第6章 实数-【一本】初中数学基础知识大盘点

参考答案 P014 P066 1.B2.A3.C4.B5.C6.D7.C8.A 1.C2.D3.B4.C5.B6.A7.8 9.5×6-2×3(答案不唯一)10.B11.244872 P076 12.B13.C14.B 1.B2.D3.D4.C5.3(答案不唯一)6.-3 P022 7.4或7或88.C9.310.211.A12.C 1.C2.n(n+1) 13.C14.D15.C16.C 2 17.解：(1)原式=3+5-4=8-4=4. 3.解：(1)由题意，得Q=4m+10n. (2)原式=-1+√2-1+2=√2. (2)将m=5×104,n=3×103代入Q=4m+10n,得 P083 Q=4×5×104+10×3×103=2.3×105. 4.A5.B6.37.0或88.A9.2 1.B2.D3.(2,8)或(2，-10)4.D5.A 10.y2-xy+311.1 6.解：(1)A(-2,3),A'(2,3), ∴点A,A'之间的距离是2-（一2）=4. 12.解：原式=4xy一2xy+3xy=(4-2+3)xy=5xy. 故答案为4. 当x=2,y=一1时， 原式=5×2×(-1)=-10. (2)如图，三角形AB'C'即为所求. ↑y P033 1.32.D3.等式的性质24.C5.A6.A 7.解：(1)移项，得4x一2x=5十1.合并同类项，得 2x=6.系数化为1，得x=3. (2)去分母，得3(x一3)十2(x1)=24.去括号，得 3x一9十2x一2=24.移项，得3x+2x=24十9十2 合并同类项，得5x=35.系数化为1，得x=7. 3 8.A9.B10.B11.6x+14=8x 12.解：设高铁的平均速度为xkm/h,则普通列车的 7.A 平均速度为(x一200)km/h. P094 由题意，得x十40=3.5(x一200)，解得x=296. 答：高铁的平均速度为296km/h. x=11(答案不唯-)2.-13.B4,B5.D (y=1 13.解：(1)设乙工程队每天能完成的绿化改造面积是 6.-2 xm,则甲工程队每天能完成的绿化改造面积是 (x+200)m2. 7.解：(1)/y=x-4,① lx+y=6.② 依题意，得x十x十200=800，解得x=300..∴.x十 将①代入②，得x十(x一4)=6，解得x=5. 200=500. 将x=5代入①，得y=1, .甲工程队每天能完成的绿化改造面积是 500m,乙工程队每天能完成的绿化改造面积是 心原方程组的解为=5， y=1. 300m2. (2)方案①所需的施工费用为600×12000 (2)方程组整理，得4x十y=5,① 3x+2y=15.② 500 ②-①×2，得-5x=5,解得x=-1. 14400(元)， 把x=一1代入①，得一4+y=5, 方案②所需的施工费用为400×12000 解得y=9, 300 16000(元)， ·原方程组的解为二-1， y=9. 方案③所需的施工费用为(400+600)×12000 8.B9.B 800 10.解：设港珠澳大桥的隧道长度为xkm,桥梁长度 15000(元). 为ykm. .1440015000<16000,.方案①的施工费用 最少 由题意，得x十y55解得二。9， y=9x-4, P048 答：港珠澳大桥的桥梁长度和隧道长度分别为 1.B2.B3.B4.D5.A6.B7.A8.C9.C 49.1km和5.9km. 10.A11.12012.74.32513.9014.40 11.解：(1)设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单 ◆347◆第六章 实数 算术平方根一若x2=a,则正数x叫做a的算术平方根 概念一若x2=a,则x叫做a的平方根 个正数有两个平方根，它们互为相反数 平方根 性质 0的算术平方根与平方根均为0 负数没有平方根 开平方 概念—若x=a, 则x叫做a的立方根 正数的立方根是正数 性质 负数的立方根是负数 立方根 0的立方根是0 开立方 实 数 有理数 按概念 无理数 分类 正实数 按大小 0 负实数 实数与数轴上的点一一对应 实数与数轴 有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍然适用；开平（立）方与乘方 是同级运算 运算 ◆067● 6.1 平方根 3年280考 基础知识 知识点}1算术平方根220考 知识点2 平方根60看任意教 1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正 1.平方根的概念：一般地，如果一个数的平 数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正 方等于a,那么这个数叫做a的平方根或 数x叫做a的算术平方根.规定：0的算 二次方根.这就是说，如果x2=a,那么x 术平方根是0. 叫做a的平方根， 第六章 示例)3=9，那么3叫做9的算术平方根 示例（士2）2=4，所以4的平方根是士2. (或者说9的算术平方根是3). (注意“2是4的平方根”这种说法是正确 数 (注意只有非负数才有算术平方根，并且 的.反之，“4的平方根是2”这种说法就是 非负数的算术平方根只有一个 错误的.因为正数有两个平方根，所以应 2.算术平方根的表示方法：非负数a的算术 该说“4的平方根是士2”， 平方根记为a,读作“根号a”,a叫做被 也叫做a的算术平方根 开方数 2.平方根的表示方法：正数Q的正的平方根 示例“9的算术平方根”记为“⑨”，其中 可以用符号“√ā”表示，负的平方根可以用 9叫做被开方数， 符号“一√a”表示，故正数a的平方根可以 (点拔拨“√厂”是“厂”的简写，其中2是 用符号“士√a”表示，读作“正、负根号a” 根指数，通常省略不写。 示例5的平方根是土√5！ 3.算术平方根的性质 3.平方根的性质：正数有两个平方根，它们 (1)正数的算术平方根是正数，0的算术平 互为相反数；0的平方根是0；负数没有平 方根是0，负数没有算术平方根. 方根 (2)Wa具有双重非负性： (拓展平方根是它本身的数只有0. ①被开方数a是非负数，即a≥0； 4.开平方：求一个数a(a≥0)的平方根的运 ②a本身是非负数，即√a≥0. 算，叫做开平方.a(a≥0)开平方用符号 (拓展(1)算术平方根是它本身的数有0 “士√a”表示，“√”是一个运算符号，如 和1. 士√25=土5就是开平方运算 (2)两个结论： (点拨(1)开平方是一种运算，是求一个数 ①(Wa)2=a(a≥0)； 的平方根的过程，而平方根是一个数开平 ②w√a2=|a. 方的结果.(2)平方和开平方互为逆运算. ◆068◆ 5.算术平方根与平方根的区别和联系 续表 算术平方根 平方根 算术平方根 平方根 正数的算术 正数的平方根 平方根包含算术平方根，算术 个数 平方根只有 包含关系 有两个 平方根是正数正的平方根 一个 正数a的算术 正数a的平方 表示方法 平方根表示 鬃 存在的条 只有非负数才有算术平方根和 根表示为土√a 件相同 平方根 为a 正数的算术 正数的平方根 0的算术平方根与平方根均 取值范围 平方根一定 为一正一负， 特殊值0 为0 是正数 且互为相反数 第 盘 典型考法 ● 数 考法1 求一个数的算术平方根 (8)10的算术平方根是√10. 例1求下列各数的算术平方根： 二方法提炼三种特殊数的算术平方根的 (1)36;(2)0.09; 16 (3) 25 (4)(-4)2; 求法 (5)1. (1)带分数：先化为假分数，再求算术平 25 (6)16; (7)0;(8)10. 方根 解：(1).62=36， (2)带根号的数：先化简，再求算术平方根. ∴.36的算术平方根是6，即36=6. (3)不是有理数的平方的数：用算术平方根 (2).0.32=0.09, 的符号表示。 .0.09的算术平方根是0.3，即√0.09=0.3. 考法2算术平方根双重非负性的应用 8:(}-8 例2已知y=√x-2+√2-x+2x,求x 碧的算水平方根是号，即√票号 16_4 的值. 解：，√x-2,√2-x都有意义， (4),(-4)2=16,42=16, ∴.x-2>0,2-x≥0， .(-4)2的算术平方根是4，即√(-4)2=4. x≥2且x≤2，∴.x=2, (6()-器-1易 ∴.y=0+0+4=4,∴.x=24=16. 例3若|x-1|+(y+3)2+√x+y十z=0, 1号的算术平方根是号，印√号号 求4x一2y十3z的平方根. 解：由题意，得x一1=0，y十3=0，x十y十x=0, (6),16=4,22=4, 解得x=1,y=一3，之=2， 先化简，再求其算术平方根 .4x-2y+3z=4×1-2×(-3)+3×2=4+ .√16的算术平方根是2. 6+6=16. (7)0的算术平方根是0，即√0=0. .(士4)2=16，.4x-2y+3x的平方根是士4. ◆069◆ 考法6 利用平方根的概念解方程 方法提炼如果几个非负数的和为零，那 例7求下列各式中x的值： 么这几个非负数都为零，即若A十B十C=0, (1)x2-361=0; 且A>0,B>0,C≥>0，则A=B=C=0. (2)(x+1)2=289; 利用估算确定算术平方根的取 (3)9(3x+2)2-64=0. 考法3 值范围 解：(1)x2-361=0,∴.x2=361, 例414的算术平方根介于 .x=士√361，即x=士19. A.2与3之间 B.3与4之间 (2).(x+1)2=289, ∴.x+1=士289，即x+1=士17， C.4与5之间 D.5与6之间 当x+1=17时，x=16; 解析9<14<16，√9<√14<√16， 当x十1=-17时，x=-18. 第 即3<√14<4. 综上，x=16或x=-18. (3).9(3x+2)2-64=0,.9(3x+2)2=64, 答案B 考法4 利用估算比较数的大小 ∴3x+2必-4，亿3+2看成-个整你 实 数 例5 比较下列各组数的大小： 3x+2=±√9， /64 (1)5与21； (2与 即3x+2=±8 31 解：(1)25>21，.√25>√21，即5>√21 当3x士2=3时，23 9 (2).3<4,√3<2，∴√3-1<1， 当3+2=- 3时，x=一14 1 2< 9 考法5 求一个数的平方根 考法7 平方根的性质的应用 例6求下列各数的平方根： 例8易错(1)若一个正数的平方根是a十3 1)25:20.36:(3)81:(4V53 与2a一15，求这个正数； (2)若5a十1和a一19均是数m的平方根， 解：(1)（±5）2=25， 求a和m的值 解：(1)由题意，得a十3十2a-15=0, .25的平方根是士5， 解得a=4. 即士√25=士5. 把a=4代入a十3中，得a十3=7. (2).(±0.6)2=0.36， 把a=4代入2a-15中，得2a-15=-7. .0.36的平方根是土0.6， 49的平方根是士7，∴.这个正数是49. (2)当5a+1+a一19=0时，解得a=3,则m= 即±√0.36=士0.6. (5a+1)2=256; 3(±}°- 当5a+1=a-19时，解得a=-5,则m=(5a十 1)2=576. 智的平方根是士行， 综上所述，a=3,m=256或a=-5,m=576. 即士√胃=士好 雪易错点拔利用平方根的性质求字母的值 时，要注意区分以下两种情况：①若a的平 (4).√52-32=√/16=4，（±2）2=4， 方根是m和n,则m十n=0;②若m和n均 是a的平方根，则m=n或m十n=0. ∴.√5-3的平方根是士2. ◆070◆ 6.2立方根 3年60考 盘 基础知识 知识点 立方根0有任意数 5.平方根与立方根的区别和联系 1.立方根的概念：一般地，如果一个数的立 平方根 立方根 方等于a,那么这个数叫做a的立方根或 一般地，如果 一般地，如果 三次方根.这就是说，如果x3=a,那么x 一个数的平 一个数的立方 叫做a的立方根 方等于a,那 等于a,那么这 概念 示例53=125，那么5叫做125的立方根 么这个数叫 个数叫做a的 第 (或者说125的立方根是5). 做a的平方根 立方根或三次 2.立方根的表示方法：一个数a的立方根， 或二次方根 方根 用符号“a”表示，读作“三次根号a”,其 一个正数有 一个正数有一 中a是被开方数，3是根指数. 两个平方根， 个正的立方 根指数 个数 它们互为相 根；一个负数 根号发、一立方根 反数；负数没 有一个负的立 根指数3不能省略 别 有平方根 方根 被开方数 示例125的立方根记作“125”，读作 非负数a的平 数a的立方 方根表示为 “三次根号125” 根，用符号 表示 土a,“厂” 3.立方根的性质：正数的立方根是正数，负 “a”表示，这 方法 的根指数为 数的立方根是负数，0的立方根是0. 里的根指数3 2,可以省略 (拓展(1)立方根是它本身的数有一1,0 不能省略 不写 和1. 被开方数 在士√a中，被 在a中，被开 (2)三个结论： 的取值 开方数a是非 方数a是任 ①(a)3=a;②9a=a;③-a=-a. 范围 负数，即a≥0 意数 4.开立方：求一个数的立方根的运算叫做开 联 运算关系 都与相应的乘方运算互为逆运算 立方.开立方和立方互为逆运算 系 特殊值0 0的平方根和立方根都是0 典型考法 考法1 求一个数的立方根 即/125=5. 例1求下列各数的立方根： (2),(-0.4)3=-0.064, (1)125,(2)-0.064,(3)-5 64:(4)V64. .-0.064的立方根是一0.4， 解：(1).53=125，.125的立方根是5， 即-0.064=-0.4. ◆071◆ 64 .(x+1)3= 27 64 1000? .-5 的立方根是-子，即-5 3 x+1=√ 27 4 4 1000= 10 (4).√64=8,23=8， .x=- 13 1 .√64的立方根是2. (4),2(x-1)3=1458, 考法2 立方根性质的应用 ∴.(x-1)3=729, 例2 当x为何值时，5x+6与4一3x互 ∴.x-1=9/729=9,.x=10. 为相反数？ 立方根具有保号性 立方根、平方根和算术平方根 第 解：.5x+6与4-3x互为相反数， 考法4 的综合应用 ∴.5x十6与4-3x互为相反数， 例4已知2a+1的平方根是±3,3a+2b+ 实 ∴.5x+6+4-3x=0,∴.x=-5. 4的立方根是一2，求4a一5b+5的算术平 数 方根. 方法提炼立方根互为相反数的两个数也 解：2a+1的平方根是士3， 互为相反数，即若a十石=0，则a十b=0; ∴.2a+1=9,解得a=4. 互为相反数的两个数的立方根也互为相反 .3a+2b+4的立方根是-2， 数，即若a十b=0,则a+6=0. .3a+2b+4=-8, 考法3 利用立方根的概念解方程 .12+2b十4=-8，解得b=-12. 例3求下列各式中x的值： 当a=4,b=-12时， (1)64x3+125=0; 4a-5b+5=4×4-5×(-12)+5=81, (2)(x+2)3+1=0; ∴.4a一5b十5的算术平方根为9. (3)1000(x+1)3=-27; 考法5立方根的实际应用 4 (4)2(x-1)3=1458. 例5把一个长12cm、宽9cm、高2cm的 解：(1)64x3+125=0, 长方体铁坯加工成一个正方体铁锭后，表面 ∴.64x3=-125, 积有什么变化？（加工过程中无损耗） x3=-125 解：设铁锭的棱长为xcm,则铁锭的体积为 64? x3cm3. x=√ 12=-5 64 41 根据题意，得x3=12X9×2,解得x=6. (2).(x+2)3+1=0, 原长方体铁坯的表面积为(12×9十9×2十12× .(x+2)3=-1, 2)×2=300(cm2), ∴x+2=9-1=-1, 正方体铁锭的表面积为62×6=216(cm). .x=-3. 因为216<300，所以加工成一个正方体铁锭后， (3).1000(x+1)3=-27, 表面积变小了 ◆072◆ 考法6 立方根的规律探究 ,点相应地向右（左）移动一位， 例6 (1)观察下表，你能从中发现什么 (2)9/0.016≈0.252,9/16000000≈252. 规律？ 方法提炼解题的关键是根据提供的数据 0.008 8 8000 8000000 0.2 2 20 200 特征，分析出“n”中的小数点移动对“n”中 小数点移动的影响的规律，进一步推广、验 (2)已知16≈2.52，根据(1)中的规律，求 /0.016和916000000的近似值. 证，从而得出一般性结论，然后用一般性结 论解决问题. 解：(1)n的小数点向右（左）移动三位，Wn的小数 第 6.3 实数3年358男 数 盘 基础知识 知识点31无理数60考 (2)按性质符号分类 正整数 1.无理数的概念：无限不循环小数叫做无 正有理数 正实数 正分数 理数 正无理数 2.常见的无理数形式 实数0 负整数 (1)开方开不尽的数，如2,2； 负实数 负有理数 负分数 (2)元以及-一些含有x的数，如：，2) 负无理数 知识点3实数与数轴上点的关系40考 (3)似循环，但不循环的无限小数，如： 0.101001000100001000001…(每两个 实数与数轴上的点是 一一对应的，即每一 相邻的1中间依次多一个0). 个实数都可以用数轴上的一个点来表示. 知识点：2实数的概念及分类16考 反过来，数轴上的每一个点都表示一个 1.实数的概念：有理数和无理数统称实数. 实数 知识点4实数的性质65考 2.实数的分类 公一个实数不是有耀数 就是无猩数 1.相反数：实数a的相反数是一a.若实数a (1)按概念分类 与b互为相反数，则a十b=0.反之也 正整数 成立 整数0 2.绝对值：一个正实数的绝对值是它本身， 有理数 负整数 一个负实数的绝对值是它的相反数，0的 正分数)有限小数或 实数 分数 负分数无限循环小数 a,当a>0时； 正无理数 绝对值是0，即a=0,当a=0时； 无理数 无限不循环小数 负无理数 一a,当a<0时， ◆073◆ 3.倒数：任何非零实数a的倒数是。若实数 除，最后算加减，同级运算按照从左到右 的顺序进行，有括号的要先算括号里 a与b互为倒数，则ab=1.反之也成立. 面的 知识点5实数的运算12考 有理数范围内的运算律、运算法则在实数 实数运算的顺序：先算乘方、开方，再算乘 范围内仍适用. 典型考法 考法1 无理数的判断 正无理数集合：W3,5,0.010010001…(每两 第 例1 在-2，，5,2中，是无理数的是 个相邻的1中间依次多一个0)，… 上方法提炼实数分类技巧 A. -2 C.3 D.2 (1)逐个按顺序进行分类，避免出现重复或 数 解析 一2是负整数，属于有理数；2是分数，属 遗漏的数。 (2)严格区分类别，尤其是“非负”“正”等字 于有理数；W3是开方开不尽的数，属于无理数；2 眼要看清. 是正整数，属于有理数. 答案C (3)带根号的数不一定是无理数，如√4，⑧ 是有理数. 考法2实数的分类 例2把下列各数分别填在相应的集合内： 考法3 实数的性质 2,0,0.16,32,0.15,3,56, 例3 (1)一2的相反数是 3一8，-8,0.010010001（每两个相邻的 A.2 R一司 C.-2 D.2 1中间依次多一个0)，3.1415926. (2)一2023的绝对值是 ( 整数集合：{ …}； 分数集合：{ …}; A.2023 B.-2023 非负数集合：{ …}; 1 1 有理数集合：{ …}； C.2023 D.一2023 正无理数集合：{ …}. (3)下列互为倒数的是 ( 解：整数集合：{0，√16,9一8，一8，…； A3和 B.-2和2 分数集合：-号01632,015,31415926，…： 非负数集合：0,0.16,32,0.15w5,号，V, C3和-日 D.-2和2 答案(1)A(2)A(3)A 0.010010001…(每两个相邻的1中间依次多一 考法4 实数与数轴上点的关系 个0)，3.1415926，…； 例4实数a,b在数轴上的位置如图所示， 有理数集合：{-，0,016,3,015，V16, 那么化简√(b一a)严+|b的结果是() 9-8,-8,3.1415926,…; b0 a ◆074● A.a-2b B.-a a2+6+c+c+8=0.ax2+bx+c=0 C.a D.-2a+b 时，求3x2+6x+1的值. 解析由数轴可知b<0<a, 解：依题意，得(2-a)2=0,√a2十b十c=0, 所以b-a<0, |c+8=0, 所以√(b-a)2+|b1=-(b-a)-b=a-2b. ∴.2-a=0,a2+b+c=0,c+8=0, 答案A 解得a=2,b=4,c=-8. 考法5 实数的大小比较 ,ax2+bx+c=0,.2x2+4x-8=0, 例5 比较下列各组数的大小： .2x2+4x=8,∴.x2+2x=4, av质与6：e与号 ∴.3x2+6x+1=3(x2+2x)+1=3X4+1=13, 整体代入法 第 解：(1)（平方法）因为（√65）2=65,82=64， 考法8 无理数小数部分的确定 65>64,所以√65>8. 例8 创新考法阅读理解阅读材料，解答问 (2)(作差法)因为B。1-1=-1-1 题.例如：，√4<√7<√9，即2<√7<3， 3 3 8-2_3-4<0, ∴√7的整数部分为2，小数部分为√7一2 3 3 (1)√17的整数部分是 ,小数部分 所以3-11 是 ； 3 31 (2)已知5一√17的小数部分是m,6+√17 2方法提炼比较实数大小的方法 的小数部分是n,且(x+1)2=m十n,请求出 常见的方法有作差法、作商法、倒数法、 满足条件的x的值. 数轴法、平方法、估算法.这里主要介绍一下 解：(1)：√16<√17</25， 平方法：①当a<0,b<0时，若b>a2,则b< ∴.4<√17<5，较小的整数是整数部分 a;②当a>0,b>0时，若a2>b,则a>b. ∴.√17的整数部分是4，小数部分是√17一4. 考法6 实数的运算 原数减去整数部分是小数部分 故答案为4，√17一4. 例6 计算： (2)5-√17的小数部分是m,6十√17的小数 (1)(√6)2+2×(-3)； 部分是n,.m=5一√17，n=6+√17-10= 2)+-(2+w3-w3-2: 17-4, (3)27-π+√（π-4）. ∴.m+n=5-√17+√/17-4=1，.(x+1)2= 解：(1)原式=6十(-6)=0. 1,解得x=0或x=-2. (2原式-+是-(2+3-2+ 方法提炼无理数的小数部分的确定方法 =1-2/3. 把无理数夹在两个相邻的整数之间，较 (3)原式=3-π+|π-4|=π-3+4-π=1. 小的整数就是这个无理数的整数部分，用这 考法7 非负数的性质的应用 个无理数减去整数部分得到的就是它的小 数部分 例7已知a,b,c都是实数，且满足(2一a)2+ ◆075◆ 中考真题演练 考点1平方根 A.0 B.-1C.2 D.√2 1.[山东东营]16的算术平方根是 13.[四川资阳]如图，M,N,P,Q是数轴上 A.±4 B.4 C.-4 D.8 的点，那么√3在数轴上对应的点可能是 2.[四川凉山州门√81的平方根是 ( () A.9 B.±9 C.3 D.士3 M N PQ -3-2-10123 3.[四川凉山州门化简：√（一2）= ( A.点M B.点NC.点PD.点Q A.±2 B.-2 C.4 D.2 第 14.[重庆B卷]估计√54一4的值在( 4.[天津]估计√29的值在 ( A.6到7之间 B.5到6之间 A.3和4之间 B.4和5之间 C.4到5之间 D.3到4之间 C.5和6之间 D.6和7之间 实 15.[宁夏]实数a,b在数轴上的位置如图所 数 5.[山东济南]写出一个比√2大且比√17小 的整数： (写出一个即可) 示，则品+合 的值是 ) 6.[云南]已知a,b都是实数，若√a十1十 0b (b-2)2=0,则a一b= A.-2 B.-1、 C.0 D.2 16.[贵州黔东南州]在解决数学实际 7.[四川南充]若√8一x为整数，且x为正整 问题时，常常用到数形结合思想， 数，则x的值是 比如：x+1的几何意义是数轴 考点2立方根 上表示数x的点与表示数一1的点之间 8.[四川攀枝花]下列说法正确的是 的距离，x一2的几何意义是数轴上表 A.0.09的平方根是0.3 示数x的点与表示数2的点之间的距 B.w√16=士4 离.当|x十1|十x一2|取得最小值时，x C.0的立方根是0 的取值范围是 () D.1的立方根是士1 A.x≤-1 B.x≤-1或x>2 9.[江苏淮安]实数27的立方根是 C.-1≤x≤2 D.x≥2 17.计算： 10.[内蒙古包头]一个正数a的两个平方根 (1)[浙江台州门√9+|一5一2； 是2b-1和b+4,则a+b的立方根 (2)[湖北十堰](-1)3+|1-√2|+8」 是 考点3实数 1.[湖南常德]在3，-8，202这 五个数中，无理数的个数为 () A.2 B.3 C.4 D.5 >答案见P347 12.[辽宁营口]在2,0，一1,2这四个实数 中，最大的数是 () ◆076◆