第11章 三角形-【一本】初中数学基础知识大盘点

第十一章三角形 及角 b 三角形的有关概念 顶点 B a边C △ABC 锐角三角形 按角 直角三角形 三角形 的分类 钝角三角形 三边都不相等的三角形 按边 底边和腰不相等的等腰三角形 与三角形有 等腰三角形 关的线段 等边三角形 三角形两边的和大于第三边 三角形的三边关系 三角形两边的差小于第三边 三角形的高、中线与角平分线 E 三角形的稳定性 三角形内 2 三角形三个内角的和等于180 35 三角形 角和定理 D ∠1+∠2+∠3=180 直角三 性质一直角三角形的两个锐角互余 角形 有一个角是直角的三角形是直角三角形 与三角形 判定 有关的角 有两个角互余的三角形是直角三角形 三角形的外角等于与它不相 邻的两个内角的和 三角形的外角大于与它不相 D 三角形的外角 邻的任何一个内角 ∠1=∠2+∠3 ∠1>∠2，∠1>∠3 三角形的外角和等于360 多边形的有关概念 多边形及 多边形的内角和 n边形内角和等于（n-2)×180° 其内角和 多边形的外角和 多边形的外角和等于360° ◆113◆ 11.1 与三角形有关的线段 3年254考 盘 基础知识 知识点1三角形的有关概念 知识点3三角形的三边关系68考 1.三角形的概念：由不在同一条直线上的三 1.内容：三角形两边的和大于第三边；三角 条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做 三角形.封闭图形 形两边的差小于第三边 (点拨识别三角形的三个条件 理论依接：两点之闻，线段最短 (1)三条线段； 2.数学语言：如图，，a,b,c为△ABC的三 (2)不在同一条直线上： (3)首尾顺次相接. 边长， 2.三角形的三要素：边、顶点、角， 如图所示. ∴.a+b>c,b+c>a,a寸 第 县角 c>b;b-a<c,b-c<a;c- 章 C 6 顶点 a<b B a边℃ (1)边：组成三角形的线段叫做三角形的 3.应用 形 边.如：AB,BC,AC或c,a,b. (1)已知三边确定能否构成三角形： (2)顶点：相邻两边的公共端点叫做三角 是 形的顶点.如：点A、点B、点C 能构成三角形 (3)角：相邻两边组成的角叫做三角形的 最短线段+中长 线段>最长线段 内角，简称三角形的角.如：∠A, 否 不能构成三角形 ∠B,∠C. 3.三角形的表示方法：三角形用符号“△”表 (2)已知两边确定第三边的取值范围： 示.如图，顶点是A,B,C的三角形，记作 △ABC,读作“三角形ABC”. 已知两边的差<第三边<已知两边的和. 知识点4 三角形的高、中线与角平 分线84考 1.三角形的高 (1)概念：从三角形的一个顶点向它所对 知识点32 三角形的分类 三边都不相等的三角形 的边所在直线画垂线，顶点和垂足之间的 底边和腰不相等 线段叫做三角形的高.如图，AD是 按边 等腰三角形的等腰三角形 △ABC的边BC上的高，所以AD⊥BC 三角形 等边三角形 锐角三角形 于点D(或∠ADB=∠ADC=90): 按角直角三角形 钝角三角形 ◆114 (2)三角形的高的位置与交点 条中线相交于一点O,点O即为△ABC 三角 的重心. 锐角三角形 直角三角形钝角三角形 形 心 图示 3.三角形的角平分线：三角形的一个角的平 有两条高 分线与这个角所对的边相交，这个角的顶 有两条高 在三角形 点和交点之间的线段叫做三角形的角平 三条 与直角边 都在三角 外部，第 高的 重合，第三 分线。是一条线段，角的平分线是一条射线 形内部 三条高在 位置 条高在三 如图，AD是△ABC的角平分线，所以 三角形 角形内部 内部 ∠BAD=∠CAD=2∠BAC 三条高没 三条 有交点， 高的 但三条高 在三角形 为直角 所在的直 第十 交点 内部 顶点 线交于三 (垂心) (拓展三角形三条角平分线的交点叫做三 章 角形外 角形的内心.如图，△ABC的三条角平分 一点 线交于一点I,点I即为△ABC的内心. (注意画钝角三角形的两条较短边上的高 形 时，要先延长边，再画垂线段 2.三角形的中线 (1)概念：在三角形中，连接三角形的一个 顶点和它所对的边的中点的线段叫做三 知识点5三角形的稳定性2考 角形的中线， 如图，AD是△ABC的边BC上的中线， 如果三角形的三条边固定，那么三角形的 所以BD=DC=2BC 形状和大小就完全确定了，三角形的这个 特征，叫做三角形的稳定性.因此，在生产 建设中，为达到稳固的目的，常把一些构 件都做成三角形结构（如图）， (点拨三角形中线的重要结论： 以上图为例，①边：BD=CD=号BC,②面 屋顶钢架 除三角形外，其他图形都不具备稳定性 积：S△ABD=S△ACD= 1 SAc;③周长： 如图，活动挂架的制作依据是四边形的不 △ABD与△ACD的周长之差实质为AB 稳定性. 与AC的差. (2)三角形的重心：三角形三条中线的交 点叫做三角形的重心.如图，△ABC的三 活动挂架 ◆115● 典型考法 考法1 三角形三边关系的应用 (2).a,b,c是△ABC的三边长， 角度1判断三条线段能否组成三角形 .b-c-a<0,a-b+c>0,a-b-c<0, 例1下列长度的三条线段能组成三角形的 ∴.原式=-b+c+a+a-b+c+a-b-c=3a 3b+c. 是 ( 考法2、 三角形三线的辨别 A.3,3,6 B.3,5,10 C.4,6,9 D.4,5,9 例4如图，在△ABC中，∠C=90°，D,E是 答案C 边AC上的两点，且AE=DE,BD平分 ∠EBC,则下列说法中不正确的是() 2方法提炼三条线段能组成三角形，必须 满足下列两个条件之一：(1)如果选最长边 作第三边，那么其余两边之和大于第三边； (2)如果选最短边作第三边，那么其余两边 A.BE是△ABD的中线 章 之差小于第三边. B.BD是△BCE的角平分线 C.∠1=∠2=-∠3 角度2利用三角形的三边关系求边长 D.BC是△ABE的高 形 例2用一根小木棒与两根长分别为3cm, 答案 6cm的小木棒组成三角形，则这根小木棒的 考法3 三角形高的应用 长可以为 角度1利用等面积法求三角形的高 A.1cm B.2 cm 例5如图，已知AD,CE是△ABC的两条 C.3 cm D.4 cm 高，AB=4cm,BC=8cm,CE=6cm,求 解析设这根小木棒的长为xcm.由三角形的 AD的长 三边关系，得6一3<x<6+3,所以x的取值范 围是3<x<9.观察选项可知，只有选项D符合 题意 答案D B 角度3三角形三边关系的综合应用 解：Sc=7AB·CE=7BC,AD, 例3已知a,b,c是△ABC的三边长， AB=4 cm,BC=8 cm,CE=6 cm, (1)若a,bc满足(a+b-c)(a-c)=0,试判 ∴2X4X6=2X8·ADAD=3cm 2 断△ABC的形状： (2)化简：b-c-a+a-b+c-a-b-c. 方法提炼 解：(1)由(a十b-c)(a-c)=0可知a十b-c和 1 a一c中至少有一个为0.由三角形的三边关系可 S△Bc2AB.CD AB·CD= 知a十b-c>0,∴.a-c=0,即a=c,∴.△ABC是 -BC.AE BC·AE 等腰三角形 ◆116 角度2与三角形的高相结合的角度问题 ∴.AD=BD,∴.BC-AC=3cm. 例6易错已知AD是△ABC的BC边上 又.BC=8cm,∴.AC=5cm. 的高，∠BAD=60°，∠CAD=20°，求∠BAC 角度2利用三角形的中线求面积 的度数， 例8 如图，在△ABC中，D,E,F分别为 解：可分两种情况： BC,AD,CE的中点，且S△ABc=8cm,求阴 (1)当垂足D在线段BC上时，如图1所示， 影部分的面积. ∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+20°=80°； 图1 图2 (2)当垂足D在线段BC的延长线上时，如图2 解：：D是BC的中点，.SAABD=S△AD= 所示，∠BAC=∠BAD-∠CAD=60° 名52×8=4(em).:E是AD的中点， 20°=40°. 综上所述，∠BAC的度数为80°或40°. ∴.SADE= SA-2 cm 章 2cm2,∴.SABEC=SABDE+SADE=4cm2.又，F 會易错点拨因为锐角三角形、直角三角形、 是CE的中点∴S=号5慰=2cm。 钝角三角形中高的位置不同，所以当题目中 形 没有明确给出三角形的具体类型时，或者说 考法5 三角形角平分线的应用 题目与高有关而没有给出图形时，我们应分 例9 如图，若AD是△ABC的角平分线， 类讨论，以防漏解。 DE∥AC,且交AB于点E,∠1=∠2，则DF 考法4 三角形中线的应用 与AB有什么位置关系？请说明理由 角度1利用三角形的中线求线段长度 例7如图，已知CD为△ABC的边AB上 的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大 3cm,BC=8cm,求AC的长， 解：DF∥AB.理由如下： .DE∥AC,.∠1=∠DAF. .'AD是△ABC的角平分线， ∴.∠EAD=∠DAF, 思路导引根据题意，有下列数量关系：①AD= BD;②△BCD的周长-△ACD的周长=3cm ∴.∠1=∠EAD. 解：，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm, 又∠1=∠2， .BC+CD+BD-(AC+CD+AD)=3 cm. ∠2=∠EAD, ,CD为△ABC的边AB上的中线， ∴.DF∥AB. ◆117 11.2与三角形有关的角 3年419考 盘 基础知识 知识点31三角形内角和定理64考 1.定理：三角形三个内角的和等于180° 如图，在△ABC中，∠A十∠B十∠C 180°. 2.性质：直角三角形的两个锐角互余， 如上图，在△ABC中，.∠C=90°，∴∠A+ B 2.推理：已知△ABC,对于∠A十∠B+∠C= ∠B=90°. 180°的推导过程如下： 3.判定：有两个角互余的三角形是直角三 如图，延长BC到点D,过点C作CE∥AB. 角形. 第十一 CE∥AB, 如图，在△ABC中，，∠A十∠B=90°， ∴.∠1=∠4（两直线平行，内错角相等）， ∴.∠C=90. 三 ∠2=∠5（两直线平行，同位角相等） .∠4+∠5+∠3=180°（平角的概念）， 形 ∴.∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）， 即∠A+∠B+∠ACB=180°. E 知识点33三角形的外角148考 1.概念：三角形的一边与另一边的延长线组 成的角，叫做三角形的外角。 推理证明三角形内角和定理时，辅助线的 如图，∠1和∠2都是△ABC的外角. 作法不是唯一的.例如：如图1，过点A作 EF∥BC;如图2，过BC上任意一点F,作 FD∥AC,交AB于点D,作FE∥AB,交 AC于点E等， 2.性质 (1)三角形的外角等于与它不相邻的两个 内角的和. 如上图，.∠1是△ABC的外角，∴.∠1= 图1 图2 ∠ABC+∠C. 知识点32直角三角形07正考 (2)三角形的一个外角大于与它不相邻的 1.表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表 任何一个内角， 示.如图，直角三角形ABC可以写成 如上图，.∠2是△ABC的外角，∴.∠2≥ Rt△ABC. ∠BAC,∠2>∠C. ◆118 3.三角形的外角和 ∠5=360°或∠2+∠4+∠6=360°. (1)在三角形的每个顶点处各取一个外 D M/E 角，这些外角的和叫做三角形的外角和. 3 76 F (2)三角形的外角和是360° B 4 5C 如图，由三角形的外角和可知，∠1+∠3十 @ 盘 典型考法 ● ●●●● 考法1 利用三角形内角和定理求角度 例2在△ABC中，∠B=∠A十10°，∠C 例1 如图，∠1= ,∠2 ∠B十10°，求△ABC中各内角的度数 解：，∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°， 30° 40°2 ∴∠C=∠A+10°+10°=∠A+20 25°40° 60°70°】 由三角形内角和定理，得∠A十∠B十∠C-180°， 解析如图1，：∠1+∠3+30°=180°，∠4+ .∠A+∠A+10°+∠A+20°=180， 第十 25°+40°=180°，∠3=∠4， 解得∠A=50, 章 ∴.∠1+30°=25°+40°，.∠1=35°. ∴.∠B=50°+10°=60°，∠C=50°+20°=70°. 1 330 月2 40° 考法2直角三角形的性质与判定 角 25°40° 60°70°】 角度1直角三角形的性质 图1 图2 例3如图，把一把三角尺ABC的直角顶点 如图2，∠5+∠2+40°=180°，∠5+60°+70° B放在直线EF上，∠C=30°，AC∥EF,则 =180°， ∠1= () .∠2+40°=60°+70°， ∴.∠2=90°. E B 答案35°90° A.30° B.45°C.60° D.75° 2模型提炼 答案C 角度2直角三角形的性质与判定的综合应用 “8”字模型 “A”字模型 例4如图，已知D是线段BC的延长线上 一点，∠ACD=∠ACB,∠COD=∠B.求 图形 D 证：△AOE是直角三角形 B ∠A+∠D= ∠ABC+∠ACB= 结论 ∠B+∠C ∠D+∠E 证明：，∠ACD+∠ACB=180°，∠ACD=∠ACB, ◆119◆ ∴.∠ACD=∠ACB=90°，∴.∠A+∠B=90 解析方法1：如图1，连接AD并延长至点F. ,∠AOE=∠COD,∠COD=∠B, :∠BDF是△ABD的外角，∠CDF是△ACD ∴.∠AOE=∠B, 的外角， ∴.∠A+∠AOE=90°， ∴.∠BDF=∠B+∠BAD,∠CDF=∠C+ ∴.△AOE是直角三角形. ∠CAD, 考法3三角形外角性质的应用 ∴.∠BDF+∠CDF=∠B+∠C+∠BAD+ ∠CAD,即∠BDC=∠B+∠C+∠BAC. 例5如图，已知D为BC上一点，∠B= :∠BAC=60°，∠BDC=120°，∠C=37°， ∠1，∠BAC=64°，则∠2的度数为() ∴.∠B=∠BDC-∠BAC-∠C=120°-60° 37°=23°. B A.37° B.64° C.74° D.849 答案B 图1 图2 第十一 例6如图，将一张三角形纸片ABC的一角 方法2：如图2，延长BD交AC于点H. 折叠，使点A落在△ABC外的点A'处，折痕 ,∠BDC是△CDH的外角，∠C=37°， 为DE.如果∠A=a,∠CEA'=B,∠BDA'= ∠BDC=120°， 三 Y,那么下列式子中正确的是 ·∠DHC=∠BDC-∠C=120°-37°=83° 形 A .∠DHC是△ABH的外角，∠A=60°， ∴∠B=∠DHC-∠A=83°-60°=23. D 答案23 模型提炼 燕尾模型 A.Y=2a+B B.Y=a+23 C.Y=a+B D.y=180°-a-B 解析设A'D交AC于，点F(图略). 由折叠的性质可得∠A=∠A'=a. 如图，∠BOC=∠A+∠B十∠C ,∠AFD=∠A'+∠CEA'=a十B, ∴.∠BDA'=∠A+∠AFD=a+a+B=2a+ 三角形三线与三角形内角和定 B=Y. 考法4 理的综合应用 答案A 例8如图，在△ABC中，∠B=63°，∠C 例7 一题多解如图，已知∠A=60°， 51°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的 ∠BDC=120°，∠C=37°，则∠B 平分线，求∠DAE的度数， 0 DE ◆120 解：在△ABC中，∠B=63°，∠C=51° .∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-63° 51°=66° 图3 .'AE是∠BAC的平分线， 解：(1)如图. .∠EAC=g∠BAC=33 .AD是BC边上的高，.∠ADC=90°， .在Rt△ADC中，∠DAC=90°-∠C=90° 51°=39°， ,BP,CP分别是△ABC的外角∠DBC和 ∴.∠DAE=∠DAC-∠EAC=39°-33°=6°. ∠ECB的平分线， 模型提炼 高分模型 ∴∠PBC-G∠DBC,∠PCB= 2∠ECB, ∴∠PBC+∠PCB=)(∠DBC+∠ECB. 第十 .∠DBC+∠ECB=180°-∠ABC+180°- 章 ∠ACB, B DE ÷∠PBC+∠PCB=18O-合（∠ABC+ 形 如图，在△ABC中，∠B>∠C,AD是BC边 上的高，AE平分∠BAC,则∠DAE ∠ACB). ,∠ABC+∠ACB=180°-∠A, 2∠B-∠0， ∠PBC+∠PCB=180°-2(180°-∠A)= 例9已知在△ABC中，∠A=64°. 90+2∠A, (1)如图1，若△ABC的两外角平分线BP, .∠P=180°-（∠PBC+∠PCB)=90°- CP交于点P,求∠P的度数； (2)如图2，若BP,CP分别是∠ABC, 合∠A-58 (2),BP,CP分别是∠ABC和∠ACB的平 ∠ACB的平分线，求∠P的度数； 分线， (3)如图3，若BP,CP分别是△ABC的内角 平分线与外角平分线，求∠P的度数 ∴∠PBC=2∠ABC,∠PCB=3∠ACB, ·∠PBC+∠PCB=2∠ABC+∠ACB). 在△BCP中，∠P=180°-（∠PBC+∠PCB) 180°-2(ZABC+∠ACB. 图 图2 在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A, ◆121◆ ∠P=180°-2180°-∠A)=90°+ 模型提炼三角形内、外角平分线模型 号∠A=122 已知BD,CD为角平分线. (3)如图. 图 图2 B E 1)如图1，∠BDC=90°+2∠A ,BP平分∠ABC,CP平分∠ACE ∴.∠ABC=2∠PBC,∠ACE=2∠PCE. (2)如图2，∠BDC=7∠A; .'∠A=∠ACE-∠ABC=2∠PCE-2∠PBC= (3)如图3，∠BDC=90°一 2(∠PCE-∠PBC)=2∠P, 2<A ∴.∠P=32°. 11.3 多边形及其内角和晖4 第十一 盘 基础知识 知识点？1多边形及其有关概念2考 形 (点拔(1)n边形有n条边、n个顶点和n 1.多边形的概念：在平面内，由一些线段首 个内角； 尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. (2)n边形的每一个顶，点可以引(n一3)条 如果一个多边形由n(n是大于或等于3 对角线，m边形共有nn,3》条对角线。 2 的自然数)条线段组成，那么这个多边形 3.凸多边形：多边形分为凸多边形和凹多边 就叫做n边形，如三角形、四边形、五边 形.画出多边形的任何一条边所在直线， 形…三角形是最简单的多边形 如果整个多边形都在这条直线的同一侧， 那么这个多边形就是凸多边形，如图1所 2.多边形的有关概念 示；反之，就是凹多边形，如图2所示.现 名称 概念 图示 阶段学习提到的多边形大都是凸多边形 组成多边形的各 边 条线段 每相邻两边的公 顶点 共端点 A 外角 多边形相邻两边 C 内角 图1 图2 组成的角 B 4.正多边形：各个角都相等，各条边都相等 多边形的边与它 对角线 的多边形叫做正多边形.如下图： 外角 的邻边的延长线 组成的角 C D 判定王多边形，二者缺一不西 顶点 边 连接多边形不相 对角线 邻的两个顶点的 线段 正三角形 正方形正五边形 正六边形 ◆122◆价为y元 B种活动所在扇形的圆心角的度数为 依题意，得6江十8y=1560, (2x+4y=600, 23×360=120 解得/180， (3)150×8=200(人). (y=60. 60 答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为 答：估计全校最喜爱雪地足球的学生有200人. 60元. 6.D (2)180×8+60×24=2880(元). 7.解：(1)n=4÷0.1=40,a=40-(4十7+9+6)= 答：若该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶， 14,b=6÷40=0.15.故答案为14,0.15,40. 则共需2880元. (2)补全频数分布直方图如图所示」 P105 频数分布直方图 ↑频数（学生人数） 1.D2.A3.D4.A5.m>3 16 6解：答案不唯一，如选①②. 14 /2x-1<7,① 10 5x-2>3(x十1).② 8 解不等式①，得x<4. 部不￥式@，得心 0 306090120150180运动时间/mim “不等式组的解集为》<x<4, (3)估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不 把解集表示在数轴上如图所示 低于120im的学生人数为480×9若=180， P125 -5-4-3-2-1012534 6 1.B2.D3.-3<a<-24.B5.26.A 7.解：(1)设篮球的单价为a元，足球的单价为b元. 7.C8.减少109.D10.C11.4812.15 十为0解得80， 由题意，得{3a十5b=810, P138 1.C2.CB=CE(答案不唯一)3.82 答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元. 4.证明：，BF=EC,∴.BF+CF=EC+CF,即BC=EF (2)设购买篮球x个，则购买足球(50一x)个. AB=DE, 由题意，得≥30， 在△ABC和△DEF中，∠B=∠E, 120x+90(50-x)≤5500 BC=EF, 解得30≤≤333 ∴.△ABC≌△DEF(SAS),∠A=∠D, 5.156.1 x为整数，x的值可以为30,31,32,33， 共有4种购买方案： P154 方案1：购买篮球30个，购买足球20个； 1.D2.C3.40°4.D5.(1,-2) 方案2：购买篮球31个，购买足球19个； 6.解：(1)如图所示，△A'B'C即为所求. 方案3：购买篮球32个，购买足球18个； y 方案4：购买篮球33个，购买足球17个. 4C40 A P111 37 1.B2.②④3.8004.B 2 5.解：(1)12÷20%=60（人）. 答：这次被抽查的学生共有60人 -3-2-10 (2)补全条形统计图如图所示. 抽样调查最喜爱的冰雪体 育活动人数的条形统计图 -3D 人数 -4 20 9 16 (2)如图所示，△EBD即为所求. 16 (3)W(或X). 7.A8.B9.3 10.解：(1)证明：：BD是△ABC的角平分线， ∴∠CBD=∠EBD. 冰雪体 ,DE∥BC,∴∠CBD=∠EDB, 育活动 ∴∠EBD=∠EDB. ◆348◆