6=∠D, 角度3利用“角平分线”构造全等三角形 在△EFB和△EDB中，∠3=∠4， 例8如图，在△ABC中，BE是∠ABC的 BE=BE, 平分线，AD⊥BE,垂足为D.求证：∠2= .△EFB≌△EDB(AAS),∴.BF=BD, ∠1+∠C. ◆133◆ 证明：如图，延长AD交BC于点F. 解：如图，过，点A和点B分别作AD⊥OC于点 D,BE⊥OC于点E. ,AD⊥BE,∴.∠ADB=∠FDB=90° 又，BE是∠ABC的平分线， ,∠ADC=90°，∠ACB=90°， ∴.∠ABD=∠FBD. ∴.∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCE= 在△ABD和△FBD中， 90°，∴.∠CAD=∠BCE. 第十二章 ∠ABD=∠FBD, 在△ADC和△CEB中， BD=BD, ∠ADC=∠CEB=90°， 全 ∠ADB=∠FDB=90°， ∠CAD=∠BCE, 三角 AC-CB, ∴△ABD≌△FBD(ASA),.∠2=∠DFB. ∴.△ADC≌△CEB(AAS), .∠DFB=∠1+∠C,∴∠2=∠1+∠C ∴.CD=BE,AD=CE. 模型提炼雨伞模型 .点C的坐标为（一2,0），点A的坐标为（一6,3）， 已知：AP是∠BAC的平分线，OB⊥AP,垂 ..OC-2,AD=CE=3,OD=6, ..CD=OD-OC=4,OE-CE-OC-=3-2-1, 足为O,延长BO交AC于点D,如图所示 结论：①△ABO≌△ADO;②AB=AD; .BE=CD=4,.点B的坐标为(1,4). ③OB=OD. 方法提炼如图，若AB=AC,AB⊥AC, 则可过斜边的两个端点B,C向过点A的直 B 线作垂线，构造△ABD≌△CAE.在平面直 角坐标系中，过顶点A的直线常为x轴或 y轴. 角度4利用“三垂直”构造全等三角形 例9如图，在△ACB中，∠ACB=90°， AC=BC,点C的坐标为（一2,0），点A的坐 B 标为（一6,3），求点B的坐标. ◆134◆ 12.3角的平分线的性质 3年168考 盘 基础知识 知识点31作已知角的平分线27考 (2)根据题意，画出图形，并用符号表示已 1.用尺规作已知角的平分线 知和求证； 已知：∠AOB. (3)经过分析，找出由已知推出要证的结 求作：∠AOB的平分线， 论的途径，写出证明过程， 作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画 知识点4角的平分线的判定4考 弧，交OA于点M,交OB于点N. 1.判定定理：角的内部到角的两边的距离相 (2)分别以点M,N为圆心，大于2MN的 等的点在角的平分线上。 长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相 2.数学语言：如图，PD⊥OA于点D, 交于点C PE⊥OB于点E,PD=PE,∴OP平分 (3)画射线OC.射线OC即为所求（如图）. ∠AOB(或∠AOP=∠BOP). 章 A D 等 W B E B 角 2.作图依据：构造△OMC≌△ONC(SSS) (点拨角平分线的性质与判定恰好是条件 知识点2角的平分线的性质西考 和结论互换，即点在角平分线上性质点 判定 1.性质定理：角的平分线上的点到角的两边 到角两边的距离相等。 的距离相等 三角形中角平分线的性 2.数学语言：如图，，OP平分∠AOB(或 知识点35 质8考 ∠AOP=∠BOP),PD⊥OA于点D, 1.性质：三角形的三条角平分线相交于一 PE⊥OB于点E, 点，并且这一点到三条边的距离相等， ..PD=PE. 2.数学语言：如图，，'△ABC的三条角平分 线AD,BE,CF相交于点I,IL⊥AB于点 L,IM⊥BC于点M,IN⊥AC于点N, E B ∴.IL=IM=IN. 知识点3证明几何命题的一般步骤 般情况下，证明一个用文字叙述的几何 命题时，可以按照类似的步骤进行： (1)明确命题中的已知和求证； ◆135◆